飞行控制系统实验指导书

三．实验原理
横向运动方程包括侧力方程、滚转力矩方程和偏航方程。横向运动方程可以 改写为状态空间方式，即
⎜⎛ ⎝
d dt
− Yv
⎟⎞Δv ⎠
− Yp Δp
+
(u0
− Yr
)Δr
−
(g
cos θ 0
)Δφ
=
Yδr Δδ r
−
Lv
Δv
+
⎜⎛ ⎝
d dt
−
L
p
⎟⎞Δp ⎠
−
⎜⎛ ⎝
I xz Ix
d dt
+
Lr
⎣0
X δT
⎤
Z δT
⎥ ⎥
M δT
+
M
w&
Z δT
⎥ ⎥
0
⎦
矩阵中力和力矩的导数已经分别除以飞机的质量和惯性矩，既
∂X
Xu =
∂u m
，Mu
=
∂M ∂u
Iy
纵向导数如表 1.1
表 1.1 纵向导数
( ) Xu
=
−
CDu
+ 2CD0 mu0
QS
( ) Zu
=
−
C Lu
+ 2CL0 mu0
QS
( ) X w
ρ = 0.002378slug / ft3
图 1 通用航空飞机的几何，质量和空气动力学特性
表 1.2 通用航空飞机：NAVION 稳定性数据
纵向
Ma=0.158
CL
CD
C La
C Da
Cma
C La&
海平面
0.41
0.05
4.44
0.33
-0.683
0.0
C Lq
3.8
Cmq
-9.96
C LM
0.0
。
这个特征方程的解，即特征值为 λ = η + wj
λ1,2 =
（长周期）
λ3,4 = 4) 计算时间，周期，半幅值周期数
（短周期）
表 1.4 时间，周期，半幅值周期数
长周期
时间
t1 2
= 0.69 η
=
周期 半幅值周期数
T = 2π w =
N1 2
=
t
1 2
T
= 0.11 w = η
短周期
t1 2
N
∗ v
⎢ ⎢
N
∗ v
⎢
+
I xz Ix
L∗v
⎢⎣ 0
Yp
L∗p
+
I xz Ix
N
∗ p
N
∗ p
+
I xz Ix
L∗p
1
− (u0 − Yr )
L∗r
+
I xz Ix
N
∗ r
N
∗ r
+
I xz Ix
N
∗ r
0
g cos θ 0 ⎤ ⎥
0⎥ ⎥ ⎥
0⎥ ⎥
0 ⎥⎦
⎡0
B
=
⎢ ⎢
L∗δa
⎢
⎢ ⎢
N
∗ δa
Z a = u0Z w
Z δe
=
−C zδe
QS m
M w&
=
Cma&
cv 2u0
QSc u0I y
M a& = u0 M w&
M δe
=
Cmδe
QSc Iy
3.1 纵向长周期近似
我们可以认为长周期模式是围绕平衡点速度和高度的动能和势能的转换。长 周期模式几乎在恒定的应角下，以俯仰姿态、高度和速度的变化为特征。为了获 得近似的长周期，可以忽略俯仰力矩方程和假定迎角的变化为 0，即
wnSP =
Mq
Zα u0
− Mα
=
( ) ξSP
= ⎜⎜⎝⎛ M q
+ M α&
+
Zα u0
⎟⎟⎠⎞ /
2wnSP
=
λ1,2sp = −ξ sp wnsp ± iwnsp
1
−
ξ
2 sp
=
T = 2π w =
t1 2
= 0.69 η
=
4.3 精确方法和近似方法的比较
表 1.5 精确方法和近似方法的比较
⎢
+ I xz Ix
+ I xz Ix
N
∗ δa
L∗δa
⎣0
L∗δr L∗δr
Yδr + I xz
Ix + I xz
Ix
N
∗ δr
L∗δr
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
，
x
=
⎡Δv ⎤
⎢⎢Δp
⎥ ⎥
⎢ Δr ⎥
⎢⎣Δφ
x& = Ax + Bη
（1.1）
其中， x 是状态向量，η 是控制向量，矩阵 A 和 B 包含了飞机的有量纲的稳定 性导数。推导出来的线性化的纵向方程重写如下：
⎜⎛ d ⎝ dt
−
Xu
⎞⎟Δu ⎠
−
X wΔw + (g cosθ0 )Δθ
=
X δ Δδ
+
X δT ΔδT
−
Z
u
Δu
+
[(1
−
Z ω&
在工程实践中，力的导数 Z q 和Z w& 通常被忽略，因为它们对飞机响应的贡献 非常小。所以，为了简化状态空间运动方程的表达式，我们省去了这两项。把上
面方程改写为状态空间的形式，得
⎡Δu& ⎤ ⎡ X u
⎢⎢Δw& ⎥⎥ ⎢Δq& ⎥ ⎢⎣Δθ&⎥⎦
=
⎢ ⎢ ⎢M ⎢ ⎣
u
Zu +M
0
w& Zu
实验二：飞机侧向控制系统
一．实验目的 1. 加深横侧向运动的三个模态的运动形式。 2. 熟练计算侧向量纲一导数。 3. 掌握横向特征参数的求解方法。 4. 掌握横向模态的简化求解方法。 5. 设计状态反馈增稳系统，改善飞行品质。
二．实验内容
1．计算有量纲横向稳定性导数。 2. 计算横向稳定性矩阵 3. 横向特征参数的精确解。 4. 横向三个模态的简化求解。 5. 设计状态反馈改善荷兰滚特性。
⎡
Zα
⎡Δα& ⎤ ⎢⎣ Δq& ⎥⎦
=
⎢
⎢
⎢ ⎢⎣
M
α
u0 + M α&
Zα u0
Mq
1 +
M α&
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎡Δα ⎢⎣ Δq
⎤ ⎥⎦
⎥⎦
求解下面的方程，可以得到状态方程的特征值为
λI − A = 0
即
λ − Z0
u0
− Mα
− M α&
Z0 u0
−1 =0
( ) λ − M q + Mα&
把行列式展开，得
⎟⎞Δr ⎠
=
Lδa Δδ a
+ Lδr Δδ r
−
N
v
Δv
+
⎜⎜⎝⎛
I xz Iz
d dt
+
N
p
⎟⎟⎠⎞Δp
+
⎜⎛ ⎝
d dt
− Nr
⎟⎞Δr ⎠
=
Nδa Δδ a
+ Lδr Δδ r
改写为状态变量的形式，即
x& = Ax + Bη
其中各矩阵定义如下：
（2.1）
⎡ Yv
A
=
⎢
⎢ ⎢
L∗v
+
I xz Ix
= 0.69 η
=
T = 2π w =
N1 2
=
0.11
w η
=
4.2 用近似方法估算
长周期近似
wnp =
− Zug = u0
ξp
= − Xu 2wnp
=
λ1,2 = −ξ p wnp ± iwnp
1
−
ξ
2 p
=
T = 2π w =
t1 2
= 0.69 η
=
N1 2
=
0.11 w η
=
短周期近似 Zα = u0 Z w ， M α = u0 M w ， M α& = u0 M w&
短周期状态方程为
⎡Δα&
⎢ ⎣
Δq&
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 0.334
⎢ ⎣
−
2.52
−
1⎤ 0.387⎥⎦
⎡Δα
⎢ ⎣
Δq
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡− 0.027⎤
⎢ ⎣
− 2.6
⎥ ⎦
Δδ
e
设 k = [k1 k2 ]，计算增强矩阵
A*
=
A − BK T
=
⎡− 0.0334 + 0.027k1
⎢ ⎣
2.52 − 2.6k1
参数
Xu
Zu
Mu
数值
表 1.3.3 对 w 的导数
参数
Xw
Zw
Mw
数值
表 1.3.4 对 w& 的导数
参数
X w&
Z w&
M w&
数值
表 1.3.5 对 q 的导数
参数
Xq
Zq
Mq
数值
3) 把这些稳定性导数代入方程
⎡Δu& ⎤ ⎡ X u
⎢⎢Δw& ⎥⎥ ⎢Δq& ⎥ ⎢⎣Δθ&⎥⎦
=
⎢
⎢
⎢M ⎢
u
λ2
− ⎜⎜⎝⎛ M q
+ M α&
+
Zα u0
⎟⎟⎠⎞λ + M q
Zα u0
− Mα
=0
从上面的特征方程可以解出近似的短周期根为
（1.8）
（1.9） （1.10）
λSP
= ⎜⎜⎝⎛ M q
+ M α&
+
Zα u0
⎟⎟⎠⎞ / 2 ± ⎢⎢⎣⎡⎜⎜⎝⎛ M q
+ M α&
+
Zα u0
⎟⎟⎠⎞ 2
)
d dt
− Zω ]Δw − [(u0
+
Z
q
)
d dt
−
g sinθ0 ]Δθ
=
Zδ Δδ
+ ZδT ΔδT
−
M uΔu
−
⎜⎛ ⎝
M
w&
d dt
+
Mw
⎟⎞Δw ⎠
+
⎜⎜⎝⎛
d2 dt 2
−
Mq
d dt
⎟⎟⎠⎞Δθ
=
Mδ Δδ
+
MδT ΔδT
（1.2）
其中， Δδ , ΔδT 分别是空气动力控制项和推力控制项。
=
0
⎦
展开行列式得到
λ2
−
Xuλ
−
Zu g u0
=
0
（1.5）
频率和阻尼比为
ξp
=
− Xu 2wnp
， wnp
=
3.2 短周期近似
− Zug u0
（1.6）
⎡Δw& ⎤ ⎢⎣Δq& ⎥⎦
=
⎡ ⎢⎣M u
Zw + M w& Zu
u0 ⎤⎡Δw⎤
M
q
+
M
w& u0
⎥ ⎦
⎢⎣
Δq
⎥⎦
（1.7）
使用下面的关系式，可以把上式以 α 为变量的形式写出，即
C DM
0.0
CmM
0.0
C Lδ e
0.355
4.1 精确解： 1) 首先必须得到有量纲纵向稳定性导数的数值
C ma&
-4.36
C mδ e
-0.923
表 1.3.1 动压 Q 以及 QS， QSc ， c 2u0
参数
Q
QS
QS c
数值
2) 纵向导数用表中的公式估算
表 1.3.2 对 u 的导数
令 ⎡Δu ⎤
x
=
⎢⎢Δw⎥⎥ ⎢Δq ⎥
，
η
=
⎡ Δδ ⎣⎢Δδ T
⎤ ⎥ ⎦
⎢⎣Δθ
⎥ ⎦
则
⎡ Xu
⎢ A=⎢
Zu
⎢M ⎢
u
+ M w& Z u
⎣0
Xw Zw M w + M w& Z w 0
0
u0 M q + M w& u0
1
− g⎤
0
⎥ ⎥
0⎥
0
⎥ ⎦
⎡ Xδ
⎢ B=⎢
Zδ
⎢M ⎢
δ
+ M w& Zδ
1．计算有量纲纵向稳定性导数。 2. 计算纵向稳定性矩阵 3. 长周期和短周期特征参数的精确解。 4. 长周期和短周期模态的简化求解。 5. 设计状态反馈增稳系统，改善飞行品质。
三．实验原理
线性化的纵向方程是简化的常系数普通线性微分方程，微分方程中的系数由 空气动力稳定导数、质量、飞机的惯性特性构成。这些方程可写成一组一阶微分 方程，被称为状态空间方程或状态方程，数学上可表示如下：
⎣
Zu +M
0
w& Zu
Xw Zw M w + M w& Zw 0
得到稳定性矩阵，即
0
u0 M q + M w& u0
1
− g⎤⎡Δu ⎤
0
⎥ ⎥
⎢⎢Δw⎥⎥
0 ⎥⎢Δq ⎥
0
⎥ ⎦
⎢⎣Δθ
⎥ ⎦
x& = Ax
c 2u0
⎡
⎤
⎢
⎥
其中
A
=
⎢ ⎢
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
则
λI − A = 0
上面的特征方程展开后为
Xw Zw M w + M w& Z w 0
0
u0 M q + M w& u0
1
− g⎤⎡Δu ⎤
0
⎥ ⎥
⎢⎢Δw⎥⎥
0 ⎥⎢Δq ⎥
0
⎥ ⎦
⎢⎣Δθ
⎥ ⎦
⎡ Xδ
⎢ +⎢
Zδ
⎢M ⎢
δ
⎣
+ M w& Zδ 0
X δT
⎤
M δT
ZδT + M w& ZδT
0
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎡ Δδ ⎢⎣ΔδT
⎦
⎤ ⎥ ⎦
−1 − 0.027k2 ⎤
பைடு நூலகம்
−
0.387
+
2.6k
2
⎥ ⎦
特征方程为 λI − A∗ = 0 。即
而希望的特征方程为 λ2 + 4.2λ + 9 = 0 。比较的相同次幂，即可解出增益
k = [k1 ]k2 T =
所以，状态反馈控制为
Δδ e = (
)Δα + (
)Δq
六．思考题
1. 纵向运动的长周期和短周期运动各有什么特点？ 2. 精确分析和近似分析的结果比较可得到哪些结论？ 3. 什么条件下可以使用状态反馈进行控制器设计？
=
−
CDa − CL0 mu0
QS
（1.3）
( ) Zw
=
−
CLu + CD0 mu0
QS
Za = u0Zw
Zq
=
−C zq
c 2u0
QS m
Mu
= Cmu
QSc u0I y
Mw
=
Cma
QSc u0I y
M a = u0M w
Mq
=
Cmq
cv 2u0
QSc Iy
Z w&
=
−C za&
c 2u0
QS u0m
Δa = Δw ， Δa = 0 → Δw = 0 u0
在这些假定之下，齐次纵向微分方程简化为
⎡Δu& ⎤ ⎢⎣Δθ&⎥⎦
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
Xu − Zu
u0
−g 0
⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΔΔθu
⎤ ⎥ ⎦
解下面方程求长周期近似特征值为
（1.4）
λI − A = 0
或
⎡λ − X u
⎢ ⎢
Zu
⎣ u0
g⎤
⎥ 0⎥
飞行控制系统实验指导书
张红梅
沈阳航空航天大学 2010 年 3 月
目录
实验一：飞机纵向控制系统
1
实验二：飞机侧向控制系统
9
实验一：飞机纵向控制系统
一．实验目的 1. 加深理解纵向线性化小扰动运动方程组。 2. 熟练计算纵向量纲一导数。 3. 掌握纵向特征参数的求解方法。 4. 掌握长周期和短周期模态的简化求解方法。 5. 掌握用状态反馈设计增稳系统。 二．实验内容
− 4⎜⎜⎝⎛ M q
Zα u0
− Mα
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤1/ 2
/2
（1.11）
频率和阻尼比可以表达为
( ) wnSP =
Mq
Zα u0
− Mα
； ξ SP
⎡ = −⎢M q
⎣
+ M α&
+
Zα u0
⎤ ⎥ ⎦
/
2wnSP
（1.12）
四．实验步骤
根据图 1 和表 2 中的通用航空飞机的数据计算其纵向的特征值和特征向量的 精确解，将结果与长周期和短周期近似的结果进行比较。
Δα = Δω u0
此 外 ， 把 对 w 和 w& 的 导 数 替 换 为 对 α 和 α& 的 导 数 ， 则
Ma
=
1 Iy
∂M ∂α
=
1 Iy
∂M
∂(Δw /
u
0
)
=
u0 Iy
∂M ∂w
= u0M w
类似地，可以得到 Zα = u0 Z w ， M α& = u0 M w 使用上面表达式，短周期近似的状态方程可以改写为
精确方法/s
长周期
t1 = 2
T=
短周期
t1 = 2
近似方法/s t1 =
2
T=
t1 = 2
T=
T=
N1 2
=
0.11
w η
=
误差/%
五．状态反馈增稳系统
设飞机在特定情况下短周期品质变差，为了改进飞行品质采用状态反馈增稳
系统。求反馈增益，使飞机的短周期特性为 λsp = −2.1 ± i2.14 。设改善前飞机的