弹性力学-本构关系ppt课件

体内一点P(x, y, z)的应力和应变
z
为{ } 和{ }。则
C
弹性对称面
其中[C]为各向异性的弹性矩阵
O
现将z轴反向，考察 其本构关系
P (x, y, -zz))
y
x
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z
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在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变
C
但P点坐标和应力应变分量发生变化
x
y
z
两坐标系三轴的方向余弦为 x
1
由 同理
x y
U0
xy
c12
y x
U0
xy
c21
c13 c31 c14 c41
c15 c51
c12 c21 c56 c65
即
cmn c精nm品课件
5
x c11 c12 c13 c14 c15 c16 x
y
c22
c23
c24
c25
c26
y
xzy
对
c33
c34 c44
第四章 本构关系
§4-1 物体的弹性性质和广义胡克定律 §4-2 线弹性材料的本构关系 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
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§4-1 物体的弹性性质·广义Hooke定律
一. 弹性的概念
一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：
ij f ij
应力与应变张量均为六个独立分量。则
0
0
y
0
1
0
x
0
0
-1
由坐标变换
代入上式 由
x
y
z
T
x y y z z x
x y z x y
y z
T
z x
C
C C
来自百度文库
比较得
c 1 5 c 1 6 c 2 5 c 2 6 c 3 5 c 3 6 c 4 5 c 4 6 0
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例如比较 [C] 和 [C] 中的第一行
其中 c i j k l ——称为弹性常数，共81个系数，因 ij 、 ij 各 六个独立， c i j k l 缩减为36个独立的常数。
cmn和cijkl 的下标对应关系：
m、n 1
2
3
4
5
6
ij、kl 11 22 33 12 23 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331
广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
x c11x c12 y c13z c14 xy c15 yz c16 zx
y c21x c22 y c23z c24 xy c25 yz c26 zx
即
z c31x c32 y c33z c34 xy c35 yz c36 zx
xy c41x c42 y c43z c44 xy c45 yz c46 zx
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§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。
根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势，
其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
ij
U 0 ij
—— Green公式
x U x 0 , y U y 0 , z U z 0 ,x y U x 0 y , y z U y 0 z, z x U z 0 x
yz c51x c52 y c53z c54 xy c55 yz c56 zx
zx c61x c62 y c6精3品z课件c64 xy c65 yz c66 zx
3
矩阵表示形式： C
其中 、 ——分别称为应力和应变列阵
C ——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个
张量表示形式： ij cijklkl
弹性体中每一点均有一个对
称方向，在这些对称方向上弹性
性质相同，即应力应变关系不变。
称为弹性对称。
精品课件 弹性主轴
弹性对称方向 6
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。
设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。
y
xzy
对
c33 c34 0 c44 0
0 0
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会
产生切应力，切应变也会产生正应力
工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹
性体。
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二. 正交各向异性材料
c35 c45
c36 c46
xzy
yz
zx
称
c55
c56
yz
c66 zx
弹性矩阵为
对称矩阵，共有 21个独立的弹性 常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。
如果材料具有弹性对称面， 则本构关系还可简化，使弹性常 数进一步缩减。
弹性对称
弹性主轴 弹 性 对 称 方 向
c 1 n c 1 1c 1 2c 1 3c 1 4 c 1 5 c 1 6
c 1 n c 1 1c 1 2c 1 3c 1 4c 1 5c 1 6
c15 c16 0
横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 c14 0
y
c22 c23 c24 0
0 x
0
呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。
在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使
ij f ij 有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可
以证明线弹性一定是超弹性。
二. 广义胡克（Hooke）定律
受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关 系（胡克定律）的启发，线弹性材料在复杂应力状态下其应力 张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式
x f 1 x , y , z , x y , y z , z x y f 2 x , y , z , x y , y z , z x z f 3 x , y , z , x y , y z , z x x y f 4 x , y , z , x y , y z , z x y z f 5 x , y , z , x y , y z , z x z x f 6 x , y , z , x y , y z , z x 称为柯如西果（材C料auchijy）f弹i性j 材呈料单精品（值课一连件 般续意关义系上（的不弹一性定）线。性），则2