拿破仑三角形证明

拿破仑三角形证明（方法1）（附图）（半原创）

在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。

这里提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：

证明：

设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D，E，F，

则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°

在多边形AFBDCE中作一点G，使AG=AF，GE=DC。

连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE均为底角等于30°的等腰三角形（即

∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）

∴△ABF∽△BCD∽△ACE

∴AF/AB = AE/AC = DC/BC

而AG=AF，GE=DC

∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,

∴△AGE∽△ABC

∴∠GAE=∠BAC，∠AGE=∠ABC

∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°

又∵AG=AF

∴△AGF为等边三角形

∴AG=AF，∠AGF=60°

∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°

∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°

∴∠FBD=∠FGE（∠AGE=∠ABC）

∵在△FBD和△FGE中，

FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE

∴△FBD≌△FGE(SAS)

∴FD=FE

同理可证:FD=DE

则△DEF为等边三角形 <证毕>

如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形，称“内拿破仑三角形”。

证明过程同上，完全相同。