量子力学第三章作业

1、指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

224 dx
d dx d i dx d ，，，x p x ˆˆ， )ˆˆˆˆ(21x p p x x x + 2、如果 F
ˆ和 G ˆ都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算符？
（1）G F ˆˆ； （2）F G ˆˆ；（3）G F
ˆˆ+F G ˆˆ； （4）G F ˆˆF G ˆˆ-； （5）i （G F ˆˆ+F G ˆˆ）； （6）i （G F ˆˆF G ˆˆ-）； （7）G F ˆˆ+；
（8）G F ˆˆ-； （9）)ˆˆ(G F i +； （10）)ˆˆ(G F i -；
3、下列函数哪些是算符22
dx
d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x
e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +
4、证明：[Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
5、证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分
别为00094a a a 、、的球壳处的几率最（0a 为第一玻尔轨道半径）。

6、设氢原子处在0301),,(a r e a r -=
πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半径），求
①r 的平均值； ②势能r e 2
-的平均值。

7、一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤中。

初始时刻（t=0）其归一化波函数为(
),01cos sin x x x a a ππψ⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎭⎝⎭
，求（a ）t>0时刻粒子的状态波函数(),x t ψ；（b ）在t=0与t>0时，在势箱左半部（02a x ≤≤
）发现粒子的概率是多少？ 8、粒子被限制在,22a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
区间内做一维运动。

若在t=0时刻，设粒子运动的波函数为： （1）()1cos 202x a A x a x a x πψ⎧≤
⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
（2）()22sin 202x a B x a x a x πψ⎧≤
⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ （3）()32cos sin 202
x x a C x a a x a x ππψ⎧⎛⎫+≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩ 试分别：a 、将波函数归一化；b 、求粒子位置概率分布函数；c 、求粒子出现在两个子区间,02a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内的概率。

9、已知： ˆˆˆˆˆˆx y x y L L iL L L iL +-
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 证明：22222ˆˆ[,]0ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆz z z z
L L L L L L L L L L L L ±+--+==-+=--h h 10、设 t =0 时，粒子的状态为ψ(x ) = A [sin 2kx +(1/2)coskx ]，求粒子的平均动量和平均动能。

（要求：和PPT 上的方法不同）
11、设体系处于112023(,)(,)55
Y Y ϑφϑφψ=+，则在 Ψ 态中分别测量 L 2 和 L z 时得到的可能值及其相应的几率。