矩阵行列式(较难与困难)

第I卷（选择题）

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评卷人得分

一、选择题

1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（）

A．869 B．870 C．871 D．875

第II 卷（非选择题）

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二、解答题

2．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=11e ，

求矩阵A 的逆矩阵1-A ．

3．已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

，，求矩阵1.A B - 4．选修4-2：矩阵与变换

已知直线:23l x y -=，若矩阵13a A b -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,a b R ∈所对应的变换σ把直线l 变换为它自身。

（Ⅰ）求矩阵A ； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵.

5．求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．

6．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=321e 并有特征值

12-=λ及属于特征值－1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112e ， ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=11α

（Ⅰ ）求矩阵M ；（Ⅱ ）求5

M αr

．

7．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α，是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

α，求矩阵M .

8．变换T 1是逆时针旋转

2

π

的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝.

（1）求点P （2,1）在T 1作用下的点P ′的坐标；

（2）求函数y ＝x 2

的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．

9．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－

2)．

(1)求矩阵M ；

(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．

10．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换. (1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量.

(2)求逆矩阵M -1

以及椭圆+=1在M -1

的作用下的新曲线的方程.

11．．已知矩阵A ＝11a b ⎡⎤⎢

⎥-⎣⎦，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝21⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

.设向量β＝74⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，试计算A 5

β的值．

12．二阶矩阵M 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量e=11⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，并且矩阵M 对应的变

换将点(1,2)变换成点(8,4)．

（1）求矩阵M ；

（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．

13．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5

分，第(3)小题满分7分．

将边长分别为1、2、3、…、n 、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为．记数列满足,

（1）求的表达式；

（2）写出的值，并求数列的通项公式；

（3）记，若不等式有解，求的取值范围. 14．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14

*

n ∈N ()f n {}n a 11a =()

+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨

⎪⎩

当为奇数

当为偶数()f n 23,a a {}n a ()n n b a s s =+∈R 211

1

1

00

0n

n n n n b b b b b ++++>s

分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛=3-4

6-7

M ，向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=56ξ． (I)求矩阵M 的特征值1λ、2λ和特征向量12ξξr

u u r

和；

(II)求ξ6M 的值．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩

．以直角坐

标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为

（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；

（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）

已知：a 、b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.

15．附加题) 已知矩阵2121A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1201B -⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

（1）计算AB ；

（2）若矩阵B 把直线:20,l x y l l ''++=变为直线求直线的方程。

16．已知矩阵A =3101⎡⎤

⎢

⎥

-⎣⎦

，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα． 17．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵⎥

⎦

⎤

⎢

⎣⎡-=111a A ，其中∈a R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，－3），求矩阵A 的特征值及特征向量． 18．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换