新课标高中数学全部精讲精练 选修1-2精讲精练全稿
【精品】高中数学选修1-2 知识讲解_数学归纳法 讲义 知识点+练习题_提高
数学归纳法【学习目标】1.知识与技能（1）了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤；（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.过程与方法（1）通过学习数学归纳法的原理和基本思想，了解数学方法的博大、精妙，形成对数学证明方法的进一步认识。
（2）通过了解数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题，感受递推的思想。
3.情感、态度与价值观通过学习，加深对由一般到特殊以及由一般到特殊的认识规律的认识，进一步认识有限与无限的辩证关系，培养辩证的观点。
【要点梳理】要点一:数学归纳法的概念与原理数学归纳法的定义对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.数学归纳法的原理数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
高中数学全套讲义 选修1-2 数系扩充中档 学生版
目录目录 (1)考点一虚数单位i、复数 (2)考点二复数的代数表示法及其几何意义 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一 虚数单位i 、复数1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为 2.负数的运算1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模： →OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= ⎷ a 2+b 21．（2019•湖北模拟）若复数232019|34|134i z i i i i i-=++++⋯+++，则复数z 对应的点在第( )象限 A ．一B ．二C ．三D ．四2．（2018秋•泉州月考）若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于( ) A ．3- B ．0C ．1D ．23．（2019春•龙凤区校级月考）若ABC ∆是锐角三角形，则复数⎷ a 2+b 2(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2018秋•兴庆区校级月考）若复数cos sin z i θθ=+且221z z +=，则2sin (θ= ) A ．12B ．14C ．34 D ．14-5．（2018春•内江期末）下面是关于复数1(z i i =+为虚数单位）的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②||2z =；③2z 是纯虚数；④z z >．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（2018春•武清区期中）i 是虚数单位，2501i i i +++⋯+等于( ) A ．0B ．iC ．1i +D ．2i +考点二 复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； （2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．7．（2019春•安庆期末）复数2(1)21z m i i m i =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围( )A ．(,1)-∞-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞8．（2019春•松江区期末）已知复数1cos 2()z x f x i =+，2cos )z x x i =++，x R ∈，在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为( )A ．14-B ．14 C ．12-D ．129．（2019春•河南期中）设复数z 的共轭复数是z ，且||1z =，又(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()|(1)()|f z z z i =+-取最大值时在复平面上以z ，A ，B 三点为顶点的图形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．（2019•安徽二模）已知i 为虚数单位，在复平面内，复数22ii+的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．（2019•河南三模）已知z 的共轭复数是z ，且||12(z z i i =+-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．（2019春•东湖区校级月考）设复数()a iz a R a i-=∈+在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围是( ) A ．1a <- B ．0a <C ．0a >D ．1a >课后综合巩固练习13．（2019春•扬州期末）设a R ∈，若复数(2)(2)i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =-上，则a = ．14．（2019春•诸暨市校级期中）已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足|1|z x -=，那么z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程 ； ．15．（2019春•青浦区期末）若复数z 满足||2z =，则|3||3|z z ++-的取值范围是 ． 16．（2018春•南康区校级月考）已知m R ∈，复数2(2)(1)(12)z i m m i i =+---+（其中i 为虚数单位），若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是17．（2018春•厦门期末）如图，在复平面内，向量OA 对应的复数12z i =+，OA 绕点O 逆时针旋转90︒后对应的复数为2z ，则12||z z += ．18．（2018春•朔州期末）若i 是虚数单位，复数z 满足121zi i =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为 ．19．（2018春•沭阳县期中）已知复数1(3)z m m i =-+-，()m R ∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是 ．。
高中数学选修1-2精品课件8：2.1.1 合情推理
)
r2 l2 lr l＋r A. 2 B.2 C.2 D. 2
【解析】三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应 扇形的弧长，所以可猜测为 S＝12rl＝l2r. 【答案】C
4．等差数列{an}中，an＞0，公差d＞0，则有a4·a6＞a3·a7， 类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，写 出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即 13＋23＋33＋…＋n3＝n（n2＋1）2.
(2)【解析】由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7 ＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可归纳猜 想出an＝2n－1(n∈N*)． 【答案】2n－1(n∈N*)
类型2 图形中的归纳推理 典例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律 拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形 的个数是( )
sin2nπ＋1 －2 ＋ sin2n2＋π 1 －2 ＋ sin2n3＋π 1 －2 ＋ … ＋ sin22nn＋π1－2＝________． (2)已知数列{an}的第 1 项 a1＝1，且 an＋1＝1＋anan(n＝1， 2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．
(1)【解析】根据已给出的等式归纳推理求解． 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固 定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角 度中 π 的系数的分子的一半，43后面第二个数是第一个
数的下一个自然数，所以，所求结果为43×n×(n＋1)， 即43n(n＋1)． 【答案】43n(n＋1)
(2)解：当 n＝1 时，a1＝1；
当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13；
数学新同步湘教版选修1-2讲义+精练：第7章章末小结Word版含解析
1.虚数单位i(1)i 2=- 1(即一1的平方根是 ±).(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立.i 4n = 1, i 4n +1= i , i 4n + 2=_ 1, i 4n + 3=_i(n € N + ),则有 2. 复数的分类了实数b = 0复数 a + bi , (a , b € R) i 虚数 fb z 0 'i \ f\3. 共轭复数设复数z 的共轭复数为z ,则--- 2 2(1) z • = |z| = 1 z 1 ；(2) z 为实数？ z = z ; z 为纯虚数？ z =- z .4. 复数相等的条件复数相等的充要条件为 a + bi = c + di ? a = c , b = d(a , b , c , d € R) •特别地，a + bi = 0? a = b = 0(a , b € R).5. 复数的运算(1)加法和减法运算：(a + bi) ±+ di) = (a 乂)+ (b ±d)i(a , b , c , d € R).⑵乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd)+ (ad + bc)i ;复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化. 逢型一 复数的概念［例 1］复数 z = Iog 3(x 2-3x — 3) + ilog 2(x — 3)，当 x 为何实数时,(1)z € R ? (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数?归纳・n n +1 i + i(3)i 的幕具有周期性:n +2 n +3 + i n '2+ i n 3= 0(n € N +). 纯虚数a = 0 非纯虚数0［解］(1) •••一个复数是实数的充要条件是虚部为X2—3X—3>0, ①log^x —3 尸0,由②得x= 4，经验证满足①式.•••当x = 4 时，z€ R.(2) •••一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0,x2—3x —3>0,•- log2 x—3 丰0,••当<x<4 或x>4 时，z 为虚数.(3) •••一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0,__ (2)|log3 x —3x—3 = 0,• log2 x— 3 丰0,X —3>0.x=—1 或x= 4,解得无解.x>3且x丰4.•复数z不可能是纯虚数.惜:题发挥解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域.跟;踪演练a + 2i1.若复数z= -■_7 + (2 —i)为纯虚数，求实数a.解：「z=兰+ (2-⑴丑号I + (2 —i)1+ i 2=七予(2-。
高中数学选修1-2第二章课后习题解答
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
高考调研精讲精练人教数学选修1-2(B版)第1-4章
汈A1．1独立性检验要点1独立事件(1)独立事件的定义对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)就称事件A与B互相独立，简称A与B 独立．(2)当事件A与B独立时，事件A与B、A与B、A与B也独立．要点2字母表示的2×2列联表：表中：n＋1＝n11＋n21，＋2＝n12＋n22，1＋＝n11＋n12，2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n12＋n21＋n22．要点3 χ2统计量根据上表给定的数据引入χ2(读作“卡方”)统计量．它的表达式是χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2．要点4 独立性检验思想(1)用H 0表示事件A 与B 独立的决定式，即H 0： P(AB)＝P(A)P(B)，称H 0为统计假设．(2)用χ2与其临界值3.841与6.635的大小关系来决定是否拒绝统计假设H 0，如表：1．事件相互独立与事件互斥的区别是什么？答：(1)事件相互独立可以理解为两个事件的发生彼此互不影响，或者影响可以忽略不计，其概率表现形式为P(A ∩B)＝P(A)P(B)；(2)事件互斥指的是两个事件不能同时发生，若一个发生则另一个一定不会发生，其概率表现形式为P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)．2．在进行χ2运算，判断变量相关时，若χ2＝56.632，P(χ2>6.635)≈0.01和P(χ2>3.841)≈0.05，哪种说法是正确的？答：两种说法均正确．由P(χ2>6.635)≈0.01的含义是有99%的把握认为两变量相关，也就是说判断出错的可能性只有1%；而P(χ2>3.841)≈0.05的含义是有95%的把握认为两变量相关，也就是说判断出错的可能性只有5%.题型一 相互独立事件的概率例1 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有一人投中的概率．【解析】 (1)设A ＝“甲投篮一次，投中”，B ＝“乙投篮一次，投中”，则A ∩B ＝“两人各投篮一次，都投中”．由题意知，事件A 与B 相互独立．∴P(A ∩B)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一个投中”包括两种情况，一种是甲投中、乙未投中(事件A ∩B 发生)，另一种是甲未投中、乙投中(事件A ∩B 发生)，根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A ∩B 与A ∩B 互斥，并且A 与B ，A 与B 各自相互独立，因而所求概率为P(A ∩B)＋P(A ∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) ＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P(A ∩B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16因此至少有一人投中的概率为 P(A ∪B)＝1－P(A ∩B)＝1－0.16＝0.84.探究1 1.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；两个事件互斥是指两个事件在同一试验中不可能同时发生，即互斥的两个事件彼此之间有关联．2．在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面解决这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出．此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，进而求得原来事件的概率．思考题1 (2010·金华高二检测)甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少一人面试合格的概率；(2)没有人签约的概率．【提示】 “面试是否合格互不影响”说明三人面试合格为相互独立事件，“至少一人面试合格”的对立事件为“三人面试都不合格”，可用对立事件概率公式求解．【解析】 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意知A ，B ，C 相互独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.(1)设至少有一人面试合格为事件D ，则 P(D)＝1－P(A B C )＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝78.(2)设没有人签约为事件E ，则 P(E)＝P(ABC)＋P(A BC)＋P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.题型二 独立性检验的应用例2 某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了1700次观测，列联表如下：有震 无震 合计 有变化 98 902 1000 无变化 82 618 700 合计 180 **** ****【解析】 根据列联表中的数据得到 χ2＝1700×（98×618－902×82）21000×700×180×1520≈1.594<3.841，∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关．可以认为二者是无关的． 探究2 检验两个变量是否相互独立，主要依据是利用χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2公式计算χ2的值，再利用该值与两个值3.841，6.635进行比较作出判断．思考题2 在从烟台——大连的某次航运中，海上出现恶劣气候．随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如表所示：晕船(B) 不晕船(B) 合计 男人(A) 32 51 83 女人(A) 8 24 32 合计 40 75 115【解析】 由公式得χ2的值为 χ2＝115×（32×24－51×8）283×32×40×75≈1.870.因为1.870<3.841，所以我们没有理由说晕船跟性别有关．题型三 独立性检验的综合应用例3 同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题： (1)求两颗骰子都出现2点的概率；(2)若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？【思路点拨】 解答本题(1)可利用相互独立事件同时发生的概率公式计算．解答本题(2)可利用2×2列联表检验．【解析】 (1)每颗骰子出现2点的概率都为16，由相互独立事件同时发生的概率公式得两颗骰子都出现2点的概率为16×16＝136.(2)依题意，列2×2列联表如下：出现2点 出现其他点合计 甲骰子 20 160 180 乙骰子 30 150 180 合计 50 310 360由公式计算得χ2＝360×（20×150－160×30）250×310×180×180≈2.323.因为2.323<3.841，因此我们没有理由说两颗骰子出现2点相关．探究3 统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质，因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．思考题3 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病 不得病 总计 干净水 52 466 518 不干净水 94 218 312 总计 146 684 830【解析】 由公式得χ2的值为χ2＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.212.因为54.212>6.635，所以我们有99%的把握认为这种传染病与饮用不干净水有关．1．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三次中至少有一次射中的概率为() A．0.216B．0.064C．0.936 D．0.036答案 C解析可以考虑利用对立事件的概率以及相互独立事件的关系来求．P＝1－0.4×0.4×0.4＝0.936.2．根据2×2列联表，以下各式：①n＋1＝n11＋n21；②n＋2＝n12＋n22；③n1＋＝n11＋n21；④n2＋＝n12＋n22；⑤n＝n＋1＋n＋2＋n1＋＋n2＋.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析∵n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.∴①②正确，故选B.3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的() A．100个吸烟者中至少有99个患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有答案 D4．经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个观测值，当χ2<2.706时，我们认为两分类变量A、B()A．有95%的把握认为A与B有关系B．有99%的把握认为A与B有关系C．没有充分理由说明A与B有关系D．不能确定答案 C5．若两个分类变量X和Y的2×2列联表为：则X与Y答案99.9%解析χ2≈18.8>10.828.故有99.9%的把握认为X与Y有关系．课时作业(一)一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为X 与Y 有关系是错误的可信度为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10% 答案 C 解析 P(χ2≥3.841)＝0.05.故选C.2．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：班级与成绩列联表则随机变量χ2A ．0.600 B ．0.828 C ．2.712 D ．6.004 答案 A解析 χ2＝90×（11×37－34×8）245×45×19×71≈0.600.3．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：A ．99%B ．95%C ．90%D ．无充分根据 答案 B解析 χ2＝50×（18×15－9×8）227×23×26×24≈5.059>3.841.4．掷一枚硬币，记事件A ：“出现正面”，B ：“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P(AB)＝P(A)·P(B) C ．A 与B 不相互独立D ．P(AB)＝14答案 C解析 ∵事件A 与事件B 是对立事件，故排除A 、B 、D ，∴应选C.5．在一次独立性检验中，根据计算结果，认为A 与B 无关的可能性不足1%，那么χ2的一个可能取值为( )A ．6.635B ．5.024C ．7.897D ．3.841 答案 C解析 由χ2的数值与两个临界值3.841、6.635进行对比．6．如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足( )A ．χ2>3.841B ．χ2<3.841C ．χ2>6.635D ．χ2<6.635 答案 A解析 根据独立性检验的两个临界值及其与χ2大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A 和B 有关时，统计量χ2>3.841，故选A. 二、填空题7．某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下：χ2≈4.844，因为χ2>3.841，所以可判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为________．答案 5% 8．大学生和研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数.答案 99%9．在独立性检验中，选用χ2作为统计量，当χ2满足条件________时，我们有90%的把握说事件A 与B 有关．答案 χ2>2.70610．统计推断，当________时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的．答案 χ2>3.841，χ2≤2.706解析 结合χ2的临界值表可知，当χ2>3.841时有95%的把握说事件A 与B 有关；当χ2≤2.706时认为没有充分的证明显示事件A 与B 是有关的． 11．有2×2答案 10.76解析 χ2＝189×（54×63－32×40）294×95×86×103≈10.76.三、解答题12．205份样品分别接种于甲、乙两种培养基上，经过规定的一段时间后，检查培养的效果．结果分为阳性和阴性，资料如下．试分析这两种培养基的培养效果是否有显著差别．(α＝0.001)解析 χ2＝205×（36×103－34×32）268×137×70×135≈15.984，因为15.984>10.828，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以拒绝H 0.因此有99.9%以上的把握认为这两种培养基的培养效果有显著差异．13．某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”．经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A 疾病．请用所学知识分析该药品对患A 疾病是否有效？提示 由题中所给数据可列出2×2列联表，将数据代入χ2进行求解可得结论． 解析 将问题中的数据写成2×2列联表：将上述数据代入公式χ2＝n·（n 11n 22－n 12·n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2中，计算可得χ2≈0.0414，因为0.0414<3.841，故没有充分理由认为该保键药品对预防A 疾病有效．14．(2010·辽宁卷)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：解析(1)从频率分布直方图中可以看出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．(2)表3：χ2＝200×（70×65－35×30）2100×100×105×95≈24.56.由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．1．2 回归分析要点1 回归直线方程的求法： 在回归直线方程y^＝a^＋b^x 中， b^＝错误!＝错误!x 其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i .要点2 相关系数计算r ＝错误!＝错误!a^＝y －b^x ＝5－1.23×4＝0.08. ∴Y 对x 的回归直线方程为： y^＝a^＋b^x ＝0.08＋1.23x. (3)当x ＝10时，y^＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)．即估计使用10年时维修费用是12.38万元． 探究1 求回归直线方程的步骤：(1)画散点图；(2)计算a^、b^；(3)写出方程。
高中数学新课标人教A版选修1-2归纳整合课件
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专 题 归 纳第六页，编辑于星解期一读：点高十三分考。
【例1】 如下图所示，由正整数排成的三角形数表，第n行首尾两数 均为n，记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行的数 据关系可以得到递推关系________，并通过有关求解可以得到 通项f(n)＝________.
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【例6】 如图，在四面体BACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别 是AB，BD的中点，求证： (1)直线EF∥平面ACD； (2)平面EFC⊥平面BCD.
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专 题 归 纳第十九页，编辑于解星期读一：点高十三考分。
证明 (1)要证直线 EF∥平面 ACD， 只需证 EF∥AD 且 EF⊄平面 ACD. 因为 E，F 分别是 AB，BD 的中点， 所以 EF 是△ABD 的中位线， 所以 EF∥AD， 所以直线 EF∥平面 ACD. (2)要证平面 EFC⊥平面 BCD， 只需证 BD⊥平面 EFC，
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专 题 归 纳第十三页，编辑于解星期读一：点高十三考分。
【例 4】 数列{an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋1＝n＋n 2Sn(n ∈N*)，证明： (1)数列Snn是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. 证明 (1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋n 2Sn， ∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即 nSn＋1＝2(n＋1)Sn. ∴nS＋n＋11＝2·Snn，(小前提)
2 2 a＋1a＋2，
：点高十三考分。
从而只需证 2
a2＋a12≥ 2 a＋1a，
只要证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
即 a2＋a12≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
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• 5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏 病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为 继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样 得出的呢？若从数学角度区分，这里的疾病和吸烟就是彼此相关的两 个变量． • 如何用数学的方法来刻画这种变量之间的关系呢？本章要学习的统计 案例就是通过对一对变量使用线性回归的方法来研究变量之间的对应 关系．通过本章的学习，我们将知道如何研究变量之间的相关关系， 如何模拟变量之间的函数关系，如何检验两个变量之间的独立性．
• R2＝________________. • 在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的__________． • R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越 ________．
贡献率
Байду номын сангаас
好
残差分析
• 新知导学 • 7．在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是 否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后，通过残差 ________________来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可 疑数据，这方面的分析工作称为残差分析．
• 回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题，对于非线性回归问题， 往往利用转换变量的方法转化为线性回归问题．
水平的
带状区域 窄
牛刀小试 1．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，当变量 x 增加一个单 位时( ) A．y 平均增加 2.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位 C．y 平均减少 2.5 个单位
随机性
线性回归分析
• 思维导航 • 2．上图2中各点散布在一条直线附近，可否用这条直线对y随x的变化 作出近似估计？如果可以，这条直线怎样求？如何刻画这种估计的可 靠性？
高中数学全套讲义 选修1-2 数系扩充简单 教师版
目录目录 (1)考点一虚数单位i、复数 (2)考点二复数的代数表示法及其几何意义 (4)课后综合巩固练习 (7)考点一 虚数单位i 、复数1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为 2.负数的运算1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模： →OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= ⎷ a 2+b 2．1．（2019春•泉州期末）若(2)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【分析】由实部为0且虚部不为0列式求解实数m 的值． 【解答】解：(2)(1)z m m i =-++为纯虚数，∴2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =，故选：D ．⎷ a 2+b 2【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（2019春•哈尔滨期中）已知复数12z i =+，则z 的虚部是( )A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-解：12z i =+故选：D ．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（2019•青羊区校级模拟）设i 是虚数单位，m ，n 为实数，复数z m ni =+为虚数，则()A ．0m =B ．0n ≠C ．0m =且0n ≠D ．0mn ≠【分析】根据复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：若复数是虚数，则0n ≠， 故选：B ．【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用虚数的定义是解决本题的关键．比较基础． 4．（2019•沈阳三模）已知i 为虚数单位，则232019i i i i +++⋯+等于( )A ．iB ．1C ．i -D ．1-【分析】利用等比数列前n 项和化简，再由虚数单位i 的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．故选：D ．【点评】本题考查等比数列前n 项和，考查虚数单位i 的性质，是基础题． 5．（2019•遂宁模拟）已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是( )A ．i -B ．1-C ．2D ．2i -【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由12iz i =+，z ∴的虚部是1-．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2019•吉林三模）若2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，则实数m 的值为()A ．2-B ．2C ．3D ．3-【分析】根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出m 的值即可． 【解答】解：2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，∴26020m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得3m =-，故选：D ．【点评】本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．7．（2019•江门一模）i 是虚数单位，20191()(1i i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 解：115043i i =-． 故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．考点二 复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； （2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．8．（2019春•淄博期末）在复平面内，复数(13)(z i i i =+为虚数单位）对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(13)3z i i i =+=-+，∴复数z 对应的点的坐标为(3,1)-，位于第二象限．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9．（2019春•汉中期末）复数2(1)z i =+在复平面内对应的点在()A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：22(1)122z i i i i =+=++=，∴复数2(1)z i =+在复平面内对应的点的坐标为(0,2)，在虚轴上．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10．（2019春•齐齐哈尔期末）若复数z 满足24iz i =+（其中i 为虚数单位），在在复平面内z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．∴在复平面内z 对应的点的坐标为(4,2)-，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．11．（2019春•宁德期末）已知复数(12)(1)z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(12)(1)1223z i i i i i =+-=-++=+，故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（2019春•石家庄期末）在复平面内，复数1ii -的对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：i 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．课后综合巩固练习1．（2019春•通州区期末）在复平面内，复数1(i i -为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限．【分析】直接由已知的复数得到其共轭复数，然后指明在复平面内对应点的坐标．故答案为：一．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义和共轭复数的概念，属基础题． 2．（2019春•杨浦区校级期末）复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部是 10 ．【分析】根据41i =知，要求复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部，只需求出1!2!3!1098i i i ⨯+⨯+⨯的虚部．【解答】解：41i =，故4!5!10!761i i i ⨯+⨯+⋯+⨯均为实数，∴要求复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部，只需求出1!2!3!1098i i i ⨯+⨯+⨯的虚部．1!2!3!26109810981710i i i i i i i ⨯+⨯+⨯=++=-+．∴复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部是10．故答案为：10．【点评】本题考查复数幂的运算，考查了虚数单位i 的性质，属基础题．3．（2019春•九江期末）若复数22(2)(2)()a a a a i a R -+--∈为纯虚数，则a = 0 ．【分析】直接利用实部为0且虚部不为0求解． 【解答】解：复数22(2)(2)()a a a a i a R -+--∈为纯虚数，∴222020a a a a ⎧-=⎨--≠⎩，解得0a =．故答案为：0．【点评】本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题．4．（2019春•宁县校级期中）2019i = i -【分析】复数2019i 可化为45043()i i ，根据41i =得出结果即可．【解答】解：20194504345043()ii i i i ⨯+===-．故答案为：i -．【点评】本题考查了复数的运算，关键是知道41i=，属基础题．5．（2019春•宁县校级期中）已知x ，y R ∈，若3(2)x i y i +=-，则x y +== 5【分析】根据复数相等可得023x y =⎧⎨-=⎩，然后计算x y +即可．【解答】解：因为3(2)x i y i +=-，所以023x y =⎧⎨-=⎩，所以05x y =⎧⎨=⎩，所以5x y +=． 故答案为：5．【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，属基础题 6．（2019•海安县校级模拟）在复平面内，复数11i-对应的点位于第 一 象限． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 解：1故答案为：一．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（2019春•常州期中）若复数z 满足23z z i +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复平面内对应的点位于第 四 象限．答案．【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，。
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• [答案]C • [解析] ①反映的正是最小二乘法思想，故正确． • ②反映的是画散点图的作用，也正确． • ③解释的是回归方程＝x＋的作用，故也正确．
• ④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性 检验，以体现两变量的关系． • [点评] 线性回归分析的过程： • (1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点 • (2) 由样本点形成散点图，判定是否具有线性相关 关系； • (3)由最小二乘法确定线性回归方程； • (4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势．
^ x＋ a ^ 可以估计观测变量的取值和 ③通过回归方程^ y ＝b
• ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回 变化趋势； 归方程，所以没有必要进行相关性检验． • 其中正确命题的个数是 (
)
• A．1 B．2 • C．3 D．4 • [分析] 由题目可获取以下信息： • ①线性回归分析； • ②散点图； • ③相关性检验等的相关概念及意义． • 解答本题可先逐一核对相关概念及其性质，然后 再逐一作出判1 (x1＋x2＋…＋xn)，y ＝n(y1＋y2＋…＋yn)， ∑i＝1xiyi＝x1y1＋x2y2 ^ 2 2 2 2 ^ ＋…＋xnyn， ∑i＝1xi ＝x1＋x2＋…＋xn.再由a＝ y －b n
^的 x 求出a
值，并写出回归直线方程．
^ ^ 2．回归直线中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来
• 回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题， 对于非线性回归问题，往往利用转换变量的方法 进行转化，转变为线性回归问题．
• [例1] 有下列说法： • ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线， 使之贴近这些样本点的数学方法； • ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的 关系是否可以用线性关系表示；
2020版高中数学高二选修1-2教案及练习归纳整理78知识讲解《《推理与证明》全章复习与巩固
《推理与证明》全章复习与巩固【学习目标】1.了解合情推理的含义,能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理;掌握演绎推理的基本模式;体会它们的重要性,并能运用它们进行一些简单的推理;2.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异;3.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点;4.了解间接证明的一种基本方法:反证法;了解反证法的思考过程、特点.【知识网络】【要点梳理】要点一:有关推理概念归纳推理:又称归纳法,是从特殊到一般、部分到整体的推理.根据归纳对象是否完备,分为完全归纳法和不完全归纳法.完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理;不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理.由于仅列举了归纳对象中的一小部分,因此得出的结论与前提未必有必然的联系,故其结论未必正确,必须经过理论的证明和实践的检验.类比推理:又称类比法,是由特殊到特殊的推理.这是由两系统的已知属性,通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式.和归纳推理一样,能由已知推测未知,推理的结论也不一定为真,有待进一步证明,通常情况下,类比的相似性越多,类比得出的结论就越可靠.演绎推理:又称演绎法.是从一般到特殊的推理,是数学证明中的基本推理形式.演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中.它是“封闭型”的思维方法,只要前提真实,逻辑形式正确,则结论必然真实,但由它一般不能取得突破性进展.故合情推理与演绎推理各有侧重,相辅相成.合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律,演绎推理保证结论的可靠性,去伪存真.要点诠释:演绎推理更注重推理的形式规则,常见的有假言推理、关系推理、三段论推理. 三段论推理:其一般形式为:大前提:所有M 都是P;小前提:S 是M;结论:S 是P . 要点二:有关证明方法 综合法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立的证明方法,是数学推理证明中的主要方法.即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待征结论或需求问题.如果要证明的命题是p q ⇒,那么证明步骤用符号表示为p (已知)123p p p ⇒⇒⇒⇒…q ⇒.分析法分析法就是从待征结论出发,一步一步探索下去,寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.用分析法证明的逻辑关系:q (结论)n p ⇐⇐…321p p p p ⇐⇐⇐⇐(已知).要点诠释:综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可以帮助我们克服这种困难.在实际证明问题时,应当把分析法和综合法综合起来使用,转换解题思路,增加解题途径.间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真,间接达到目的.反证法就是间接证法的一种. 反证法证题步骤为:(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾. (3)由矛盾判断假设不成立.从而肯定命题的结论成立. 反证法导出矛盾常见的有以下几种情况: ①导出非p 为真,即与原命题的条件矛盾. ②导出q 为真,即与假设“非q 为真”矛盾.③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题. 要点诠释:反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性,从逻辑角度看,命题:“若p 则q ”的否定是“若p 则⌝q ”,由此进行推理,如果发生矛盾,那么就说明“若p 则⌝q ”为假,从而可以导出“若p 则q ”为真,从而达到证明的目的,反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常出现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明:否定性,唯一性命题;至多,至少型问题;几何问题. 【典型例题】类型一:合情推理与演绎推理例 1. 平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:充要条件①________________________________; 充要条件②________________________________. (写出你认为正确的两个充要条件)【思路点拨】由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时要做到点类比线、线类比面、面类比体. 【试题解析】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点,底面是平行四边形(填任意两个即可)【总结升华】本题考查类比推理,其关键是掌握由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时,元素间的对应关系. 举一反三:【变式1】在平面几何中,△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE ACEB CB=,把这个结论类比到空间:在三棱锥A —BCD 中(如图所示),面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ,则得到的类比的结论是________.【参考答案】ACDBCDS AE EB S ∆∆=. 【变式2】观察图中各正方形图案,每条边上有n ≥2个圆点,第n 个图案中圆点的总数是n S .按此规律推断出n S 与n 的关系式为_________. 【参考答案】(1)4n S n =-⨯【试题解析】依图构造规律可以看出:2244S =⨯-,即四角四顶点重复计数一次. S 3＝3×4-4＝(3-1)×4; S 4＝4×4-4＝(4-1)×4,…猜想:(1)4n S n =-⨯(n ≥2,且n ∈N ＋).例2. 已知函数()log (1)xa f x a =-(a ＞0且a ≠1),若A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)(x 1＜x 2)是()f x 图象上两点,证明直线AB 的斜率大于零.【试题解析】 当a ＞1时,xy a =是增函数,设0＜x 1＜x 2,则1＜1x a ＜2x a ,于是0＜11x a -＜21xa -,故12log (1)log (1)xxa a a a -<-,即12y y <. 当0＜a ＜1时,xy a =是减函数, 设x 1＜x 2＜0,则121xx a a>>,于是12110x x a a ->->,故12log (1)log (1)x xa a a a -<-,即y 1＜y 2.∴ 无论a ＞1时,还是0＜a ＜1时,函数()log (1)xa f x a =-在其定义域上是增函数,即当x 1＜x 2时,一定有y 1＜y 2.故直线AB 的斜率12120y y x x ->-.【总结升华】依题设函数特征,要直接由斜率公式求解不易证出,但题设所给函数的单调性比较明确,可利用递增函数斜率一定大于零的性质求解. 举一反三:【变式】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是 ( )A.南B.北C.西D.下 【参考答案】 B【试题解析】将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让东面指向东,让“上”面向上可知“△”的方位为北. 类型二:直接证明与间接证明 例3. 设a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,求证:1118a b ab++≥. 【试题解析】 证法一(综合法): ∵ a ＞0,b ＞0,a ＋b ＝1,∴ 1a b =+≥12≤,ab ≤41, ∴1ab≥4. 又1111()2b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭≥4, ∴111a b ab++≥8. 证法二(分析法): ∵ a ＞0,b ＞0,∴ 要证111a b ab++≥8, 只需证11a b a b ab +⎛⎫++⎪⎝⎭≥18, 即证1111a b b a ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥8,即证11a b +≥4,即证a b a ba b +++≥4, 即证b aa b+≥2.由基本不等式可知,当a ＞0,b ＞0时,b aa b+≥2成立,所以原不等式成立.【总结升华】本题既可用综合法,也可用分析法来解,解题时应灵活运用. 举一反三:【变式】求证:以过抛物线22y px =(p ＞0)焦点的弦为直径的圆必与直线2px =-相切. 【参考答案】如图所示,过A,B 分别作AA ′,BB ′垂直准线于点A ′,B ′,取AB 的中点M,作MM ′垂直准线于点M ′.要证明以AB 为直径的圆与准线相切,只需证1||||2MM AB '=.由抛物线的定义有||||AA AF '=,||||BB BF '=, 所以||||||AB AA BB ''=+,因此只需证1||(||||)2MM AA BB '''=+.根据梯形的中位线原理可知上式是成立的,所以以过抛物线22y px =焦点的弦为直径的圆必与直线2px =-相切.例4.设函数()f x 对定义域内任意实数都有()0f x ≠,且()()()f x y f x f y +=成立.求证:对定义域内任意x,都有()0f x >. 【思路点拨】直接证明有些困难,考虑用反证法.【试题解析】假设满足题设条件的任意x,()0f x >不成立,即存在某个0x ,有0()f x ≤0. ∵ ()0f x ≠, ∴ 0()0f x <. 又知2000000()022222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==>⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这与假设0()0f x <矛盾,假设不成立. 故对任意的x 都有()0f x >.【总结升华】此题证明过程中,“对任意x,都有()0f x >”的否命题是:“存在x 0,使0()f x ≤0”,而不是“对所有的x,都有()f x ≤0”,因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的. 举一反三:【变式1】用反证法证明命题“2＋3是无理数”时,假设正确的是( ) A.假设2是有理数 B.假设3是有理数 C.假设2或3是有理数 D.假设2＋3是有理数 【参考答案】D【变式2】已知a 、b ∈R ,|a |＋|b |＜1,求证:方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1. 【参考答案】假设1x 是20x ax b ++=的根,且1||x ≥1,由2110x ax b ++=得2111a bx x --=, 所以2111a bx x +=, 所以||||a b +≥211a b x x +≥211a bx x +＝1, 这与||||1a b +<矛盾,故两根绝对值都小于1. 【变式3】已知函数1()f x x=,问:是否存在这样的正数A,使得对定义域内的任意x,恒有|()|f x A <成立?试证明你的结论.【参考答案】不存在正数A,使得对定义域内的任意x,恒有|()|f x ＜A 成立.反证法:假设存在一个A ＞0,使得x ∈(-∞,0)∪(0,＋∞)时,|()|f x A <恒成立.即1A x<恒成立.取12x A=,则有12012A A A A A<⇒<⇒<,矛盾. 故不存在正数A,使得对定义域内的任意x,恒有|()|f x A <成立.。
选修1-2精讲精练
从算术到代数：鸡兔同笼问题
算术方法（二）：穷举，列表 学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、 列表法做出判断。 “分类”讨论是数学思考问题的基本思想， 穷举、列表等是最基本、重要的一种方法。 为了把所有的情况表示清楚，我们常常采 用这种方法。
集合：教学设计的一些问题
• ―集合”是高中课程的第一个内容，它将伴 随学生经历从初中到高中学习的过渡，希 望教师在教学设计中关注以下问题： 1、学生的学习习惯； 2、学生学好数学的信心； 3、帮助学生梳理学习过的内容，这是学 好数学重要环节。
集合：教学反思、总结
• • • • 收集一些教学案例 与自己教学比较 完成一个总结报告 修订自己的教学设计
集合：整体把握课程—目标
• 2、“集合”在实现目标的作用
• “集合”体现了“分类思想”： 把每一类事物描述清楚； 把一些学习过的内容梳理清楚； 有助于进一步Hale Waihona Puke 习。集合：在课程中基本脉络
1、与“集合”有联系学过的内容：
• • • • • • • • • 日常生活中一类物体； 数——自然数、整数、正分数及其部分； 数轴上的点集； 量的范围； 平面直角坐标系中的点集； 方程的根； 不等式的解集； 函数的定义域； 等等。
从算术到代数：鸡兔同笼问题
算术方法（三）：假设、推理 假设有10支铅笔，0支钢笔，则一共需要 40元。如何使用余下的6元？ 我们知道： 1支钢笔7元=1支铅笔4元+3元 这样，可以用2支铅笔加6元换两支钢笔。 由此可知 46元可买8支铅笔，2支钢笔。
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低蛋白食物组 年龄 身高 点？ 解：对高蛋白的食物组，设年龄 x ，身高为 y ,
n n n 1 æ n öæ n ö 2 1 2 则 xx = å xi (å x xi yi ç å xi ÷ç å y i =154.81. i ) =9.69，Sxy = å n i= 1 n è i=1 øè i= 1 ÷ i= 1 i= 1 ø S ˆ = xy = 154.81 =15.97， a ˆ =76.815.97×1.65=50.40， 回归方程 y = 50.40 + 15.97 x . b S xx 9.69 对低蛋白食物组，设年龄为 x ，身高为 y ,同样可得线性回归方程为 y = 51.226 + 8.686 x ，通过对斜 率、截距进行比较，可以看出不同食物对婴儿的身高有显著的差异，且高蛋白食物组同龄婴幼儿身高明 显高些.
y i
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
经计算得 r = 0.9998 > 0.75 ，从而认为 u 与 y 之间具有线性相关关系， ˆ = 8.973 ， 所以 y ˆ = 1.125, b ˆ = 1.125 + 8.973 由公式得 a x，
Ù
2
《新课标高中数学选修 1-2 & 2-2 & 2-3 精讲精练》——精讲
第一章 统计案例
第 2 讲 §1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用(1)
¤学习目标：理解独立性检验的基本思想,会从列联表、柱形图、条形图直观判断吸烟与患癌有关, 2 了解随机变量 K 的含义. ¤知识要点: 1、独立性检验的基本思想. 2 2、随机变量 K 的含义. ¤例题精讲： 【例 1】某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表： 性别 非统计专业 统计专业 专业 男 13 10 女 7 20 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，得到 k =
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第 1 练§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
※基础达标 1. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ）. A. 预报变量在 x 轴上，解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在 x 轴上，预报变量在 y 轴上 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在 x 轴上 D. 可以选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上 2. 一位母亲记录了儿子 3～9 岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为 y = 7.19 x + 73.93 用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ ）. A. 身高一定是 145.83cm B. 身高在 145.83cm 以上 C. 身高在 145.83cm 以下 D. 身高在 145.83cm 左右 3. 两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了 4 个不同模型，它们的相关指数 R 2 如下 ，其中拟合 效果最好的模型是（ ）. A. 模型 1 的相关指数 R 2 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 2 为 0.80 C. 模型 3 的相关指数 R 2 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 2 为 0.25 4. 工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为 y = 60 + 90 x ，下列判断正确的 是（ ）. A. 劳动生产率为 1000 元时，工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 150 元 C. 劳动生产率提高 1000 元时，工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时，工资为 90 元 5. 在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ）. A. 残差 B. 样本编号 C. x D. en 6. 通过 e1 , e2 ,..., e n 来判断模拟型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这种分工称为 （ ）. A.回归分析 B.独立性检验分析 C.残差分析 D. 散点图分析 ※能力提高 7． 一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有 缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果： 16 14 12 8 转速 x (转/秒) 11 9 8 5 每小时生产有缺点的零件数 y （件） （1）变量 y 对 x 进行相关性检验； （2）如果 y 对 x 有线性相关关系，求回归直线方程； （3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制 在什么范围内？
1 8.973 ˆ = 1.125 + ，可得 y . x x 【例 3】 营养学家为研究食物中蛋白质含量对婴幼儿生长的影响，调查了一批年龄在两个月到三岁的 婴幼儿，将他们按食物中蛋白质含量的高低分为高蛋白食物组和低蛋白食物组两组，并测量身高，得到 下面的数据：高蛋白食物组
最后回代 u = 年龄 身高 0.2 54 0.5 54.3 0.8 63 1 66 1 69 1.4 73 1.8 82 2 83 2 80.3 2.5 91 2.5 93.2 3 94 2.7 94
0.4 52
0.7 55
1 61
1 63.4
1.5 66
2 68.5
2 67.9
2.4 72
2.8 76
3 74
1.3 65
1.8 69
0.2 51
3 77
身高与年龄近似有线性关系，检验：不同食物的婴幼儿的身高有无差异；若存在，这种差异有何特
1
※探究创新 8. 许多因素都会影响贫穷， 教育也许是其中之一， 在研究这两个因素的关系时收集了美国 50 个州的 成年人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )的 数据， 建立的回归直线方程如下 y = 0.8 x + 4.6 ， 斜率的估计等于 0.8 说明 ； 成年人受过 9 年或更少教育的百分比( x )和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比( y )之间的 相关系数 (填充“大于 0”或“小于 0”)
精讲精练
《新课标高中数学精讲精练》 丛书主编 徐山洪 编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石 王庚儿 李剑夫 廖文胜 马荣林 邓世疆 赵朝贤 陈新权 刘会金 陈远刚 李德明 王振芳 黄全顺 王福山 饶乘凤 关丽琼 潘泽学 匡唐松 宾业河 谢凤仙 余扩益 高建彪 张天良 谢小毛 谢吉权 张梅玲 程松 欧阳文君 饶胜文 周志明 李志敏 本册主编 赵朝贤 主要编者 陈鉴源（第一章） 张 平（第二章） 罗明明（第三章） 罗明明（第四章） 校 审 蔡建信（第一章） 廖 惠（第二章） 付增徳（第三章） 付增徳（第四章） 质量反馈 07606853660 意见信箱 zssxzb@ 信息反馈 /nh 美术编辑 陆镜平 开 印 字 印 版 印 本 张 数 数 次 次 890mm×1 240mm 16 开 4.5 70 000 1 801～3 000 册 2008 年 1 月第 2 版 2008 年 1 月第 2 次印刷
x
y
1 10.15
2 5.52
3 4.08
5 2.85
10 2.11
20 1.62
30 1.41
50 1.30
100 1.21
200 1.15
1 检验每册书成本费 y 与印刷册数倒数 之间是否具有线性相关关系，如有，求 y 对 x 的回归方程. x 1 解：首先设变量 u = ，题目所给的数据变成如下表所示的数据： x u 1 0.5 0.33 0.2 0.1 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 i
5 §2.1.1 合情推理………………………………（09 ） 6 §2.1.2 演绎推理…………………………………（11） 7 §2.2.1 综合法与分析法………………………（13 ） 8 §2.2.2 反证法…………………………………（15 ） 9 第二章 推理与证明 复习………………………（17）
16《统计案例》单元测试 …………………………（31） 17《推理与证明》单元测试 ………………………（35） 18《数系的扩充与复数的引入》单元测试 ………（39） 19《框图》单元测试 ………………………………（41） 20《选修 23》模块水平测试 ……………………（ 44）
第 1～15 练参考答案…………………………（ 49～56） 本册成本 7.0 元 第 16～20 测试答案……………………………（ 57～67）
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第一章 统计案例
第 1 讲§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用
¤学习目标：了解掌握相关指数（相关系数 r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方 和、回归平方和、相关指数 R 2 、残差分析）,会求上述的相关指数,通过典型案例，掌握回归分析的基本 步骤. ¤知识要点：掌握回归分析的步骤. 相关系数 r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平 和、回归平方和、相关指数 R 2 、残差分析;求回归系数 a , b . ¤例题精讲： 【例 1】有下列关系： （1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系； （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系； （3）苹果的产量与气候之间的关系； （4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系； （5）学生与他（她）的学号之间的关系，其中有相关关系的是 . 解：有相关关系的是： （1） （3） （4）. 【例 2】某种书每册的成本费 y （元）与印刷册数 x （千册）有关，经统计得到数据如下：
2 50 ´ (13 ´ 20 - 10 ´ 7) » 4.844 ，判定主修统计专业 23 ´ 27 ´ 20 ´ 30