立体图形中的最短线问题

立体图形中的最短线问题

立体图形中的最短线问题，大都直接来源于生活．这类问题集知识性、实践性和趣味性于一“题”，因而倍受中考命题者的青睐．在近几年考题中频频出现，现选取几例分析如下，供同学们参考．

一、长方体上的最最短线问题

例１：如图1是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的A （长的四等份点）处有一只壁虎，B （宽的三等份点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m ．

分析与解：壁虎从A 处爬到B 处，所有可能最短路径有三种：①→③；②→③；①→④．

（1）从①→③，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—①所示，由题意知AC =10m ，

BC =5m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得555102

2=+=AB （m ）； （2）从②→③，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—②所示，由题意知AC =11m ，

BC =4m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得1374112

2=+=AB （m ）； （3）从①→④，展开使A 、B 两点同在一个平面内，如图2—③所示，由题意知AC =6m ，

BC =9 m ．由勾股定理222BC AC AB +=，得1339622=+=AB （m ）．

综合上述（1）、（2）、（3）可得，壁虎爬到蚊子处的最短距离为133 m ．

B

图2—② A C

图1—③

二、正方体上的最短线问题

例２：如图2，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm ，顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计） 1

（1）假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，如图3，在盒 子的内部我们先取棱BB 1中点E ，再连结AE 、E C 1，昆虫 乙如果沿路径A →E →C 1爬行，那么可以在最短的时间内捕 捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图3中画出另一条 路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短 A

B 的时间内捕捉到昆虫甲；（2）假设昆虫甲从顶点

C 1以1 cm∕s 的速度在盒

子的 图2

内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2 cm∕s 的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1s ）

解：（1）可取DD 1中点E 1，DC 中点E 2，BC 中点E 3，将这些中点与A 和C 1相连，则A →E i →C 1（i=1，2，3）均为所求的路径，见图3．

（2）所有可能费时最短的路径有如图四种：可以看出，图3—①与图3—②中的路径相等，图3—③与图3—④中的路径相等． 1

F F

图3—① 图3—②

D 1 C 1

F D C F C 1

D C

A B B 1

A B

图3—③ 图3—④

设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向F 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A →E 1→F 爬行捕捉到昆虫甲需x s ．如图3—①，在RtΔACF 中，22220)10()2(+-=x x ，解得x =10；

设昆虫甲从顶点C 1沿棱C 1C 向顶点C 爬行的同时，昆虫乙从顶点A 按路径A →E 2→F 爬行捕捉到昆虫甲需y s ．如图3—③，在RtΔABF 中，22210)20()2(+-=x y ，解得8≈y ．∴昆虫乙顶点A 爬行捕捉到昆虫甲需8 s ．

四、圆柱体上的最短线问题

例4：如图4，一个蚂蚁要从树干（看做圆柱）底面的A 点沿表面爬到与A 点相对的B 点，已知从A 点到B 点升高了3米，树干底面的半径为1.27米，这只蚂蚁爬行的最短路程是（精确到1米，π取3.14） （ ）

A ．4米

B ．5米

C ．6米

D ． 6.5 米

A A 图4—①

分析与解：圆柱的侧面展开图为矩形，如图4—①所示．连结AB ，则A 、B 两点之间的

最短距离就是A B 的长．由题意知BC =3米，AC =1.27π米，由勾股定理222BC AC AB +=，得53)271(22≈+=⋅πAB 米．故选B ．

五、圆锥体上的最短线问题

例5：如图5，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6米．的正三角形A BC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路线是 米．（结果不取近似值）

A

P

C B

图5 图5—①

分析与解：圆锥的侧面展开图为扇形，如图5—①所示．连结B P ，则B 、P 两点之间的

最短距离就是BP 的长．由已知条件可得圆锥的侧面积为18π米2

，∴2

618360n π⨯=π，解得n =180º，则∠BAP =90º，又AB =6米，AP =3米，由勾股定理得53=BP 米．

从以上几例可以看出，解决立体图形中的最短线问题的主要思想是：把立体图形平面化；具体方法是：把立体图形的侧面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离．