纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模

纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模作者：董晓红康平

来源：《科技风》2020年第28期

摘要：本文假设纸飞机比赛可以调整配重来改变重心，例如可以使用少量胶带粘贴在机身上，调整重心的前后位置，同时需要考虑纸飞机滞空时间尽可能长，设计最佳重心位置和出手角度。

关键词：纸飞机;重心位置;数学建模

1 问题分析

假设纸飞机翼面为精确平面，且比赛需要可以调整配重来改变重心，研究重心的位置对纸飞机的影响，以及纸飞机稳定性、受力，随重心位置的改变情况，从而得重心的最佳位置。

2 问题的求解

2.1 重心对纸飞机的影响

若纸飞机的重心偏前：纸飞机前部就会向下俯冲，飞行距离就会减小，提前向下坠落;若纸飞机的重心偏后：纸飞机加速上升，重力增大，阻力也增大，纸飞机会快速坠落。因此在在纸飞机的折叠过程中，应尽可能将重心放置最佳升力点的位置上，这样才能维持飞机飞行的稳定性和飞行时间。

2.2 升力来源

升力来源为空气对机翼反作用力的向上分力，若分力在机翼表面均匀分布，则例如三角形机翼，升力的合力应该在飞机机翼的几何重心位置产生作用力。

2.3 机翼面积的影响

若增大纸飞机的机翼面积，则空气对机翼的反作用力增大，升力及阻力都增大。

若机翼的水平夹角小于45°，空气对机翼的力量影响较大，仰角大于45°，影响阻力增大。

机翼面积增大，升力会变大，同时单位面积的重量越小，重量的增量越小。相对因素变小导致惯性变小，向前的动力也会受阻力影响而变小。

2.4 纸飞机的飞行距离与抛出角度的关系

当θ=45°此时纸飞机的升力达到最大值，使纸飞机从最高处向下滑翔（此时不考虑其他因素对纸飞机影响），而使飞机达到最远的飞行距离。

先制作了几组飞机，每一组尽可能的折出多种不同的形状或结构的纸飞机，进行实验，将测量的数据记录下来。然后改进、调整纸飞机，如将纸飞机增大或增重，做第二次试验。实验结果表明：保持第一组飞机其他量不变，体积增大，飞行速度明显减小，飞行距离也大大缩短;其他因素不变，增大质量会使飞行速度加大，飞行距离更远;整体上飞行速度略有减慢但飞行距离略有增加。

2.5 问题的求解

2.5.1 常见纸飞机类型分析

简易型：机身长度约为29.6cm;机翼翼展约为14.1cm;重心位置约为距机头13～14cm;无襟翼、翼梢小翼和尾翼;机翼剖面为上凸形的弧线，翼身合一，可提升升力，但稳定性差;抛出方式影响飞机的稳定性，高速投掷时，飞行距离较大、方向性较准确。

传统型：机身长度约为18.1cm，机翼翼展约为15.3cm;重心位置约为距机头6～7cm;无襟翼、翼梢小翼和尾翼;翼身合一，机翼剖面为下凹形的弧线，比简易型重心前移。

平稳性强于简易型，但会出现上扬和回旋，投掷初速度过大，则出现明显回旋，稳定性较差，投掷时小力抛出才能保持相对平稳飞行。

DC-03型：机身长度约为22.3cm，机翼翼展约为151cm，重心位置约为距机头5～5.5cm;无襟翼，有翼梢小翼和尾翼，翼身部分合一，但机尾部分分离;在传统型的基础上，重心前移更多，同时机尾向后延伸，且幅度较大;稳定性比前两种强，但由于重心靠前，不易上扬;投掷方式对稳定性影响不大;尾翼会受投掷速度影响，若拆除尾翼，会增强流畅性和稳定性，不同速度飞行表现俱佳。

2.5.2 纸飞机的轴线

（1）纵轴：由机鼻至机尾的轴线，称为“纵轴”Longitudinal Axis。飞机绕纵轴转动，控制飞机左右转动。

（2）横轴：由机两翼连接、并贯穿重心的轴线，称为“侧轴”或“横轴”Lateral Axis。飞机绕横轴转动，控制飞机下俯或上扬。

（3）立轴：由上至下、贯穿重心的轴线，称为“立轴”“法线轴”或“垂直轴”Normal Axis。飞机绕立轴转动，控制飞机方向。

2.5.3 作用效果

起飞阶段：由于起飞时飞机由手部抛出，起到一定固定作用，绕纵轴的横向翻滚，可以忽略不计。而起飞时，若手部施力点位置不当，易引起绕橫轴的俯仰转动与绕立轴的方向偏转。若施力点处于重心后，纸飞机会因为力矩失衡而翻滚。

飞行阶段：将以上三种机型进行对比实验，结果显示，若纸飞机重心靠后，力矩失衡，纸飞机会发生下俯或上扬。同时很微小的方向偏转，也会使得纸飞机一侧的气流变大，从而机翼升力变大，另一侧气流减小，同时升力减小，纸飞机也容易产生明显翻滚。

机身平均高度/斜度：若折叠纸飞机的纸张大小恒定，调节纸飞机的机身高度也就调整了机翼的大小与展弦比，同时也就改变了升力的大小，使飞机能够力矩平衡。

纸飞机的机翼，用于产生一部分升力来抵消重力，使纸飞机能够滞空时间更长，同时若调整好重心位置与机翼配合，还能改变纸飞机的飞行姿态。

2.5.4 机翼的种类

翼梢小翼：即在机翼设计时在翼梢引入了小的垂直隆起，机翼上、下翼面的气流窜动，会产生强漩涡气流，从机翼往后延伸较长的距离，同时带走了能量，增加诱导阻力。翼梢小翼可以削弱这类阻力，使纸飞机飞的更远。

襟翼：机翼边缘部分的一种翼面形可动装置，襟翼可装在机翼后缘或前缘，可向下偏转或向后（前）滑动，其基本效用是在飞行中增加升力，也增加阻力。依据所安装部位和具体作用的不同，襟翼可分为后缘襟翼、前缘襟翼。但纸飞机本身无动力，因此忽略不计。

尾翼：主要用于保持纸飞机的平衡，防止飞机打转，增强纸飞机的滑翔力，保持空气流动。

垂直尾翼：顺气流直立于飞机尾部，以保持航向平衡、稳定和航向操纵用的翼面。

水平尾翼：主要起减少纸飞机纵向震动和俯仰操纵的作用，来减少阻力，折出水平尾翼后纸飞机重心会向后移。

机翼的上反角、后掠翼：是指机翼安装时，与水平面之间的夹角。也就是机翼向上翘。若飞机受气流影响偏离了平衡位置，向一侧倾斜（也就是开始带坡度），飞机升力也随之倾斜，并产生横向的水平分量。该水平分量起到向心力作用，促使飞机在水平面内开始做圆周运动。