拿破仑三角形证明

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拿破仑三角形性质的一个证明.

拿破仑三角形性质的一个证明.

刍议拿破仑三角形及其对应的三角恒等式——兼议“Napoleon 定理的一个初等证明”的改进缪选民江苏省泰州市海陵区教育局教研室 225300拿破仑在军事和政治上的才能是世人所公认的,然而他对几何学的浓厚兴趣和造诣却鲜为人知,其中“拿破仑三角形”就是典型的一例。

如图1 ,以△ABC 的三边为边分别向形外作等边三角形,所作的三个三角形的中心分别为P 、Q 、R ,则△PQR 是一个等边三角形,它以“拿破仑三角形”而著称于几何学。

它的证明有多种方法,其中,适合当前初中学生水平的一种纯几何证法如下:如图1,连结AP 、AR ,因为P 、R 分别是等边△ABD 和等边△ACF 的中心,所以31==AD AP AC AR , 而∠PAR=∠DAC=∠BAC+60°,所以△PAR ∽△DAC ,因此PR=31DC同理PQ =31DC ,QR=31BF ;又△ADC ≌△ABF (这是全等三角形的一道基本题),所以DC=BF ,由此PR=PQ=QR ,即△PQR 是等边三角形。

拿破仑三角形分为“外拿破仑三角形”和“内拿破仑三角形”,上面所给出的是外拿破仑三角形的证明。

如果以△ABC 的三边为边分别向形内作三个等边三角形,(图2)则所作三个等边三角形的中心的连线也是等边三角形,它叫做“内拿破仑三角形”,证明的方法与上面一样(上述证明中的字母顺序无须改动,只是∠P’A R’=∠D’AC=60°-∠BAC ),这里不再赘述。

有趣的是,拿破仑三角形对应着三角恒等式。

如图1,记△ABC的三个内角分别为A 、B 、C ,它们所对的边依次为a 、b 、c ,由前可知:AP=3c,AR=3b,在△APR 中由余弦定理得:22)3(cPR =+2)3(b)60cos(332︒+⋅⋅⋅-A bc,即32PR =22c b +)60cos(2︒+-A bc ;同理:32PQ =22c a +)60cos(2︒+-B ac ,32QR =22b a +)60cos(2︒+-C ab , FD又PR=PQ=QR ,所以得到下列三角恒等式:在△ABC 中,22b a +)60cos(2︒+-C ab =22c b +)60cos(2︒+-A bc=22c a +)60cos(2︒+-B ac 。

拿破仑 李明波 六芒星

拿破仑 李明波 六芒星

拿破仑 李明波 六芒星郝锡鹏提要 2010年5月25日,李明波发现竟然顺理成章地存在拿破仑三角形的共轭三角形,两者神奇的构成了普通三角形的六芒星。

引理1 两个直接相似三角形对应顶点连线上的等比例分点,是位似中心或是与原三角形直接相似的三角形顶点。

证明 若两个直接相似三角形对应顶点连线交于一点,该点便是位似中心,它分每条对应点连线成比例是人们所熟知的,所以对引理1中三个等比分点合一的情况讨论从略。

下面只讨论此外的情况。

图 1已知△111C B A ∽△222C B A 即11B A /22B A =11C A /22C A =11C B /22C B ,另'1A A /2'A A ='1B B /2'B B ='1C C /2'C C =k 。

连辅助线如图,且使M A 1/2MB =N C 1/2NB =k 。

1、因△M A A '1∽△221B A A ,所以M A '/22B A ='1A A /21A A =k /(k +1);因△N C C '1∽△221B C C ,所以N C '/22C B ='1C C /21C C =k /(k +1)。

得M A '/22B A =N C '/22C B 即M A '/N C '=22B A /22C B (1)2、因△M B B '2∽△112A B B ,所以M B '/11B A ='2B B /12B B =1/(k +1);因△N B B '2∽△112C B B ,所以N B '/11C B ='2B B /12B B =1/(k +1)。

得M B '/11B A =N B '/11C B 即M B '/N B '=11B A /11C B (2)3、由(1)、(2)和已知条件可知M A '/N C '=M B '/N B ' (3)4、作P B 1∥22B A 、Q B 1∥22C B ,则∠''MB A =∠P B A 11、∠''NC B = ∠Q B C 11。

外拿破仑三角形的证明

外拿破仑三角形的证明

外拿破仑三角形的证明第一篇:外拿破仑三角形的证明外拿破仑三角形的证明设△ABC,它向外作的正三角形中心分别为D、E、F设BC=根号3a,AC=根号3b,AB=根号3c则AD=BD=c,AE=CE=b,BF=CF=a易证∠DAE=60+∠BACcos∠DAE=cos(60+∠BAC)=cos60*cos∠BAC-sin60*sin∠BACcos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc,sin∠BAC=根号3a/2R(R为△ABC外接圆的半径)cos∠DAE=(b^2+c^2-a^2)/4bc-3a/4R 由余弦定理得DE^2=AD^2+AE^2-2cos∠DAE*AD*AE=b^2+c^2-(b^2+c^2-a^2)/2+3abc/2R=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R同理可得DF^2=EF^2=(a^2+b^2+c^2)/2+3abc/2R…………第二篇:全等三角形证明全等三角形证明1、已知CD∥AB,D F∥EB,DF=EB,问AF=CE吗?说明理由。

CA2、已知∠E=∠F,∠1=∠2,AB=CD,问AE=DF吗?说明理由。

F3、已知,点C是AB的中点,CD∥BE,且CD=BE,问∠D=∠E 吗?说明理由。

4、已知AB=CD,BE=DF,AE=CF,问AB∥CD吗?A BC第三篇:三角形的证明全等三角形的证法1:(SSS或“边边边”)证明三条边相等的两个三角形全等在两个三角形中,若三条边相等,则这两个三角形全等。

几何语言:在三角形中因为ab=AB, ac=AC, bc=BC所以三角形abc全等于三角形ABC2.(SAS或“边角边”)证明有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等在两个三角形中,若有两条边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。

几何语言:在三角形中因为ab=AB,bc=BC, ∠b=∠B,则三角形abc全等于三角形ABC3.(ASA或“角边角”)证明有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等在两个三角形中,若有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.几何语言:在三角形中∠a=∠A,∠b=∠B,ab=AB, 则三角形abc全等于三角形ABC4.(AAS或“角角边”)证明有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等在两个三角形中,若两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等几何语言:在三角形中∠a=∠A,∠b=∠Bac=AC则三角形abc全等于三角形ABC5.(HL或“斜边,直角边”)证明斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等在两个直角三角形中,若斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等几何语言:在三角形中因为ab=AB 直角c=直角C 则三角形abc 全等于三角形ABC所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

合同法变换拿破仑三角形证明过程

合同法变换拿破仑三角形证明过程

合同法变换拿破仑三角形证明过程
(实用版)
目录
一、引言:介绍合同法变换拿破仑三角形证明过程的背景和意义
二、证明过程:详述合同法变换拿破仑三角形的证明步骤
三、结论:总结证明过程,并强调其重要性
正文
一、引言
合同法变换拿破仑三角形证明过程是一项涉及数学、物理和法律等多个领域的研究。

在过去的几十年里,这一证明过程在解决各种科学和工程问题中发挥了重要作用。

然而,对于大多数普通人来说,这个证明过程仍然是神秘而难以理解的。

本文旨在通过简洁明了的语言,揭示合同法变换拿破仑三角形证明过程的内涵和意义。

二、证明过程
合同法变换拿破仑三角形证明过程主要包括以下几个步骤:
1.设定三角形 ABC 和其对应的外接正三角形 DEF。

2.证明点 D、E、F 分别是三角形 ABC 三边 BC、AC、AB 的中点。

3.证明三角形 ABC 与三角形 DEF 相似。

4.根据相似三角形的性质,得到对应边成比例的关系式。

5.利用对应边成比例的关系式,推导出合同法变换拿破仑三角形的各个角度和边长关系。

三、结论
合同法变换拿破仑三角形证明过程是一项重要的数学研究成果,它在解决各种实际问题中发挥了重要作用。

通过这个证明过程,我们可以更好
地理解三角形的性质和特点,从而在实际应用中更加灵活地运用这些知识。

拿破仑定理的简单证明

拿破仑定理的简单证明

拿破仑定理的简单证明1. 如图:(外)由余弦定理及面积公式得:)322(31)sin 2132cos (31)3cos(332)3()3(,22222222ABC S c b a A bc A bc c b A c b cbQR AQR ∆+++=+-+=+-+=∆π)322(31,22222ABC S c b a PQ PR CPQ BRP ∆+++==∆∆中,同理,在 所以,结论PQR ∆是等边三角形。

2. 如图:(内)由余弦定理及面积公式得:)322(31)sin 2132cos (31)3cos(332)3()3(,22222222ABC S c b a A bc A bc c b A c b cbQR AQR ∆-++=--+=--+=∆π )322(1,22222ABC S c b a PQ PR CPQ BRP ∆-++==∆∆中,同理,在 所以,结论PQR ∆是等边三角形。

班主任工作心得担任班主任有欢笑,也有苦闷,有欣慰,也有烦恼。

我觉得作为班主任,必须具备“三心”。

1、要有博大的爱心。

每当我踏进教室,面对他们那一张张稚嫩的脸庞和一双双渴望知识的眼神,我深感自己的担子重,责任大。

不但要传授他们知识,还要帮助他们学会如何做人;不仅要关心他们的学习,更要关心他们的生活。

2、要有足够的耐心。

班主任要善于发现、捕捉学生身上的闪光点,哪怕是偶然一瞬闪光点,也要大力表扬鼓励。

3、要有一颗进取心。

人人都要不断努力,争取更大的进步。

我个人在教学上、在班主任工作上,都力争做得更好。

在班级建设上,善于总结方法,运用好的方法。

爱心 耐心 进取心——班 主 任 工 作 心 得[日期:2005-04-22] 来源: 作者:章菲菲 [字体:大 中 小]担任班主任工作已一年有余了,其中有欢笑,也有苦闷,有欣慰,也有烦恼。

有欢笑,是因为我们班被评上校级文明班级,且全班英语三级通过率在96%以上;有苦闷,是因为有时学生成绩下降了,或有学生犯错误了;有欣慰,是因为学生把我看成他们最信赖的人,喜欢把心事向我倾诉;有烦恼,是因为有时在碰到较为棘手的问题时感到手足无措,不知如何解决。

拿破仑三角形证明

拿破仑三角形证明

拿破仑定理(法语:Napoléon Bonaparte)由拿破仑发现:“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形,则他们的中心构成一个等边三角形。

”该等边三角形称为拿破仑三角形。

如果向内(原三角形不为等边三角形)作三角形,结论同样成立。

因为是拿破仑发明所以称拿破仑定理。

拿破仑为人颇为好学,是法兰西科学院院士,他对数学方面很感兴趣,自幼喜爱数学。

他在行军打仗的空闲时间,经常研究平面几何。

他对数学和数学家怀有特别的敬意,并且欣赏他自己提出的问题。

他在这方面证明了“拿破仑三角形”即拿破仑定理。

莫利定理(Morley's theorem),也称为莫雷角三分线定理。

将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。

这个三角形常被称作莫利正三角形。

拿破仑定理与拿破仑三角形

拿破仑定理与拿破仑三角形

拿破仑定理与拿破仑三角形昨天下午一位85岁的老校长(刘梦经)带来他做的数学题--“拿破仑三角形”的证明给我看。

使我夫妇大吃一惊。

他是1963年,我大学毕业首个工作岗位,蚌埠三中的副校长,后来调市计量局,任副局长。

解放前大学毕业,是我们老前辈,退休多年,至今仍然用数学题锻炼思维,身体十分健壮。

他分别用平面几何,解三角形,解析几何三种数学方法证明著名数学问题“拿破仑三角形”,思维清晰,非常值得我们学习。

本文先介绍拿破仑三角形是什么,以后再发表他的解法。

拿破仑定理与拿破仑三角形在任意△ABC的外侧,分别作等边△ABD、△BCE、△CAF,则AE、BF、CD三线共点X,并且AE=BF=CD,如下图。

这个命题称为拿破仑定理。

【定义1】外拿破仑三角形以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R 的圆心构成的三角形。

如下图可以证明:外拿破仑三角形是一个等边三角形。

还可以证明:点X是外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R 三圆的共点。

【定义2】内拿破仑三角形ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF,它们的外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R 的圆心构成的三角形同样可以证明:内拿破仑三角形也是一个等边三角形,外接圆⊙P 、⊙Q 、⊙R共点。

拿破仑三角形还可作如下推广:1、原三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。

2、原三角形的重心也是内和外拿破仑三角形的重心。

3、以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA,(相似三角形的顶点对应排列)这三个三角形的外心为 P、Q、R,则△PQR也与这三个三角形相似。

外拿破仑三角形即为此题之特例,这只要让三个相似三角形是正三角形即可。

拿破仑定理的特例

拿破仑定理的特例

拿破仑定理的特例
拿破仑是法兰西第一帝国的皇帝(1804-1814年在位),他不仅是军事家、政治家,而且还非常喜欢研究数学,他发现了以下著名的定理:
拿破仑定理若在任意三角形的各边向外(内)作正三角形。

则它们的中心构成一个正三角形。

该定理的证明,对于我们初中同学来说颇有难度,本文将其弱化为特例,以便我们初中同学证明。

如图,C为线段AB上一点,△ACE、△BCF、△ABD是正三角形,、、
分别是它们的中心。

求证:是正三角形。

证明延长AE、BF交于D′,连结、、、,延长、交于。

则是正△ABD′的中心,由对称性知,四边形是菱形。

连结
,由题意知,故是正三角形。

设AC=a,BC=b,则可算得:
故,则可证得:
,因而,故△O
1O
2
O
3
是正三
角形。

从上面特例中,同学们应知道很多数字问题就是从特殊到一般,再由一般到特殊的这样转化。

即将特殊问题一般化,对一般化问题可以特殊化后研究,希望同学们注意这种思想方法。

关于“拿破仑三角形”的探究

关于“拿破仑三角形”的探究

数学探索1关于“拿破仑三角形”的探究太白初中 魏兆飞【简历】魏兆飞,男,生于1965年10月。

中共党员,中学高级教师。

1987年毕业于徽州师专生物专业,后在芜湖师专进修数学教育专业,2003年获得双专科学历。

现任教于当涂县太白初中。

工作以来,担任班主任工作十三年、数学教研组长十九年。

多次被评为太白镇先进教师。

1989年被评为县先进教育工作者,2007年被评为市级优秀班主任,2008年荣获县级教学能手称号。

2009年担任市级《初中数学课堂导入策略的案例研究》课题组组长,于2012年课题顺利结题。

教研成果丰硕。

2010年《初中数学课堂导入策略的案例研究初探》论文获市级二等奖;2011年市级课件大赛《多彩的几何图形》获一等奖;2012年市级课件大赛《函数、几何动态问题探究》获一等奖;2013年市级课件大赛《二次函数与反比例函数动态探究》获一等奖,2013年中考所任数学学科位居全县均分第一、及格率第一、优秀率第二的优异成绩;2014年当涂县第四届自然科学优秀学术论文评比《关于“拿破仑三角形”的探究》获三等奖。

【摘要】数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论,并进行广泛应用的过程。

本文对古老命题:“拿破仑三角形”进行了深入的探究,引导学生观察发现其中存在“三线共点、三圆共点、费玛点”等相关知识。

以“关联相似”为前提,鼓励学生对拿破仑三角形定理进行猜想、推广与证明;以三角形三边,在三角形的外侧(或内侧)作三个“同向相似”的三角形,研究它们其中对应点组成的三角形与所作 “同向相似”三角形之间的联系,进而将拿破仑三角形定理加以推广,并以其证明了一道国际奥林匹克数学竞赛题,培养了学生的想象能力、创新能力与数学探索精神。

【关键词】拿破仑三角形;三线共点;三圆共点;费玛点;“关联相似”。

一、问题的提出问题还是从一堂数学活动课说起。

我在给学生介绍一些古老的几何命题时,讲到了法国政治家、军事家拿破仑(NapoLeon ),他崇尚几何,曾经研究过一道命题:任意三角形,由它的三边分别向外侧作正三角形,那么这三个正三角形的中心也构成一个正三角形。

拿破仑三角形的证明

拿破仑三角形的证明

拿破仑三角形的证明拿破仑三角形,又称费尔马三角形,是指一个满足以下条件的等腰三角形:两个底边之和等于斜边的平方。

设等腰三角形的两条底边分别为a和b,斜边为c。

根据勾股定理,我们知道在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平方和。

将等腰三角形的两条底边分别作为直角三角形的两个直角边,斜边为斜边,则可得到两个直角三角形,记为三角形ABC和三角形CDE。

我们需要证明AB + BC = CD。

根据勾股定理,我们可以得到:AC^2 = AB^2 + BC^2 (1)CE^2 = CD^2 + DE^2 (2)由等腰三角形的性质可知,AB = BC。

因为CD为斜边,则根据勾股定理有AC = CD。

结合(1)(2)两式,我们可以将等式左边的CD替换为AC,得:AC^2 = AB^2 + BC^2 (1')CE^2 = AC^2 + DE^2 (2')我们可以观察到,(1')和(2')的右侧分别是AB^2 + BC^2和AC^2 + DE^2。

由等腰三角形的性质可知,AB^2 + BC^2 = AC^2,即:AB^2 + BC^2 = AC^2 (3)将(3)式代入(2')式,得:CE^2 = AB^2 + BC^2 + DE^2 (2'')我们将AB和BC进行合并,设其和为x,即:x = AB + BC将x代入(2''),得:CE^2 = x^2 + DE^2我们知道,在三角形CDE中,CE为斜边,DE为直角边。

可见,CE^2等于直角边DE的平方加上斜边CE的平方,与拿破仑三角形的定义相符。

综上所述,拿破仑三角形的性质成立。

拿破仑等边三角形的现实应用

拿破仑等边三角形的现实应用

拿破仑等边三角形的现实应用
拿破仑定理是一个几何定理,即以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。

这个定理在城市规划中得到了应用,提高了土地及建筑的利用率。

此外,虚数虽然在17世纪时被证明存在,但当时的数学家们无法理解它的真正意义和用途。

然而,随着时间的推移,虚数在电子工程、量子力学等领域中得到了广泛应用。

因此,无论是拿破仑定理还是虚数,它们的出现和应用都证明了知识的价值和意义,同时也说明了知识的应用需要结合时代的发展和需求。

拿破仑三角形的面积公式

拿破仑三角形的面积公式

拿破仑三角形的面积公式拿破仑三角形是一个受欢迎的数学形状,在许多不同的领域中都有着广泛的应用,尤其是在图形设计和建筑设计中,拿破仑三角形都有着不可忽视的重要性。

而本文旨在介绍拿破仑三角形的面积公式及其相关知识点。

首先,拿破仑三角形的定义是指一个等腰直角三角形(其中两条直角边的长度相同),再加上两个等边直角三角形,这两个直角三角形与等腰直角三角形边长相同。

其次,拿破仑三角形的面积公式是:S = a^2/2 + 2(a^2/8) = 5a^2/8其中,a表示等腰直角三角形的短边,S表示整个拿破仑三角形的面积。

可以看出,拿破仑三角形的面积公式很简洁明了,计算起来也不算太难。

但是,为了更好地理解这个公式,我们需要进一步探讨拿破仑三角形的具体性质。

拿破仑三角形的一个显著特点是:它可以不断分割成更小的拿破仑三角形。

这个性质来源于拿破仑三角形的结构,即三个相似的直角三角形拼凑而成。

将任意一个拿破仑三角形的等腰直角三角形一条直角边加倍,就得到了一个更小的拿破仑三角形。

这个过程可以一直持续下去,直到所得到的拿破仑三角形太小以至于难以识别。

另外,拿破仑三角形还有一个迷人的特点,它的面积是黄金比例的一半。

黄金比例是指一条线段分成两部分的比例为a/b,其中a和b 的比值等于a+b/a,记作φ,其值约为1.6180339887。

拿破仑三角形的面积与黄金比例的联系,可以通过以下公式得到:S/a^2 = 5/8 = 0.625 = φ^2/20通过上述公式可以看出,拿破仑三角形的面积与等腰直角三角形短边平方呈线性关系,而且是一个常数乘以黄金比例的平方。

这个发现对于数学与建筑设计等领域都具有一定的启示意义。

最后,需要注意的是,在实际应用中,拿破仑三角形的面积公式并不是普遍适用的。

对于一些不规则的拿破仑三角形,我们需要通过分割成多个小三角形来计算它们的面积。

此外,拿破仑三角形所存在的一些特殊性质,还可以与其它形状结合,以创造出一些更加优美的图形。

拿破仑定理的简单证明

拿破仑定理的简单证明

拿破仑定理的简单证明1. 如图:(外)由余弦定理及面积公式得:)322(31)sin 2132cos (31)3cos(332)3()3(,22222222ABC S c b a A bc A bc c b A c b cbQR AQR ∆+++=+-+=+-+=∆π)322(31,22222ABC S c b a PQ PR CPQ BRP ∆+++==∆∆中,同理,在 所以,结论PQR ∆是等边三角形。

2. 如图:(内)由余弦定理及面积公式得:)322(31)sin 2132cos (31)3cos(332)3()3(,22222222ABC S c b a A bc A bc c b A c b cbQR AQR ∆-++=--+=--+=∆π )322(1,22222ABC S c b a PQ PR CPQ BRP ∆-++==∆∆中,同理,在 所以,结论PQR ∆是等边三角形。

班主任工作心得担任班主任有欢笑,也有苦闷,有欣慰,也有烦恼。

我觉得作为班主任,必须具备“三心”。

1、要有博大的爱心。

每当我踏进教室,面对他们那一张张稚嫩的脸庞和一双双渴望知识的眼神,我深感自己的担子重,责任大。

不但要传授他们知识,还要帮助他们学会如何做人;不仅要关心他们的学习,更要关心他们的生活。

2、要有足够的耐心。

班主任要善于发现、捕捉学生身上的闪光点,哪怕是偶然一瞬闪光点,也要大力表扬鼓励。

3、要有一颗进取心。

人人都要不断努力,争取更大的进步。

我个人在教学上、在班主任工作上,都力争做得更好。

在班级建设上,善于总结方法,运用好的方法。

爱心 耐心 进取心——班 主 任 工 作 心 得[日期:2005-04-22] 来源: 作者:章菲菲 [字体:大 中 小]担任班主任工作已一年有余了,其中有欢笑,也有苦闷,有欣慰,也有烦恼。

有欢笑,是因为我们班被评上校级文明班级,且全班英语三级通过率在96%以上;有苦闷,是因为有时学生成绩下降了,或有学生犯错误了;有欣慰,是因为学生把我看成他们最信赖的人,喜欢把心事向我倾诉;有烦恼,是因为有时在碰到较为棘手的问题时感到手足无措,不知如何解决。

名人与三角形

名人与三角形

名人与三角形三角形是平面几何中的基本图形,有关它的性质,研究的也比较多,其中一些有趣内容还是由名人发现的。

下面介绍两个和名人有关的三角形的性质:(一)Napoleon三角形提起拿破仑你能想到什麽?法兰西帝国的辉煌还是滑铁卢战役?大概不会想到他还是一位颇有造诣的数学爱好者,一些有趣的几何题还和他有关联。

下面这个三角形就以他的名字命名:自三角形各边向外作三个正三角形,这三个正三角形的中心构成的三角形叫外拿破仑三角形。

若自三角形各边向内作正三角形还可得到内拿破仑三角形。

拿破仑三角形是一个正三角形。

(二)Euler点、Euler线和Euler圆欧拉是18世纪首屈一指的大数学家,他不但著述量巨大开创性成果多,而且致力于对数学符号的创立和倡导,对数学的统一和发展产生很大的影响,被誉为数学家之英雄。

欧拉在三角形性质的研究方面也是颇有建树的,以下是以他的名字命名的内容:三角形各顶点与其垂心联线的中点叫欧拉点,垂心和外心的联线叫欧拉线,欧拉圆又叫九点圆,是过三角形三边中点、三垂足和三个欧拉点的圆(即这九点共圆)。

九点圆还有一些有趣的性质如:①圆心为欧拉线的中点。

②和三角形的内切圆相切。

③九点圆的直径等于外接圆的半径。

拿破仑定理的证明如图:M 是AD 中点,N 是CE 中点,G、H、I 分别是ΔACF、ΔABD、ΔBCE 的中心。

所以 BM BH 32=,BN BI 32=,MN HI 32=。

在ΔBMN 中,由余弦定理, 有)3cos(2222B BN BM BN BM MN +*-+=π=)sin 3)(cos 23)(23()23()23(22B B a c a c --+ =)sin 3cos (4322B ac B ac a c +-+ ∵ )(21cos 222b a c B ac -+=, 又Rb B 2sin =,这里R 是ΔABC 的外接圆半径。

∴ )232(432222R abc b a c MN +++=, 即2MN 只与ΔABC 的三边a 、b 、c 有关,从而HI 也只与a 、b 、c 有关。

拿破仑三角形证明过程

拿破仑三角形证明过程

拿破仑三角形证明过程嘿,咱今儿就来说说这拿破仑三角形!你可别小瞧它,这可是个很有意思的玩意儿呢!先来说说啥是拿破仑三角形。

简单来讲,就是以任意三角形的三条边为边,向外分别作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连起来,嘿,就形成了一个新的三角形,这就是拿破仑三角形啦!那怎么证明它呢?咱一步步来哈。

咱先画个任意三角形 ABC,然后以 AB、BC、CA 为边,分别向外作正三角形 ABD、BCE、CAF。

接下来,找到这三个正三角形的中心 G、H、I。

你看啊,这就有点像搭积木似的,把这些个图形都摆好了。

那怎么能说明GH 和HI 还有IG 能组成一个三角形呢?这就得动点小脑筋啦!咱可以通过一些角度的关系呀,还有线段的长度呀来证明。

比如说,咱可以利用正三角形的一些特性,找到一些相等的角和边。

你想想,正三角形那可是三边相等,三个角都是 60 度呀!这就给咱提供了很多线索呢。

咱可以通过一些巧妙的构造,把这些线段和角联系起来,慢慢就能看出门道啦。

就好像走迷宫似的,一点点找路,最后就能找到出口啦!比如说,咱可以通过连接一些线段,找到一些全等的三角形,这样就能得到一些相等的线段和角啦。

然后再一步步推导,你就会发现,哎呀,GH、HI、IG 真的能组成一个三角形呢!这过程中,就像解一道谜题一样,充满了乐趣和挑战。

你得细心,得耐心,不能着急,一点点去琢磨。

你说这是不是很神奇呀?就这么几个图形摆一摆,就能发现这么有趣的现象。

而且啊,这拿破仑三角形还有很多其他的特性呢,等你自己去慢慢探索发现哟!总之呢,证明拿破仑三角形的过程就像一场奇妙的冒险,充满了惊喜和发现。

你得自己去试试,才能真正体会到其中的乐趣和奥秘呀!别光听我说,自己动手试试呗,相信你会被它深深吸引的!。

拿破仑三角形七种证明

拿破仑三角形七种证明

拿破仑三角形七种证明拿破仑三角形,这个名字听起来就很厉害,仿佛与历史的风云人物有着千丝万缕的联系。

别急,今天咱们不聊历史,而是要聊聊这个有趣的几何图形,尤其是它的七种证明方式。

哎呀,别以为数学就得一本正经,咱们可以轻松点来聊聊这些证明,顺便感受一下数学的美妙。

咱们得知道拿破仑三角形是什么。

简单来说,就是给定三角形的三个顶点,每个顶点出发,向外画一个等边三角形。

然后,把这些等边三角形的重心连起来,得到的形状就叫拿破仑三角形。

是不是听起来有点酷?对,就是这么简单!这个三角形有个神奇的属性,无论你怎么画,最后得到的拿破仑三角形总是会形成一个大三角形,嘿,这可真是让人惊叹的几何奇迹。

说到证明,咱们就得提到第一个了,叫做“面积法”。

想象一下,咱们在桌子上摆三个等边三角形,面积计算可是有讲究的。

这个方法就是通过计算每个三角形的面积,最后把它们加起来,得到一个大三角形的面积。

简单来说,面积加起来,嘿嘿,自然就成了一个大三角形,真是合情合理啊!第二种证明,有点像是在侦探推理,叫做“角度法”。

你想啊,拿破仑三角形的重心连接起来,形成的角度有什么特别之处呢?经过一番分析,咱们可以发现,这些角度之间的关系非常和谐,像极了乐队的演奏,彼此交织,形成了一个完美的和声。

证明的过程中,那种找到关键线索的感觉,简直不要太爽!让我们聊聊“平移法”。

这个方法就像是在玩拼图,咱们把一个等边三角形平移到另外一个位置,然后再进行连接。

经过一番折腾,嘿,结果也是个三角形,简直是神奇的数学魔法。

想象一下,把拼图拼好之后,看到完整的图案,那种满足感,绝对让人愉悦。

再来一招“相似三角形法”,这是个经典的方法。

通过比较不同三角形之间的相似性,咱们能够发现,它们之间的关系其实非常紧密。

哎呀,几何就像是一场恋爱,彼此吸引,互相依赖,最后组成一个大家庭。

这种方法用得巧,能让你眼前一亮,数学不再是枯燥的公式,而是活生生的图形。

第五种证明,咱们叫它“对称法”。

三角形面积与其拿破仑三角形面积关系

三角形面积与其拿破仑三角形面积关系

三角形面积与其拿破仑三角形面积关系三角形面积的秘密:拿破仑三角形与日常小故事嘿,各位朋友!今天咱们来聊聊一个老生常谈但总是让人津津乐道的话题——三角形的面积。

别小看这个看似简单的数学问题,它可是藏着不少“玄机”呢!咱们得知道什么是三角形面积。

简单来说,就是用一个直角三角形的两条直角边长度和乘起来,然后除以2,就能得到这个三角形的面积啦。

听起来是不是有点复杂?不过别担心,咱们慢慢来,一步步揭开它的神秘面纱。

说到三角形面积,就不得不提一下“拿破仑三角形”。

这个三角形可不是普通的三角形哦,它是一种特殊的三角形,它的面积计算方式跟普通三角形不太一样。

那到底怎么算呢?别急,一会儿咱们就揭晓答案。

说起面积,大家可能就会想到一些生活中的小故事。

比如说,你家门口的那棵大树,夏天的时候树叶茂密,遮天蔽日,那时候你可能会想:“这棵树的面积有多大呢?”这时候,你就可以用我们刚刚学的三角形面积公式来计算一下了。

还有啊,咱们平时在公园里散步,看到那些花坛里的花,有的开得特别茂盛,有的却凋谢了。

这时候,你可能就会好奇:“这些花的面积大不大呢?”同样可以用三角形面积公式来算一算。

再说说那些有趣的脑筋急转弯吧。

比如有人问你:“小明家的地瓜长得怎么样?”你回答:“像拿破仑一样。

”这时候,人家可能就会说:“哇,你家地瓜真大!”其实啊,这里的“拿破仑”并不是真的指拿破仑大帝,而是用来形容地瓜长得又大又圆,就像拿破仑的头那么大。

哈哈,是不是感觉很有趣呢?当然啦,三角形面积这个话题还有很多可以挖掘的地方。

比如说,我们可以研究一下不同形状的三角形面积有什么规律。

比如说,等边三角形、等腰三角形、直角三角形……它们的面积分别是多少呢?这些问题都值得咱们好好探讨一番。

我想说的是,三角形面积虽然看起来简单,但其实里面蕴含着很多有趣的知识和智慧。

它不仅仅是数学中的一个知识点,更是我们日常生活中的一个小小助手。

通过学习三角形面积,我们可以更好地了解自然界的奥秘,也可以在日常生活中运用所学的知识解决实际问题。

拿破仑三角形证明

拿破仑三角形证明

拿破仑三角形证明(方法1)(附图)(半原创)在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。

这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。

这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了:证明:设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D,E,F,则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC。

连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE均为底角等于30°的等腰三角形(即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)∴△ABF∽△BCD∽△ACE∴AF/AB = AE/AC = DC/BC而AG=AF,GE=DC∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,∴△AGE∽△ABC∴∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°又∵AG=AF∴△AGF为等边三角形∴AG=AF,∠AGF=60°∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°∴∠FBD=∠FGE(∠AGE=∠ABC)∵在△FBD和△FGE中,FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE∴△FBD≌△FGE(SAS)∴FD=FE同理可证:FD=DE则△DEF为等边三角形 <证毕>如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形,称“内拿破仑三角形”。

证明过程同上,完全相同。

拿破仑定理

拿破仑定理

拿破仑定理在△ABC中,向三边分别向外侧作正三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的一定是正三角形.这一定理可以等价描述为:若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为30°的等腰三角形,则它们的顶点构成一个等边三角形.拿破仑定理证明方法1.在许莼舫的三圆共点的启发下,用四点共圆来获得奇妙的证明。

2.辅助线,证明此题。

3.用三角形的全等,三角形的相似推导出来该定理。

4.用旋转的方法也证明了该定理。

在△ABC的各边上向外各作等边△ABD,等边△ACF,等边△BCE。

如何证明:CD=AE=BF?思路:利用旋转的方法来证明包含有这两条线段的两个三角形全等。

证明:∵ △ABD是等边三角形;△ACF是等边三角形;∴ ∠DAB=∠FAC=60°;∴ ∠DAC=∠BAF;在△DAC和△BAF中;DA=BA;∠DAC=∠BAF;CA=FA;∴ △DAC≌△BAF;(SAS)∴ CD=BF;∵ △ABD和△BCE是等边三角形;∴ ∠DBA=∠EBC=60°;∴ ∠DBC=∠ABE;在△DBC和△ABE中;BD=BA;∠DBC=∠ABE;BC=BE;∴ △DBC≌△ABE;(SAS)∴ CD=AE;&th ere4; CD=BF=AE;利用四点共圆来证明三圆共点。

这是证明拿破仑定理的基础。

在△ABC的各边上向外各作等边△ABD,等边△ACF,等边△BCE。

如何证明:这3个等边三角形的外接圆共点?思路:利用四点共圆来证明三圆共点。

这是证明拿破仑定理的基础。

证明:设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O;连AO、CO、BO。

∴ ∠ADB=∠AFC=60°;∵ A、D、B、O四点共圆;A、F、C、O四点共圆;∴ ∠AOB=∠AOC=120°;∴ ∠BOC=120°;∵ △BCE是等边三角形∴ ∠BEC=60°;∴ B、E、C、O四点共圆;∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。

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拿破仑三角形证明(方法1)(附图)(半原创)
在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形。

这个由三个等边三角形中心构成的三角形称“外拿破仑三角形”。

这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了:
证明:
设三角形ABC对应边外的正三角形的中心分别为D,E,F,
则:∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
在多边形AFBDCE中作一点G,使AG=AF,GE=DC。

连接GF、GA、GE,DE、DF、EF。

∵△ABF、△BCD、△ACE均为底角等于30°的等腰三角形(即
∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°)
∴△ABF∽△BCD∽△ACE
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
而AG=AF,GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC,
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC,∠AGE=∠ABC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF,∠AGF=60°
∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE(∠AGE=∠ABC)
∵在△FBD和△FGE中,
FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理可证:FD=DE
则△DEF为等边三角形 <证毕>
如果换成是在任意一个三角形的三条边上分别向内做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心仍能构成一个等边三角形,称“内拿破仑三角形”。

证明过程同上,完全相同。

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