第二章平稳过程

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2.3.1基本概念
一、严（强）平稳过程
定义 1 设随机过程{ X (t) , t T }，若对任意 n，任意 h， t1，t2 ,L ,tn T ，当 t1 h ， t2 h ，…， tn h T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn )
P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )} P{X (t1 h） x1, X (t2 h) x2 , , X (tn h) xn )}
F (t1,t2；x1, x2 ) F (t1 ,t2 ；x1, x2 )
若令 t2 ，得
F (t1, t2；x1, x2 ) F (t1 t2 , 0；x1, x2 )
其中 t1 t2
F (；x1, x2 )
同理, 二维联合概率密度函数也仅与时间差 t1 t2 有关，
而与时间起点无关，即
中 T 0，1， 2， ，且均值和方差为
E[ X (t)] 0 D[ X (t)] 2
试讨论随机变量序列 X (t) 的平稳性。
解 因为E[X (t)] 0
2，当 0
R(t
,t
)
E[ X
(t
)X
(t)]
0，当
0
故 X (t) 是一个平稳时间序列。
注 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪声”，它是
例如，飞机在某一水平高度h上飞行，由于受到气流 的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上 下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机 过程，显然此过程可看作不随机推移变化的过程，这个
随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。
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此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时， 它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测 定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过 程，因而在任何时间测试都能得到相同的结果。
性质2 | B( ) | B(0)
证 由许瓦兹不等式得
注2 宽平稳过程也不一定是严平稳过程。
因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改 变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。
注3 利用均值函数与协方差函数也可讨论随机过 程的平稳性。
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因为, 均值函数
协方差函数
m(t) m
K (t ,t ) cov[X (t ), X (t)] E{[X (t ) m(t )][X (t) m(t)]}
E{[ X (t )X (t)] mE[X (t)] mE[X (t )] m2
R(t ,t ) m2 B( ) m2 K ( )
即表示协方差函数仅依赖于 ，而与t无关，与
相关函数相同。
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例 1 设{ X (t) , t T }是相互独立同分布的随机变量序列，其
f (t1, t2；x1, x2 ) f (；x1, x2 )
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2. 若严平稳过程存在二阶矩，则
（1）均值函数为常数：m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[X (t)]
R(t
,t
)
1
0
sin
2
(t
)xsin 2tx dx
1 ，当
2
0，当
0 0
故 X (t) 是平稳随机序列。
注 例2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的.
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第二节 平稳过程相关函数的性质
一、自相关函数的性质
性质1 B(0) 0 证 B(0) R(t,t ) E[ X (t)2 ] 0
F(t1 h,t2 h, ,tn h；x1, x2, , xn )
则 X (t) 称为严（强）平稳过程。
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二、严平稳过程的特点
1. 严平稳过程 X (t) 的一维概率分布 F(t；x) 与 t 无关，
二维联合分布F (t1, t2；x1, x2 )仅与时间差 t1 t2有关，而与时
xf (t；x)dx
xf (x)dx m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
x1x2
f
(t1,
t2；x1,
x2
)dx1dx2
x1x2
f
(；x1
,
x2
)dx1dx2
记
B(
)
Байду номын сангаас
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三、宽（弱）平稳过程
定义 2 设随机过程{ X (t) ，t T }，如果它满足： （1） X (t) 是二阶矩过程； （2）均值函数为常数，即 m(t) E[X (t)] m ； （3）相关函数 R(t1,t2 ) 仅依赖 t1 t2 ，即
2.3 平稳过程
2.3.1 基本概念 2.3.2 平稳过程相关函数的性质 2.3.3 平稳正态过程与正交增量过程 2.3.4 遍历性定理
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在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的 统计特性或者说统计变化规律与所取的时间点无关。 或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而 变化。
实际中最常用的噪声模型。
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例 2 设随机序列{ X (t) sin2t ，t T }，其中T={1，2，…}
是在[0, 1]上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机序列 X (t)
的平稳性。
解
的密度函数为
f
(x)
1,
0
,
0 x 1
其它
所以
E[
X
(t )]
1
0 sin
2
tx
dx
0
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t) 为宽（若）平稳过程，简称平稳过程.
当 T 为整数集或{ nt ，n=0,1,2,…}时，则称 X (t) 为平稳 时间序列。
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注1 严平稳过程不一定是宽平稳过程。
因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程 存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。
间起点无关。
证 一维 对任意的 必有 F(t; x) F(t ; x) ，若令 t ，
得
F(t；x) F(0；x) F(x)
即一维分布函数 F(t；x) 与 t 无关。
同理有一维概率密度函数也与t无关，即
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f (t；x) f (0；x)
证（二维情形）对于二维联合分布函数，有