拓展深化5 数列新定义及子数列问题.pptx

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数列数列的概念ppt课件

当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)．令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)．当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
第1讲数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值

《数列的定义》课件

数列的基本性质
数列具有很多有趣的性质，包括有界性、有序性、递增性或递减性等。这些性质对于研究数列的规律和特点非常重要。
等差数列的定义和性质
等差数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之差都相等。它具有一些独特的性质，例如公式推导、通项公式和求和公式等。
等比数列的定义和性质
等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项之比都相等。它也具有一些独特的性质，例如公比、通项公式和求和公式等。
《数列的定义》PPT课件
通过本PPT课件，我们将深入探讨数列的各个方面，从定义到性质，从常见题型到思维拓展，帮助您系统地理解和运用数列。
数列的定义
数列是按照一定顺序排列的一列数字或数学对象组成的序列。它是数学研究中常见的ห้องสมุดไป่ตู้本概念之一，具有广泛的应用。
数列的符号表示
数列可以用一对花括号{}表示，括号内是数列的各项。例如：{1, 2, 3, 4, 5}表示一个数列，其中的每一项依次是1, 2, 3, 4, 5。
斐波那契数列的定义和性质
斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。它具有一些有趣的性质和应用，例如黄金分割比例、自然界中的现象等。
数列的求和公式
当我们需要求解数列的前n项和时，可以利用数列的求和公式来简化计算。不同类型的数列有不同的求和公式，大大提高计算效率。
数列的通项公式
通项公式是描述数列中任意一项与项数n之间的关系的公式。掌握数列的通项公式能够快速计算任意项的数值，便于问题的分析和解决。

数列ppt课件

判断一个数列是否为混合数列；
详细描述利用混合数列的性质进行计算；求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的应用领域不断扩大，如组合数学、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念，是研究连续函数的基础。通过数列，可以理解函数的极限、连续性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应用。通过数列的收敛性，可以研究无穷级数的和，以及其在数学分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和；利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性质等知识点。求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；

高一新课程《数列》解读课件

金融领域
数列在金融领域中用于描述利率、复利、股票价格等随时间变化的规律，为投资决策提供依据。
工程领域
数列在物理学、化学和工程学中用于描述周期性变化的现象，如振动、波传播、化学反应速率等。
社会领域
数列在社会学中用于描述人口增长、城市化率等随时间变化的趋势，为政策制定提供数据支持。
数列与其他数学知识的结合
数列与函数
数列与线性代数
数列可以视为离散的函数，研究数列的性质和变化规律有助于理解连续函数的性质和变化规律。
数列的向量表示和线性组合在矩阵运算和线性代数中有着广泛的应用，掌握数列知识有助于理解线性代数的概念和方法。
数列与微积分
数列的极限概念和微积分中的连续函数有着紧密的联系，掌握数列知识有助于理解微积分的基本概念和运算方法。
数列的表示方法
数列通常用大写字母表示，如a₁，a₂，a₃...或简写为a₁₊ₙ，其中n表示项数，a表示每一项的值。
数列的性质与特点
有界性
数列是一种有界函数，即它的值域是有限的或可数的。
周期性
有些数列具有周期性，即存在一个正整数T，使得对于所有正整数n，aₙ=aₙ₊T。
单调性
数列可以单调递增或单调递减，也可以在某一段递增而在另一段递减。
等比数列的定义与通项公式
等比数列的定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的比是一个常数。
等比数列的通项公式
$a_n = a_1 times q^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。
常见数列的通项公式与求解方法
01
02
03
斐波那契数列
$F_n = F_{n-1} + F_{n2}$，其中$F_1 = 1, F_2 = 1$。

数列中的子数列问题

数列中的子数列问题在数学这个神奇的世界里，数列一直是个绕不开的话题。

说到数列中的子数列问题，它其实听起来挺简单的，但真要钻进这个坑，你会发现它可比想象的要复杂得多。

你看啊，数列就像是一个个小小的数字组成的队伍，每个数字都各司其职，排得整整齐齐。

而子数列，就是从这个数字队伍里挑出来的一部分。

别看它们只是原队伍的一部分，但这部分能不能顺利组成一个新的队伍，那就考验你是否能像个小侦探一样，找到其中的规律。

说白了，子数列其实就好比你从一个大大的沙堆里捡出一些沙子。

这些沙子不一定要是从头到尾按顺序捡的，捡的方式可以很随意。

只要这些沙子是从沙堆里出来的，而且顺序是保持不变的，那你就捡到了一个合法的子数列。

想象一下，假如你有一个数列1, 2, 3, 4, 5，你可以挑出1, 3, 5这几个数字组成一个新的子数列。

再比如，你可以挑2,4这两个数字，这样子数列也成立。

你看，规则挺简单吧？但是问题就在这里，如何能高效地找出所有可能的子数列，尤其是在数列特别长的时候，问题就复杂了。

就像你去超市买东西，店里琳琅满目的商品看得你眼花缭乱。

你本来是去买一瓶牛奶，结果一转头，发现了巧克力、饼干、果汁，差点把购物车装成了整个超市。

数列也是一样，光是想从一堆数字中挑出一些不重复的数字，已经够麻烦的了。

如果还要满足特定的条件，比如递增、递减，甚至是满足某种数学公式，那就像是在超市里挑选一个特价商品，还得把优惠券用上。

困难升级，难度大大提高，谁能不头疼呢？不过你要是能明白其中的规律，就能从这堆数字里找到属于自己的“特价商品”。

我们的任务是找出所有的递增子数列。

就拿数列1, 2, 3, 4来说，递增的子数列那简直是眼花缭乱。

2, 4, 6，1, 3，甚至是1, 2, 3, 4自己都可以算作一个递增的子数列。

想想看，如果你是一名超市购物狂，在购物清单上列满了所有的折扣商品，你是不是也会觉得满载而归，开心得不得了？说实话，解这种问题最难的地方就在于时间和空间的限制。

《数列的基本知识》课件

数列的性质
1 有界性
数列可能是有界的，即存在上界和下界。
2 递增性/递减性
数列可以按顺序递增或递减。
3 周期性
某些数列可以具有周期性，其中一组数重复出现。
等差数列
等差数列是一种数列，其中每个后续项与前一项之差都相等。 • 常用于等距离时间间隔或等额递增的问题。 • 通项公式：an = a1 + (n - 1)d • 求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)
数列在实际问题中的应用
数列广泛应用于金融、人口统计、科学研究和工程领域，帮助解决实际问题。了解数列的性质和应用，可以提升问题解决和分析能力。
《数列的基本知识》PPT 课件
欢迎来到《数列的基本知识》课件。在本课程中，我们将探讨数列的定义、性质以及常见类型，以及它们在实际问题中的应用。
什么是数列
数列是按一定顺序排列的一组数。它们可以是等差数列、等比数列、幂次数列、倍数数列或递推数列。
数列的定义
数列是按照一定规律排列的数字序列。它可以是有限的或无限的，每个数字被称为数列的项。
数列的收敛与发散
数列可能会趋于某个有限值（收敛），或者无限增加或减少（发散）。例如，格里高利级数和调和级数就是两个发散的数列。
数列的重要定理与应用
数列的重要定理包括数列极限定理、子数列收敛定理等，这些定理在数学分析和实际应用中具有重要意义。
数列的图形表示
数列可以使用直线图、折线图或散点图来显示其项和规律。图形表示可以更直观地展示数列的性质和变化。
金融与投资
数列可以用于计算复利、投资回报率等金融问题。
人口和经济学
数列可以帮助预测人口增长、GDP增长等。
科学研究

数列的概念ppt课件

对于C,a1=12+1=2,a2=22+2=6,a3=32+3=12,a4=42+4=20,故C正确;
对于D,a3=9+5=14≠12,故D错误.
)
2.在数列1,2, 7, 10, 13,…中,2 19是这个数列的(
A.第16项
B.第24项
C.第26项
D.第28项
)
【解析】选C.设题中数列为{an},则a1=1= 1,a2=2= 4,a3= 7,a4= 10,a5= 13,…,
基础诊断·自测
类型
辨析
改编
题号
1
2,3,4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)数列5,2,0与2,0,5是同一个数列.( × )
提示:(1) 两个数列项的顺序不同,不是同一个数列;
(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( √ )
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × )
微点拨 (1)并不是所有的数列都有通项公式;
(2)数列的通项公式不唯一;(3)归纳与猜想是研究数列的重要方法.
3.数列的分类
递增数列
an+1>an
∀n∈N*,________
单
递减数列
an+1<an
∀n∈N*,_______
调
常数列
∀n∈N*,an+1=an
性
摆动数列
周期性
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一
【解析】(2)符号可通过(-1)n或(-1)n+1调节,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的
绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).

数列的概念-动画讲解PPT课件

是这个数列的第n项.
知识点二数列的通项公式
如果一个数列{an}的第n项an 与n之间的关系可以用一个公式来
表示,那么这个公式就称为数列的通项公式 , 即 a n = f (n ) .
因此,如果已知一个数列的通项公式,那么只要依次
用 1 ,2 ,3 ,4 , ... 代替公式中的n 就可以求出这个数列的各项。
知识点三数列的分类
数列
特点
按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列
有穷数列、无穷数和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的
列
项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。
单调数列
常数列
按前后项之间的大小关系来分。
若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这
技巧
点拨
由数列的前n项和表达式求通项公式时
但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一.
典例解析
例3
已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3
(1)试写出该数列的前3项
(2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几
项?
解析
技巧
点拨
(1)将n=1,2,3代入通项公式,
得a1=5,a2=11,a3=21.
(2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数
列的第6项.
本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项
公式即可求解；
第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解
关于n的方程即可，解出的n必须是正整数.
谢谢
n+2

《数列的概念》课件

奇偶性是指数列中奇数项和偶数项分别具有不同的性质或规律。例如，奇数项都是正数，而偶数项都是负数；或者奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列等。
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数，因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。

数列的概念及简单表示法一轮复习ppt课件

2．数列的分类
“数”有关，而且还与
分类原则按项数分类
类型满足条件有穷数列项数有限无穷数列项数无限
这些“数”的排列顺序有关． (2)数列的项与项数：数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置的序号．
基础知识·自主学习病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
探究提高
已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差数列；当出现 an＝xan－1＋y 时，构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
题型分类·深度剖析病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
思维启迪
解析
探究提高
偶数项为 2＋1，所以 an＝ (－1)n·2＋n－1n.也可写为 an＝
－1n，n为正奇数， (4)将3n，数n列为各正项偶改数写. 为93，939，9939，
9 9399，…，分母都是 3，而分子分别是 10－1,102－1,103－1,104 －1，…，
所以 an＝13(10n－1)．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函
数关系可以用一个表示式子表示成 an＝f(n),
数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即 f(n)＝an (n∈N*)．
那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
基础知识·自主学习病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程

考点05 数列的新定义问题(学生版)

考点05 数列的新定义问题数列的新定义问题，是近几年高考的新题型，主要北京卷考查比较多。

例如：2020年北京高考[21],2020年江苏高考[20],2021年北京高考[21]，2022年北京高考[21]等都对数列的新定义问题进行了考查。

〔1〕新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的。

〔2〕新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决。

例1．（2022·北京·高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈，在Q中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥，使得12i i i i j a a a a n +++++++=，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<，求证：7k ≥．例2．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列： ①10a p +≥，且20a p +=； ①414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；①{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．1．设n *∈N ，若无穷数列{}n a 满足以下性质，则称{}n a 为k C 数列：①()()110n n n n a a a a +--->，（n *∈N 且2n ≥）．①1n n a a +-的最大值为k ．(1)若数列{}n a 为公比为q 的等比数列，求q 的取值范围，使得{}n a 为k C 数列． (2)若k C 数列{}n a 满足：n *∀∈N ，使得21,,n n n a a a ++成等差数列， ①数列{}n a 是否可能为等比数列？并说明理由；①记数列{}n b 满足21n n b a -=，数列{}n c 满足2n n c a =，且12a a >，判断{}n b 与{}n c 的单调性，并求出1n n a a k +-=时，n 的值．2．已知等比数列{}n a 为递增数列，11a =，12a +是2a 与3a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若项数为n 的数列{}n b 满足：1i n i b b +-=（1i =，2，3，…，n ）我们称其为n 项的“对称数列”.例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”.设数列{}n c 为()212k k -≥项的“对称数列”，其中1c ，2c ，3c ，…，n c 是公差为2的等差数列，数列{}n c 的最大项等于4a .记数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，若2132k S -=，求k . 3．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值4．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{1,5}的一阶和数列是{1,6,5}，设它的n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求{1,5}的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想n S 的通项公式（无需证明）； (2)若()()311log 3log 33n n n c S S +=--⋅-，求{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1126n T -<≤-．5．已知无穷数列12:A a a ，，满足：①*N (12)i a i ∈=，，；①1i j i j i j a a a a a ++≤≤++（12i =，，；12j =，，；3i j +≥）.设*i a 为(12)i a i =，，所能取到的最大值，并记数列***12:A a a ，，.(1)若11a =，写出一个符合条件的数列A 的通项公式；(2)若121a a ==，求*4a 的值；(3)若1212a a ==，，求数列*A 的前100项和. 6．已知数列{}n a 为无穷递增数列，且11a =．定义：数列{}k b ：k b 表示满足i a k ≤的所有i 中最大的一个．数列{}k B ：k B 表示满足i a k ≥的所有i 中最小的一个（1i =，2，3…）(1)若数列{}n a 是斐波那契数列，即121a a ==，21n n n a a a ++=+，（1n =，2，3，…），请直接写出10b ，10B 的值； (2)若数列{}n a 是公比为整数的等比数列，且满足345b b b <=且34B B =，求公比q ，并求出此时3b ，4b 的值； (3)若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，求所有可能的d ，使得{}n b ，{}n B 都是等差数列． 7．已知数列{}n a ，给出两个性质：①对于任意的*i N ∈，存在i k R ∈，当*,j i j >∈N 时，都有()j i i a a k j i -≥-成立；①对于任意的*,2i i ∈≥N ，存在i k R ∈，当*,j i j <∈N 时，都有()j i i a a k j i -≥-成立．(1)已知数列{}n a 满足性质①，且()*2i k i N =∈，141,7a a ==，试写出23,a a 的值； (2)已知数列{}n b 的通项公式为132n n b -=⨯，证明：数列{}n b 满足性质①；(3)若数列{}n c 满足性质①①，且当*,2i N i ∈≥时，同时满足性质①①的i k 存在且唯一.证明：数列{}n c 是等差数列． 8．设数列()12:,,,2n A a a a n ≥.如果{}()1,2,,1,2,,i a n i n ∈=，且当i j ≠时，()1,i j a a i j n ≠≤≤，则称数列A 具有性质P .对于具有性质P 的数列A ，定义数列()121:,,,n T A t t t -，其中()111,,1,2,,10,k k k k k a a t k n a a ++⎧==-⎨⎩＜＞.(1)对():0,1,1T A ，写出所有具有性质P 的数列A ； (2)对数列()121:,,,2n E e e e n -≥，其中{}()0,11,2,,1i e i n ∈=-，证明：存在具有性质P 的数列A ，使得()T A 与E 为同一个数列；(3)对具有性质P 的数列A ，若()115n a a n -=≥且数列()T A 满足()0,,1,2,,11,i i t i n i ⎧==-⎨⎩为奇数为偶数，证明：这样的数列A 有偶数个.9．如果无穷数列{}n a 是等差数列，且满足：①i ∀、*j ∈N ，*k ∃∈N ，使得i j k a a a =；①*k ∀∈N ，i ∃、*j ∈N ，使得i j k a a a =，则称数列{}n a 是“H 数列”.(1)下列无穷等差数列中，是“H 数列”的为___________；（直接写出结论）{}:1n a 、3、5、{}:0n b 、2、4、{}:0n c 、0、0、{}:1n d -、0、1、(2)证明：若数列{}n a 是“H 数列”，则1a ∈Z 且公差d ∈N ；(3)若数列{}n a 是“H 数列”且其公差*d ∈N 为常数，求{}n a 的所有通项公式.10．给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=且212a a -=，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意*n ∈N 都有0n S ≠，且12111111818n S S S <+++<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =． 12．若数列{}n a 同时满足下列两个条件，则称数列{}n a 具有“性质A ”. ①212n n n a a a +++>(n *∈N )；①存在实数A ，使得对任意*n ∈N ，有n a A ≥成立. (1)设245,sin4n n n a n n b π=-+=，试判断{},{}n n a b 是否具有“性质A ”；(2)设递增的等比数列{}n c 的前n 项和为n S ，若2371,2c S =-=-，证明：数列{}n S 具有“性质A ”，并求出A 的取值范围；(3)设数列{}n d 的通项公式()122*222n n nt n nt t d n ++++=∈N ，若数列{}n d 具有“性质A ”，其满足条件的A 的最大值010A =，求t 的值.。

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拓展深化5数列新定义及子数列问题数列是中学数学的重要内容之一，除了传统的等差数列和等比数列之外，近几年各地高考和模拟试题中频频出现“新定义”数列问题，成为高考命题中一道亮丽的风景线.这类题型的特点是先给出数列的“新定义”，然后要求利用短时间的阅读理解，对新概念进行即时性的学习，并能独立地从不同角度运用它们作进一步的运算、推理、提炼、加工，进而解决相关的新问题.主要考查学生等价转换和分析推理的思想，即利用已学过的知识分析和解决新问题，要求学生有较高的分析和解决问题的能力.一、新定义数列问题【例1－1】(2019·南通期末)若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”.已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－1.(1)求{a n}的通项公式；(2)试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论.＝2a n－1，得a n＋1－1＝2(a n－1)，且a1－1＝1，所以数列{a n－1}是解(1)由a n＋1首项为1，公比为2的等比数列.所以a n－1＝2n－1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1＋1.(2)数列{a n}不是“等比源数列”.用反证法证明如下：假设数列{a n}是“等比源数列”，则存在三项a m，a n，a k(m＜n＜k)按一定次序排列构成等比数列.因为a n＝2n－1＋1，所以a m＜a n＜a k.所以a2n＝a m·a k，得(2n－1＋1)2＝(2m－1＋1)(2k－1＋1)，即22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1.又m＜n＜k，m，n，k∈N*，所以2n－m－1≥1，n－m＋1≥1，k－1≥1，k－m≥1.所以22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m为偶数，与22n－m－1＋2n－m＋1－2k－1－2k－m＝1矛盾.所以数列{a n}中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列.综上，可得数列{a n}不是“等比源数列”.【例1－2】(2017·江苏卷)对于给定的正整数k，若数列{a n}满足a n－k＋a n－k＋1＋…＋a n＋1＋…＋a n＋k－1＋a n＋k＝2ka n对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{a n}＋a n－1是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{a n}是“P(3)数列”；(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a n}是等差数列.证明(1)因为{a n}是等差数列，设其公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d，从而，当n≥4时，a n－k＋a n＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2a n，k＝1，2，3，＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n，所以a n－3因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，因此，＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＝4a n，①当n≥3时，a n－2＋a n－2＋a n－1＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＝6a n.②当n≥4时，a n－3＋a n－2＝4a n－1－(a n＋a n＋1)，③由①知，a n－3a n＋2＋a n＋3＝4a n＋1－(a n－1＋a n).④＋a n＋1＝2a n，其中n≥4，将③④代入②，得a n－1所以a3，a4，a5，…是等差数列，设其公差为d′.在①中，取n＝4，则a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d′(利用a3，a4，a5，…成等差)，在①中，取n＝3，则a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d′，所以数列{a n}是等差数列.二、子数列问题【例2－1】已知在等差数列{a n}中，a2＝5，前10项和S10＝120，若从数列{a n}中依次取出第2项、第4项、第8项、…、第2n项，按原顺序组成新数列{b n}，求数列{b n}的前n项和T n.解设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，10a 1＋10×92d ＝120⇒⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2. 所以a n ＝3＋(n －1)·2＝2n ＋1，b n ＝a 2n ＝2·2n ＋1.所以T n ＝2(21＋22＋ (2))＋n ＝n ＋2·2（1－2n ）1－2 ＝2n ＋2＋n －4.【例2－2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22.(1)求S n ；(2)若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{ak n }，其中k 1＝1，且k 1<k 2<…<k n <…，k n ∈N *，当q 取最小值时，求{k n }的通项公式.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S 6＝6a 1＋12×6×5d ＝22，解得d ＝23，所以S n ＝n （n ＋5）3. (2)由(1)得a n ＝23(n ＋2).因为数列{a n }是正项递增的等差数列，所以数列{ak n }的公比q >1.若k 2＝2，则由a 2＝83，得q ＝a 2a 1＝43，此时ak 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝329，由329＝23(n ＋2)，解得n ＝103∉N *，所以k 2>2.同理，k 2>3.若k 2＝4，则由a 4＝4，得q ＝2，此时ak n ＝2·2n －1，因为ak n ＝23(k n ＋2)，所以23(k n＋2)＝2n ，即k n ＝3·2n －1－2.所以最小的公比q ＝2，此时k n ＝3·2n －1－2.【例2－3】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .解 (1)设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ. 若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必有13a 2n ＋1－λa 2n －λ＝q (常数). 即⎝ ⎛⎭⎪⎫13－q a 2n ＋(q －1)λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0，（q －1）λ＋1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，λ＝32.此时，b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列.(2)由(1)得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋32，由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－6n ＋152，所以a 2n －1＋a 2n ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －3(n －1)2＋2，显然，当n ∈N *时，{S 2n }单调递减.又当n ＝1时，S 2＝73>0，当n ＝2时，S 4＝－89<0.所以当n ≥2时，S 2n <0.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1>0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.探究提高数列解答题是高考中的压轴题，跟新定义相关问题也是高考中的常考问题.主要有以下几类问题：(1)新定义问题通常以“新性质”赋予一种数列，证明或处理与该定义有关的若干问题；(2)子数列是从一个数列中抽取几个数，按照它们在原数列中的顺序所组成的新的数列.此类问题的处理关键是认清原数列和子数列的关系.(3)数列的奇偶项问题的处理类似分段函数的处理，分别对奇数项和偶数项进行处理.如：对于通项公式分奇偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和及偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看做一项，求出S 2k ，再由S 2k －1＝S 2k －a 2k ，求S 2k －1.[深化训练]1.已知实数q ≠0，数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，对任意正整数m ，n ，且n >m ，S n －S m ＝q m S n －m 恒成立.(1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若正整数i ，j ，k 成公差为3的等差数列，S i ，S j ，S k 按一定顺序排列成等差数列，求q 的值.(1)证明令m ＝1，S n －a 1＝qS n －1，S n ＋1－a 1＝qS n ，两式相减得a n ＋1＝qa n (n ≥2)，在S n －a 1＝qS n －1中令n ＝2，a 2＝qa 1，所以数列{a n }是等比数列.(2)解不妨设公差为3的等差数列为i ，i ＋3，i ＋6，①若S i ，S i ＋3，S i ＋6成等差数列，则a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3＝a i ＋4＋a i ＋5＋a i ＋6＝(a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3)q 3，即q 3＝1，解得q ＝1；②若S i ＋3，S i ，S i ＋6成等差数列，则－(a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3)＝(a i ＋1＋a i ＋2＋…＋a i ＋6)，∴2(a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3)＋(a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3)q 3＝0，即2＋q 3＝0，解得q ＝－32；③若S i ＋3，S i ＋6，S i 成等差数列，则有(a i ＋4＋a i ＋5＋a i ＋6)＝－(a i ＋1＋a i ＋2＋…＋a i ＋6)，∴2(a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3)q 3＋(a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3)＝0.∴2q 3＋1＝0，解得q ＝－132.综上可得q 的值为1或－32或－132. 2.(2019·常州期末)已知等差数列{a n }的公差d 为整数，且a k ＝k 2＋2，a 2k ＝(k ＋2)2，其中k 为常数且k ∈N *.(1)求k 及a n ；(2)设a 1>1，{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项为1，公比为q (q >0)，前n项和为T n .若存在正整数m ，使得S 2S m＝T 3，求q . 解 (1) 由题意得⎩⎨⎧dk ＋a 1－d ＝k 2＋2， ①2dk ＋a 1－d ＝（k ＋2）2，②②－①，得d ＝4＋2k. 因为k ∈N *且d 为整数，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，d ＝6，代入①，解得a 1＝3，所以a n ＝6n －3.当k ＝2时，d ＝5，代入①，解得a 1＝1，所以a n ＝5n －4.(2)因为a 1>1，所以a n ＝6n －3，从而S n ＝3n 2.由S 2S m＝T 3，得123m 2＝1＋q ＋q 2，整理得q 2＋q ＋1－4m 2＝0.因为Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4m 2≥0，所以m 2≤163. 因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，q ＝－13－12(舍去)或q ＝13－12.当m ＝2时，q ＝0或q ＝－1(均舍去).综上所述，q ＝13－12.3.(2018·南通、泰州调研)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n >k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k )数列”.(1)已知a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由； (2)已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p >1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列.(1)解当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－(2n －1)＝3>0，所以a n ＋1≥a n .当n >2时，a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n .当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝(2n ＋1)－2n ＝1>0，所以a n ＋1≥a n .当n >2时，a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R (2)数列”.(2)证明由题意可得当n >3时，b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3，因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n (d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n (d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n >b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立；若d 2－d 1>0，则当n >b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立；若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3.设d 1＝d 2＝d 3＝d ，b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ.b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p )d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d ]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ，所以{b n }是等差数列.4.(2019·南京、盐城质检)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝3，a n b n ＝2，b n ＋1＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫b n －21＋a n ，n ∈N *. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝2a n －5，对于给定的正整数p ，是否存在正整数q ，r (p ＜q＜r )，使得1c p ，1c q ，1c r成等差数列？若存在，试用p 表示q ，r ；若不存在，请说明理由.(1)证明因为a n b n ＝2，所以a n ＝2b n，则b n ＋1＝a n b n －2a n 1＋a n ＝2－4b n 1＋2b n ＝2－4b n ＋2＝2b n b n ＋2，所以1b n ＋1＝1b n ＋12，又a 1＝3，所以b 1＝23，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为32，公差为12的等差数列，即1b n＝32＋(n －1)×12＝n ＋22，所以b n ＝2n ＋2. (2)解由(1)知a n ＝n ＋2，所以c n ＝2a n －5＝2n －1.①当p ＝1时，c p ＝c 1＝1，c q ＝2q －1，c r ＝2r －1，若1c p ，1c q ，1c r成等差数列，则22q －1＝1＋12r －1，(*) 因为p ＜q ＜r ，所以q ≥2，r ≥3，22q －1＜1，1＋12r －1＞1，所以(*)式不成立. ②当p ≥2时，若1c p ，1c q ，1c r 成等差数列，则22q －1＝12p －1＋12r －1，所以12r －1＝22q －1－12p －1＝4p －2q －1（2p －1）（2q －1），即2r －1＝（2p －1）（2q －1）4p －2q －1，所以r ＝2pq ＋p －2q 4p －2q －1，欲满足题设条件，只需q ＝2p －1，此时r ＝4p 2－5p ＋2，因为p ≥2，所以q ＝2p －1＞p ，r －q ＝4p 2－7p ＋3＝4(p －1)2＋p －1＞0，即r ＞q . 综上所述，当p ＝1时，不存在q ，r 满足题设条件；当p ≥2时，存在q ＝2p －1，r ＝4p 2－5p ＋2，满足题设条件.。

数列概念及其表示课件演示文稿[可修改版ppt]

跟踪练习
1.已知数列{an}分别满足下列条件，写出它的前五项，并归纳出各数列的一个通项公式．
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
数列概念及其表示课件演示文稿
新课讲解
1.数列的概念数列是指按一定顺序排列的一列数，数列中的数与顺序有关系，每一项都对应着一个序号即项数，一般可表示为 a1， a2，…或记为{an}．注意判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．
2．数列的分类按数列中项数的多少，可分为有穷数列和无穷数列，其中项数是有限项的数列为有穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n}；项数为无限项的数列为无穷数列，其定义域为{1,2,3，…， n，…}．按数列中相邻两项间的大小关系可分为递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．注意判断一个数列属哪一类型的数列，要搞清概念，利用各类数列的要求判断．
答案 (1)16 1
(2)5 (3)－2×13 (4)－14 －332
2 (5) 4
例题讲解
题型二数列通项公式的应用例 2. 已知数列 2， 5，2 2， 11，… (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
解：(1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现， “ ”下面的数值后一项比前一项大 3，故通项公式可写为 an＝ 2＋ n－1 ×3＝ 3n－1，即 an＝ 3n－1.

【数学】数列拓展——新定义、子数列、插入新数列讲评课件

试卷讲评课件
【详解】解:由题意可令 = = ,
所以将数列{ }逐个列举可得:
= , = , = + = , = + = , = + = ,
故 =
+

因为
−

所以
+

故[
+

+
−
√
试卷讲评课件
【解析】对选项A：存在 = ，取 =
− =

＜

，当＞时，

= ，是收敛数列，正确；

对选项B：当＞时， − ＜为，取 = { + , + }，
则＜，正确；
5
6
7
D.4
8
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10
11
12
试卷讲评课件
【解析】①由 = 可得
= + + + ⋯ + = ×
由 = 可得 ×
+

+

，
= ，取 =
+

即可，则{ }
为“回旋数列”，故①正确；
②当 = 时， = ， = ，
)
A.a2 = 5
√
B.an+1 = 3an − 1
√
C.k = 2n + 1
3n+1 2n−1 +3+2n 1+n
D.数列{nan }的前n项和为
8
√
1
2
3
4
5
6
7