Lorenz混沌系统的电路仿真
电路实现lorenz混沌系统同步
同步是自然界中的一种基本现象,它通常指:至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。
关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯(C.Huygens)关于耦合单摆的同步现象的观察。
实际上,若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。
尤其是进入20世纪90年代以来,佩卡拉(L.M. Pecora)和卡罗尔(P.L.Carroll)提出相同混沌子系统间,在不同的初始条件下,通过某种驱动(或耦合),仍然可以实现混沌轨道的同步化。
他们提出了一种混沌同步的方法(简称P——C方法),并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。
他们的工作和OGY控制混沌的工作,极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究,拉开了利用混沌的序幕。
该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。
1 Lorenz吸引子一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的,当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时,称系统是同步的。
Lorenz 吸引子是一种典型的混沌系统,利用它可以证实以上的结论。
Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型,随后人们给出了它的电路实现。
其电路图如图1所示。
在电路中,由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。
R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。
R6、R7以及运算放大器3构成了一个倍乘器。
乘法器9实现了U和W的相乘。
乘法器10实现了U和V的相乘。
R8、R9、R10、R11、R12以及运算放大器4构成了一个加法器。
R13、R14以及运算放大器5构成了一个反向器。
R15、C2以及运算放大器6构成积分器。
R16、R17、R18、R19以及运算放大器7构成了一个减法器。
R20、C3以及运算放大器8构成了一个积分器。
其输出V(T)—T,关系如图2所示。
2 线性状态反馈同步下面讨论利用线性反馈的控制方法实现两个全同系统混沌运动的同步化。
所谓两个全同系统,这里是指一个n维动力系统),(.uxFx=(7)对它的复制品)','('.uxFx=(8)两式中的函数F有完全相同的形式,只是用带撇的变量代替了不带撇的变量(参数u可以有微小的差别)。
混沌系统的电路设计与仿真
V(y)
200ms V(z)
Time
5.0V
400ms 500ms
2.5V
0V
0Hz
0.5KHz
V(x)
1.0KHz Frequency
1.5KHz 2.0KHz
2.0V 0V
0V
-2.0V
-2.0V V(z)
0V V(x)
2.0V
-2.0V V(y)
0V V(x)
电路仿真结果
2.0V
报告要求
1. 设计目的（主要介绍混沌的一些基本特征、应 用等，自己查资料充实）。
y 2800(x) 1000xz 100y
参数确定
x 1 x 1 ( y) R1C1 R4C1
y 1 (x) 1 xz 1 y
R8C2
10R6C2
RR10C3
R9C3
x 1000x 1000( y) y 2800(x) 1000xz 100y z 1000(x) y (800/ 3)z
x 10x 10y y 28x 10xz y z 10xy (8 / 3)z
作时间变换尺度后的系统方 程，变换系数0 =100
x 1000x 1000( y)
y 2800(x) 1000xz 100y
z 1000(x) y (800/ 3)z
方程实现
x 1000x 1000( y)
设计举例 (Lorenz系统)
x ax ay y cx xz y z xy bz
3. Matlab仿真
function dx=lorenz(t,x) %定义子函数
a=10; b=8/3;c=28;
%系统参数
%*****************************************
(印刷电路)基于Lorenz系统的混沌调制保密通信的电路实现
收稿日期!#$$=!$J !#!#修改稿收到日期!#$$=!$=!#%作者简介!杨志民!%=!=$"%男%甘肃天水人%教授%硕士研究生导师A 主要研究方向为电路理论与应用A B !6/8(&:/.QU 6".3.,)4D ,)<.基于!"*)A J 系统的混沌调制保密通信的电路实现杨志民%!熊!丽%!张新国#!张!洁%!任文娟%!%A 西北师范大学物理与电子工程学院%甘肃兰州!?@$$?$##A 兰州大学信息科学与工程学院%甘肃兰州!?@$$$$"摘!要!对基本的E ’-4.U 混沌系统进行标度变换和优化设计!用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路!并用模拟电子电路实现了保密通信A 理论分析和实验结果证明了该通信方案的有效性A 关键词!标度变换"混沌调制"保密通信"E ’-4.U 系统中图分类号!a *=%%)@!!!!文献标识码!I !!!!文章编号!%$$%G =J J #!#$%$"$#G $$!$G $!S 8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146_I *V^28G 68.%%]M H *VE 8%%^O I *V ]8.G Q ,’#%^O I *V+84%%‘B *b 4.G R,/.%!%AS ’((4Q 4’0K 2:58<5/.DB (4<1-’.8<5B .Q 8.44-8.Q %*’-123451*’-6/(7.894-581:%E /.U 2’,?@$$?$%V /.5,%S 28./##AS ’((4Q 4’0M .0’-6/18’./.DB .Q 8.44-8.Q %E /.U 2’,7.894-581:%E /.U 2’,?@$$$$%V /.5,%S 28./"+,-#*%.#&I E ’-4.U<2/’18<5:514685(/C 4(8.Q 6,14D %’L 186,6D 458Q .4D %586,(/14D %/.D86L (464.14D 38122/-D 3/-4Aa 244X L 4-864.1-45,(15/-48.Q ’’D/Q -4464.13812<’6L ,14-586,(/18’.-45,(151’94-80:8154004<1894.455A M 1</.C 4,54D 8.54<-41<’66,.8</18’.5:51465A /)01"*2-&(/C 4(8.Q 6,1/18’.#<2/’56’D ,(/18’.#54<,-4<’66,.8</18’.#E ’-4.U 5:5146!!混沌保密通信方式主要有@种%即混沌遮掩4混沌调制和混沌开关A 混沌调制是一种常用的通信方式%其基本思路是将欲传送的信号和混沌振荡信号同时加入调制电路%由此产生混沌调制信号%将该调制信号通过发射机发射%再通过接收机接收并进行解调%从而得到欲传送的信号A 混沌调制方式比起混沌开关和混沌遮掩有以下优点&首先%由于混沌信号谱的整个范围都用来隐藏信息%因此具有宽频谱的特性#其次%对参数变化具有更高的敏感性%从而增强了保密性’%G J(A%==@年%S ,’6’和H L L4.2486实现了E ’-4.U 系统的混沌遮掩保密通信方案’%(%但该方案在保真度和安全度方面均存在一些不足A%=="年%T 8(/.’98<&和^/Q2(’,(T B 提出了混沌遮掩的改进方案’#(%但只对所提出的方案进行了理论分析和计算机仿真%未能用硬件进行实现A 文献’@(根据文献’#(提出的混沌遮掩改进方案%用电子电路实现了保密通信%但缺乏对电路的优化A 笔者首先对基本的E ’-4.U 混沌系统进行了标度变换%使其转换为电路易于实现的E ’-4.U 混沌系统%然后对E ’-4.U 混沌电路进行优化设计%用优化设计的E ’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路%使电路的综合性能达到最佳%并用模拟电子电路实现了保密通信A 实验结果证明了所设计方案的有效性A%!基本E ’-4.U 方程的标度变换基本E ’-4.U 方程组为!#$%$!*’)#S 8-<,8186L (464.1/18’.’0<2/’56’D ,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C /54D’.E ’-4.U <2/’18<5:5146a "$:!R &""%a R $/"&R &"]%a ]$"R &%]-./+!%"当取参数:Y %$%/Y #J %%Y J /@时%系统!%"是混沌的A!!在实际的电子线路中%无源元件的数值及有源电子器件的工作电压均有一定的范围%例如运算放大器的电源电压一般为Z %>$[%>&%很好的线性工作范围为Z%$$[%$&A 在一般的混沌电路中%方程!%"的变量都是某个运算放大器的输出电压%故其变化范围不应超出电源电压值A 而基本E ’-4.U 方程数值解中变量的变化范围可能很大%因而不便于使用通常电路元件实现A 故在实际应用中%利用标度变换的方法%即对原方程引入新变量:$"%$%U $R %$%S $]@$%!#"将基本方程中变量的变化范围进行适当调整%使其能够用普通的电路实现A 例如对于方程!%"中的变量"%如果其数值范围是Z #>$#>%那么就不能够直接作为电路中以伏特数为单位的电压变量或电压动态范围+现在如果取:Y "/%$作为新的电路变量%其变化范围就是Z#)>$#)>&%从而完全符合电路设计的要求A采用!#"式的变换%则E ’-4.U 方程!%"变为a :$:!U &:"%a U $/:&U &@$:S %a S $@)@:U &%S -./+!@"即得a "$:!R &""%a R $/"&R &@$"]%a ]$@)@"R &%]-./+!!"代入具体参数值:Y %$%/Y #J %%Y J/@%得a "$&%$"#%$R %a R $#J "&R &@$"]%a ]$@)@"R &!J /@"]-./+!>"!!用T/1(/C 对!>"式进行仿真得到的相图如图%所示A 由图可见%各个参数的数值范围都在Z %$$[%$&A 即经过标度变换后的E ’-4.U 混沌系统在实际应用中完全符合电路设计的要求A根据!>"式设计的电路如图#所示A 图%!!>"式的仿真结果P 8Q %a 24586,(/18’.-45,(15’04W,/18’.!>"图#!!>"式的实现电路P 8Q #a 24<8-<,81’04W,/18’.!>"#!混沌保密通信电路的实现%)$!电路的优化设计图#所示的电路虽然能够实现!>"式的功能%但为了得到最优电路%还需进行优化设计A 优化设计的基本思路是&在不改变电路功能的条件下%将电路尽量简化和合并%降低电路的复杂程度与总误差%以及电路总电阻的热噪声%同时降低电路成本A 优化设计电路的Bb N 仿真结果如图@所示A 优化以后的E ’-4.U 电路如图!所示A 由图!可见%电路的运算放大器由%#个减少成为"个%其它无源元件也有相应的减少A 优化以后得到的电路简单%调试容易%适用于规模化生产A%)%!混沌调制保密通信电路优化以后的E ’-4.U 混沌电路可以实现混沌保密通信%其系统框图如图>所示A 图中虚线的左边为发送系统%右边为接收系统A 在发射端%送往\4G 的信号是混沌信号,!6"与欲传送信号’!6"相加后的合成信号%即经过信道后送到接收端\4G 的信号T !6"A 这样%接收系统就更容易与发送系%!统保持良好同步%因而本电路的鲁棒性好A图@!优化设计电路的B b N 仿真P 8Q @E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图!!优化以后的E ’-4.U 电路P 8Q !a 24E ’-4.U <8-<,81’0’L 186,6D 458Q.4D 图>!混沌保密通信系统框图P 8Q >a 24D 8/Q -/6’054<-41<’66,.8</18’.5:51465!!用优化设计得到的E’-4.U 混沌电路组成混沌调制保密通信电路如图"所示A 发送系统最上面的运算放大器设计成减法器%是发送系统的调制器A 欲传送信号从该运算放大器的反相输入端输入%其输出信号通过通信信道!有线或无线"发送到接收系统中A 接收系统基本混沌电路与发送系统基本混沌电路相同%最上面的运算放大器是发送端的解调器%#个输入信号都是混沌信号%输出是混沌信号的误差信号%恰好是发送端的传送信号%从而完成了混沌保密通信A图"!混沌保密通信优化电路原理图P 8Q "a 24<8-<,81’054<-41<’66,.8</18’.5:51465@!硬件电路的实现和测试图"所示电路的硬件实现电路如图?所示%测试结果如图J 所示A 对于发送端%增加跳线器组h #%0#1端与0@1端连接即是E ’-4.U 混沌电路%在示波器上可以观察到"%."#%"%."@和"#."@的相图%如图J !/"4!C "4!<"所示A 同样%对于接收端%增加跳线器组h @%0#1端与0@1端连接亦是E ’-4.U 混沌电路A 如上连接%#个E ’-4.U 混沌电路完全独立%不同步A "%.R %%"#.R #和"@.R @不同步相图如图J !D "4!4"4!0"所示A 对于发送端%0#1端与0@1端连接%对于接收端%0#1端与0%1端连接%则接收端E ’-4.U 混沌电路与发送端E ’-4.U 混沌电路同步%"%.R %%"#.R #和"@.R @同步相图如图J !Q "4!2"4!8"所示A 若使#个E ’-4.U 混沌电路实现保密通信%则对于发送端%0#1端与!#$%$!*’)#S8-<,8186L(464.1/18’.’0<2/’56’D,(/18’.54<,-4<’66,.8</18’.C/54D’.E’-4.U<2/’18<5:51460%1端连接%E’-4.U混沌电路被调制#对于接收端%0#1端与0%1端连接%E’-4.U混沌电路被同步%当通信过程开始后%有输出信号A另外%增加跳线器组h%%不做通信实验时%无输入信号%0#1端与0%1端连接%避免干扰#做通信实验时%有输入信号%0#1端与0%1端开路%避免短路A 图J!R"是接入收音机后发送端的调制信号!上"与接受端的解调信号!下"A由图可见%接收端基本解调出语音信号%实现了保密接收%但语音通信效果不是很完美%原因是模拟乘法器参数离散%使得同步噪声较大A图=是发送和接收的信息信号波形图%由图可见%二者完全同步%发送的信息信号与接收的信息信号相同A图?!实验电路板照片P8Q?a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1<8-<,81L(/14!/""%."#相图!!!!!!!!!C""%."@相图!!!!!!!!!<""#."@相图!D""%.R#不同步相图!!!!!!!4""#.R#不同步相图!!!!!!!0""@.R@不同步相图!Q""%.R%同步相图!!!!!!!2""#.R#同步相图!!!!!!!8""@.R@同步相图!R"混沌保密通信发送端输入调制信号与接收端解调输出信号图J!实验结果照片P8Q J a24L2’1’Q-/L2’04X L4-864.1-45,(15#下转第!=页$@!。
电路实现lorenz混沌系统同步
电路实现lorenz混沌系统同步作者：郭丹伟张景波来源：《科技资讯》2015年第22期摘要：若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。
20世纪90年代以来，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡罗尔（P.L.Carroll）提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化。
该文就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的研究。
关键词：Lorenz 混沌 PC同步中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）08（a）-0045-02同步是自然界中的一种基本现象，它通常指：至少在两个振动系统相位间的协调一致现象。
关于同步现象最早的研究可以追溯到1673年惠更斯（C.Huygens）关于耦合单摆的同步现象的观察。
实际上，若干个耦合单元之间通过相互作用达到同步的现象在许多领域中屡见不鲜。
尤其是进入20世纪90年代以来，佩卡拉（L.M.Pecora）和卡罗尔（P.L.Carroll）提出相同混沌子系统间，在不同的初始条件下，通过某种驱动（或耦合），仍然可以实现混沌轨道的同步化。
他们提出了一种混沌同步的方法（简称P——C方法），并在电子线路上首次观察到混沌同步现象。
他们的工作和OGY控制混沌的工作，极大地推动了混沌同步和混沌控制的理论研究，拉开了利用混沌的序幕。
该文仅就混沌同步的几种主要方法及这些方法的基本原理作简要的介绍。
1 Lorenz吸引子一个系统的同步是以其条件李雅普诺夫指数来衡量的，当一个系统的条件李雅普诺夫指数为负时，称系统是同步的。
Lorenz吸引子是一种典型的混沌系统，利用它可以证实以上的结论。
Lorenz系统是气象学家lorenz在研究流体是提出的动力学模型，随后人们给出了它的电路实现。
其电路图如图1所示。
在电路中，由R1、R2、R3、R4以及运算放大器1构成了一个减法器。
R5、C2以及运算放大器2构成一个积分器。
非现场答辩_Lorenz混沌系统的电路仿真
南昌校区2011年毕业设计（论文）工作中期检查评价表毕业设计（论文）成绩评审表1（理工科类）备注：其他学科门类可参照制定评分标准指导教师签字：年月日毕业设计（论文）成绩评审表2（理工科类）评阅人意见及评分备注：其他学科门类可参照制定评分标准，此表可自主延伸。
评阅人签字：年月日江西理工大学南昌校区毕业答辩记录及成绩表信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真(此表可自主延伸)详细答辩记录信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真论文自述：本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。
用实验室实验来研究混沌问题，上述混沌的特性均能在实验中加以验证，虽然从充实混沌概念这个角度来看，实验室实验的作用在目前似乎不如数值实验，然而，实验室实验毕竟证实了混沌是广泛存在的自然现象，是一种新认识到的运动形态。
计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。
这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。
答辩问题与解答：1、请说明你论文标题中与专业相关的内容是什么？文中论述的是关于混沌学的相关知识，与我们所学的专业当中自动控制方面的内容是相连在一起的。
它是基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。
混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象2、你论文中用到了所学的那些课程？我论文的设计是与所学课程是联系在一起的，它的论述是建立在混沌控制及其优化应用、Lorenz系统族的动力学分析、自动控制、系统仿真分析与设计等所学过课程的基础上，没有这些相关知识点的累积我是不可能完成这一设计的。
类LORENZ混沌系统及其电路实现
• 188•本文研究动力学特性更为复杂的新三维混沌系统。
首先利用数值建模分析了三维混沌系统的基本动力学特性，然后搭建新混沌系统硬件电路，通过Multisim软件进行硬件电路仿真模拟，最后验证了系统的物理可行性，结果表明仿真实验与理论分析结论吻合。
1963年MIT(Massachusetts Institute of Technology)气象学家Loren 发现已确定的三阶微分方程具有不规则的解，提出了“蝴蝶效应”理论，开启了研究混沌现象的序幕。
混沌作为非线性动力学的一个分支，在很多领域具有广泛应用。
复杂混沌系统的产生、分析和控制近年来引起了国内外同行的广泛关注。
经典的混沌系统诸如：Rössler 系统、Chen 系统及Lü系统等被提出，一些新的混沌系统被发现，它们具有更大的Lyapunov 指数和更强的混沌特性。
本文基于文献中Lorenz-Like 系统，搭建了新三维混沌系统，发现此系统的混沌特性比原系统复杂，在不同参数值下不仅折叠吸引子的涡卷数增加；并且发现在4.28＜b ＜10.5时，系统产生新的两翼折叠混沌吸引子，其最大Lyapunov 指数高达6.7872，比上述文献中混沌系统的Lyapunov 指数值均大。
1 混沌系统模型及特性分析1.1 混沌系统模型本文基于Lorenz-Like 系统构建了一个新三维自治混沌系统，该系统的数学模型可描述为：（1）式中，x ，y ，z 为状态变量。
当初值为(10，10，60)，参数a =10、b =3、c =50、h =-1时，系统存在一个典型混沌吸引子如图1所示。
图1 系统(1)相图1.2 三维系统参数的影响系统动力学特性随参数的变化而变化，系统的运行状态可以直观的由Lyapunov 指数谱及分岔图反映。
当固定参数a 、c 、h ，参数b 变化。
图2(a)反映在0＜b ≤2.256及b ＞12.39区域Lyapunov 指数谱符号为(-，-，-)或(0，-，-)，系统处于周期运动状态；在2.257＜b ≤12.35区域Lyapunov 指数谱符号为(+，0，-)，系统处于混沌运动状态。
简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台开发
简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台开发作者：赵海滨于清文颜世玉来源：《中国教育技术装备》2020年第06期摘要采用Python語言建立简化Lorenz混沌仿真和控制实验平台，能够进行简化Lorenz 混沌的仿真和镇定控制。
采用Tkinter建立软件的GUI界面，并采用Matplotlib进行图形的绘制，可以修改混沌系统的参数和初始状态以及控制器的参数。
采用主动控制器进行简化Lorenz 混沌的镇定控制，状态变量渐进收敛到零。
该实验平台可以进行简化Lorenz混沌的仿真和镇定控制，能够提高学生创新实验技能和工程实践能力。
关键词简化Lorenz混沌;实验平台;仿真实验;Python语言中图分类号：TP391.9 文献标识码：B文章编号：1671-489X（2020）06-0032-03Experimental Platform Development of Simplified Lorenz Chao-tic System Simulation and Control//ZHAO Haibin， YU Qingwen， YAN ShiyuAbstract A simulation and control experiment platform of simplified Lorenz chaotic system is established by Python， which can simulate and stabilize Lorenz chaos. The GUI of the software is built by Tkinter， and the graph is drawn by Matplotlib. The parameters of chaos system， initial state and controller can be modified. The active controller is used to stabilize simplified Lorenz chaotic system， and the state variables converges to zero gradually. The experimental platform can simulate and stabilize simplified Lorenz chaotic system， and improve students’ innovative experimental skills and engineering practice ability.Key words simplified Lorenz chaos; experimental platform; simula-tion experiment; Python language1 引言混沌是非线性动力系统的固有特性，对初始条件具有极端的敏感性，是非线性系统普遍存在的现象，广泛存在于自然界和人类社会中。
Lorenz混沌系统的电路仿真
毕业论文（设计）题目Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生：学生学号：信息工程系一电气自动化专业一08自动化2班2011年04月15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。
许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。
计算机仿真结果表明: 在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。
这个控制法则来源于雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。
电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeatesand affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to usetiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.Key Words: Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.目录ABSTRAC.T (II)第一章绪论. (1)1.1选题的目的及意义. (1)1.2混沌学 (2)1.2.1混沌的发展. (2)1.2.2混沌的定义. (3)1.2.3通向混沌的道路. (5)1.3奇怪吸引子 (5)1.3.1洛伦兹吸引子. (5)1.3.2伊侬吸引子. (6)1.3.3奇怪吸引子特性. (6)第二章混沌的同步研究及其应用 (8)2. 1 混沌的同步 (8)2.1.1同步的定义. (8)2.1.2广义同步的定义. (9)2.1.3相位同步的定义. (9)2.2谈谈几种典型的同步方法. (10)2.2.1驱动响应同步法. (10)2.2.2变量反馈微扰同步方法. (11)2. 2. 3 相互祸合的同步方法. (12)2.2.4自适应同步方法. (13)2.3 混沌同步的研究进展. (13)2.4混沌同步的应用. (14)第三章针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计 (15)3.1Loren: 系统的科学价值和历史意义 (15)3.2Lorenz 系统的动力学行为. (15)3.2.1L orenz 系统的基本动力学行为 (15)3.2.2平衡点和分岔. (17)3.3 电子电路的应用设计. (17)3.3.1简单混沌现象研究. (20)4.3.2电路图 (21)第四章计算机仿真与电路的实现 (22)4.1软件设计 (22)4.1.1软件设计的基本原则. (22)4.1.2软件选择 (22)4.1.3电路的实现. (23)4.2 仿真与分析 (23)4.2.1M atlab 仿真. (23)4.2.2结果分析 (24)论文总结与展望 (26)致. (27)参考文献. (28)第一章绪论1.1选题的目的及意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌电路系统的模型仿真与电路实现_林若波
2009 年 6月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS June ， 2009 文章编号：1007-0249 (2009) 03-0121-05混沌电路系统的模型仿真与电路实现*林若波1,2（1. 揭阳职业技术学院，广东 揭阳 522051；2. 湖南大学 电气信息工程学院，湖南 长沙 410082）摘要：通过对混沌电路系统的分析方法的介绍，指出模型仿真和电路实现的重要性；以二个典型混沌系统为例，阐述了基于Matlab/Simulink 环境下的仿真方法，同时介绍基于Multisim 8平台的电路仿真和实现过程；最后指出混沌电路的发展前景和研究方向。
关键词：混沌；仿真；Lorenz；Simulink；Multisim 8中图分类号：N945.1 文献标识码：A1 引言非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，而混沌理论是非线性科学最重要的成就之一。
“混沌”的发现冲破了传统的决定性观念，著名物理学家福特（J. Ford ）认为混沌的发现是继相对论、量子力学之后，20世纪物理学的第三次革命。
目前混沌系统理论有三个主要的发展方向：应用、综合、和引入比较复杂的数学工具，以求机理研究、分类与构造理论等的进一步发展；寻求数学与物理模型的新范例，研究混沌的应用及其工程系统实现。
2 混沌电路系统的分析方法[1]混沌系统模型的研究一般包括以下几个基本步骤：问题描述、模型建立、仿真实验、结果分析、电路实现，其流程如图1所示。
（1）建立数学模型数学模型是指描述系统的输入、输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
混沌系统中最常用、最基本的数学模型是微分方程与差分方程。
（2）建立仿真模型仿真模型是借助计算机对数学模型进行数值分析计算的模型。
仿真模型的建立是最重要的，它是混沌系统分析的关键点。
有些混沌模型不能直接用于数值计算的，如微分方程，必须进行相应的转换。
（3）仿真与实验变量之间的联系必须通过编制程序来实现，常用的数值仿真编程语言有MATLAB 、C 、FORTRAN 等。
分数阶时滞忆阻混沌电路的动力学分析及电路仿真
2］区间变化，见图 4。从分岔图可以很明显地看出
和 C1 = 1.232μFC 2 = 1.835μFC 3 = 1.10μF 。 运 算
时，出现 Hopf 分叉，最后随着 a 的增加变为混沌状
供 ±15 的 电 压 和 R = 11.24kΩ ，整 体 电 路 图 如 图 6
系统（2）的轨道从周期状态开始，然后当经过阈值
数阶忆阻器 ，将其替换图 1 中的电容得到分数阶磁
控忆阻器，数学表达式为
ì dx q 2
ï
= 1 q x1
dt
R 0C 0
ï
（1）
í
æ1
g1 g 2
2ö
ï
1
ï f ( x1 x 2 ) = ç R - R + R [ x 2] ÷ x1
2
è 1
ø
î
其中 x1、x2 和 （
f x1，x2）分别是忆阻器的输入、内部状
态。各状态的相位图和时域图如图 3 所示。当
（a）a = 1.62
放 大 器 和 乘 法 器 采 用 AD711KN 和 AD633JN ，提
（c）所示。
（b）a = 1.68
（d）a = 1.62
（e）a = 1.73
图5
相位图与时域图
（c） a = 1.73
统进入混沌状态，如图 5（b）和（e）所示。当 a = 1.73
时，系统展现出双涡旋的混沌吸引子，如图 5（c）和
（f）所示。
出一个引理来讨论式（3）的根的分布。
引理 1 对于式（3），以下结果成立：
1）如 果 ψ k > 0(k = 1234) 且 A 3 + A 4 ¹ 0 ，则
方程（3）在时滞 τ ³ 0 时没有实部为零的根。
混沌系统的仿真实现
figure ( 2)
p lo t ( y1, y2, ’k’)
function yp rim e = duffing ( t, y)
yp rim e = [ y ( 2) ; - 0113 y (2) - y (1) ^3
+ 113 co s ( t) ] 当 F = 0151时 , x - t曲线见图 7,相图见图 8, 系统处于周期运动状态 ; 当 F = 11 时 ,系统 x - t 曲线见图 9,相图见图 10,此时该系统处于混沌运 动状态.
u. = z
取 a = 011,Ω = 1,μ = 1, x ( 0) = y ( 0) = 1100,
F 取 不 同 值 时 , 系 统 处 于 不 同 状 态. 设 y1 = x,
y2 = y则 , D uffing方程的 MATLAB 仿真实现程序
清单如下 :
function duffing ( )
第 21卷 第 3期 Vol121 No13
钦州师范高等专科学校学报 JO URNAL O F Q INZHO U TEACHERS COLL EGE
2006年 6月 June1, 2006
混沌系统的仿真实现
陆安山
(钦州学院 物理与电子工程系 ,广西 钦州 535000)
[摘 要 ] 利用 MATLAB软件 ,以程序的形式对 Lorenz、Duffing和 Rossler三种经典混沌系统相图 、x - t曲 线进行仿真 ,并对其进行分析 ,阐述混沌系统的特点. [关键词 ] 混沌 ;吸引子 ; MATLAB;仿真 [中图分类号 ] O41515 [文献标识码 ] A [文章编号 ] 1008 5629 (2006) 03 0084 04
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计
洛伦兹混沌系统的电路仿真与设计【摘要】本文基于Lorenz混沌系统的动力学方程，利用Matlab软件中的simulink模块搭建方程进行仿真，并将Lorenz方程进行标度变换为一个新的标准方程，使用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。
【关键词】Lorenz混沌系统；Matlab仿真；模拟电路设计0 引言混沌系统对初始值非常敏感，并且具有类随机性，可控及同步性。
近年来，混沌保密通讯、混沌电路及加密发展成为一个前沿领域。
混沌加密等应用问题首先要解决的问题即混沌电路的设计。
本文基于Lorenz混沌系统，分析其基本特性，并进行了电路仿真及模拟电路的设计。
1963年著名的气象学家E.N.Lorenz研究大气热对流运动时发现了一种特殊的混沌现象，即蝴蝶效应。
Lorzen吸引子是目前文献记载最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成为“混沌之父”。
至今，Lorzen系统族的发展虽然有很长的历史，但是Lorzen系统族丰富的动力学行为依然值得更加深入的研究，并进行更多的应用发展。
lorenz系统的动力学方程为：■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）式中，x，y和z表示对流强弱，水平温差和与温差有关的变量；σ、γ和b 则分别为Rayleigh数、Rayleigh数和容器大小有关的参数。
当σ =10，b=8/3，γ=28时，lorenz系统出现混沌现象。
1999年，我国学者陈关荣等人提出了一个新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）当a=35，b=3，c=28时，Chen系统产生混沌现象。
2002年，吕金虎提出了LU系统，它的动力学方程为：■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）当a=36，b=3，c=20时，LU系统出现混沌现象。
这三个系统具有类似却不相同的动力学行为，被称为Lorzen系统族[1]，它对于混沌系统的理论研究以及控制、同步、加密应用等都具有重要的意义。
基于简化Lorenz混沌电路的 频率特性分析
(1)
经变量比例压缩及时间尺度变换，数学模型(1)所对应的电路模型状态方程如(2)所示。改变电路模型 的可调电阻 R14 的阻值可以等效为改变系统(1)中参数 c 的值。
DOI: 10.12677/ojcs.2018.74012 94 电路与系统
陈秋杰 等
R4 ( R1 + R3 ) 1 R3 = dx dt R y − R (R + R ) x R C 5 1 1 1 2 4 R R R R R R16 1 1 t x − 16 7 xz + 16 14 11 y − x dy d= R17 C2 R8 R15 R12 R10 R13 10 R9 R6 + R R R ( ) R 1 20 dz dt 20 = xy − 21 18 z R22 C3 R18 ( R21 + R19 ) 10 R18
Open Access
1. 引言
混沌是非线性动力系统中的一种新的存在形式，是非线性动力系统的一个重要组成部分。混沌貌 似有序却又无序，存在一定的确定性现象又不缺乏随机性。混沌系统具有正的 Lyapunov 指数，对于初 始值的选取极其敏感，很微小的变化都会导致出现不同的结果。2008 年 HP 实验室发现的忆阻器实物 模型 [1]引发了忆阻器和基于忆阻器的混沌系统的研究热潮 [2]-[8]。在通过搭建实际硬件电路来研究混 沌系统方面[9] [10] [11]，众多的研究者通常只改变某组混沌系统控制参数所对应的电路参数来获取系 统吸引子相图，以验证控制参数对于系统的非线性动力特性的影响，并没有分析其系统信号频率范围 以及该频率范围的选取范围对于原系统非线性动力特性的影响[2]-[10]。文献[1]的图 2(b)展示了随着频 率的增加，忆阻器的伏安特性曲线由 100 Hz 时所拥有的八字环型在 1000 Hz 时坍塌为一条直线，此结 果揭示在基于忆阻器的混沌电路实现中，由于忆阻器元器件的伏安特性将会随着信号频率的改变而变 化，混沌电路信号的震荡频率范围改变可能对系统的非线性动力特性产生潜在影响。本研究以简化 Lorenz 系统为例，分析积分电路的参数配置对混沌系统信号的震荡频率范围改变及其对于非线性动力 系统特性的潜在影响。秋杰, 杨其宇, 鲍芳. 基于简化 Lorenz 混沌电路的频率特性分析[J]. 电路与系统, 2018, 7(4): 93-100. DOI: 10.12677/ojcs.2018.74012
基于Simulink的Lorenz混沌系统的可视化仿真研究_马建兵
强期刊的内部管理等方面。
杂志就会陷入困境。
性就可以发挥得淋漓尽致。行政性，即对编辑部
1 解放思想，更新观念
（2）倡导编辑多一点批判精神、怀疑精神。 的管理，强调的是执行力。
摆脱陈旧思想观念的束缚，建立起精品意 编辑必须挑剔、质疑文章中的每一个细节，并主
第五，管理编辑部最大限度地发挥每一个
识、竞争意识，与时俱进，敢于创新，在解放思想 动和作者沟通。
算单元。
时，其相空间轨道可得到相应的仿真结果。
第二步：打开 Matlab 中的 Smulink 模块库，
设 σ=10，b=8/3 固定不变[8]。当 0＜r＜1 时，仅有
按照方程组中的运算关系，拖动相应的模块构建 一个 0（0，0，0）点是稳定的平衡点，其中 r=0.5，系统
成 3 个方程的仿真图，如图 1 所示。
个人按章处罚，真正达到表彰先进、鞭策落后的 较强的指导意义。利用 Smulink 仿真软件建立了 Phys.67，1979：93.
（2）
当 k=0.3（k 为控制强度常数），T=0.2（T 为延时 时间），σ=10、b=8/3、r=28 时，控制后的 Lorenz 混沌 系统可视化模型如图 4 所示。
就能实现对复杂系统的仿真。从而建立了 Lorenz
式中，x 正比于对流运动的强度，y 正比于水 混沌系统的可视化模型，如图 2 所示。
（4）编辑还需要有“补位”意识，要有“甘为 正要把每个人的积极性都调动起来，就是使他
版内容、选题策划、市场营销、人才培养等方面 他人作嫁衣”的境界。
最大限度地付出多少，能够得到相应的回报。虽
的改进。并以此为切入点，理清期刊发展的理念
第二，加强团队建设，建立良好的文化氛围 然我们的编辑不会斤斤计较，但是做为编辑部
一个新类Lorenz混沌系统的动力学分析及电路仿真
第5卷第4期2007年12月1672-6553/2007/05 /324-6动力学与控制学报J OURNA L O F DYNAM ICS AND CONTROLV o.l 5N o .4D ec .20072007-03-23收到第1稿,2007-05-13收到修改稿.*甘肃省自然科学基金资助项目(3ZS042-B25-049);兰州交通大学科研基金(DXS -2006-74,DXS -2006-75)一个新类Lorenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真*李险峰1张建刚2褚衍东1常迎香2(1.兰州交通大学非线性研究中心,兰州 730070)(2.兰州交通大学数理与软件工程学院,兰州 730070)摘要 提出了一个新的三维自治类L orenz 系统.理论分析了该系统的动力学特性,并通过数值计算分析了系统在平衡点处的稳定性,以及产生H opf 分岔的条件.通过计算系统的时间序列的Lyapunov 指数谱、L ya -punov 维数、分岔图、Po i ncar 截面图等研究了系统的动力学特性.最后对该系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与仿真模拟.关键词 新类Lo renz 系统, L yapunov 指数, 分数维数, P o i nca r 截面图, 电路仿真引言混沌振动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,是在确定系统中产生的不规则运动,其基本特征是具有对初始条件的敏感性[1].人们在认识和研究混沌理论和应用的过程中,逐步认识到混沌的研究价值和应用价值.随着对混沌的深入研究和实际工程需要,各种非线性混沌系统也被相继提出,并得到了广泛的研究.特别是自从上世纪60年代提出Lorenz 系统[2]以来,许多新的自治混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究[3-8].其中最为著名的是Rossler 系统[3],在Lorenz 混沌系统反控制中被发现的Chen 系统[4,5]、L 系统[6]、统一混沌系统[7]、L i u 系统[8]以及Q i 系统[9-11]等,特别是L系统在Lorenz 系统和Chen 系统之间架起了一道桥梁,实现了从一个系统到另一个系统的过渡[6,7].本文提出了一个新的类Lorenz 系统,该系统含有2个非线性项,文中利用理论推导、数值仿真、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、分岔图、Po incar 截面图等分析了该系统的基本动力学特性,从数值和理论上分析了系统的混沌特性.结果表明该系统和Lorenz 系统族中[12-14]每一个系统有着类似的性质,并且奇怪吸引子都具有较低分数维数.最后设计了模拟该混沌系统的实际电路,同时基于E W B 软件平台及电子仪器进行了实际电路仿真验证.1 新的类Lorenz 系统的模型及基本动力学特性该系统是根据Lorenz 吸引子和Chen 吸引子线性部分系数的特征,构造了一个三维非线性动力学系统.系统的模型如下:x =a (y -x ) y =abx -axz z =xy -cz(1)其中x =(x,y,z )TR 3为系统的状态变量,a,b ,c 为参数,且a 0.系统(1)中共含有2个非线性项,分别是xz ,xy .可以通过严格的数学证明系统(1)与上述Lorenz 系统族中每一个系统都不具有拓扑等价性,是一个完全新的类Lorenz 系统.由于严格证明拓扑等价性是十分困难和繁琐的,故在此略去.1.1 几条最基本的性质(1)对称性和不变性首先,注意到系统(1)在变换S:(x,y ,z ) (-x ,-y,z)下对于所有的参数a,b ,c 具有不变性,则此变换表明系统关于z 轴是对称的,即若 是系统的解,则在此意义下,S 也是系统的解.显然,z 轴本身也是系统的一条解轨线,也就是说,若t =0时有x =0,y =0,则对于所有的t >0,仍然有x =0,y =0.更进一步说,对于t 0,z 轴上所有的解轨线都趋向于原点.第4期李险峰等:一个新类L orenz混沌系统的动力学分析及电路仿真(2)耗散性和吸引子的存在性可以验证,系统(1)在a>0,b<0,c>0时是关于原点是全局,一致渐近稳定的.可以构造如下的正定的Lyapunov函数V(x,y,z)=-bx2+y2+az2(2)容易验证V (x,y,z)=-2b xx+2yy+2azz=-2bx(a(y-x))+2y(ax(b-z))+2az(xy-cz)=2a(bx2-cz2)<0(3)同时,考虑系统(1)的向量场散度(4),也就是系统的Jacob i n矩阵(5)的迹(6)V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz(4)J=-a a0a(b-z)0-axy x-c(5)Tr(J)=-(a+c)(6)又由于所有Lyapunov特征指数之和反映相空间体积元随时间演化的变化率,根据L i o uv ille定理,变化率反映为系统的Jacobin矩阵的迹,则有V=1V d Vd t=div V=xx+yy+zz=Tr(J)=-(a+c)= 3i=1i= LE s(7) V(t)=V(0)e-(a+c)t(8)其中, i(i=1,2,3)为矩阵(5)的特征根,LES为系统的3个Lyapunov特征指数.所以只要a+c>0,则系统(1)始终是耗散的,并以指数形式收敛.即d Vd t=e-(a+c)(9)也就是说,一个初始体积为V(0)的体积元在时间t 时收缩为体积元V(0)e-(a+c)t.这就意味着,当t 时,包含系统轨线的每一个体积元都以指数的速率-(a+c)收缩到0.因此,系统的所有轨线最终都会被限制在一个体积为0的点集合上,并且他的渐近动力学行为会被固定在一个吸引子上,这就说明了吸引子的存在性.并且当且仅当a+c=0,系统(1)是保守的,由L i o uv ill e定理可知,保守系统在运动过程中其相体积保持不变[15].当参数a=5,=4,c=2时,系统是耗散的,-(a+c)=-7<有一个混沌吸引子,如图1和图2所示,该混沌吸引子的三个Lyapunov指数分别为LE s=(0.6263,0,-7.6263),和 LE s=-7=-(a+c),由K aplan-Yorke猜想公式可求得Lyapunov维数D KY=2.0821.图1 3维相空间中的一个典型混沌吸引子F i g.1 Ph ase traj ectory of a typ ical chaotic attractor i n3-D space图2 图1中的混沌吸引子在不同平面上的投影F i g.2 Vari ous p rojecti ons of the chaotic attractor s ho w n i n F i g.11.2 平衡点稳定性分析如果bc>0系统的三个平衡点为O(0,0,0), P+(bc,bc,b),P-(-bc,bc,b),如果bc< 0,系统只有一个平衡点O(0,0,0).对于bc=0,有唯一的平衡点,形式为(0,0,b),b R.这里只考虑bc>0的条件下的三个平衡点为O,P+,P-的稳定性的情况,其中不动点P+和P-对称的落在z轴的两侧.命题1 如果a 0,b>0,则平衡点O都是不稳定的.证明:根据系统(1)的Jacobin矩阵(5),可得系统(1)在平衡点O处的线性化后的Jacob i n矩阵(10)和特征多项式(11)分别为325动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷3+(a+c) 2+(ac-a2b) -a2bc=0( +c)( 2+a -ba2)=0(11)三个特征值分别为1=-c, 2,3=-a2 ba2+a24所以对于a>0有 2=a2(-1+4b+1)>0,a<0有 3=a2(-1-4b+1)>0,得证.下面来讨论平衡点P+和P-的稳定性.由于系统(1)在变换S:(x,y,z) (-x,-y,z)下对于所有的参数a,b,c具有不变性,系统关于z轴对称,而且平衡点P+和P-也关于z轴对称,所以二者的性质完全相同,只需分析其中之一即可.考虑线性变换T:(x,y,z) (X,Y,Z)T:x=X+bcy=Y+bcz=Z+b(12)于是系统(1)就化为x=a(Y-X)y=-a(X+bc)Zz=(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)(13)经过坐标平移变化以后,原系统(1)的不动点P+在线性变换T的作用下新的系统(13)的坐标原点O (0,0,0).下面讨论新的平衡点O (0,0,0)的稳定性.系统(13)在平衡点O 处的线性化后的Jacob i n 矩阵(14)和特征多项式(15)分别为J o =-a a0-az0-a bc Y+bcX+bc-c(0,0,0)=-a a000-a bcbc bc-c(14)3+(a+c) 2+(ac+abc) +2a2bc>0(15)由Rout h-H ur w itz判据,当且仅当满足下列条件时a+c>0(a+c)(ac+abc)-2a2bc>0(16)特征方程(15)的根都有负实部.所以当且仅当条件(16)满足时,系统(1)的平衡点P+和P-才是渐近稳定的.并且还可以推证特征根方程(15)有一对纯虚根,另一个根具有负实部当且仅当以下条件成立a+c>0ac(b+1)>0a+c+bc=ab(17)并且其中的一个实特征根 1=-(a+c),一对纯虚根 2,3= i ac(b+1).于是可以得到下面的结论命题2 如果条件(17)满足时,系统(1)有一个负实根 1=-(a+c)和一对共轭的纯虚根 2,3= i2a2ca-c,并且R e(c(c)) 0,所以此时平衡点P+失稳,发生H op f分岔.证明:令 =(X,Y,Z)T,则有=xyz=a(Y-X)-a(X+bc)Z(X+bc)(Y+bc)-c(Z+b)=f( ,a,b,c)(18)容易验证对于 a,b,c R,有f(0,a,b,c)=0恒成立.并且由条件(17)可知,b 1,且参数a,b与c之间的相互关系为a=c(b+1)b-1,c=a(b-1)b+1,b=a+ca-c(19)于是从特征方程(15),可以得到c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)(20)c=-2+a(b+1) +2a2b3 2+2(a+c) +ac(b+1)c=a(b-1)b+1=-(b+1)2+a(b+1)2 +2a2b(b+1)3(b+1) 2+4ab +a2(b2-1)(21)将 2,3= i ac(b+1)代入(21)中有R e( c(c))=-b3+b2-b-12b3+10b2-2b-2=-(b2-1)(b+1)2b3+10b2-2b-2I m( c(c))=b-1(b4-2b2+1)2b+8b-12b+2=b-1(b+1)2(b-1)22b+8b-12b+2于是可以得出,系统(13)在平衡点O (0,0,0)处发生了H op f分岔,所以系统(1)在平衡点P+b)处发生了H opf分岔,并且经过一系326第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真列复杂的推导之后,可得H opf 分岔是亚临界的.2 数值仿真与电路实现2.1 分岔图、Lyapunov 指数谱、Lyapunov 维数、Po incar 截面图下面考虑系统(1)在特定参数下的动力学行为仿真情形1 考虑固定参数b =4,c =2,改变控制参数a 在区间[0,60]内连续变化.图3为系统(1)关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱.图3 控制参数a 变化时的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .3 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponent spectrum f or specifi c val ues set(b =4,c =2)versus t h e con trol para m eter a情形2 固定参数b =4,a =5,c 作为分岔参数,c [0.1,0.6]系统关于轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图4所示.沿着控制参数增大的方向,系统由倍周期分岔通向混沌,混沌区域内含有数个较窄的周期窗口,并且每一个周期窗口又都是经由倍周期分岔走向混沌.并且通过K a -plan-Yorke 猜想计算系统的吸引子的Lyapunov 维数可知,系统(1)在这组参数下,随着控制参数的变化,分数维数数值都很小,D KY <2.1,如图4(c)所示.图4(d )为c =0.3时,在x -y (z =0)平面上的Po incar 映像,其中吸引子的叶片清晰可见,并且吸引子的叶片被折叠,这就导致了系统复杂的动力学行为.图4 系统(1)在控制参数c 变化时的动力学仿真F i g .4 Dyna m ics s i m u lati on s f orspeci fi c val ues s et(a=5,b=4)versus the con trol para m eter a情形3 考虑固定参数a =5,c =2,改变参数b ,b [1,20],系统关于z 轴的分岔图以及所对应的Lyapunov 指数谱如图5所示.随着分岔控制参图5 控制参数b 变化的关于z 轴的分岔图及Lyapunov 指数谱F i g .5 B if u rcati on d i agra m and Lyapunov-exponen t spectrum for s p ecific values set(a=5,b =2)vers u s the control para m et er a数b 的逐渐增大,系统由不动点突然直接进入一个较长的含有数个周期窗口的混沌区域,在每一个区域长短不等的周期窗口内都内嵌着倍周期分岔序327动 力 学 与 控 制 学 报2007年第5卷列,并且都是从周期到混沌的阵发过渡.最后,系统历经了一段较长的逆倍周期分岔,并且由Kap lan-Y or ke 猜想公式确定的系统吸引子的分数维数也很低,以上这两个特征与Lorenz 系统特别类似.2.2 电路实现下面设计一个电路来实现这个新的混沌系统的吸引子.这里设计的电路由三个部分组成,可实现系统(1)在确定参数下的吸引子,如图6所示.这三部分将三个状态标量连接成一个整体.运动放大器,模拟乘法器,线性电阻和电容器等来执行加、减、乘运算,为了明晰起见,各个电子元件参数标示在图上.图7为采用E W B 软件平台对电路进行仿真实验的结果.比较图2,图7,不难发现数值仿真与电路试验观测得到的不同平面上的相图是基本一致的.图6 基于EW B 软件平台的电路图F i g .6 C ircu it d i agra m f or realizi ngthe c h aotic attractor of syste m bas ed on E W B s oft ware图7 实际电路仿真实验图F i g .7 Experm i ental obs ervati ons of the c haoti c at tract or i n different p l anes3 结论本文构造并研究了一类新的类Lorenz 系统.较为细致地研究了该系统的一些非线性动力学行为,其中包括一些基本的动力学特征、分岔、周期窗口和通向混沌道路等,并对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路来仿真验证.但是需要指出的是该混沌系统仍然有许多复杂的动力学行为没有被揭示出来,因此该系统值得更进一步的研究.参 考 文 献1 刘延柱,陈立群.非线性振动.北京:高等教育出版社,2001(L i u Y anzhu ,Chen L i qun .N on linear v i bration .Be-i ji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))2L orenz E N.D ete r m inistic nonper i od i c flow .J.A t m os .Sci .,1963,20:130~1413 R ossler ,O E .A n equation fo r con tinuous chaos .P hys ics Let -ter A,1976,57:397~3984 Chen G R,U e ta T.Y et anothe r chao ti c a ttractor .Interna -tional Journal of B i furcation and Chao s ,1999,9:1465~14665 C eli kovsk y S ,Chen G R.On a genera li zed Lo renz canon ica lf o r m of chao ti c sy stem s v i a a nonli near obse rved approach .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,8:1789~18126 L J H,Chen G R.A new chaotic a ttractor co ined .Interna -tional Journal of B ifurcati on and Chaos ,2002,3:659~6617 L JH,Chen G R,Cheng D Z et a.l Br i dge t he gap be -t w een the Lo renz sy stem and t he Chen system .Interna tional Journal of B i furcation and Chaos,2002,12:2917~29268 L i u C X,L i u T,L i u L.A new chaotic a ttractor .Chaos ,Solitons and F ractals ,2004,5:1031~10389 Q iG Y,Chen G R,Du S Z,Chen Z Q,Yuan Z Z .A na l y si sof a new chaotic syste m.P hy sica A,2005,352(2-4):295~30810 Q i G Y,Chen G R.Ana l ys i s and c ircu it i m ple m entati onof a ne w 4D chaotic syste m.Phys ics L etters A,2006,352:386~39711 王琳,倪樵,黄玉盈.Q i 四维系统的暂态混沌现象.动力学与控制学报,2007,5(1):18~22(W ang L i n ,N iQ i ao ,H uang Y uy i ng .Chao ti c transients i n Q i s 4D syste m.Journal of D yna m ics and C ontro l ,2007,5(1):18~22(i n Ch i nese))12 陈关荣,吕金虎.Lo renz 系统族的动力学分析、控制与同步.北京:科学出版社,2003(Chen G R,L J H.Dy -nam ics o f the L orenz sy stem fa m ily :ana lysis ,control and synchron izati on .Be iji ng :Sc ience P ress ,2003(i n Chinese))13 王琳,倪樵,刘攀,黄玉盈.一种新的类Lo renz 系统的混沌行为与形成机制.动力学与控制学报,2005,3(4):1~6(W ang L i n ,N i Q i ao ,L i u pan ,H uang Y uy i ng .Chaos and its for m i ng m echan i s m of a ne w Lo renz-like syste m.328第4期李险峰等:一个新类L orenz 混沌系统的动力学分析及电路仿真Journal of Dy na m ics and Contro l ,2005,3(4):1~6(i n Ch i nese))14 严艳,张隆阁.L orenz 系统的分数阶控制算法.动力学与控制学报,2006,4(2):132~135(Y an Y an ,Zhang L ongge .F racti onal contro l a l gor ith m o fL orenz system.Jour -nal of D yna m ics and Control ,2006,4(2):132~135(i n Ch i nese))15 刘秉正,彭解华.非线性动力学.北京:高等教育出版社,2004(L i u B i ngzheng ,Peng Ji ehua .N on li nea r D ynam -i cs .Beiji ng :H i gher Educati on P ress ,2001(i n Chi nese))Received 23M arch 2007,revis ed 13M ay 2007.*Th is research i s s upported by t he Nature S cience Founderati on of Gansu Provi nce (3ZS -042-B25-049)and S ci en tifi c Research Foundati ons of L anz hou Jiaotong Un i versity (DXS -2006-74and DXS-2006-75)DYNA M ICS ANALYSIS AND CIRCU IT EXPER IM ENT SIMULAT I ONFOR A NE W LORENZ-LIKE CHAOTIC S YSTE M*LiX ianfeng 1Zhang Jiangang 2Chu Yandong 1Chang Y i n gx iang2(1.N onlinear S cience R esearc h C enter,Lanzhou J iao tong Universit y,Lanzhou 730070,China)(2.Schoo l of M athe m atics ,Phy sics and Soft ware Eng ineering,Lanzhou J iao t ong University,Lanzhou 730070,Ch i na)Abst ract A ne w Lorenz -like chaotic syste m w as presented.The non li n ear characteristic and basic dyna m ic pr op -erties o f th is t h ree -d i m ensional autono m ous syste m w ere stud i e d by m eans o f nonli n ear dyna m ics theory ,nu m er-i ca l si m u lation ,Lyapunov -exponent spectr um,Lyapunov d i m ensi o n ,b ifurcati o n diagra m and Poincar secti o n m ap .The osc illator circuit of the ne w chaoti c syste m w as designed by usi n g E W B so ft w are ,and a typical chaotic attrac-t or w as de m onstrated by circu it experi m en.tK ey w ords ne w Lorenz -like syste m , Lyapunov exponen,t fracta l d i m ensi o n, Po incar secti o n m ap ,circuit si m u lation329。
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毕业论文（设计）题目：Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生姓名：学生学号：信息工程系—电气自动化专业—08自动化2班2011年 04月 15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。
许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。
计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。
这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。
电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to use tiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.Key Words:Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.目录ABSTRACT (II)第一章绪论 (1)1.1选题的目的及意义 (1)1.2混沌学 (2)1.2.1混沌的发展 (2)1.2.2混沌的定义 (3)1.2.3通向混沌的道路 (5)1.3奇怪吸引子 (5)1.3.1洛伦兹吸引子 (5)1.3.2伊侬吸引子 (6)1.3.3奇怪吸引子特性 (6)第二章混沌的同步研究及其应用 (8)2. 1混沌的同步 (8)2.1.1同步的定义 (8)2.1.2广义同步的定义 (9)2.1.3相位同步的定义 (9)2.2谈谈几种典型的同步方法 (10)2.2.1驱动响应同步法 (10)2.2.2变量反馈微扰同步方法 (11)2. 2. 3相互祸合的同步方法 (12)2.2.4自适应同步方法 (13)2.3混沌同步的研究进展 (13)2.4混沌同步的应用 (14)第三章针对Lorenz系统的混沌同步控制电子电路设计 (15)3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义 (15)3.2 Lorenz系统的动力学行为 (15)3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为 (15)3.2.2平衡点和分岔 (17)3.3电子电路的应用设计 (17)3.3.1简单混沌现象研究 (20)4.3.2电路图 (21)第四章计算机仿真与电路的实现 (22)4.1软件设计 (22)4.1.1软件设计的基本原则 (22)4.1.2软件选择 (22)4.1.3电路的实现 (23)4.2仿真与分析 (23)4.2.1 Matlab仿真 (23)4.2.2结果分析 (24)论文总结与展望 (26)致谢 (27)参考文献 (28)第一章绪论1.1选题的目的及意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。
许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。
非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。
在许多领域，混沌己经被发现是有用的或有着巨大的应用前景。
因此，在一些混沌显得非常重要且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象己经成为一个关键性的研究课题。
对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、非混沌的甚至稳定的，所关心的问题是我们能否通过设计一个简单可行的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器，来使受控的系统产生混沌现象。
这就是我们通常所说的混沌反向控制，或简称混沌反控制。
目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进展是上个世纪90年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与同步的理论和方法进行研究的热潮。
这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的前沿课题和学术热点。
虽然目前在混沌同步、控制及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。
如在超混沌系统参数辨识中，虽然提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、需要时间序列少等要求，有必要进行改进;混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、局部同步、相同步、滞后同步以及单向祸合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对于双向祸合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对双向祸合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。
本文在汲取前人研究成果的基础上，提出了以一定的藕合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制的方法，并在计算机上进行仿真，最后通过电子电路实现了针对Lorenz系统的P同步。
1.2混沌学1.2.1混沌的发展混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。
根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。
不确定性行为只会产生在随机系统里。
然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。
随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。
可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。
最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare，他在研究三体问题时指出:在一定范围内其解是随机的[例，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的注意。
直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror 提出了一个环面不变定理(即KAM定理)，这一定理后来被Arnold和Mose证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。