矩阵行列式(较难与困难)
行列式的计算技巧和方法总结
行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。
下面将总结行列式的计算技巧和方法。
一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。
设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。
2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。
3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。
4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。
5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。
二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。
选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。
矩阵的行列式定义
矩阵的行列式定义矩阵是线性代数中的一个重要概念，与之紧密相关的是矩阵的行列式。
行列式是一个数学工具，用于描述矩阵的性质和特征。
在本文中，我们将探讨矩阵的行列式定义及其相关概念。
一、矩阵的概念矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，由m行和n列组成，通常记作A=[a_{ij}]，其中i表示行数，j表示列数。
每个元素a_{ij}都是一个实数或复数。
矩阵的大小由行数和列数决定，常用的矩阵有方阵、行向量和列向量。
二、行列式的定义行列式是一个与方阵相关的数值。
对于一个n阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。
行列式的计算方法是通过对矩阵元素进行特定运算得到的。
三、行列式的计算方法1. 二阶行列式的计算方法对于一个2阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} - a_{12} * a_{21}。
2. 三阶行列式的计算方法对于一个3阶方阵A=[a_{ij}]，其行列式的计算方法为：det(A) = a_{11} * a_{22} * a_{33} + a_{12} * a_{23} * a_{31} + a_{13} * a_{21} * a_{32} - a_{13} * a_{22} * a_{31} - a_{12} * a_{21} * a_{33} - a_{11} * a_{23} * a_{32}。
对于更高阶的行列式，其计算方法可以通过递推的方式得到。
行列式的计算方法较为繁琐，但是对于线性代数的研究和应用起着重要的作用。
四、行列式的性质1. 行列式的值与矩阵的行列有关，与矩阵的元素排列顺序有关。
行列式的值随着矩阵元素的变化而变化。
2. 行列式的值可以为0，也可以为正数或负数。
当行列式的值为0时，表示矩阵的行或列之间存在一定的相关性，线性无关性受到限制。
3. 行列式的值可以用于判断矩阵的可逆性。
当行列式的值不为0时，矩阵是可逆的；当行列式的值为0时，矩阵是不可逆的。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
八大类型行列式及其解法
八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。
接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。
二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。
对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。
三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。
对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。
五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。
对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。
对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。
七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。
对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。
八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。
对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。
行列式的计算技巧总结
行列式的计算技巧总结行列式是线性代数中的重要概念，它在计算中有着广泛的应用，如矩阵求逆、解线性方程组、判断矩阵的线性无关性等。
行列式的计算可以通过展开定理、性质和转置等多种方法进行。
下面是行列式计算的一些常见技巧总结。
1.行列式的定义和性质行列式是一个标量，用来描述一个矩阵的一些特性。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或∆。
行列式具有以下性质：(1) det(A) = det(A^T) //行列互换，行列式不变(2) det(A·B) = det(A)·det(B) //两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积(3) 若矩阵A的其中一行（列）全为0，则det(A) = 0(4) 若矩阵A的两行（列）相同，则det(A) = 0(5) 若矩阵A的其中一行（列）成比例，即全部为c倍关系，则det(A) = c^n·det(A')(6) 若矩阵A的其中一行（列）都是两个矩阵B和C对应行（列）的和，则det(A) = det(B) + det(C)2.二阶和三阶行列式的计算二阶行列式的计算可以直接进行运算，即ad-bc。
三阶行列式的计算可以通过对角线和副对角线元素的乘积之和减去反对角线和主对角线元素的乘积之和，即a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)。
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是矩阵A的元素。
3.行列式的展开行列式的展开定理是行列式计算的重要工具。
对于n阶行列式，可以通过对任意一行（列）展开来计算行列式的值。
展开的时候，可以选择展开到其他行（列）上，也可以选择展开到其他元素，具体选择哪一行（列）或元素展开要根据实际情况决定。
展开后的行列式可以继续进行展开，直到变为二阶行列式，然后通过二阶行列式的计算结果反推回原行列式。
4.行列式的转置行列式的转置是行列式计算的另一个常用方法。
对于n阶行列式A，可以将其转置为A^T，然后利用性质(1) det(A) = det(A^T)进行计算。
行列式的计算技巧窍门情况总结
行列式的计算技巧窍门情况总结行列式是线性代数中重要的概念之一，它在解决线性方程组、矩阵的逆等问题中起着关键作用。
本文将总结行列式的计算技巧和窍门，帮助读者更好地掌握行列式的计算方法。
1.定义行列式是一个方阵所对应的一个标量值。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或者D(A)。
对于2阶和3阶方阵，行列式的计算较为简单，可以直接应用定义进行计算。
例如对于2阶方阵A：abcd对于3阶方阵A：abcdefghidet(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh。
2.初等变换法初等变换法是一种常用的计算行列式的方法。
初等变换指的是对行列式的行（或列）进行以下操作：①互换两行（列）；②其中一行（列）与其它行（列）相加（或相减，可取加减系数为1和-1）；③其中一行（列）乘以一个非零常数。
这些操作不改变行列式的值。
通过使用初等变换，可以将行列式转化为更简单的形式，从而更容易计算。
例如，在计算3阶行列式时，我们可以使用初等变换将行列式化为上三角形式，这样计算起来会更加简便。
3.拆分法则行列式有一个重要的性质，即它是线性的。
也就是说，如果将一个方阵的其中一行（列）按一定的方式进行拆分并相加（或相减），则行列式的值不变。
这个性质对于简化行列式的计算非常有帮助。
例如，在计算3阶行列式时，可以选择将第一列按照一定方式进行拆分，然后相加或相减。
这样可以将行列式化简为两个2阶行列式的形式，从而更容易计算。
4.分块矩阵法对于大规模的方阵，计算行列式将变得较为复杂。
分块矩阵法是一种较为高效的计算行列式的方法。
分块矩阵法的基本思想是将一个大的方阵分割为若干个小的方阵，并利用分块矩阵的性质进行计算。
这样可以将复杂的计算问题化简为对小方阵的计算问题，从而降低了计算的难度和复杂度。
5.逆序数法逆序数法是一种计算行列式的方法，它利用了逆序数和奇偶性的关系。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
【线性代数】七、矩阵的行列式
【线性代数】七、矩阵的行列式任何一本书上对行列式的引入都会让人很头疼，这主要是因为行列式关联了太多的性质，从任何一个性质入手定义行列式，最终都会得到等价的结果，但要证明这些性质之间千丝万缕的联系，用到的方法却很麻烦，有的时候会显得天马行空。
既然我们是从矩阵作为线性变换开始引入线性代数的概念，现在就从一类特殊的矩阵：可逆方阵（它是到\mathbb{R}^{n}自身的单射、满射）开始，介绍行列式的性质，并且不强调性质之间的证明，希望读者能将行列式作为一种工具应用。
一阶方阵是一个数a_{1,1}，其行列式就是它本身，如果一阶方阵可逆，即存在\dfrac{1}{a_{1,1}}，其充要条件是a_{1,1}\ne 0。
对二阶矩阵A=(a_{i,j})_{2\times 2}而言，如果它可逆，即可以通过初等行变换将其变为行阶梯形矩阵，我们做如下的变换，将第二行乘以a_{1,1}，再用第一行的-a_{2,1}倍加，有：\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} &a_{2,2}\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} \\0 & a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\end{bmatrix},\\如果A可逆，那么它有两个主元，因此a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}\ne 0，我们就定义这一主元项为二阶方阵A的行列式。
在上面的过程中，我们的思路是，用行列式作为主元位置，使得行列式为0能反映矩阵不可逆。
推广到三阶，对A=(a_{i,j})_{3\times 3}作同样的变换，有\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\a_{3,1} & a_{3,2} &a_{3,3}\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}a_{1,1} &a_{1,2} & a_{1,3} \\0 & a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1} & a_{1,1}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,1} \\0 & a_{1,1} a_{3,2}-a_{1,2}a_{3,1} & a_{1,1}a_{3,3}-a_{1,3}a_{3,1}\end{bmatrix}.\\为得到第三行的主元位置，就要将第三行乘以a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}，再用-(a_{1,1}a_{3,2}-a_{1,2}a_{3,1})倍加，得到的结果中，第三项将非常冗长，为\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\0 &a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1} & a_{1,3}a_{2,3}-a_{1,3}a_{2,1} \\0 & 0 & \Delta\end{bmatrix},\\这里\begin{aligned}\Delta&=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a _{2,1}a_{3,2}\\&\qquad -a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}.\end{aligned}\\我们把这个式子定义为三阶方阵A的行列式，如果它非零，则A可逆。
行列式矩阵计算
行列式矩阵计算在线性代数中，行列式矩阵计算是一个重要且基础的概念。
行列式是一个矩阵的特征值，它代表了一个矩阵的一些重要性质，比如面积、体积、方程组的解等等。
本文将带您深入了解行列式矩阵计算的概念、性质和计算方法。
首先，让我们来了解一下行列式的定义。
一个二阶矩阵A = [a₁ b₁; a₂ b₂]的行列式表示为 |A| = a₁b₂ - b₁a₂。
这个定义可以简单解释为，行列式是由矩阵的元素按照一定规律相乘后的差值。
对于更高阶的矩阵，行列式的计算涉及到更多的元素和操作。
行列式有一些重要的性质。
例如，如果一个矩阵的两行或两列完全相同，那么它的行列式值将为零。
这是因为在计算过程中，相同的元素相乘结果为零。
行列式还遵循一系列的运算规则。
我们可以通过行列式的性质和运算规则来简化计算过程。
例如，行列式的转置等于原行列式的值；两行（列）互换，行列式的值变号；某一行（列）乘以一个常数，行列式的值也要乘以该常数。
为了更好地理解行列式的计算，让我们来看一个例子。
假设有一个3x3的矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，我们要计算它的行列式值。
根据定义，我们可以将行列式的计算拆分为每个元素乘积的和。
在这个例子中，行列式的计算为：|A| = 1*(5*9 - 6*8) - 2*(4*9 - 6*7) + 3*(4*8 - 5*7)。
通过展开计算，我们可以得到行列式的结果。
行列式在解决方程组中也起着重要的作用。
对于一个方程组Ax = b，其中A是一个系数矩阵，x是未知向量，b是右侧常数向量。
如果A 的行列式不为零，那么方程组存在唯一解。
而如果A的行列式为零，则可能存在无解或者无穷解。
因此，通过计算行列式，我们可以判断一个方程组是否有解以及解的情况。
除了基本的行列式计算，还有一些高级的技巧可以帮助我们更快地求解行列式。
例如，高斯消元法可以将矩阵通过一系列的行变换转化为上（或下）三角形矩阵，从而可以直接读出行列式的值而无需展开计算。
矩阵行列式计算
矩阵行列式计算矩阵行列式是线性代数中的重要概念之一，它在求解线性方程组和矩阵运算中有广泛的应用。
本文将对矩阵行列式的概念和计算方法进行详细介绍，并探讨其在实际问题中的具体应用。
首先，我们来了解矩阵行列式的定义。
给定一个n×n的矩阵A=[aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，则其行列式记作det(A)或|A|。
对于2×2矩阵，行列式的计算公式为：det(A)=a11*a22-a12*a21。
而对于更高阶的矩阵，可以使用行列式的余子式和代数余子式进行计算。
接下来，我们将详细介绍矩阵行列式的计算方法。
对于3×3矩阵A=[aij]，可以使用代数余子式来计算行列式。
首先，我们计算矩阵A的代数余子式，记作Aij=(-1)^(i+j)Mij，其中Mij是去掉矩阵A的第i行和第j列后形成的2×2矩阵的行列式。
然后，我们可以通过det(A)=a11A11+a12A12+a13A13来计算矩阵A的行列式。
对于更高阶的矩阵，我们可以将其转化为较低阶矩阵的行列式来计算。
例如，对于4×4矩阵A，可以将其转化为3×3矩阵的形式：det(A)=a11A11-a12A12+a13A13-a14A14。
其中A11是去掉矩阵A的第1行和第1列后形成的3×3矩阵的行列式，A12是去掉矩阵A的第1行和第2列后形成的3×3矩阵的行列式，以此类推。
矩阵行列式在线性方程组的求解中起着重要的作用。
对于一个n元线性方程组Ax=b，其中A是一个n×n的矩阵，x和b是n维列向量。
我们可以通过计算矩阵A的行列式来判断方程组是否有解以及解的唯一性。
具体来说，当det(A)≠0时，方程组有唯一解。
当det(A)=0时，方程组可能有无穷多解或者无解。
此外，矩阵行列式还可以用于计算矩阵的逆。
给定一个可逆矩阵A （即det(A)≠0），我们可以使用伴随矩阵的方法来计算A的逆矩阵。
No.1 线性代数重点难点考点 矩阵与行列式
A 可逆的充要条件 A ≠ 0 凡
5
求逆矩
的方法 矩 ,且 A ≠ 0 ,则 A
−1
伴随矩
法 设 A是n
=
1 * A , A
中伴随矩
A* 定
A11 A * A = 12 ⋮ A1n
6 克拉默法则
A21 ⋯ A22 ⋮ A2 n
An1 ⋯ An 2 ⋱ ⋮ ⋯ Ann
对 矩
, 则满足
aij = a ji
(i, j = 1, 2,⋯ , n) .
n
方 ,
元素以 对角线 对 轴对应元素 互 相反数, 则
A
反对
a11 a21 矩 ,即若 A = ⋮ an1
若A
⋯ a1n ⋯ a2 n ⋱ ⋮ ⋯ ann ⋯ a1n ⋯ a2n ⋱ ⋮ ⋯ a nn
0
⋯
0
det A =
a21 a22 ⋯ 0 = a11a22 ⋯ ann ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann a11 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n = a11a22 ⋯ ann ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ ann
角形行列式
det A =
0 ⋮ 0
工
行列式的性质
性质 1凡1 行列式 它的转置行列式相等,即 (det A) T = det A 性质 1凡工 n 行列式对任意一行按 式展开, 值相等,即
k =1
矩 记 方
的转置
设矩
A = (aij ) m×n ,把 A 的行 列互换所得到的矩
满足 A = A 的矩 方 ,则 A 的 m 次幂 A
m m −1 m
A 的转置矩 ,
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结
线性代数特殊行列式及行列式计算方法总结线性代数是现代数学的一个分支，研究向量、向量空间和线性变换等代数结构的性质与特征。
行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解线性方程组、求逆矩阵以及描述线性变换的性质等方面起到了关键作用。
在这篇文章中，我将总结特殊行列式的特点以及行列式的计算方法。
一、特殊行列式1.恒等行列式：表示为，I，其中I是一个n阶单位矩阵。
恒等行列式的值始终为12.零行列式：当矩阵的其中一行（列）全为0时，行列式的值为0。
3.对角行列式：当一个矩阵只有两条对角线上的元素不为0，其他元素都为0时，该行列式称为对角行列式。
对角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
4.正交行列式：当一个矩阵的行（列）两两正交时，该行列式称为正交行列式。
正交行列式的值为1或-15.上三角行列式和下三角行列式：当一个矩阵上方（下方）所有元素都为0时，该行列式称为上三角行列式（下三角行列式）。
上三角行列式和下三角行列式的值等于对角线上的数的乘积。
二、行列式的计算方法1.全选定理：对于一个n阶行列式，可以通过全选定理将其划分为n 个部分，每个部分都取自不同行不同列的元素。
根据全选定理，行列式的值等于每个部分的和。
2.代数余子式法：通过将行列式的每个元素都与其代数余子式相乘，并加减得到行列式的值。
代数余子式是从行列式中划去一行一列后剩下的(n-1)阶行列式。
3.列展开法：选择行或列展开，将行列式的展开式记作以第i行（列）展开为Ai，行列式的值可以表示为Ai与其对应的元素的代数余子式的乘积的和。
4.递推关系式：行列式有一个重要的性质，即当对调行（列）的位置时，行列式的值相反。
利用这一性质，可以通过多次对调行（列）将矩阵化简为上三角行列式或下三角行列式，进而求解行列式的值。
5.三角行列式：对于上三角行列式和下三角行列式，可以直接用对角线上的元素的乘积得到行列式的值。
总结：线性代数中的特殊行列式具有一些独特的特点，包括恒等行列式、零行列式、对角行列式、正交行列式以及上三角行列式和下三角行列式。
行列式的计算技巧
行列式的计算技巧行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
行列式的计算是线性代数中的重要内容之一，掌握行列式的计算技巧对于解决各类问题至关重要。
本文将介绍一些行列式的计算技巧，帮助读者更好地理解和应用行列式。
一、行列式的定义在介绍行列式的计算技巧之前，我们需要先了解行列式的定义。
对于一个n阶矩阵A=(a[i][j])，其行列式记作，A，或det(A)，定义为：A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n]-a[1][n]*a[2][n-1]*…*a[n][1]其中a[i][j]表示矩阵A中第i行第j列的元素。
二、行列式计算的基本规则1.交换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即A，=-，A其中A'表示交换了两行（列）的行列式。
2.行列的一个倍数加到另一行（列）上，不改变行列式的值，即A，=，A其中A'表示将A的其中一行（列）的k倍加到另一行（列）上的行列式。
3.如果行列式的其中一行（列）的所有元素都为0，则行列式的值为0。
三、行列式计算的技巧1.利用初等行变换求行列式的值初等行变换是指对矩阵进行以下操作：(1)交换两行(2)一行乘以非零常数(3)一行加上另一行的k倍利用初等行变换可以把一个行列式转化成上三角形或下三角形的形式。
例如，对于一个三阶矩阵，可以通过初等行变换将其转化为上三角形，此时行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
2.利用行列式的性质简化计算对于具有一定结构的矩阵，可以利用其特定的性质来简化行列式的计算。
(1)对角矩阵的行列式的值等于对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(2)三角矩阵的行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即A，=a[1][1]*a[2][2]*…*a[n][n(3)如果行列式的其中一行（列）的所有元素都相同，则行列式的值等于该行（列）的任一元素乘以n-1次该元素的幂，即A，=a[1][1]^(n-1)*a[2][2]^(n-1)*…*a[n][n]^(n-13.利用行列式的性质化简计算行列式具有一些性质，利用这些性质可以将行列式的计算简化。
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法
矩阵的行列式行列式的定义性质与计算方法矩阵是线性代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
矩阵的行列式是矩阵理论中的一个重要概念，它具有定义性质与计算方法，对于矩阵的性质和运算具有重要的指导作用。
一、行列式的定义对于一个n阶方阵A = [aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，那么行列式的定义如下：det(A) = Σ(±a1j A1j)，其中±表示正负号，A1j表示aij划去第i行第j列后的(n-1)阶行列式。
二、行列式的性质1. 如果矩阵A的某一行（列）全为零，则行列式det(A) = 0。
2. 交换矩阵A的两行（列）的位置，行列式det(A)的值不变。
3. 如果矩阵A的某一行（列）所有元素都乘以k倍（k为常数），则行列式det(A)乘以k。
4. 如果矩阵A的某一行（列）元素表示为两个数之和，例如aij =bij + cij，则行列式可以分解为两个行列式之和，即det(A) = det(A') +det(A")。
5. 如果矩阵A的两行（列）元素一一对应相等，行列式det(A) = 0。
三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算特别简单，可以直接应用定义进行计算。
2. 对于n阶行列式，可以通过展开行列式的方法来进行计算。
例如，对于行列式det(A) = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中aij是A的第i行第j列的元素，A1j是(aij划去第i行第j列后的n-1)阶行列式。
可以选择任意一行或一列展开，然后在展开的基础上继续展开剩余的(n-1)阶行列式，直到得到二阶行列式进行计算。
3. 利用行列式的性质，可以通过递推的方法来计算较大阶数的行列式。
例如，使用行列式的性质进行行列变换，将矩阵转化为上（下）三角阵，此时行列式即为对角线上元素的乘积。
4. 利用行列式的性质，可以通过化简的方法来计算较大阶数的行列式。
线性代数中的矩阵行列式计算方法
线性代数中的矩阵行列式计算方法线性代数是高等数学中的一个重要分支，其研究对象是向量空间及其上线性变换。
而矩阵则是线性代数中的重要工具，它可以很好地描述向量的运算，是广泛运用的一种数学工具。
矩阵行列式是线性代数中一个重要的概念，它可以将矩阵转化为一个数。
本文将介绍矩阵行列式的计算方法。
一、定义矩阵行列式是一个数学概念，是一个方阵中每个元素形成的乘积与其它元素按一定方式组合而成的一个数值。
矩阵A的行列式通常用det(A)表示。
当矩阵为二阶矩阵时，其行列式的计算公式为：|a b|det|c d| = ad - bc其中，a、b、c、d为矩阵的四个元素。
当矩阵为三阶矩阵时，其行列式的计算公式为：|a1 b1 c1|det|a2 b2 c2| = a1*b2*c3 + b1*c2*a3 + c1*a2*b3 - a3*b2*c1 -b3*c2*a1 - c3*a2*b1其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2、a3、b3、c3为矩阵的九个元素。
二、性质矩阵行列式具有以下性质：1. 行列式的值不随行列式中行或列的顺序变化而变化。
2. 若矩阵中有一行或一列全为0，则矩阵的行列式为0。
3. 如果矩阵中有两行或两列成比例，则该矩阵的行列式为0。
4. 行列式与它的转置矩阵的行列式相等，即det(A) = det(A^T)。
5. 矩阵的行列式乘以一个数k，等于矩阵中每个元素都乘以k的行列式。
6. 矩阵的任意两行互换，行列式的值变号，即det(A) = -det(A')。
三、计算方法对于 n 阶矩阵，一般的计算方法是利用公式展开，不过这种方法在计算高阶矩阵时比较繁琐，因此可以使用其他方法来简化计算。
1. 求三阶行列式在求三阶行列式时，可以使用“对角线换方”的方法，即交换矩阵的上下两行，并将矩阵中每个元素取相反数，然后将矩阵中每个元素与其相邻的元素乘积相加，得出行列式的值。
例如，对于如下的三阶行列式：|1 2 3|det|4 5 6| =|7 8 9|我们可以将第一行和第三行交换，并将矩阵中的所有元素取相反数，得到如下的矩阵：|-1 -2 -3|det|-4 -5 -6| =|7 8 9|然后计算每个元素与相邻元素的乘积再相加，得到行列式的值：(- 1) x (5 x 9 - 6 x 8) + (2) x (4 x 9 - 6 x 7) + (- 3) x (4 x 8 - 5 x 7) = - 60。
行列式的计算技巧与方法汇总
行列式的计算技巧与方法汇总行列式是线性代数中非常重要的概念，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
本文将汇总一些行列式的计算技巧和方法，帮助读者更好地理解和运用行列式。
一、定义和符号行列式是一个数，是由方阵中的元素按照特定的规则计算而得到的。
行列式通常用两种符号表示，分别是方括号和竖线。
例如，一个3x3的矩阵A的行列式可以表示为det(A)，或者用竖线表示为，A。
二、一阶和二阶行列式的计算一阶行列式是一个1x1的矩阵，只有一个元素。
计算一阶行列式非常简单，即该元素本身。
二阶行列式是一个2x2的矩阵，如下所示：abcd计算二阶行列式的方法是将对角线上的两个元素相乘，并将结果减去另外两个元素的乘积。
即det(A) = ad - bc。
三、三阶行列式的计算三阶行列式是一个3x3的矩阵，如下所示：abcdefghi计算三阶行列式的方法是按照下面的规则计算：1.将每个元素与其相交的两个行和两个列组成的2x2矩阵的行列式相乘。
2.第一行的元素与第二行和第三行组成的2x2矩阵的行列式相乘，再加上第二行和第三行组成的2x2矩阵的行列式与符号相反。
3.将这些结果相加得到最终的行列式。
四、高阶行列式的计算对于高阶行列式，计算的方法和三阶行列式类似，也是按照逐步展开的方式计算。
五、行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1.行列互换性质：交换行的位置，行列式的值不变。
2.列列互换性质：交换列的位置，行列式的值不变。
3.行列式的倍数性质：将行的倍数乘以一个数，行列式的值也乘以这个数。
4.行列式的零行性质：如果行列式的其中一行全为0，则行列式的值为0。
5.行列式的行之和性质：如果行列式的其中一行的各元素都是两个数之和，那么行列式的值可以分拆成两个行列式之和。
6.行列式的行之差性质：如果行列式的其中一行的各元素都是两个数之差，那么行列式的值可以分拆成两个行列式之差。
利用这些性质，我们可以简化行列式的计算。
六、行列式的性质之递推关系行列式的递推关系是行列式计算的重要方法之一、具体来说，如果矩阵A的第k列元素全为0，那么det(A)可以根据矩阵A去掉第k列得到一个更小的矩阵来计算。
矩阵行列式的定义和性质
矩阵行列式的定义和性质矩阵是线性代数理论中的一个重要概念，它是由若干行和若干列组成的矩形表格。
而矩阵行列式则是矩阵理论中的又一重要概念，它不仅有着较高的实用价值，而且为进一步研究矩阵理论打下了坚实的理论基础。
本文将以矩阵行列式的定义和性质为主题，为大家深入阐述矩阵行列式的本质与重要性。
第一部分：矩阵行列式的定义首先，我们需要明确一个概念，那就是“行列式是一个数值”。
而这个数值的计算方法，就是通过矩阵的元素，按照一定规则计算得来的。
在讲矩阵行列式的计算方法之前，我们需要先阐述一种新的矩阵概念——代数余子式。
代数余子式是指将矩阵的某一行或某一列的元素删除后，剩余部分的行列式在整个矩阵中所处的位置所构成的代数数。
而行列式的计算方法，则是将矩阵的元素按照一定的排列方式，计算得出。
下面，我们来介绍一下行列式的具体计算方法。
首先，我们需要选取一个行或列，并将该行或列认定为基准线，然后将其上或下的元素分别乘以其代数余子式，并加减得到该行或列上的元素所对应的值。
通过反复迭代这个过程，我们就可以求得整个矩阵的行列式。
以上是矩阵行列式的基本定义及计算方法。
行列式的定义虽然看似简单，但这个概念的实际应用非常广泛。
接下来，我们将从多个方面来介绍矩阵行列式的性质，以更好地理解行列式对于线性代数理论的重要性。
第二部分：矩阵行列式的性质矩阵行列式有许多性质，这里我们列举部分重要性质。
性质1：行列式的值等于其转置矩阵的行列式值这一性质可以用数学公式表示为：$$ det(A) = det(A^T) $$也就是说，矩阵和其转置矩阵的行列式是相等的。
这一性质对于证明矩阵性质的正确性及简化计算具有关键作用。
性质2：交换矩阵的两行或两列，行列式的值相反这一性质也可以用数学公式表示为：$$ det(B) = -det(A)$$其中，矩阵A中，B为将其任何两行或两列进行交换后所得到的矩阵。
这一性质告诉我们，矩阵行列式与其行列元素的外部排列方式有关，从而反映出矩阵的性质。
矩阵和逆矩阵的行列式
矩阵和逆矩阵的行列式导言矩阵和逆矩阵的行列式在线性代数中扮演着重要的角色。
矩阵是数学中一种非常常见的结构，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
矩阵的行列式是对矩阵的一个数值性描述，而逆矩阵则提供了解线性方程组和矩阵运算的有力工具。
本文将全面、详细、完整地探讨矩阵和逆矩阵的行列式。
什么是矩阵的行列式？矩阵的行列式是一个数值，它可以通过一系列运算来计算得出。
行列式可以对矩阵进行一些重要的判别和求解操作。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义对于一个2阶矩阵[a b c d]其行列式的计算公式为：det(A)=ad−bc 对于一个3阶矩阵[a b c d e f gℎi]其行列式的计算公式为：det(A)=aei+bfg+cdℎ−ceg−afℎ−bdi一般地，对于一个n阶矩阵，行列式的计算可以通过求和乘积的方式进行。
行列式的计算方法有很多种，例如拉普拉斯展开、递推法和使用矩阵的伴随矩阵等。
行列式的性质行列式具有一些重要的性质，这些性质对于行列式的计算和应用非常有帮助。
1.交换行列式的两行（列），行列式的值不变，但符号会改变。
2.如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式的值为0。
3.如果一个行列式的某一行（列）的元素都是0，那么这个行列式的值为0。
4.行列式的值与其转置矩阵的值相等。
5.如果一个矩阵的某一行（列）的元素都是常数k的倍数，那么这个矩阵的行列式的值也是k的倍数。
什么是逆矩阵？逆矩阵是一种特殊的矩阵，它与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，特别是在解线性方程组中。
逆矩阵的定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I其中，I为n阶单位矩阵，则称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，简称A的逆，记作A−1。
逆矩阵的存在性一个矩阵是否存在逆矩阵取决于它的行列式是否为0。
如果一个矩阵的行列式为0，则它不具有逆矩阵。
矩阵分块求行列式
矩阵分块求行列式摘要：一、矩阵分块的概念及应用二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法2.高阶矩阵的分块求行列式方法3.分块矩阵行列式的性质三、应用实例与注意事项正文：一、矩阵分块的概念及应用在矩阵运算中，我们常常会遇到一些复杂的矩阵，难以直接求得其行列式。
此时，我们可以通过矩阵分块的方法，将复杂的矩阵分解为若干个较小的矩阵，从而简化问题。
矩阵分块就是将一个矩阵按照一定的规则划分为若干个矩阵块，这些矩阵块可以是连续的行、列或元素。
矩阵分块的目的是为了便于计算矩阵的行列式，同时它也是矩阵运算中一种重要的技巧。
二、分块矩阵的行列式求法1.三阶矩阵的分块求行列式方法对于三阶矩阵，我们可以通过如下方法进行分块求行列式：设矩阵A 为：```B CD EF G```我们可以将其分解为两个二阶矩阵的行列式之积：```A = (B C)(F G) - (D E)(F G)```其中，(B C)(F G) 表示矩阵B 和C 的行列式之积，(D E)(F G) 表示矩阵D 和E 的行列式之积。
2.高阶矩阵的分块求行列式方法对于高阶矩阵，我们可以采用类似的方法进行分块求行列式。
假设矩阵A 是一个m 阶矩阵，我们可以将其分解为如下形式：```A = (A11 A12...A1n)(A21 A22...A2n)...(An1 An2...Ann)```其中，Aij 表示矩阵A 的第i 行第j 列元素。
我们可以将矩阵A 分解为如下形式：```A = (A11 A21...An1) (A12 A22...An2)...(A1n A2n...Ann)```然后，我们可以将每一行或每一列的矩阵分解为二阶矩阵，从而求得原矩阵A 的行列式。
3.分块矩阵行列式的性质在分块矩阵求行列式的过程中，我们需要注意一些性质。
首先，如果分块之后至少有一块为零矩阵，那么原矩阵的行列式为零。
其次，分块矩阵的行列式等于各个分块矩阵行列式的乘积。
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第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如图1所示，一般地，将连续的正整数1，2，3，…n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方，记n阶幻方的对角线上数的和为N，如图1的幻方记为N3=15，那么N12的值为（）A．869 B．870 C．871 D．875第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、解答题2．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．3．已知矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 4．选修4-2：矩阵与变换已知直线:23l x y -=，若矩阵13a A b -⎛⎫=⎪⎝⎭,a b R ∈所对应的变换σ把直线l 变换为它自身。
（Ⅰ）求矩阵A ； （Ⅱ）求矩阵A 的逆矩阵.5．求曲线1x y +=在矩阵M 10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．6．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321e 并有特征值12-=λ及属于特征值－1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112e ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11α（Ⅰ ）求矩阵M ；（Ⅱ ）求5M αr．7．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 满足：i i i l =M αα，其中(1,2)i i l =是互不相等的实常数，(1,2)i i =α，是非零的平面列向量，11l =，211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求矩阵M .8．变换T 1是逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝.（1）求点P （2,1）在T 1作用下的点P ′的坐标；（2）求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．9．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．10．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换. (1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量.(2)求逆矩阵M -1以及椭圆+=1在M -1的作用下的新曲线的方程.11．．已知矩阵A ＝11a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.设向量β＝74⎡⎤⎢⎥⎣⎦，试计算A 5β的值．12．二阶矩阵M 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量e=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4)．（1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量．13．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．将边长分别为1、2、3、…、n 、n+1、…（）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为．记数列满足,（1）求的表达式；（2）写出的值，并求数列的通项公式；（3）记，若不等式有解，求的取值范围. 14．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14*n ∈N ()f n {}n a 11a =()+1(),,n n f n n a f a n ⎧⎪=⎨⎪⎩当为奇数当为偶数()f n 23,a a {}n a ()n n b a s s =+∈R 21111000nn n n n b b b b b ++++>s分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3-46-7M ，向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=56ξ． (I)求矩阵M 的特征值1λ、2λ和特征向量12ξξru u r和；(II)求ξ6M 的值．（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ，为参数x y ααα=⎧⎨=⎩．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）已知：a 、b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值.15．附加题) 已知矩阵2121A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1201B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）计算AB ；（2）若矩阵B 把直线:20,l x y l l ''++=变为直线求直线的方程。
16．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα． 17．（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=111a A ，其中∈a R ，若点P （1，1）在矩阵A 的变换下得到点P ′（0，－3），求矩阵A 的特征值及特征向量． 18．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知向量βu r =31⎛⎫⎪⎝⎭，变换T 的矩阵为A =11b c ⎛⎫⎪⎝⎭，平面上的点P （1，1）在变换T 作用下得到点P′（3，3），求A 4βu r.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程直线12()32t x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数与圆22x y a +=（a >0）相交于A 、B 两点，设P （－1，0），且|PA |:|PB |=1:2，求实数a 的值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲对于x ∈R ，不等式|x －1|+|x －2|≥a 2+b 2恒成立，试求2a +b 的最大值。
19．在非负数构成的39⨯数表111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，， 使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，． 求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．20．（本小题15分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （0，2），B （1，1），C （1，3）．若△ABC 在一个切变变换T 作用下变为△A 1B 1C 1，其中B （1，1）在变换T 作用下变为点B 1（1，-1）．（1）求切变变换T 所对应的矩阵M ；（2）将△A 1B 1C 1绕原点按顺时针方向旋转45°后得到△A 2B 2C 2．求B 1变化后的对应点B 2的坐标．，则实数x = ． 22，则实数x = ．参考答案1．B 【解析】2【解析】试题分析：运用矩阵的运算法则及特征向量的概念求解即可．试题解析：解：由题意：11Ae e λ=u v u v ，∴113211a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，1213,221a a A ⎡⎤⇒+=⇒=⇒=⎢⎥⎣⎦，考点：1、矩阵及逆矩阵的概念及求解方法；2、矩阵的特征向量及有关概念和求解方法． 3．11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】，再利用矩阵运算得11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，11203A B ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 考点：逆矩阵 4．（Ⅰ）1143A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（Ⅱ）13141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）通过设直线23x y -=上任意一点P x y （，），利用其在A 的作用下变为x y ''（，），可用x y 、表示出x y ''、，代入23x y '-'=，计算即可；（Ⅱ）直接计算 试题解析：（Ⅰ） 设),(y x P 为直线32=-y x 上任意一点其在A 的作用下变为),(y x ''则133a x x ay x b y bx y y '-⎛⎛-+⎛⎛⎫⎫⎫⎫==⎪⎪⎪⎪'+⎝⎭⎭⎭⎭⎝⎝⎝3x x ayy bx y'=-+⎧⇒⎨'=+⎩ 代入23x y ''-=得：3)32()2(=-++-y a x b 其与32=-y x 完全一样得⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=-=--1413222a b a b 则矩阵1143A -⎛⎫=⎪-⎝⎭M 的逆矩阵为13141A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭．考点：矩阵，逆矩阵5【解析】试题分析：再根据曲线形状：菱形，计算其面积：试题解析：设点00(,)x y为曲线得到的点为(,)x y ''，3分即00,3,x x y y '=⎧⎨'=⎩ 5分所以作用下得 8分10分 考点：矩阵变换6．（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11． 【解析】试题分析：（1）利用矩阵的运算法则进行求解；（2）利用矩阵的乘法法则进行求解．试题解析：（Ⅰ）设M =a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a b 228 4c d 3312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2a 3b 82c 3d 12+=⎧⎨+=⎩① 又a b 111 1c d 111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（），∴a b 1c d 1-=-⎧⎨-=⎩② 由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M =12.32⎛⎫⎪⎝⎭4分（Ⅱ）易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11)1(320α，∴561(1)1Mαα-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭rr ．考点：矩阵的运算． 7．0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 【解析】试题分析：所以1ab =，又2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以22,.a b l l =⎧⎨=⎩，所以221ab l ==．21l =-，1a b ==-试题解析：由题意，1l ，2l 是方程因为11l =，所以1ab =．① 2分 又因为222l =M αα，所以2011011a b l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而22,.a b l l =⎧⎨=⎩ 5分所以221ab l ==．因为12l l ≠，所以21l =-．从而1a b ==-． 8分故矩阵0110-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . 10分 考点：矩阵运算8．（1）P′（－1,2） （2）y －x ＝2y【解析】试题分析：掌握矩阵运算以及矩阵变换的规律,直接根据矩阵乘法的定义.矩阵的运算难点是乘法运算，解题的关键是熟悉乘法法则,并且要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点.对于矩阵乘法，应注意几何意义在解题中的应用．还要注意矩阵的知识并不是孤立存在的，解题时应该注意矩阵与其他知识的有机结合．另对运算律的灵活运用将有助于我们简化运算，但要十分注意的是，有些运算（如交换律和消去律）在矩阵的乘法运算中并不成立．用矩阵解二元一次方程组，关键是把方程组转化为矩阵，而运算中求矩阵的逆是重要的环节，在求逆之前首先必须熟悉公式再进行应用．试题解析：（1）所以点P （2,1）在1M 作用下的点P′的坐标是P′（－1,2）．（2），设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M ＝，也就是⎩⎨⎧==-y x x y x 000，即⎩⎨⎧-==xy y yx 00，所以，所求曲线的方程是y －x ＝2y .考点：矩阵变换的有关内容.9．（1）1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）x ＋y ＋2＝0【解析】(1)设M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d ⎧⎨⎩－＝－－＝－ 且2022a b c d ⎧⎨⎩－＋＝－＋＝－解得12a b ⎧⎨⎩＝＝和34c d =⎧⎨=⎩所以M ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)因为''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝234x y x y +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋y ＋2＝0，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.10．(1) 特征值为2和3,对应的特征向量分别为0t ⎛⎫⎪⎝⎭及0t ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2) M -1=102103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭x 2+y 2=1【解析】(1)由条件得矩阵M=2003⎛⎫⎪⎝⎭, 它的特征值为2和3,对应的特征向量分别为0t ⎛⎫⎪⎝⎭及0t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)M -1=102103⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,椭圆+=1在M -1的作用下的新曲线的方程为x 2+y 2=1. 11．435339⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题设条件可得，11a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦21⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝221⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即2422a b +=⎧⎨-+=⎩解得24a b =⎧⎨=⎩得矩阵A ＝1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝1214λλ--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝21⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当λ2＝3时，得α2＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由β＝mα1＋nα2，得274m n m n +=⎧⎨+=⎩得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(51λα1)＋52λα2＝3×2521⎡⎤⎢⎥⎣⎦＋3511⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝435339⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．（1）42;82⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（2）4-，14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）由于二阶矩阵M 有特征值6λ=，其对应的一个特征向量e=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4).所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.（2）求矩阵M 的特征值λ，根据特征多项式即()0f λ=，可求得λ的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量. 试题解析：（1）解：（1）设M=a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=611⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=66⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 即a+b=c+d=6． 由a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭12⎡⎤⎢⎥⎣⎦=84⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2824a b c d +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，从而a+2b=8，c+2d=4．由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2， 所以M=42;82⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（2）由（1）知矩阵M 的特征多项式为 令()0f λ=，得矩阵M 的特征值为6与4-． 当4λ=-时， (4)20408(2)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-++=⎩故矩阵M的属于另一个特征值4-的一个特征向量为14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．考点：1.矩阵的变换.2.特征向量特征值的求法.3.线性问题模型化.13．解：（1）由题意，第1个阴影部分图形的面积为，第2个阴影部分图形的面积为，……，第n 个阴影部分图形的面积为.（2分）故 （4分）（2），，，当n 为偶数时，， （3分）2221-2243-()222(21)n n --()()()22222221432(21)()n n f n n⎡⎤-+-+--⎣⎦=1234(21)221n nn n+++++-+==+L 11a =2(1)3a f ==32()2317a f a ==⨯+=(1)21n a f n n =-=-当n 为大于1的奇数时，，故． （5分）（3）由（2）知．又． （ⅰ）当n=1时，即，于是 （ⅱ）当n 为偶数时，即 于是，． （3分） （ⅲ）当n 为大于1的奇数时，即 于是，． （5分） 综上所述：． （7分） 【解析】略 14．（1）解： （I ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3-46-7M 的特征多项式为令()0f λ=，得12,3λλ==1，22,3λλ== ……………………………………………………2分 当12,3λλ==1时，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111ξ；当23λ=时，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232ξ ……………………………4分 (II)由21ξξξn m +=得⎩⎨⎧=+=+5263n m n m ，得3,1m n == ……………………………5分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=1460219033262161216611ξλξλξξξ）（）（M M …………………………7分[]11()2122(1)1145n n n a f a a n n --==+=--+=-1,121,45,1n n a n n n n =⎧⎪=-⎨⎪-⎩当当为偶数当为大于的奇数1,121,45,1n s n b n s n n s n +=⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩当当为偶数当为大于的奇数21111000nn n n n b b b b b ++++>11212()0n n n n n n n b b b b b b b +++++⇔-=->213()(3)(6)0b b b s -=+->303s s +<⇒<-[]()()4(1)5(21)2(2)141(4)0n s n s n s n s +-+-+-+-+=-+->⎡⎤⎣⎦g 410n s -+<()max 426s n <-+=-[]()()()()2(1)1454(2)52180n s n s n s n s +-+⋅-+-+-+=++⋅->⎡⎤⎣⎦210n s ++<max (21)7s n <--=-3s <-（2）解：（Ⅰ）()πcos 224ρθ-=化简为cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为4x y +=； ……………………………………………3分（Ⅱ）设点P 的坐标为()2cos sin ，αα， 得P 到直线l 的距离2cos sin 42d αα+-=， ………………………………………5分即()5sin 42d αϕ+-=，其中12cos ,sin 55ϕϕ== ．当()sin 1αϕ+=-时，max 10222d =+． …………………………………………7分 （3）m 解：（Ⅰ）+∈R c b a ,,，ks5u2222222:()(111)(111)a b c a b c ++++≥⋅+⋅+⋅根据柯西不等式有，22221(),.3a b c a b c a b c ++≥++==即当且时等式成立 ………………………4分（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a 、b 、c ，222213,()3,3a b c l a b c a b c ++==++≥++=故有其对角线长1 3.a b c ===当且仅当时对角线长取得最小值 ………………………7分【解析】 15．【解析】16．矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-；1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦【解析】矩阵A 的特征多项式为 ()f λ=3101λλ--+=(3)(1)λλ-+ ……………………………2分 令()f λ=0，得到矩阵A 的特征值为λ1=3，λ2=1-． ………………4分 当λ1=3时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得333x y x y y +=⎧⎨-=⎩,，∴0y =，取1x =，得到属于特征值3的一个特征向量1α=10⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………7分当λ2=1-时，由3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=-x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得3x y x y y +=-⎧⎨-=-⎩,， 取1x =，则4y =-，得到属于特征值1-的一个特征向量2α=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ (10)分 17．3，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21 ；-1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡21 【解析】由题意得:4-=a …………2分特征值3对应特征向量为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21…………5分特征值-1对应特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21…………7分18．（Ⅰ）163161⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅱ）a =3.（Ⅲ）(2a +b )max =5.【解析】（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。