线性代数第四章第五节
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线性代数讲义(第四章)
得基础解系：p1=(1,4,0)T, p2=(1,0,4)T，故关于2的 全部特征向量为： x=k1(1,4,0)T +k2 (1,0,4)T = (k1+k2,4k1,4k2)T，k1, k2不全为零。
例 4 证明：若是方阵A的特征值，则 (1) n 为方阵An 的特征值 (n为正整数)； (2) 当方阵A可逆时，1为方阵A1 的特征值。 证：(1) 设x为A关于特征值的特征向量，则Ax=x； A2x=A(Ax)= A(x)=Ax=2x 设An1 x =n1x，则 Anx=A(An1 x)=A(n1x)=n1Ax=nx 故n 是矩阵An 的特征值。
关于1的特征向量为：x=(k,0,k)T ， k 0 。 当=2时，
2 1 1 4 1 1 4 1 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 4 4 1 1 0 0 0 1 3
记 a1 c1 j x1 j， a 2 c2 j x2 j
j 1 j 1
m1
m2
则
a1 a 2 0
下说明a1=a2=0，假设存在某个ai 0，不妨设a10, 则a20，由命题1知，ai是i 对应的特征向量， 又由定理4.2知，a1, a2 线性无关。
与 a1 a 2 0 矛盾 , 故a1=a2=0，即
由于A=2I，故对任意xR3, x 0, 都有Ax=2Ix=2x， 由定义4.1知：2是A的特征值，任一3维非零向量都 是A关于特征值2的特征向量。
由定义4.1，若为n阶方阵A的特征值，则存在 n维非零向量a，使得Aa=a，即(IA)a =0，a满 足(IA)x=0，即a为齐次线性方程组(IA)x=0的解 向量，从而齐次线性方程组(IA)x=0有非零解； 反之，若齐次线性方程组(IA)x=0有非零解a，则 Aa=a，故为方阵A的特征值。 故为n阶方阵A的特征值的充要条件是齐次线性方 程组(IA)x=0有非零解。 而(IA)x=0有非零解的充要条件为：r(IA)<n， 即|IA|=0。
线性代数第四章4-5节课件
后n-r列
x1 - b11 xr +1 - b12 xr + 2 x -b x - b x 2 21 r + 1 22 r + 2 xr - br 1 xr +1 - br 2 xr + 2 -
- b1,n- r xn , - b2,n- r xn , - br ,n - r xn .
方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
x1 - 3 x3 + 4 x4 0 x 2 + 2 x 3 - 3 x4 0
：线性方程组的解的判定
1. 包含 n 个未知数的齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解的充 分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) < n ． 2. 包含 n 个未知数的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩 R(A) = R(A, b)，并且 当R(A) = R(A, b) = n时，方程组有唯一解；
因为
方程组的任意一个解都可以表示为x1, x2 的线性组合．
x1, x2 的四个分量不成比例，所以 x1, x2 线性无关． 所以x1, x2 是原方程组的基础解系．
方法2：先求出基础解系，再写出通解．
1 -2 1 0 -3 4 1 2 r A 2 3 0 -1 ~ 0 1 2 -3 1 -1 -5 7 0 0 0 0
把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作 S，若求得 S 的一个 最大无关组S0：x = x1, x = x2, ...,, x = xt ，那么Ax = 0 的
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
4-5向量空间北京邮电大学 陈曦 线性代数
第五节 向量空间
向量空间的概念
定义 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且
集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集 合V为向量空间。
说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指
若α∈V，β ∈V，则α＋ β∈V ； 若α∈V，λ∈R，则λα∈V 。 2.全体n维向量的集合是向量空间，记作Rn。
11
例 设矩阵
⎛ 2 2 −1⎞
A
=
(a1
,
a2
,
a3
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
2 −1
−1 2
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 4⎞
B
=
(b1 ,
b2
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
0 −4
3 2
⎟ ⎟⎟⎠
验证a1,a2,a3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性
表示。
12
6
解 要证a1,a2,a3是R3的一个基，只要证a1,a2,a3线
因为a1,a2,…,am可由b1,b2,…,bs线性表示，故x可由 b1,b2,…,bs线性表示，所以x∈V2 。 也就是说，若 x∈V1 ，则x∈V2 ，因此 V1 ⊆ V2 类似的可证：若 x∈V2 ，则x∈V1，因此 V2 ⊆ V1 因为 V1 ⊆ V2 ，V2 ⊆ V1 ，所以V1＝ V2 。
则有x1 ＋ x2 ＝(λ1＋λ2)a＋(μ1＋μ2)b ∈ V， kx1 ＝ (kλ1)a＋(kμ1)b ∈ V。 所以V是一个向量空间。 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间。
6
3
一般的，由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间为 V＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λmαm|λ1, λ2,…,λm∈R}
向量空间的概念
定义 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且
集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集 合V为向量空间。
说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指
若α∈V，β ∈V，则α＋ β∈V ； 若α∈V，λ∈R，则λα∈V 。 2.全体n维向量的集合是向量空间，记作Rn。
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例 设矩阵
⎛ 2 2 −1⎞
A
=
(a1
,
a2
,
a3
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
2 −1
−1 2
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 4⎞
B
=
(b1 ,
b2
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
0 −4
3 2
⎟ ⎟⎟⎠
验证a1,a2,a3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性
表示。
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解 要证a1,a2,a3是R3的一个基，只要证a1,a2,a3线
因为a1,a2,…,am可由b1,b2,…,bs线性表示，故x可由 b1,b2,…,bs线性表示，所以x∈V2 。 也就是说，若 x∈V1 ，则x∈V2 ，因此 V1 ⊆ V2 类似的可证：若 x∈V2 ，则x∈V1，因此 V2 ⊆ V1 因为 V1 ⊆ V2 ，V2 ⊆ V1 ，所以V1＝ V2 。
则有x1 ＋ x2 ＝(λ1＋λ2)a＋(μ1＋μ2)b ∈ V， kx1 ＝ (kλ1)a＋(kμ1)b ∈ V。 所以V是一个向量空间。 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间。
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一般的，由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间为 V＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λmαm|λ1, λ2,…,λm∈R}
线性代数 第四章
可逆时， 的特征值。 （4） 当 A 可逆时，λ 是 A-1 的特征值。 Proof 且 x 仍是矩阵 kA， Al，g ( A) ，A-1 的分别属于特 l −1 的特征向量。 征值 k λ ，λ ， g (λ ) ， λ 的特征向量。 Note : λ，µ 为 A，B 的特征值 λ + µ，λµ 未必
−1
的特征值。 特征向量不同 特征向量不同) 是 A+B，AB 的特征值。(特征向量不同
第四章 特征值和特征向量、矩阵的相似对角化
Theorem 4.4 的证明 Proof : 由 Ax = λ x 有
(kA) x = k ( Ax) = k (λ x) = (k λ ) x
所以， 的特征值， 所以， k λ 是 kA 的特征值，且 x 也是 kA 属于
的特征向量， 用反证法 假设 x1 + x2 是A 的特征向量，则应存在数 λ
Ax1 = λ1 x1，Ax2 = λ2 x2 A( x1 + x2 ) = λ1 x1 + λ2 x2
A( x1 + x2 ) = λ ( x1 + x2 ) 使 于是 λ ( x1 + x2 ) = λ1 x1 + λ2 x2 即 (λ1 − λ ) x1 + (λ2 − λ ) x2 = 0
§1 特征值与特征向量
1.1 特征值与特征向量的概念 Definition 4.1 设 A 是 n 阶方阵，如果数 λ 和 n 维非 方阵， 零列向量 x 使关系式 对应于特征值
Ax = λ x
（1） ）
成立， 的特征值， 成立，则称 λ 为 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的 的特征向量。 λ 的特征向量。
说明满足 det( A − λ E ) = 0 的特征值. 是 A 的特征值. 反之 也然. 也然.
线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基
n
[, ] = i=1aibi = T.
第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量
与
的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2
0
线性代数(同济大学第五版)第四章
3. 将其余n–r个分量依次组成 n–r 阶单位矩阵, 于 是得齐次线性方程组的一个基础解系:
b11 b12 b1,n r b21 b22 b2,n r br 1 br 2 br ,n r 1 , 2 , , n r . 1 0 0 0 1 0 0 0 1
提示：可用方法2证明！
课后题9 设 b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , b3 a3 a4 , b4 a4 a1 , 证明向量组 b1 , b2 , b3 , b4 线性相关. 2011期选考题
1、 设 向 量 组 1 , 2 , 3线 性 无 关 ， 则 向 量 组 D） （ （A） 1 2 , 2 3 , 3 1线 性 无 关 ； （B） 1 2 , 2 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ； （C） 1 2 3 ,2 1 3 2 3 , 1 4 2线 性 无 关 ； （D） 1 2 2 ,2 2 3 3 , 1 2 2 3线 性 无 关 ；
如无特殊要求，建议用第三章的方法求解线性方程组！
d1 d2 dr , 0 0
考试类型题
一、向量组线性相关性的判定
方法1. 从定义出发 令 k11 + k22 + · + kmm = 0, 即 · ·
若只有零解, 则1, 2, · , m线性无关; 否则, 1, · · 2, · , m线性相关. · · 方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组n维向量1, 2, · , m, 就得到一个相应 · · 的矩阵A=(1, 2, · , m), 求R(A), 则 · · 若R(A)=m, 则 1, 2, · , m线性无关; · · 若R(A)<m, 则 1, 2, · , m线性相关. · · 利用相关定理(秩的相关性质)
同济大学线性代数课件--第四章
(1,2 ,3 )Kx = 0
故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
2019/8/11
26
" " R(K ) 3 设 x11 x22 x33 0 ，x ( x1, x2 , x3 ) 则 (1,2 ,3 )Kx (1, 2 , 3 ) x
2019/8/11
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12 a1n
记
A
a21
1,2
,
R( A) m
,m
2019/8/11
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2019/8/11
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102 系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
,
3
1 0
故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
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26
" " R(K ) 3 设 x11 x22 x33 0 ，x ( x1, x2 , x3 ) 则 (1,2 ,3 )Kx (1, 2 , 3 ) x
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11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12 a1n
记
A
a21
1,2
,
R( A) m
,m
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例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
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解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102 系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
,
3
1 0
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结第一章 行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式11221221aa a a -称为11122122a a a a 所确定的二阶行列式，并记作11122112aa aa ，即1112112212212122.a a D a a a a a a ==-结果为一个数。
（课本P1）同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数表111213212223313233a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作111213212223313233a a a aa a a a a 。
即111213212223313233a a a aa a a a a =112233122331132132112332122133132231,aa a a a a a a a a a a a a a a a a ++---二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组11112212112222ax a x b ax a x b +=⎧⎨+=⎩设11122122a a D a a =≠1121222b a D b a =1112212.a b D a b =则1122221111122122b a b a D xa a Da a ==，1112122211122122.a b a b D x a a Da a ==（课本P2）对三元方程组111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，设1112132122233132330a a a D aa a a a a =≠，1121312222333233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a Da b a a b a =，1112132122231323a ab Da ab a a b =，则11D x D=，22D xD=，33D xD=。
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
线性代数第四章
1 (2, 4, 2)T , 2 (1,1, 0,)T , 3 (2, 3,1)T ,
4 (3, 5, 2)T 的一个极大无关组，并将其余的向量用
该极大无关组 线性表示.
例2 设 Amn 及 Bns 为两个矩阵，证明: A与B乘积的 秩不大于的A秩和B的秩，即
r ( AB) min(r ( A), r ( B))
设A为m行n列矩阵，则有
1、线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无穷多解. 2、齐次线性方程组AX=0总存在零解，且 1)它有唯一零解的充要条件为r(A)=n; 2)它有无穷多解(即存在非零解)的充要条件 为 r(A)<n.
如果对矩阵A仅施以初等行变换化为矩阵 A ,则
A 的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系,
即 (1)如果A的列向量组1 , 2 ,, n 中,部分组 j1 , j2 , , js 线性无关，则 A 的列向量组 1, 2 ,,n 中，对应的 部分组 j , j 2 ,, js 也线性无关;反过来也成立.
阶梯形矩阵中非零行的行数即A为的秩
例1
1 3 1 2 2 1 2 3 求矩阵 A 3 2 1 1 1 4 3 5
的秩.
1 0 2 1 例2 求矩阵 A 1 1 1 1
1 1 2 3 1 6 2 2 5 的秩. 1 0 1
定理 if A ~ B r A r B .
结论 最高阶非零子式的阶数 阶梯形矩阵非零行的行数 矩阵的秩
=
最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数
用初等变换求矩阵的秩的方法：
4 (3, 5, 2)T 的一个极大无关组，并将其余的向量用
该极大无关组 线性表示.
例2 设 Amn 及 Bns 为两个矩阵，证明: A与B乘积的 秩不大于的A秩和B的秩，即
r ( AB) min(r ( A), r ( B))
设A为m行n列矩阵，则有
1、线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无穷多解. 2、齐次线性方程组AX=0总存在零解，且 1)它有唯一零解的充要条件为r(A)=n; 2)它有无穷多解(即存在非零解)的充要条件 为 r(A)<n.
如果对矩阵A仅施以初等行变换化为矩阵 A ,则
A 的列向量组与A的列向量组间有相同的线性关系,
即 (1)如果A的列向量组1 , 2 ,, n 中,部分组 j1 , j2 , , js 线性无关，则 A 的列向量组 1, 2 ,,n 中，对应的 部分组 j , j 2 ,, js 也线性无关;反过来也成立.
阶梯形矩阵中非零行的行数即A为的秩
例1
1 3 1 2 2 1 2 3 求矩阵 A 3 2 1 1 1 4 3 5
的秩.
1 0 2 1 例2 求矩阵 A 1 1 1 1
1 1 2 3 1 6 2 2 5 的秩. 1 0 1
定理 if A ~ B r A r B .
结论 最高阶非零子式的阶数 阶梯形矩阵非零行的行数 矩阵的秩
=
最简形矩阵非零行的行数 标准形矩阵中单位矩阵的阶数
用初等变换求矩阵的秩的方法：
线性代数课件第4章
11
2 1 1 例7： 求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量, 4 1 3
并求可逆矩阵P, 使 P 1 AP 为对角阵.
解：
2 1 1 2 | A E | 0 2 0 1 2 4 1 3
| A 3 A 2 E | 9
17
定理2：设 1 , 2 ,
, m 是方阵 A的 m 个特征值，
p1 , p2 ,
若 1 , 2 ,
, pm 依次是与之对应的特征向量。
, m 各不相等，则 p1 , p2 ,
, pm
线性无关。
方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
则
( n ) det( A)
ann )( )n1
1 2 n a11 a 22 1 2 n det( A)
a nn
8
1 1 0 例6： 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2
解：1、由矩阵 A 的特征方程，求出特征值.
1 1 0 1 1 3 0 (2 ) A E 4 4 3 1 0 2
1 2 0
2
特征值为 = 1, 2
9
2、把每个特征值 代入线性方程组 A E x 0, 求出基础解系。
(2) 有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
25
矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）
定理4： n 阶矩阵 A 与对角阵相似（A可对角化）
A有n个线性无关的特征向量。
26
Api i pi , i 1, 2,
( Ap1 , Ap2 ,
线性代数 第四章 第5节
1 0
0
00,
10,
,
10.
线性无关，
所以在每个向量前面添加 r 个分量而得到的 n－ r
个n维向量1,2 , ,nr也线性无关.
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1
其次，证明(1) 的任一解
x
r
r1
n
都可由1,2 ,r11,nrr线22性 表示n.n为r ,此作向量
由于1,2 , ,nr是(1)的解,所以η 也是(1)的解.
0 14 10 8
0 0 0 0
1 0 2 3
1 0 0
1 7 0
1 5 0
1 4 0
r2 (7) ~
r1 r2
0 0
1 0
7 5
7 0
7
4 7
,
0
即得
x1 x2
2 7 5 7
x3 x3
3 7 4 7
x4 , x4 .
()
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2 3
令
x3 x4
R( A) R(B) n.
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下面讨论非齐次线性方程组。
设有非齐次线性方程组
Axr
rr b(b
r 0)
(4)
下面讨论其解向量的性质。
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则x
性质3
1
设2为x对 应1及的x齐次2方 都程 是组 方
程
组(5)的
解,
Ax 0
(6)
的解。
证明
因为A1 A(1 2
)
b,AA12Ab所2 以b
0;
因此R( AT A) R( A).
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(试比较本章解法与上一章解法的不同)
线性代数第四章
为m个数, 称向
k11+k22+…+kmm
为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
15
，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm
则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出.
故1，2，3， 4线性相关.
31
例 2 设向量组, , 线性无关. 证明向量组
+, + , + 也线性无关.
32
小结：判定给定的一向量组1, 2, …, m是否线 性相关或线性无关，通常运用“待定系数法”，即 设待定系数 满足关系式
k11 k22 kmm O
11
二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ;
(ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间. 子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
中每一向量可由1, 2, …, m线性表出.
20
注. 若W=span(1, 2, …, m) , 则称1, 2, …, m
是子空间W的一组生成元, 并称W为1, 2, …, m
生成的子空间.
21
§4.3
线性相关与线性无关
一． 定义 线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概
利用行初等变换的方法解此方程组.
29
(1) 解. 因为
1 1 2 4 2 r1 r2 2 1 1 0 4 r1 r3 4 3 2 0
k11+k22+…+kmm
为向量组1, 2, …, m的一个线性组合.
15
，
定义4.2.2 设 1, 2, …, m, Rn, 如果存在数
l1, l2, …, lm 使得
=l11+l22+…+lmm
则称向量 可由向量组1, 2, …, m线性表出.
故1，2，3， 4线性相关.
31
例 2 设向量组, , 线性无关. 证明向量组
+, + , + 也线性无关.
32
小结：判定给定的一向量组1, 2, …, m是否线 性相关或线性无关，通常运用“待定系数法”，即 设待定系数 满足关系式
k11 k22 kmm O
11
二. 向量子空间
定义4.1.3 设W是的Rn一个非空子集. 如果
(i) 对任意的, ∈W，均有 + ∈W ;
(ii) 对任意的∈W 和任意的k∈R，有k∈W.
则称W是Rn的一个子空间. 子空间中向量加法和数乘向量满足向量空间定 义中的八条运算律. 从而 将向量空间和它的子空 间均称为向量空间.
中每一向量可由1, 2, …, m线性表出.
20
注. 若W=span(1, 2, …, m) , 则称1, 2, …, m
是子空间W的一组生成元, 并称W为1, 2, …, m
生成的子空间.
21
§4.3
线性相关与线性无关
一． 定义 线性相关与线性无关是线性代数中十分重要的概
利用行初等变换的方法解此方程组.
29
(1) 解. 因为
1 1 2 4 2 r1 r2 2 1 1 0 4 r1 r3 4 3 2 0
《线性代数》第五节初等变换初等矩阵
1
1
0
1
1
Rij
Cij
1
1
0
1
1
第i行 第j行
1
1
Ri ( ) Ci ( )
1
第i行
1
1
1
第i行
Rij
(k
)
C
ji
(k
)
k1
第j行
1
行初等矩阵与列初等矩阵统称为初等[矩]阵
初等变换与初等矩阵有以下定理表出的一些性质
定理7 对 m n 矩阵 A , 做一次行 (列) 初等变换
3 y1
y3 10
解 注意到这两个方程组具有全同的
利用分块技巧，可将其看成单个矩阵方
乍看起来，对于 n×n 方程组 Ax = b ，先求出
解 A-1 b 与用行初等变换法直接算出解 A-1 b 除了增
证明 充分证性明 若充分A 性可表示若成A有可限表个示初成等有阵限的 定理 13乘积n（阶不矩妨阵乘均A积为看非（作退不为化妨行阵均初的看等充作阵分为）必行，则要初可条等将件阵A是）看，则作
可通过对是A对作单有位限阵次是I行对作(单有列位限)初阵次等行I变作初换有等后限变化次换成行的单初结位等果阵变，. 换因
例 18 证明方阵
1 3 7
A
2
4 3
3 7 2
是非退化阵，并算出其逆阵.
解
例 19 (一种密码法)密码法是信息编码与解码的
技巧，其中的一种是基于利用可逆矩阵的方法。 先在 26 个英文字母与数字间建立起一一对应， 例如可以是
A B… Y Z
…
1 2 … 25 26 若要发出信息action，使用上述代码，则信息的编 码是：1，3，20，9，15，14 . 可写成两个向量 [1 3 20 ]T、 [9 15 14 ]T, 现任选一可逆阵，
《线性代数》课件第4章
Abi=0 (i=1，2，…，l)
例4.2.7 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由
下列向量组成:
1 4
ξ1
2 3
,
ξ
2
3 2
4
1
解 设所求的齐次线性方程组为Ax=0，矩阵A的行向量
形如αT=(a1，a2，a3，a4)，根据题意, 有 αTξ1=0，αTξ2=0
4a1a123aa2 232a3a34aa44
(3) 齐次线性方程组(4.2.1)任一解都可由ξ1，ξ2，…，ξn-r
设
1
x
ξ
r
r1
n
x1 x2 x3 x4 0 例4.2.4 求齐次线性方程组 2x1 5x2 3x3 2x4 0 的
基础解系与通解.
7x1 7x2 3x3 x4 0
解 对系数矩阵A做初等行变换，化为行最简矩阵:
(x3，x4可任意取值)
令x3=c1，x4=c2，把它写成向量形式为
x1
2
5 3
x2 x3 x4
c1
10
2
c2
0
1
4 3
4.2 齐 次 方 程 组
4.2.1
对于齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2
a2n xn
0 0
设这个方程组系数矩阵为B，对B进行初等行变换，得
B 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 2 4 3 2 1 0 5 10 15 0 1 2 3
这个方程组的同解方程组为 a1 a3 2a4 0 a2 2a3 3a4 0
1 2
其基础解系为
2 1
，
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0
例4.2.7 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由
下列向量组成:
1 4
ξ1
2 3
,
ξ
2
3 2
4
1
解 设所求的齐次线性方程组为Ax=0，矩阵A的行向量
形如αT=(a1，a2，a3，a4)，根据题意, 有 αTξ1=0，αTξ2=0
4a1a123aa2 232a3a34aa44
(3) 齐次线性方程组(4.2.1)任一解都可由ξ1，ξ2，…，ξn-r
设
1
x
ξ
r
r1
n
x1 x2 x3 x4 0 例4.2.4 求齐次线性方程组 2x1 5x2 3x3 2x4 0 的
基础解系与通解.
7x1 7x2 3x3 x4 0
解 对系数矩阵A做初等行变换，化为行最简矩阵:
(x3，x4可任意取值)
令x3=c1，x4=c2，把它写成向量形式为
x1
2
5 3
x2 x3 x4
c1
10
2
c2
0
1
4 3
4.2 齐 次 方 程 组
4.2.1
对于齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn 0
a21x1
a22 x2
a2n xn
0 0
设这个方程组系数矩阵为B，对B进行初等行变换，得
B 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 1 2 4 3 2 1 0 5 10 15 0 1 2 3
这个方程组的同解方程组为 a1 a3 2a4 0 a2 2a3 3a4 0
1 2
其基础解系为
2 1
，
3x1 x2 5x3 6x4 7x5 0
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可知, V 的基就是向量组的最大线
性无关组, V 的维数就是向量组的秩.
例如, 由例 8 知, 任何 n 个线性无关的 n 维向 量都可以是向量空间 Rn 的一个基,且由此可知 Rn 的维数为 n . 所以我们把 Rn 称为 n 维向量空间.
又如, 向量空间 V = { x = (0, x2 , ···, xn)T | x2 , ···, xn R } 的一个基可取为:
试证 L1 = L2 .
证 明 设 x L 1 , 则 x 可 由 a 1 , ···, a m 线 性 表 示 . 因 a 1 , ···, a m 可 由 b 1 , ···, b s 线 性 表 示 , 故 x 可 由 b 1 , ···, b s 线 性 表 示 , 所 以 x L 2 . 这 就 是 说 , 若 x L1 , 则 x L2 , 因 此 L1 L2 . 类 似 地可 证 , L2 L1 . 因 为 L1 L2 , L2 L1 , 所 以 L1 = L2 .
是一个向量空间. 因为若
x1 =1a +1b, x2 =2a +2b ， 则有 x1 + x2 = (1+2)a + ( 1 + 2 )b V,
kx1 = (k1)a + (k1)b V .
这个向量空间称为由向量 a , b 所生成的向量空 间.
一般地, 由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成的向 空间量为
么就称集合 V 为向量空间.
所谓封闭, 是指在集合 V 中可以进行加法及 数乘两种运算. 具体地说, 就是: 若 a V, b V,
则 a + b V; 若 a V, R, 则 a V.
例 17 3 维向量的全体 R3 , 就是一个向量空
间. 因为任意两个 3 维向量之和仍然是 3 维向量,
V = { x = (0, x2 , ···, xn)T | x2 , ···, xn R } 是一个向量空间. 因为若 a = ( 0 , a2 , ···, an )T V, b = ( 0 , b2 , ···, bn )T V , 则
a + b = ( 0 , a2 + b2 , ···, an + bn)T V ,
表示. 那么,向量组 a1 , a2 , ···, ar 就称为向量空间
V 的一个基, r 称为向量空间 V 的维数,并称 V 为 r 维向量空间.
如果向量空间 V没有基, 那么 V 的维数为 0.
0 维向量空间只含一个零向量 0.
若把向量空间 V 看做向量组,则由最大无关组
的
最 最 大 大 无 无 关 关 组 组 的 的 等 等 价 价 定 定 义 义
第五节 向 量 空 间
主要内容
向量空间的定义 向量空间的基与维 向量的坐标
本章第一节中把 n 维向量的全体所构成的集 合 Rn 叫做 n 维向量空间.下面介绍向量空间的有 关知识.
一、向量空间的定义
定义 6 设 V 为 n 维向量的集合,如果集合 V
非空, 且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭, 那
定 定 义 义
设 向 量 组 A 0 0 : a 1 1 , a 2 2 , · · ·, a rr 是 向 量 组
A 的一个部分组，且满足
( i ) 向 量 组 A 0 0 线 性 无 关 ； (ii) 向 量 组 A 的 任 一 向 量 都 能 由 向 量 组 性表示，
A 0 0 线
那 么 向 量 组 A 0 0 便 是 向 量 组 A 的 一 个 最 大 无 关 组 .
例 21 非齐次线性方程组的解集
S = { x | Ax = b } 不是向量空间 . 因为当 S 为空集时，S 不是向
量空间；当 S 非空时，若 S，则 A(2) = 2b b，
知 2 S .
例 22 设 a , b 为两个已知的 n 维向量，
集合 L = { x = a + b | , R }
数 乘 3 维向量也仍然是 3 维向量, 它们都属于
R3 . 我们可以用有向线段形象地表示 3 维向量, 从 而向量空间 R3 可形象地看做以坐标原点为起点 的有向线段的全体.
类似地, n 维向量的全体 Rn ,也是一个向量空 间. 不过当 n > 3 时, 它没有直观的几何意义.
例 18 集合
L={x=1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, 2 , ···, m R }.
例 23 设向量组 a1 , ···, am与向量组 b1, ···,
等价b, s记
L1={ x= 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R },
L2={ x= 1b1 + 2b2 + ···+ sbs | 1, ···, s R },
a = ( 0 , a2 , ···, an )T V .
例 19 集合
V = { x = (1 , x2 , ···, xn )T | x2 , ···, xn R } 不是向量空间. 因为若 a = (1 , a2 , ···, an )T V , 则
2a = (2 , 2a2 , ···, 2an )T V.
二、向量空间的基与维
定义 设有向量空间 V1 及V2 , 若 V1 V2,
就称 V1 是 V2 的子空间. 例如任何由 n 维向量所组成的向量空间 V,
总有 V Rn , 所以这样的向量空间总是 Rn 的子 空间.
定义 7 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
a1 , a2 , ···, ar V , 且满足 (i) a1 , a2 , ···, ar 线性无关; (ii) V中任一向量都可由 a1 , a2 , ···, ar 线性
e2 = (0 , 1, 0 , ···, 0)T , e3 = (0 , 0 , 1, ···, 0)T ,
············ en = (0 , 0 , 0 , ···, 1)T . 并由此可知它是 n - 1 维向量空间.
由向量组 a1 , a2 , ···, am 所生成的向量空间
L ={ x = 1a1 + 2a2 + ···+ mam | 1, ···, m R },