《流体力学》典型例题20111120解析

《流体力学》典型例题（9大类）例1~例3——牛顿内摩擦定律（牛顿剪切公式）应用例4~例5——流体静力学基本方程式的应用——用流体静力学基本方程和等压面计算某点的压强或两点之间的压差。

例6~例8——液体的相对平衡——流体平衡微分方程中的质量力同时考虑重力和惯性力（补充内容） （1）等加速直线运动容器中液体的相对平衡（与坐标系选取有关） （2）等角速度旋转容器中液体的平衡（与坐标系选取有关）例9——求流线、迹线方程；速度的随体导数（欧拉法中的加速度）；涡量计算及流动有旋、无旋判断 例10~16——速度势函数、流函数、速度场之间的互求 例17——计算流体微团的线变形率、角变形率及旋转角速度 例18~20——动量定理应用（课件中求弯管受力的例子） 例21~22——总流伯努利方程的应用例23——综合：总流伯努利方程、真空度概念、平均流速概念、流态判断、管路系统沿程与局部损失计算例题1：如图所示，质量为m ＝5 kg 、底面积为S ＝40 cm ×60 cm 的矩形平板，以U ＝1 m/s 的速度沿着与水平面成倾角θ＝30 的斜面作等速下滑运动。

已知平板与斜面之间的油层厚度δ＝1 mm ，假设由平板所带动的油层的运动速度呈线性分布。

求油的动力粘性系数。

UG=mgδθ解：由牛顿内摩擦定律，平板所受的剪切应力du Udy τμμδ=＝又因等速运动，惯性力为零。

根据牛顿第二定律：0m ==∑F a ，即：gsin 0m S θτ-⋅=()324gsin 59.8sin 301100.1021N s m 1406010m U S θδμ--⋅⨯⨯⨯⨯==≈⋅⋅⨯⨯⨯粘性是流体在运动状态下，具有的抵抗产生剪切变形速率能力的量度；粘性是流体的一种固有物理属性；流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重性。

例题2：如图所示，转轴的直径d ＝0.36 m ，轴承的长度l ＝1 m ，轴与轴承的缝隙宽度δ＝0.23 mm ，缝隙中充满动力粘性系数0.73Pa s μ=⋅的油，若轴的转速200rpm n =。

求克服油的粘性阻力所消耗的功率。

δdln解：由牛顿内摩擦定律，轴与轴承之间的剪切应力()60d d n d uy πτμμδ=＝ 粘性阻力（摩擦力）：F S dl ττπ=⋅=克服油的粘性阻力所消耗的功率：()()3223223230230603.140.360.732001600.231050938.83(W)d d n d n n lP M F dl πππμωτπδ-==⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=例题3：如图所示，直径为d 的两个圆盘相互平行，间隙中的液体动力黏度系数为μ，若下盘固定不动，上盘以恒定角速度ω旋转，此时所需力矩为T ，求间隙厚度δ的表达式。

解：由于圆盘不同半径处的线速度不同，在半径r 处取径向宽度d r 的微元面积环，根据牛顿内摩擦定律，可得该微元面积环上受到的切向力为：d d 2d r r F A r r ωωμμπδδ==2d d 2d r T F r r r ωμπδ=⋅=42420d d 232dd d T T r r πμωπμωδδ===⎰432d Tπμωδ=例题4：如图所示的双U 型管，用来测定比水小的液体的密度，试用液柱高差来确定未知液体的密度ρ（取管中水的密度ρ水＝1000 kg/m 3）。

水水解：经分析可知图中1-1和2-2为两组等压面。

根据等压面的性质和流体静力学基本方程0p p gh ρ=+，采用相对压强可得： 左侧：112()p g h h ρ=-水，右侧：243()p g h h ρ=-水中间：1232()p p g h h ρ=+-联立可得：()()()123243g g g h h h h h h ρρρ---=-水水123432h h h h h h ρρ-+-=-水例题5：如图所示，U 型管中水银面的高差h ＝0.32 m ，其他流体为水。

容器A 和容器B 中心的位置高差z ＝1 m 。

求A 、B 两容器中心处的压强差（取管中水的重度γ水＝9810 N/m 3，水银的重度γ水银＝133416 N/m 3）。

解：图中1-1、2-2为2组等压面。

根据等压面的性质和流体静力学基本方程0p p gh ρ=+，可得：A 11p p h γ=+水，12p p h γ=+水银，B 22p p h γ=+水()()()()A B 211334160.3298100.32129743.92Pa p p h h h h h z γγγγ-=--=-+=⨯-⨯+=水银水水银水例题6：如图所示，仅在重力场作用下的无盖水箱高H ＝1.2m ，长L ＝3m ，静止时盛水深度h =0.9m 。

现水箱以20.98m s a =的加速度沿水平方向做直线运动。

若取水的密度31000kg m ρ=，水箱中自由水面的压强0p ＝98000Pa 。

试求：（1）水箱中自由水面的方程和水箱中的压强分布。

（2）水箱中的水不致溢出时的最大加速度max a 。

解：（1）如图所示，将固定在水箱上的运动坐标系的原点置于静止时自由水面的中点，z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致。

则水箱运动时单位质量水受到的质量力和水的加速度分量分别为0X a,Y ,Z g =-==-代入非惯性坐标系中的压力全微分公式()d d d d d p X x Y y Z z W ρρ=++=，得()d d d p a x g z ρ=-+ ①积分得 ()1p ax gz c ρ=-++利用边界条件确定积分常数1c ：在坐标原点O （0xz ==）处，0p p =，得10c p =由式①可得水箱内的压强分布()()098000100009898980009809800p p ax gz .x .z x z ρ=-+=-+=--对于水箱中的等压面，有d 0p=，所以由式①可得等压面的微分方程d d a x g z =-积分得 2az x c g=-+上式给出了一簇斜率为a g -的倾斜平面，就代表水箱加速运动的一簇等压面，自由水面是等压面中的一个，因自由水面通过坐标原点，可确定积分常数20c =。

因此自由水面方程为0980198a .z x x .x g .=-=-=- （2）假设水箱以加速度max a 运动时，其中的水刚好没有溢出，且此时水箱右侧水的深度为h '，则根据加速前后水的体积不变的性质可得()2h H LL h '+⋅⋅=②又根据水箱作水平等加速直线运动时，自由表面的斜率与几何长度之间的关系max ga H h L'-=③②和③式联立求解，得：()()()2max 22 1.20.9g 9.8 1.96m 3H h a L -⨯-==⨯=例题7：有一盛水的旋转圆筒，直径D ＝1 m ，高H ＝2 m ，静止时水深为h ＝1.5 m 。

求： （1）为使水不从筒边溢出，旋转角速度ω应控制在多大？（2）当ω＝6 rad/s 时，筒底G 、C 点处的相对压强（相对于自由水面）分别为多少？C解：（1）若将坐标原点放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,rz H ==，则由：()22,,d d d d X x Y y Z gp X x Y y Z z ωωρ⎧===-⎪⎨=++⎪⎩，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202g r z H ω=+ 根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：2222002d 2g 4D r D r H r h ωππ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭⎰由此可求得：2216gD H h ω=-，带入自由表面方程得：2222g 8D z h r ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若使ω达到某一最大值而水不溢出，则有2r D =时，z H =，带入上式，得()8.854rad s ω===（2）旋转容器中任意一点的相对压强可表达为2222220g g 2g 2g 16g r r D p H z h z ωωωρρ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将G 点条件：0,0r z ==带入得：2222G 61g 10009.8 1.512450Pa 16g 169.8D p h ωρ⎛⎫⎛⎫⨯=-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭同理，将C 点条件：2,0r D z ==带入得：222222C 61g 10009.8 1.516950Pa 8g 16g 169.8D D p h ωωρ⎛⎫⎛⎫⨯=+-=⨯⨯+= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭例题8：如图所示为一圆柱形容器，直径为300mm d =，高500mm H=，容器内装水，水深为300mm h =，使容器绕垂直轴做等角速旋转，试确定水正好不溢出来的转速n 。

HhH zr解：如图所示，将坐标原点o 放在筒底的中心位置，并假设自由表面最低点的高度为00,rz H ==，则由：()22,,d d d d X x Y y Z gp X x Y y Z z ωωρ⎧===-⎪⎨=++⎪⎩，可推出自由水面（为一等压面）的方程：2202g r z H ω=+ 根据在水没有溢出的情况下，旋转前后水的体积不变的性质，可得：222002d 2g 4d r d r H r h ωππ⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭⎰由此可求得：2216gd H h ω=-，带入自由表面方程得：2222g 8d z h r ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭若使ω达到某一最大值而水不溢出，将2r d =时，z H =，带入上式，得()18.67rad s ω===3030186717825.n .ωππ⨯==≈ ()r min例9 已知平面直角坐标系中的二维速度场()()x t y t =+++u i j 。

试求：（1）迹线方程；d d d d x y zx y zt u u u === （2）流线方程；d d d x y zx y z u u u == （3）0t=时刻，通过（1，1）点的流体微团运动的加速度；（4）涡量（即旋度），并判断流动是否有旋。

解：（1）将,xy u x t u y t =+=+代入迹线方程d d d d x y x y u ,u t t ==得： d d d d x y x t,y t t t=+=+ 采用变量代换法解这个微分方程。

令X x t =+，Y y t =+，则x X t =-，y Y t =-，代入上式，得： 11d d d 1d ln(1)11d d 1t c t t x X X X t X t c x t e ae x ae t t t X +=-=⇒=⇒+=+⇒++==⇒=--+，1c a e = 22d d d 1d ln(1)11d d 1t c t t y Y Y Y t Y t c y t e be y be t t t Y +=-=⇒=⇒+=+⇒++==⇒=--+，2c b e = 于是得迹线的参数方程：1,1t tx ae t y be t =--=--其中，,a b 是积分常数（拉格朗日变数）。