衍生产品估值与投资组合管理

试卷二：

固定收益分析与估值衍生产品分析与估值投资组合管理

试题

最终考试

2010年3月

问题 1: 固定收益证券估值与分析 (56分)

假设你在一家国际性银行的财务部门工作，该银行在业界非常著名，如果必要它能够发行政府担保的证券。银行管理层期望你针对当前金融市场动荡和混乱的现状提出建议。

根据互换中间利率(Mid-Swap rate)计算的当前收益率曲线如下（日期计算方式：30/360；一个基点＝0.01%） 。

表 1

a) 首先，请你提供一些初步答案和简单计算。

a1) 你将如何定义上述收益率曲线？ (2分)

a2) 计算上表中一年期到三年期的隐含即期利率（零息利率）和折现因子。 (9分)

a3) 根据“纯期望假说”，从第一年到第三年的预计年收益率是多少？ (6分)

a4) 请画图描绘当收益率不变时4年期平价债券从今天开始直至到期日的价格变化

（不必计算债券价格，仅判断债券价格是高于、低于或者恰好等于票面价值）。

(6分)

100%

4

b)你发现银行需要一笔3年期限的融资，因此你建议发行总量为30亿欧元的三年期

债券。你所在银行发行非政府担保证券的相应利差为互换中间利率＋195个基点。

另外，你也可以建议管理层发行政府担保债券，利差为互换中间利率＋30个基点。为了得到政府担保，银行需要支付给担保人（政府）i)每年50个基点作为办理费用和 ii) 每年100个基点作为担保成本。

b1)请以基点为单位计算获得政府担保的融资优势（或者劣势）。(5分)

b2)请使用a2)中算出的折现因子，计算计划中的30亿欧元债券发行时b1)中提到的融资优势（或者劣势）的现值。如果你没能算出这些折现因子，请把表1中

的收益率当作即期利率来计算折现因子；如果你没有得到b1)的答案，请假设

融资优势为10个基点。 (5分)

b3)从你所在银行的角度简要描述当前环境下使用政府信用担保的优点和缺点。

(4分)

c)作为一个附加的危机防范措施，你准备建立一个价值250亿欧元的、由具有高度流

动性的政府债券构成的投资组合。假设这个投资组合的平均到期期限为3年，相关政府债券的平均利差为互换中间利率－70个基点。假设再融资利差为互换中间利率＋195个基点，请以欧元为单位计算持有这样一个流动性投资组合的年度成本。

(4分)

d)你的管理层也希望你提出方案，看看如何从金融市场的动荡中最好地获利。在这个

背景下你考虑投资一种一年期资产支持证券(ABS)，该证券每年按 4.5%的息票利率支付，当前利差为互换中间利率＋295个基点。

d1) 假设该证券100%偿付，计算此投资一年的总回报（持有期回报率）。用表1中给出的1年的互换利率作为今天ABS定价所用利差的基准。(3分)

d2)概述当前动荡市场环境下这样一项投资的3个最重要的风险因素。(3分)

e)最后，你的管理层对ABC公司发行的可转债感兴趣，该公司通过股权和可转债募集

资金，没有其它债务。该公司共有1百万股股票，股价为100美元。该可转债是零息票债券（也就是贴现债券），面值为1亿美元，期限1年，转股价格为100美元。假设可转债到期时，根据公司价值（股权和可转债的总价值）的具体情况，可以转换成股权、作为债券赎回或者违约。管理层询问你如下的问题：

e1)如果可转债被转换成股票，ABC公司的股票将增加多少？(3分)

e2)如果可转债在1年末被转换成股票，这意味着公司价值处在何种状况？(3分)

e3)如果可转债在1年末违约，这意味着公司价值处在何种状况？(3分)

问题 2: 衍生产品定价与分析 (13分 )

Drescotts 公司是一家不付任何红利的上市公司。它的股票价格目前为50美元。一家证券公司提供了一份期限为一年、执行价格为40美元的该股票的欧式买入期权。期权价格为10美元。假定连续复利利率为每年10%。做如下计算。请四舍五入保留小数点后2位数字。到期日的股票价格表示为S(1)。

a) 你认为将Drescotts 公司股票与证券公司提供的欧式买入期权组合起来会产生一个套利机会。在目前时点上你需要持有什么样的头寸，以利用这种套利机会？在你的答案中假定股票头寸为1单位。 (4分)

b) 请问该投资的到期收益是多少？请画图，在坐标轴上标出相应的价值，并写出计算过程。 (5分)

c) 请解释为何在 a)中的投资被称为“套利机会”。如果在许多投资者利用了这种套利机会后期权价格仍保持不变，股票价格将上升还是下降？请简要解释。 (4分)

收益

S(1)

问题 3: 衍生产品估值与分析 (46分)

对上市公司Rocket公司（标的实体），考虑一个3年期信用违约互换（CDS）。在一个简化模型中，标的实体在以前没有违约的条件下，未来一年之内违约的（条件）概率为2%。假定回收率为40%，并且违约仅发生在年中。为了简化，我们也假定CDS费用每年年底支付，年费率为s。无风险连续复利年利率为3%。本题中，忽略CDS的对手风险。

a)请用通用的词语解释什么是CDS？阐述其使用的目的。(5分)

b)计算上述情形下1到3年中Rocket公司的生存概率（也就是在0时点来看，直到

时间t = 1, 2, 3时公司依然生存的概率）和无条件违约概率（也就是在0时点来看，公司在时间t = 1, 2, 3时违约的概率）

时间 (年份) 在时间t时的违约概率直到时间t 的生存概率t = 1

t = 2

t = 3

(4分)

c)假定该CDS的名义本金为1美元，年费为s，请采用生存概率计算CDS的预期费用

的现值，并完成下表。

时间(年份) 生存概率预期费用折现因子预期费用的现值

1 0.98 0.98?s 0.9704

2

3

总计

(10分)

d)完成下表填写，计算CDS预期收入的现值和预期应计支付的现值。请你对用于计算

的公式进行解释。

时间(年份) 违约概率回收率预期收

入

预期应计

费用

折现因

子

预期收入

的现值

(美元)

预期应

计费用

的现值

0.5 0.02 0.4 0.9851

1.5 0.4

2.5 0.4

Total

(14分)

e)使用c) 和 d)中得到的结果计算理论CDS利差。(6分)

f)假设投资者已经按e)中计算的利差买入上述CDS，随后CDS利差扩大到200个基

点。假设认购的名义值为100万美元，请计算损益值。(7分)

问题 4: 投资组合管理(16分)

你是一个个人理财顾问。你的一个客户要求你回答有关房地产市场的问题[注：以下问

题是根据一般的房地产市场，而不是特定国家出现的特殊情况]

a)你的客户仅有金融资产。他现在也想考虑房地产投资。请与股票和债券的风险和回

报的同类参数相比较，对他解释房地产的风险和回报参数。

对他解释以下哪一种投资风险最小，说明原因。

?居住地产

?商业地产

?工业地产

?基础设施

(6分)

b)你

对他解释了一个过去的研究结果：几年前在某些国家房地产证券化产品的回报

和股票回报之间的相关性相对较高，导致0.6-0.7范围内的相关系数比较常

见。然而，随着房地产证券化市场的有效性不断增加，该相关系数已经降低

了。

你的客户愿意间接投资房地产，他问你，从长期来看间接投资房地产的回报是倾向

于与股票市场相关性更高，还是与房地产市场的相关性更高。请给出你的答案。

(4分)

c)你的客户决定间接投资居住地产。他问你是否这种投资会改进其目前的投资组合

（仅有股票和债券）的风险与回报特征。你如何答复他？请解释。

d)(6分)

问题5：投资组合管理和投资组合管理中的衍生产品(49分)你是BAT欧洲股票基金（BAT Euro Stock Fund）的基金经理。在和你的职员讨论之

后，你建议部分或者全部保护你的股票投资组合，因为你担心金融市场会出现一个深

度调整趋势，原因是第一，最近一段时期房地产市场有明显而公认的投机泡沫，并且第二，VIX (CBOE 波动性指数)逐步递增。在向董事会解释你的观点之后，你被要求去实施保护方案。

a)在你实施投资组合保险计划之前，你分析了基金过去6个月的绩效。你尤其关注过

去半年你所管理的投资组合的股票构成，投资组合中65％是欧洲价值型股票，余下的35％是欧洲增长型股票。

a1)过去这一阶段欧洲价值型和增长型股票的总回报率分别为 4.5%和 3.2%。请计算BAT欧洲股票基金过去半年的总回报率。(4分)

a2)就回报率来说，价值型和增长型股票等权重的投资组合是否有更好的表现？请分析说明。(6分)

你命令你的职员为下半年的BAT欧洲股票基金设计保护策略，策略的第一个目标是所管理的投资组合总资本在以后6个月内不会下降超过10％。股票投资组合的价值目前是1.2亿欧元，并且是充分分散化的。股票投资组合对应于DJ EURO STOXX 50指数的贝塔值（Beta）为1.12，DJ EURO STOXX 50指数的最近一次报价为3,050。指数的分红收益率为每年2％，股票投资组合的分红收益率为每年 2.5%(半年复利)。最后，无风险利率为每年5％。

b)首先，你的金融团队提议采用指数卖出期权为整个投资组合提供保险。

b1)假设保险成本来自于所管理基金的外部，对于刚好6个月后到期的期权，你应该考虑何种执行价格？

(10分)

b2)假设DJ EURO STOXX 50指数期权合约的规模为每一指数点位10欧元，你应该买入或者卖出多少份期权合约？(4分)

c)上述股票投资组合是充分分散化的。如果该股票投资组合未充分分散化将会有什么

影响？从风险管理的观点，讨论未充分分散化投资组合的套期保值问题，并与充分分散化投资组合的套期保值情形进行比较。(7分)

d)上述保护性卖出期权策略被称为静态策略：一旦采用，无论金融市场如何变化都不

需要进一步调整。

d1)静态投资组合保险有哪些主要的实际问题？列出其中三个并简要解释之。(6分)

d2)简要比较静态保险策略和所谓的动态投资组合保险策略。 (7分)

e)用合成卖出期权的方法来为股票投资组合提供保险，能够帮助投资者克服静态投资

组合保险遇到的一些实际问题。基于问题b)中情形，描述当N(d1) = 0.5942时，怎样通过直接交易标的资产建立一个多头合成卖出期权。(其中N是正态分布的累计分布函数，d1是著名的 Black & Scholes 模型的特征系数)。(5分)

试卷二

固定收益估值与分析衍生产品估值与分析投资组合管理

答案

最终考试

2010年3月

问题1答案：固定收益分析 (56 分)

下列答案并不代表是唯一的计算方法或者解释。只要解答中定义、计算和关系有合理理由，请给分。（请注意计算方法不同可能造成最后的计算结果不同） a) a1)

倒挂的收益率曲线 (2 分) a2)

假设R t 是t 年期即期利率，df t 是对应的贴现因子. 则:

R 1= 3.50%; df 1 = 1 / (1+3.5%) = 0.96618 (3 分)

R 2 能由如下方程得到:

94273.0)R 1(1

df %

99.2110145.97103R )R 1(10310145.97)R 1(103%)5.31(31002

222

/12

2222=+==-???

??=?+=?+++=

(3 分)

3rd 即期利率:

92352.0)R 1(1

df %69.2184593.947.102R )R 1(7

.10284593.94)R 1(7.102%)99.21(7.2%)5.31(7.21003

333

/133

3332=+==-??? ??=?+=

?+++++= (3 分)

4th 即期利率:

90653

.0)R 1(1

df %

48.219189.925.102R )R 1(5

.1029189.92)R 1(5.102%)69.21(5.2%)99.21(5.2%)5.31(5.21004

444

/144

44432=+==-??? ??=?+=

?+++++++=

根据纯期望假说，一年后的收益率曲线可由今天的1、2、3年远期利率得到(也就是 F 1,2, F 1,3 和F 1,4):

%489.21035

.1)02993.1(1)R 1()R 1(F 2

1222,1=-=-++=

(2 分) %283.21035.1)02687.1(1)R 1()R 1(F 2

/132

/11333,1=-?

?

?

???=-?

?

????++=

(2 分) %148.21035.1)02484.1(1)R 1()R 1(F 3

/143

/11444

,1=-?

?

?

???=-?

?

????++=

(2 分)

[评分者请注意: 如果考生用YTM 而不是即期利率，应给一半的分数，也就是每个远期利率1分。]

a4)

平价债券(100%)的价格首先随着利率的增加而降低， (‘roll -up-the-yield-curve’-效应). 然而，在存续期最后一年，‘pull -to-par’效应开始起作用，也就是说，债券价格逐渐趋向于面值。

下图描述其情况：

(6 分)

注：下面的计算不是考试所要求的，仅仅是处于教学的目的解释上面的图表。

4年平价债券的息票C 等于其收益率，所以C = 2.5%. 这个还有t 年到期的债券的价格为[也就是过去了 (4 - t) 年] :

03

.99df 5.102P 05.99df )5.102(df 5.2P 43

.99df )5.102(df 5.2df 5.2P 112123213=?==?+?==?+?+?=

b1)

无担保的债券的利差为互换中间利率 +195个基点（bps ）

政府担保的债券的利差包括： +30基点超过互换中间利率 +50基点作为担保费

+100基点作为（三年）保护费 [信用违约互换水平] +180基点的总利差

所以用政府担保债券的融资方式的优势为： (195bps – 180bps) = 15bps [每年.] (5 分)

b2)

每年的融资优势数额为

15bps ? 3bn = 015% ? 3,000,000,000 = 4,500,000 [欧元]每年

利用a.2)中的折现因子, 现值为

4.5 百万 ? {0.96618 + 0.94273 + 0.92352} = 12.75 百万 [欧元] (5 分)

[注:

如果用给定的收益率作为即期利率的代替，则融资优势的现值为:

Mio 744.12%)7.21(5

.4%)31(5.4%)5.31(5.43

2=+++++]

b3) 好处:

- 每年4.5百万欧元的融资优势，加强了损益和资本基础 - 更多的投资者基础，于是更多的债券需求

坏处:

- 担保是临时性的，一旦担保过期，银行将可能发现很难找到投资者 - 担保可能被国家赋予条件，这些条件可能与银行的战略冲突 (4 分)

c)

流动性投资组合的数量为250亿欧元

政府债券产生每年互换中间利率-70bps 的收益 再融资利率为互换中间利率 +195bps

因此，总的来说，实现流动性组合的成本为：

每年(-70bps – 195bps) = 265bps, 也就是. 2.65% ? 25 billion = 662.5 百万 [欧元] (4 分)

d1)

既然没有中间现金流，这个投资的总回报率等于其收益率: y = 3.5% + 295bps = 6.45%. (3 分)

检查证实:

今天互换中间利率 +295bps 的ABS 价格 P 是:

17.98%)

95.2%5.31(5

.4100P =+++=

这样一个投资的总回报率包括： - 息票率 (也就是 4.5%) 和 - 价格变化

将按照面值赎回.

因此投资的总回报率：

%45.617

.9817.981005.4R =-+=

d2)

违约风险： ABS 可能不能100%偿付，或者完全不偿付。

流动性风险: 很大可能只有一个交易不活跃的二级市场，可能ABS 不能在需要的时候在到期前售出。

市场风险: 进一步的利差加大可能拉低ABS 的价格，可导致P&L 损失。 (3 分) e) e1)

可转债的转股可能导致1百万股的发行：:

百万股股

美元百万美元

1/100100=, 最后总共发行了两万股 (3 分) e2)

如果1年末的公司价值为X,可转债通过转股得到的总价值为X )200100(, 因此是否被转股依赖于是否这是比按照面值赎回更好，也就是是否100X )200100(>, 即200X >. 简单来说，如果公司价值高于200百万美元，可转债将被转为股权。 (3 分) e3)

如果公司价值少于可转债的面值，也就是公司价值低于100百万美元，可转债将被违约。 (3 分)

a)

当标的资产不支付红利时，按无风险利率在股票价格与执行价格的贴现值之间对买入期权规定一个较低的界限非常困难： 81.13e 4050Ke S C 1.0t r ?-=-≥-?-

这种情况并不是真实的，因此存在套利机会，可以购买买入期权，卖空股票。 (4 分) b)

如果你卖空一单位的股票，买入一单位的期权，目前时点的收益为50 - 10 = 40 美元 如果这是投资到安全的资产，一年的收益将为40 ? exp (0.10) = 44.21 美元。如果到期时股票价格高于40美元，你会执行期权，在40美元的价位购买股票，抵补卖空股票的头寸。收益为44.21 - 40 = 4.21。如果到期时股票价格低于40美元，你会放弃期权，转而在即期市场按S(1) (S(1) <40) 购买股票，抵补空头头寸。收益为44.21 - S(1) [注意44.21 - S(1) > 4.21] (5 分) ：

c)

a )题中的头寸目前没有发生支付。无论股票价格高于或低于执行价格，未来无论如何都有一个正收益。因此只要存在套利机会就会有交易，股票会卖出，股价将下跌。(4 分)

收益

a)

一份信用违约互换就是一份买方与卖方之间的柜台合约，为了防范一套债务义务违约的风险而由一个特定的参考实体发行的。被保险方或保护的买方，支付了一个季度价差或合约期间（1, 3, 5, 7 ,10 年）的保费,保证在违约发生时能收回全部本金。因此，CDS的目的是购买信用保护，即减少信用暴露。(5 分)

b)

从今天开始，在第一年的违约概率是0.02，因此我们可以得出一个企业到第一年年底的生存概率为0.98。在第二年的违约概率为0.02 ? 0.98 = 0.0196，到第二年年底的生存概率为0.98 ? 0.98 = 0.9604，如此计算下去。

(4分)

c)

预期支付的现值等于：

∑ (生存概率 ·支付额·折现因子)

第1年的折现因子计算如下：exp(-0.03?1) = 0.9704,第2年的折现因子exp(-0.03?2) = 0.9418，如此计算下去。‘s’ 为CDS每年支付的保费。

例如第3年支付s的概率为0.9412，预期费用的现值（概率 ·支付额·折现因子）=

0.9412 ? s ? exp(-0.03 ? 3) = 0.8602?s

(每空1分, 最多10分)

d)

预期收入的现值等于：

∑ [违约概率 · (1-回收率) ·折现因子]

假定回收率为40%，且违约仅发生在年中。

例如在第3年的违约概率为 0.0192。已知（期望的）回收率为40%，这时预期收入的现值为：0.0192 ? 0.6 ? 1 ? exp(-0.03 ? 2.5) = 0.0107.

预期收入的总现值为面值单位美元USD 0.0338。

(有解释得3 分)

有关违约时的预期费用，有0.0192的概率最终预期费用发生在第2年年中。预期费用

为0.5?s。此时期望累计支付的现值为0.0192 ? 0.5 ? s ? exp(-0.03 ? 2.5) = 0.0089 ? s.

预期累计费用的总现值为0.0281 ? s。

(有解释得3 分)

(每空1 分, 最多8 分) e)

预期费用的现值为2.7157 ? s + 0.0281 ? s = 2.7438 ? s.

期望收益的现值为 0.0338.

取两值相等，我们得到新CDS的CDS 利差为：

2.7438 ? s = 0.0338 s = 0.012

3.

因此市场中间利差为每年123个基点。在这种水平价差下的双方当事人（买方和卖

方）信用违约互换的现值恰好为零，如同通常情况下的大部分互换合约。

(6 分)

f)

对于一份名义价值为1百万美元的合约，如果利差从最初的123个基点上升到目前的200个基点，而其他条件相同：

?买方支付的现值为：2.7438 ? s = 2.7438 ? 0.0200 = 0.0549

?收益的现值如上为：0.0338

因此对买方（投资者）的互换现值要更高，为0.0549 – 0.0338 = 0.0211

即：利润为名义价值1百万美元* 0.0211 = 21,100 美元.

(7 分)

a)

房地产回报与风险的参数低于普通股并高于债券。(2 分)

居民住房风险最低，因为租金通常非常稳定。(2 分)

这是因为居民住房产对一般的经济状况不敏感。商住房通常风险更大，因为其回报与经济周期有联系。由于工业用房或基础设施是高度的专用性资产，风险非常大。(2 分)

b)

长期来看，间接投资房地产的回报与房地产市场的相关性要比股票市场更大。这是因为间接投资房地产的标的资产是房地产。(4分)

c)

房地产投资是有趣的投资组合多样化器，引入该种投资能够改进你客户投资组合的风险—回报特征。投资组合回报应该更高（在一定风险水平下）或投资组合风险更低（在一定回报下）。

(2 分)

间接投资居民房产通常其回报与风险要比投资股票更低，但是比投资债券的回报与风险更高。(2 分)

间接投资居民住房的回报通常是正的，与投资股票的回报适度相关，与投资债券的回报低相关。(2 分)

注: The CBOE 波动性指数? (VIX ?)是市场对近期波动性预期的重要度量，由S&P 500股指期权的价格获得。VIX 一直被很多人认为是投资者情绪和市场波动性的主要晴雨表， 经常被称为“恐惧指数”。它表示市场对未来30天波动性的预期的度量。

a) a1)

BAT Euro Stock Fund 上半年 总回报率为: %045.4%2.335.0%5.465.0r BAT =?+?= (4 分)

a2)

将财富均等分投资于增长股和价值股，可以得出：

%

85.3032.05.0045.05.0R 5.0R 5.0R G V *BAT =?+?=?+?=

%045.4R %85.3R BAT *BAT =<=，也就是金融团队的初始选择比将财富均等分投资于增长股和价值股要好。 (6 分) b) b1)

首先，我们必须计算所管理的组合的市值下降10%（即 1

.0r 21,PC -=）时，对应的DJ

EURO STOXX 50 指数在未来6个月的变化（即21,MC r

）。

根据证券市场线方程，我们有： ()F MD MC F PD PC r r r r r r -+?β+=+

计算未来6个月 DJ EURO STOXX 50指数的回报率21,MC r

：

085446.0202.0205.012.112.112025.01.012.11r 2

r 2r 12r r 1r 1,MC MD

F PD 21,PC 1,MC -=-?--??? ??+-?=

-

?ββ--??? ??+?β?

从上面的计算可以看出，当所管理的组合的市值下降10%，所对应的DJ EURO

STOXX 50 指数在未来6个月将下降8.54%。这个结果是和贝塔水平以及红利收益比例一致的。

现在的目标是去为所管理的组合面临的DJ EURO STOXX 50 指数在下半年相对于现在3,050的点位下降8.54%的风险进行保险。

保护性的卖出期权的执行价格为指数下降8.54%的点位Φ: 2789%)54.81(3050?-?=Φ (10 分)

b2)

保险投资组合策略要求一个卖出期权的多头头寸。记 N Put 为要买入的执行价格为Φ的卖出期权的数目。我们有

407,456.406,410

050,3000

,000,12012.1≈=??=??=期权合约规模指数点位组合价值βPut N

(4 分) c)

在金融文献中，投资组合波动性是最为广泛使用的投资风险度量。证券价格波动的可能性越大，投资者持有该证券预期承担的风险越大：

{2222P P M specific systematic

risk

market risk

ε

σβσσ=?+14243

一个充分分散化的组合的风险接近于其整个市场的系统性风险，而非系统性风险被分散化去除了。一个有技巧的分散化能显著地消减了总风险，同时不降低预期收益。一个衡量组合分散化程度立即且直观的指标就是该组合中包含的股票的数目，当然，这并不足以说明分散化的质量（效果），非常关键一点就是证券之间的相关关系。当两个投资者用同样数目的股票（为简单起见，比如用两只股票）来构建投资组合，一个投资者是利用相关性低的股票，另一个采用相关性高的股票（例如属于同一行业的股票），则他们的组合的波动性肯定就会不同： .

{222221122122112

2correlation

in P dex

x x x x σσσσρσ=++?

在一些情形下，一个个人投资者或许宁愿投资于一个广泛分散化的指数共同基金或者交易所交易的基金，而不愿直接投资和管理大量的、不同的证券。管理大量不同的证券这样的金融工具，其有效成本即使“看不见”也经常是很可观的。 (7 分) d) d1)

应用静态组合保险的主要实际问题是：

- 可得到的期权有时仅仅是美式的，所以比所需要的欧式更加昂贵。美式期权在存续期内都可执行，但组合保险仅仅关心到期日回报。

- 市场上可得到的衍生产品的到期期限可能和“保护”期限相差很大，以至于不能有效进行理论上的保险。

- 衍生产品市场上我们需要的期权可能没有足够的流动性。

- 理论上的下限和市场上可得到的衍生产品的执行价格相差很大，以至于不能有效进行理论上的保险。

- 可能不存在我们所需要的特别的股指期权或执行保险策略的标杆。 (6 分, 每个2 分) d2)