《流体力学》典型例题20111120解析

《流体力学》典型例题（9大类）

例1~例3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用

例4~例5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。 例6~例8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容） （1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关） （2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）

例9——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断 例10~16——速度势函数、流函数、速度场之间的互求 例17——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度 例18~20——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子） 例21~22——总流伯努利方程的应用

例23——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算

例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝

30 的斜面作等速下滑运动。已知平板与斜面之间的油层厚度δ

＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

U

G=mg

δ

θ

解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du U

dy τμ

μδ

=＝

又因等速运动，惯性力为零。根据牛顿第二定律：

0m ==∑F a ，即：

gsin 0m S θτ-⋅=

()32

4gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯

粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具

有传递运动和阻滞运动的双重性。

例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m ，轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

δ

d

l

n

解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力

()60d d n d u

y πτμ

μδ

=＝ 粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅=

克服油的粘性阻力所消耗的功率：

()()3

223

22

3

230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)

d d n d n n l

P M F dl πππμωτπδ

-==⋅⋅=⨯⨯=

⨯⨯⨯=

⨯

⨯=

例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r 处取径向宽度d r 的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积

环上受到的切向力为：

d d 2d r r F A r r ω

ω

μ

μ

πδδ==

2d d 2d r T F r r r ω

μπδ

=⋅=

4

2

420

d d 232d

d d T T r r πμωπμωδδ===

⎰

4

32d T

πμωδ=

例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。

水

水

解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面。

根据等压面的性质和流体静力学基本方程

0p p gh ρ=+，采用相对压强可得： 左侧：112()p g h h ρ=-水，

右侧：

243()p g h h ρ=-水

中间：

1232()p p g h h ρ=+-

联立可得：

()()()123243g g g h h h h h h ρρρ---=-水水

1234

32

h h h h h h ρρ-+-=

-水

例题5：如图所示，U 型管中水银面的高差h ＝0.32 m ，其他流体为水。容器A 和容器B 中心的位置高差z ＝1 m 。求A 、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度γ水＝9810 N/m 3，水银的重度γ水银＝133416 N/m 3）。 解：图中1-1、2-2为2组等压面。根据等压面的性质和流体静力学基本方程

0p p gh ρ=+，可得：

A 11p p h γ=+水，12p p h γ=+水银，

B 22p p h γ=+水

()()

()()

A B 211334160.3298100.32129743.92Pa p p h h h h h z γγγγ-=--=-+=⨯-⨯+=水银水水银水

例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H ＝1.2m ，长L ＝3m ，静止时盛水深度h =0.9m 。现水箱以2

0.98m s a =的加速度沿水平方向做直线运动。若取水的密度3

1000kg m ρ

=，水箱中自由水面的压强

0p ＝98000Pa 。试求：

（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。 （2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度max a 。

解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致。则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为

0X a,Y ,Z g =-==-

代入非惯性坐标系中的压力全微分公式()d d d d d p X x Y y Z z W ρρ=++=，得

()d d d p a x g z ρ=-+ ①

积分得 ()1p ax gz c ρ=-++

利用边界条件确定积分常数1c ：在坐标原点O （0x

z ==）处，0p p =，得10c p =

由式①可得水箱内的压强分布

()()098000100009898980009809800p p ax gz .x .z x z ρ=-+=-+=--

对于水箱中的等压面，有d 0p

=，所以由式①可得等压面的微分方程

d d a x g z =-

积分得 2a

z x c g

=-+

上式给出了一簇斜率为a g -的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面

通过坐标原点，可确定积分常数20c =。因此自由水面方程为

0980198

a .z x x .x g .=-

=-=- （2）假设水箱以加速度max a 运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h '，则根据加速前后水的体积不变的性质可得

()2

h H L

L h '+⋅⋅=

②

又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系

max g

a H h L

'-=

③

②和③式联立求解，得：

()()()2max 22 1.20.9g 9.8 1.96m 3

H h a L -⨯-=

=⨯=

例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D ＝1 m ，高H ＝2 m ，静止时水深为h ＝1.5 m 。求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度ω应控制在多大？

（2）当ω＝6 rad/s 时，筒底G 、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？