有理数运算常用的技巧

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有理数计算的六个技巧

有理数计算的六个技巧有理数计算是数学中一个重要的部分，掌握一些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成计算。

以下是六个有理数计算的技巧：1. 分母有理化：对于形如$\frac{a}{b}$的有理数，如果b是平方数（例如4、9、16等），则可以将分母进行有理化处理，即将分子和分母都乘以b的平方根。

例如，$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8}$。

2. 乘法分配律：对于任意三个有理数a、b和c，有$a \times (b + c) = a\times b + a \times c$。

这个技巧可以用于简化复杂的乘法运算。

3. 提取公因数：对于多个有理数的乘法，如果存在公因数，可以先提取公因数，再进行其他运算。

例如，$2 \times 3 \times 4 = 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12$。

4. 利用绝对值的性质：对于有理数的绝对值，如果知道某个数的范围，可以利用绝对值的性质来简化计算。

例如，如果知道$a < b$，则可以得出$-b< a < b$。

5. 利用等差数列的性质：对于等差数列中的有理数，可以利用等差数列的性质来简化计算。

例如，对于等差数列$a, b, c, d$，有$b = \frac{a +c}{2}$和$d = \frac{a + d}{2}$。

6. 利用近似值：对于一些复杂的计算，如果不需要精确结果，可以利用近似值来快速得到一个接近真实值的结果。

例如，对于$\sqrt{2}$，我们知道$ < \sqrt{2} < $，所以可以取或作为$\sqrt{2}$的近似值。

这些技巧可以帮助我们更快速、更准确地完成有理数计算。

在掌握这些技巧的基础上，通过多做练习题来提高自己的计算能力和熟练度。

有理数四则运算技巧

有理数四则运算技巧
1. 哎呀呀，在有理数四则运算中，加法可是基础呢！就像搭积木一样，一块块往上加。

比如 2+3=5，这多简单呀！
2. 嘿，减法其实不就是加法的逆运算嘛！好比你往前走了几步，再往回退几步。

像 5-3 不就是从 5 这个点往回退 3 步嘛，答案就是 2 啦！
3. 哇塞，乘法就像是快速复制粘贴一样！比如说3×4，不就是 3 个 4 或者
4 个 3 嘛，结果就是 12 呀！
4. 哟呵，除法不就是平均分嘛！就像把一堆糖果分给几个小朋友。

比如
12÷3，就是把 12 平均分成 3 份呀，那每份就是 4 咯！
5. 嘿呀，混合运算的时候可得注意顺序呀！先算乘除后算加减，这就好比先解决重要的事再处理小事。

想想看3+4×2，如果先算加法那就错啦，得先
算乘法4×2 得 8，再加上 3 才对呢！
6. 哇，添括号和去括号也有技巧哦！这不就像给式子穿上或脱掉一件外套嘛。

像 5+(3-1)，去括号后就是 5+3-1 呀。

7. 哈哈，转换思维也很重要呢！有时候换个角度看式子，答案就一下子出来了。

比如把 25 看成5×5，是不是思路就开阔啦？
8. 呦，约分和化简能让式子变清爽呢！就像给式子洗了个澡。

比如 10/20
可以约分成 1/2 呀。

9. 记住这些技巧，有理数四则运算就变得容易多啦！难道不是吗？以后遇到这些运算就可以轻松搞定啦！
我的观点结论：有理数四则运算只要掌握了这些技巧，就能变得有趣又简单，大家要多多练习运用呀！。

有理数计算的常用方法

有理数计算的常用方法关于有理数计算竞赛题，种类繁多，特点各异，解法多样，富有技巧．解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，达到准确，快捷解题之目的，根据笔者教学实践，总结出解有理数计算题的十一种常用方法，以供参考．一、凑整法例1计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝(2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5)＝1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例2若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．二、分组结合法例3计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例4计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．三、分解相约法例5 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝1 11．四、巧用运算律法例6 计算：23797 0.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式五、妙用性质法例7计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c ÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝(1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．六、添项相加法例8 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(1＋1)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．七、错位相减法例9 计算：2481621392781243+++++．分析观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的23，考虑用错位相减法解．八、活用公式法例10 计算：211133+++ (1013)+．分析上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是13，因此它是道等比数列求和题．可用公式1(1)1n n a q S q-=-求解，其中S n 表示前n 项的和，n 表示项数，q 表示公比，a 1表示首项，解原式例11 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．分析上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．解原式九、拆项法例12 计算：359173365248163264+++++．分析和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加．解原式例13 计算：1111121231234++++++++++…1123100+++++．分析本题可用上法拆项．解原式十、字母代换法例14计算：(1＋0.23＋0.34)×(0.23＋0.34＋0.56)－(1＋0.23＋0.34＋0.56)×(0.23＋0.34)．分析此题如果用常规方法进行计算，步骤多而且复杂，如果我们把算式中的一部分相同的式子用字母代替，可以化繁为简，化难为易，很快巧算出结果．解设0.23＋0.34＝a．则原式＝(1＋a)×(a＋0.56)－(1＋a＋0.56)×a＝a＋0.56＋a2＋0.56－a－a2－0.56a＝0.56．十一、数形结合法例15 计算：当n无限大时，1＋12＋1148++…12n+的值．分析建立如下模型，设大正方形的面积为l，当n无限大时，有1＋12＋1148++…12n+＝1．故原式＝2（图形请读者自作）．例16 求S100＝13＋23＋33＋…＋1003的值．分析使用计算器虽能求得结果，但是计算量将十分庞大，而利用数形结合法能使本题得以巧解．解先求出13＋23＋33的值，作出如图．易知13表示第一个┘上黑点的个数，23表示第二个┘上黑点的个数，33表示第三个┘上黑点的个数．图中每行每列黑点的个数均为l＋2＋3＝6，故S3＝13＋23＋33＝6×6＝36．用式子表示：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62．同理可得S100的图中各行各列的黑点个数为：。

关于有理数运算中的解题技巧

关于有理数运算中的解题技巧
有理数是整数和分数的统称，可以进行加减乘除等基本的四则
运算。

在解题过程中，我们可以通过掌握一些技巧来简化计算和加
快速度。

一、化分做通分
在有理数的加减运算中，需要先将两个有理数化为相同分母的
分数，然后再进行加减运算。

这种方法就叫做化分做通分。

例如：计算1/3 + 1/4
步骤一：先将分数化为相同分母的分数，3和4的最小公倍数
为12，所以将分数化为12的分数：
1/3 = 4/12，1/4 = 3/12
步骤二：将分数进行加法运算，得到：
1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12
二、合并同类项
在有理数的加减运算中，所有同类项可以合并为一个项。

这样
可以化简计算，避免漏算或重算。

例如：计算3x + 4y + 2x - 5y
其中3x和2x是同类项，4y和-5y是同类项，所以可以合并为：3x + 2x + 4y - 5y = 5x - y
三、去括号
1。

有理数运算常用的技巧

有理数运算常用的技巧一、归类运算进行有理数的加减运算时,运用交换律、结合律归类加减,常常可以使运算简捷.如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等.例1、计算：－（0.5)－（－3) + 2。

75－(7）变式：计算:二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2、计算：19＋299＋3999＋49999．变式：计算：三、变换顺序在有理数的运算中，适当改变运算顺序,有时可以减少运算量,在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算．例3、计算：[4＋（－）]＋［(－）＋6］．变式：计算:四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征,对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4、计算：17。

48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．变式1：变式2：4726342+4726352-472633×472635—472634×472636五、巧拆项(裂项相消)把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷．常见的裂项相消：①②③④例5、计算2005×－1001×．例6、变式1：变式2:变式3：计算：六、变量替换(换元法）通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路,其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．例7、计算×（0.125＋）．例8、(第8届“希望杯"）计算：变式1：计算（2＋）×（）－（2＋）×（）变式2：计算变式3:计算七、分组搭配（巧添括号）观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例9、计算:2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．变式：计算：八、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时,常根据所求式结构,采用倒序相加减的方法把问题简化．例10、计算＋（＋）＋(＋＋)＋(＋＋＋)＋…＋（＋＋…＋＋)．变式1：计算变式2：计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．九、添数配对(添项法)添数配对实质上也是一种凑整运算例11、计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．变式:计算十、错位相减对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决,就能收到事半功倍的效果．例12、计算1－＋－＋－＋－＋．例13、计算：变式1：计算：变式2：计算:十一、分解相约对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。

有理数运算技巧十招

2
1 1 2 。 12 12
例 6 计算： 2008 200920092009 2009 200820082008 。解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001
0。
六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。例 7 计算： 42
2 3 0.25 。 3 4
解：原式 28
3 1 4 4
3 28 4 4
28 3 25 。
七、变序运用运算律改变运算顺序。

1 6
3 4
2009
。
3 2009 1 。 3.75 3 0 ， 1 4
原式 0 1 1 。
妙用字母解题
在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收到化繁为简，化难为易的效果．例 1 计算
-2-
例 8 计算： 12.5 31
4 0.1 5
解：原式 12.5 0.1 31

4 5

1 31 31。
例 9 计算： 1
3 8 8 7 1 。 5 9 15 8
009 9。
四、组合将分母相同或易于通分的数结合。例 4 计算： 5
ห้องสมุดไป่ตู้
5 5 11 5 2 10 12 。 24 9 18 6
-1-
解：原式 12

5 5 5 11 5 2 10 6 24 9 18

有理数运算法则口诀

有理数的运算法则可以通过一些简单的口诀来记忆。

有理数的加法运算法则是“同号相加一边倒；异号相加“大”减 “小”,符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好”。

具体来说，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为0。

有理数的减法运算法则是“减正等于加负，减负等于加正”。

有理数的乘法运算法则是“符号法则：同号得正，异号负，一项为零积是零”。

合并同类项的法则为“只求系数代数和，字母指数留原样”。

去、添括号的法则为“去括号或添括号，关键要看连接号。

扩号前面是正号，去添括号不变号。

括号前面是负号，去添括号都变号”。

专题训练(二)有理数计算的六个技巧

=1.4-51
=-49.6.
11.解:原式=11×36-7×36- 5 ×36+6×(3.93-1.43)
12
9
18
=33-28-10+6×2.5
=-5+15
=10.
12.解:原式= -13 × -42+104+55 +7×36-5×36+3×36
12
7 77 9
6
4
=-13×12+28-30+27
=7.
3.解:原式=
+37 + +47
+
-154 + -194
+
-235 + +225
=(+1)+(-1)+ - 1
25
=- 1 .
25
4.解:原式= 27+ -17 + -2 7 + -3 5 + 53+22
8
8
12
12
55
=1+(-6)+8
=3.
5.解:原式=(-0.25)×(4×4×8)×0.125× -3 =(0.25×4)×(8×0.125)× 3×4 =1×1×3=3.
▶ 技巧六分解——将一个数拆分成两个或几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的形式 15.计算:-21+51-41+31.
4 23 6
16.计算:9115×(-8).
16
17.(1)[2019·贺州] 计算 1 + 1 + 1 + 1 +…+ 1 的结果是 ( )
1×3 3×5 5×7 7×9

小专题2 有理数的加减运算技巧

【例3】计算： −

解：原式= [ − +

−

−

+ −

+
] + [ − +

−

−

+ .
] + [ − +
] +
= [ − + − + − + ] + [
= + −
= −.

−

+

−

+

−

]
【易错提示】将一个负的带分数拆分成一个负整数和一个负分数
的和的形式.
方法4 裂项相消法

【例4】观察下列各式：

=
= − ；……

×

=

×
=−

；

=

×
根据规律解答下列各题:

（1）
×

=__-___.

（2）计算：
+
解：原式= − + −

= − − + −

= − +
= −.
+
−

−

−

.

（5） −

解：原式= −

有理数加减乘除技巧

有理数加减乘除技巧
以下是 6 条关于有理数加减乘除技巧的内容：
1. 嘿，你知道吗？有理数的加法有个超棒的技巧哦！就像搭积木一样，正数和负数凑对。

比如 3+(-2)，那不就是 3 块积木加上拿走 2 块积木，结果就是 1 块积木呀，多简单！见到互为相反数的可别放过，能让计算变得轻松不少呢。

2. 哇塞，有理数的减法，就像是个小魔术呢！把减号变成加号，后面的数变成相反数，就搞定啦！比如说 5-3 可以看成 5+(-3)，是不是一下子就清楚啦？这可真是个神技巧呀，能省好多事儿呢。

3. 听着哦，有理数的乘法，很有规律呀！同号得正，异号得负，这就好像走对路和走错路一样。

比如(-2)×(-3)，那就是都走错路啦，结果反而走对啦，得 6 呢！怎么样，很有趣吧？
4. 哎呀呀，有理数的除法可别愁！除以一个数等于乘以它的倒数，这就跟找后门一样巧妙呢！像6÷(1/2)就等于6×2=12，是不是突然就豁然开朗啦？这技巧不掌握可不行呀。

5. 嘿，注意啦！有理数混合运算的时候可要讲顺序哦！先算乘除后算加减，就跟排队一样，得有秩序呀！像3+2×4，就得先算2×4=8，再加上 3 等于 11 呢，可别搞错顺序哦，不然就全乱套啦！
6. 哇哦，有理数的技巧掌握好，数学世界任你跑！这些小窍门就像是打开数学大门的钥匙，让我们能轻松地在有理数的海洋里畅游。

是不是很厉害？所以呀，还等什么，赶紧把这些技巧用起来吧！我的观点很明确，掌握这些有理数加减乘除技巧，能让我们做题又快又准，简直太棒啦！。

有理数运算常用的技巧

有理数运算常用的技巧理数运算是数学中的基本运算之一，它包括加法、减法、乘法、除法等。

在进行理数运算时，掌握一些常用的技巧能够帮助我们更快更准确地计算，提高计算效率。

本文将介绍一些常用的理数运算技巧。

1.加法与减法的技巧：(1)加法交换律：a+b=b+a，即两个数相加的结果与顺序无关。

(2)减法的加法法则：a-b=a+(-b)，即减法可以转化为加法计算。

(3)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即三个数相加的结果与计算顺序无关。

(4)减法的结合律：(a-b)-c=a-(b+c)，即减法可以按顺序进行多次运算。

2.乘法的技巧：(1)乘法交换律：a*b=b*a，即两个数相乘的结果与顺序无关。

(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)，即三个数相乘的结果与计算顺序无关。

(3)0的乘法法则：a*0=0，即任何数乘以0都等于0。

(4)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c，即一个数乘以两个数的和等于这个数分别乘以两个数后的和。

3.除法的技巧：(1)除法的定义：a/b=c，即a除以b等于c。

(2)除法的乘法法则：a/b=a*(1/b)，即除法可以转化为乘法计算。

(3)0的除法法则：0/a=0，即0除以任何非零数都等于0。

(4)除法的分配律：(a+b)/c=a/c+b/c，即两个数的和除以一个数等于每个数除以这个数后的和。

4.有理数的比较：(1)相同符号的两个有理数，绝对值越大，值越大。

(2)不同符号的两个有理数，正数大于负数。

(3)当一个有理数与它的绝对值相等的另一个数相比，绝对值大的数更小。

5.分数的运算技巧：(1)相同分母的分数相加减，只需将分子相加减，分母保持不变。

(2)不同分母的分数相加减，需要先找到它们的最小公倍数作为新的分母，然后按比例进行转化。

转化后再按相同分母的分数相加减。

(3)分数相乘，将分子相乘，分母相乘。

(4)分数相除，将除数的倒数作为乘法计算。

以上是常用的理数运算技巧，掌握了这些技巧，我们在进行理数运算时可以更加灵活和高效。

关于有理数运算中的解题技巧

关于有理数运算中的解题技巧有理数是数学中的一类基础数，有着广泛的应用。

在日常生活和学习中，遇到有理数的运算、解题等问题时，往往需要掌握一些基本技巧和方法。

本文将介绍有理数运算中常用的解题技巧。

一、有理数的加减法1. 同符号数相加减同符号的两个有理数相加减，只需将它们的绝对值相加减，并保持原来的符号不变。

举例：3.5+2.1=5.6(−3.5)−(−2.1)=−1.42. 异符号数相加减异符号的两个有理数相加减，先将它们变为同符号数，然后按照同符号数相加减的方法进行计算。

举例：2.5−(−3.2)=2.5+3.2=5.7(−4.5)+7.8=7.8−4.5=3.33. 带分数的加减法若要对带分数进行加减法运算，可以先将其转化为假分数，然后再按照同符号数相加减的方法进行计算。

举例：$$\\frac{3}{4}+\\frac{1}{2}=\\frac{3\\times2}{4\\times2}+\\frac{ 1\\times 4}{2\\times4}=\\frac{6+4}{8}=\\frac{5}{4}$$$$\\frac{1}{2}-\\frac{2}{3}=\\frac{1\\times 3}{2\\times3}-\\frac{2\\times 2}{3\\times2}=\\frac{3-4}{6}=-\\frac{1}{6}$$二、有理数的乘除法1. 乘法有理数的乘法，可以先将它们的绝对值相乘，再确定符号。

•同号相乘得正数；•异号相乘得负数。

举例：$$3.5\\times2.4=8.4$$$$(-3.5)\\times(-2.4)=8.4$$$$(-3.5)\\times2.4=-8.4$$$$3.5\\times(-2.4)=-8.4$$2. 除法有理数的除法，可以先将它们的绝对值相除，再确定符号。

•分子、分母同号，商为正数；•分子、分母异号，商为负数。

同时，当分母为0时，除法无意义，需避免出现这种情况。

有理数运算方法与技巧

掌握了有理数的运算法则，才能更好地进行四则运算。

以下是一些有理数运算的技巧：
1. 乘法分配律的应用：乘法分配律是进行有理数乘法运算的重要法则之一。

对于任意三个有理数a、b、c，有a ×(b + c) = a ×b + a ×c。

这个法则可以用于简化有理数的乘法运算，例如(a + b) ×(a - b) = a^2 - b^2。

2. 绝对值的运算：绝对值是有理数的一个重要概念，它可以用于化简复杂的运算。

例如，|a + b| = |a| + |b|仅当a和b同号时成立，如果a和b异号，则|a + b| < |a| + |b|。

绝对值的性质可以帮助我们解决一些复杂的有理数问题。

3. 分数的运算：分数的运算法则是进行有理数四则运算的重要基础。

在分数运算中，应注意通分的意义和分母的扩大或缩小对分数值的影响。

同时，对于复杂的分数运算，可以通过化简、约分等方法简化问题。

4. 倒数的应用：倒数是有理数的一个重要概念，它可以用于化简有理数的除法运算。

例如，
a /
b = a ×1/b，即除法可以转化为乘法运算。

此外，倒数的性质还可以用于解决一些复杂的有理数问题。

5. 综合运算的顺序：在进行有理数的混合运算时，应按照先乘除后加减、先括号后指数的顺序进行。

注意运算的优先级，合理使用括号，可以避免计算错误。

通过掌握这些有理数运算的技巧，我们可以更好地理解和掌握有理数的四则运算，提高解题效率和准确性。

有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧Revised on November 25, 2020有理数简便运算与技巧有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。

进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。

现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类将同类数（如正数或负数）归类计算。

例1 计算：()()()231324-+++-++-。

解：原式()()()()312234=+++-+-+-⎡⎤⎣⎦3=-。

二、凑整将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54228263.46+-+。

解：原式()36.5463.462282=++-40=。

三、对消将相加得零的数结合计算。

例3 计算：()()()5464332+-++++-+-。

解：原式()()()4453263=-+++-+-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦9=。

四、组合将分母相同或易于通分的数结合。

例4 计算：55115521012249186---+。

解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-。

五、分解将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。

例5 计算：111125434236-+-+。

解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭11221212=+=。

例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯。

解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=。

六、转化将小数与分数或乘法与除法相互转化。

例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-。

七、变序运用运算律改变运算顺序。

例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-。

有理数的计算技巧

有理数的计算技巧一、凑整法凑整法主要是正确运用有理数运算中的交换律和结合律，使那些能凑成整数的有理数结合在一起，使运算简化。

（1）536+24－（﹣524）－16+（﹣6.8）+1-3.2（2）（﹣0.125）×（﹣53）×（﹣8）×321×（﹣5）（3）﹣161－232＋454－531＋161－3.8（4）19＋299＋3999＋49999（5）2002＋98＋997＋9996＋99995（6）6.6+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-4.8（7）125×5×32（8）16×75×45（9）1＋2＋3＋4＋...＋59（10）43×（﹣75）×（﹣4）×（﹣51）（11）（﹣98）×12×（﹣811）（12）25×（﹣18）×（﹣4）（13）-3.2+2.37+(-2.8)（14）（﹣0.5）－（﹣341）＋2.75－（721）（15）17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88（16）（﹣12.5）×31×（﹣54）×（﹣0.1）（17）〔4125＋（﹣71）〕＋〔（﹣72）＋6127〕（18）2002＋98＋997＋9996＋99995（19）11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998（20）123＋234＋345＋456＋567＋678＋789二、分组法分组法是指将满足同样规律的数分成一组，便于运用同一算法进行计算。

1.1－3＋5－7＋9－11＋...＋2009－20112.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋97＋98－993.1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋...＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－20114.2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋...＋66－67－68＋695.100－99＋98－97＋...＋4－3＋2－16.200＋199－198－197＋...＋4＋3－2－17.（31211—）＋（32212—）＋（33213—）＋...＋（3102110—）8.()()()()()()()++++++的值为_______________.++++-198199197...2-34-1+9.211×555+445×789+555×789+211×44510.算式2011-2009+2007-2005+...-...+3-1的计算结果是______________.11.计算（100＋99－98＋97－96＋...＋3－2＋1）÷5.12.100－99＋98－97＋...＋2－1＋2－3＋4－...－99＋100.13.1000＋999－998－997＋996＋...＋104＋103－102－101＝（）A.225B.900C.1000D.400014.193＋187＋181＋...＋10315.99-97＋95－93＋91-89＋...＋3－116.1000-1-2-3-4-...-10017.﹣1＋3﹣5＋7﹣9＋...﹣97＋9918.1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋...＋601＋602－603＋604＋605－60619.20032002＋...＋20033＋20032＋2003120.1997＋1996－1995－1994＋1993＋1992－1991－1990＋...－2＋121.1999+1998-1997-1996+1995+1994-1993-1992+1991+199022.-1-2-3-4-...-100三、整体设元法整体设元法就是将一串有理数的代数和视为整体，用一个字母来代替，化繁为简。

有理数的加减法法则及技巧

有理数的加减法法则及技巧有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。

有理数的加减法是我们学习数学的基础，掌握了有理数的加减法法则和技巧，可以帮助我们更好地解决实际问题。

下面将介绍有理数的加减法法则及一些实用技巧。

一、有理数的加法法则有理数的加法法则是：同号相加，异号相减，然后取它们的绝对值，符号与原来的符号相同。

例如，对于两个正数相加，只需要将它们的数值相加，然后保持正号即可。

比如：3+5=8。

对于两个负数相加，同样将它们的数值相加，然后保持负号不变。

比如：-3+(-5)=-8。

当然，如果是正数和负数相加，我们可以先取绝对值将问题转化为同号相加，然后再根据原来的符号来确定最终的结果。

比如：-3+5=2。

二、有理数的减法法则有理数的减法是加法的逆运算，因此减法可以转化为加法。

例如，减法表达式：a-b 可以写成 a+(-b) 的形式，然后按照加法法则进行运算即可。

另外，我们还可以运用一个小技巧，在处理减法时，将减法转化为加法，然后利用有理数的加法法则来求解。

如果是 a-b，我们可以将 b 变为一个相反数，即 a+(-b)，接下来按照加法法则进行计算即可。

三、一些实用技巧1. 整数与分数的计算当整数与分数相加或相减时，我们可以先将整数转化为分数的形式，然后按照通分的原则进行运算。

例如，3+1/5 可以先将 3 转化为分数形式，即 3=15/5，然后与 1/5相加，得到 15/5+1/5=16/5。

2. 小数的加减法小数的加法和减法与整数、分数的加法和减法类似，只需要按照数值相加或相减的法则进行计算即可。

需要注意的是，小数的最后一位小数位要对齐，补齐位数后再进行运算。

例如，0.25+0.3 先将小数位补齐，即 0.25+0.30=0.55。

3. 考虑数的范围在进行有理数的加减法运算时，要考虑数值的范围，避免在计算过程中产生数值过大或过小的情况，导致计算错误。

可以根据实际情况选择合适的数值范围或进行适当的运算转化，以便更好地解决问题。

有理数运算的技巧十法

．．
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相减法２计算．１＋
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瓢式＝专～善一＋ｔ三一＋｝）＋…＋ｉ则害＋÷＋告＋…＋ｉ１ ②
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２０００００００＋２００００００Ｏ）一４４
１２２０３６５０９
一
蕊
例２若ｍ＝１÷一西７９一１１１３一１５１７，
＝２２２２２２２２０ —４４＝２２２２２２１７４．
三、逆用分配律例５计算９９９９×２２２２＋３３３３Ｘ３３３４．解：原式＝（３３３３Ｘ３）Ｘ２２２２＋３３３３Ｘ３３３４＝３３３３
解：原式：（１１＋９）＋（１９２＋８）＋（１９９３＋７）＋（１９９９４＋６）＋（１９９９９５＋５）＋（１９９９９９６＋４）＋（１９９９９９９７＋３）＋（１９９９９９９９８＋２）～（９＋８＋７＋６＋５＋
解：原式＝（２一３）＋‘硼３¨一÷）＋（鲁一÷）＋… ４＋３＋２）＝（２Ｏ＋２００＋２０００＋２００００＋２０００００＋２００００００＋
选择恰当的方法技巧，探寻巧妙简捷的解法，常能突破常规，化繁为简，化难为易，令人耳目一新，下面举例说明．
一、拆项（拆数）法，也称裂项法
例１计算÷＋２＋ｉ３＋４＋．．·＋１０．

有理数运算的方法与技巧(word版)

有理数运算的方法与技巧一、知识要点有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上的，深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算，这是因为有理数的运算每一步都要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．有理数运用常用的技巧与方法有：利用运算律，以符代数，恰当分组，裂项相消，分解相约，错位相减等．运算能力是运算技能与推理能力的结合，这就要要求我们技能正确的运算出结果，又能善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．分清计算的顺序是学习本讲的关键，从心理上讲，要准确的计算，还应该克服“粗心大意”这种不良的心理品质.这种不良习惯，主要表现为审题不清，知识点不能及时回应等，其实粗心大意有时与习惯有关系，例如平时就喜欢丢三落四，所以同学们在纠正这种不良习惯时，一定要持之以恒，从小事做起，在计算中培养自己的细心习惯，形成良好的解题心理品质.1．有理数的加法法则（1）同号两数相加，取______的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取____________的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加，和为_____，一个数与零相加，仍得这个数．2．有理数减法法则减去一个数等于加上这个数的___________．用式子表示为a －b ＝a ＋(－b )．3．有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号______，异号______，并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘，结果都得_____；（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是_______时，积是正数；负因数的个数是_______时，积是负数，即先确定符号，再把各因数的绝对值_______；（4）几个数相乘，如果其中一个因数是0，则积等于________．4．有理数的除法法则（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的____________；（2）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何非0的数，都得0；二、基础能力测试〖一〗填空：1．计算：（1）(－15)＋(－32)＝____ （2）100＋(－99)＝____ （3）－6＋3＝________（4）－5＋5＝___________ （5）(－3)－(－5)＝____ （6）(＋3)－(－5)＝_____（7）(－3)－(＋5)＝______ （8）3－5＝___________（9）－9－(＋5)＋(＋3)－(－7)＋(－1)＝___________2．计算：（1）(－36)×2＝_________________ （2）(－1.2)×(－3)＝_____ （3）0×(－181)＝____ （4）(－5)×(－6)×3×(－2)＝____ (5)(－25)÷(－5)＝_______ （6）(－121)÷0.5＝____ （7）(187)÷(－87)＝_____________ （8）0÷(－10)＝_________ （9）(－53)×(－321)÷(－141)÷3＝_________3．计算：32＝_____，(－3)2＝_____，－32＝_____，23＝______，(－2)3＝_____，－23＝_____，1.54＝______，05＝______．若n 为正整数，则(－1)n ＝_______，若a ＞0，则a 2______0，a 3______0；若a ＜0，则a 2______0，a 3______0；若a 101＜0，则a ______0．4．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 比绝对值最小的有理数小1，则p 2012－cd ＋abcdb a +＋m 2＝_______． 5．有理数a ，b ，c 的大小关系如图所示，则说法中一定成立的是________．①a ＋b ＋c ＞0；②|a ＋b |＜c ；③|a －c |＝|a ＋c |；④|b －c |＞|c －a |．6．3(x －1)2＋2|y ＋2|＝0，则(x ＋y )2015＝_________．7．在数1，2，3，…，2009，2010，2011，2012前任意添加“＋”号或“－”号并依次计算，其可能得到的最小的非负数是____________． 8．定义一种新运算，规则是d b ca ＝ad －bc ，则4312＝__________．9．计算：(1－2011×2010－2010×2009)(2013＋2011×2010＋2010×2009)－(1－2013－2011×2010－2010×2009)(2011×2010＋2010×2009) ＝__________．〖二〗计算：有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同一级运算从左算到右；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．（1）(＋59.8)－(－52＋(－12.8)＋563；（2）[30－(97＋65－1211)×36]÷(－5)；（3）－12－36÷|－(－3)2|÷254×425；（4）4－(－2)2－32÷(－1)2001＋0×(－2)3．三、综合·提高·创新【巧算问题】【例1】※观察分组法计算：（1）20102009......87654321100999897......87654321-+++--++----+++--++--+．（2）21＋41＋43＋61＋63＋65＋…＋20141＋20143＋…＋20142013．【例2】※裂项相消法计算：（1）1＋231＋3151＋4351＋5631＋6991．（2）21121+＋)311)(211(31++＋)411)(311)(211(41+++＋…＋)9911)...(311)(211(991+++．〖练〗（1）951⨯＋1391⨯＋17131⨯＋…＋1051011⨯．（2）—1＋211--＋3211---＋…＋1003211-⋯----．【例3】※分解相约法计算：nn n n n n 53106253132642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【例4】※巧用公式法计算：（1）1212-＋1412-＋…＋1201212-．（2）S ＝12－22＋32－42＋…＋992－1002＋1012，求S 被103除的余数．（3）2201320092013201120132010222-+（4）已知12＋22＋…＋n 2＝61n (n ＋1)(2n ＋1)．求：①12＋22＋32＋...＋252；②102＋112＋122＋...＋252；③22＋42＋62＋ (502)常用公式： ()233321...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n ()()()21311......433221++=+++⨯+⨯+⨯n n n n n【数轴上的动点问题】【动点问题】※借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法

巧用运算规律简化有理数计算的六种方法（1）计算过程中，第一步把原式化成的形式，体现了数学中的思想，为了计算简便，第二步应用了．（2）根据以上的解题技巧进行计算下列式子：−2123+314−(−23)−(+14)．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；（2）仿照题意简便方法计算即可．【解答】解：（1）计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．故答案为：省略加号和括号，转化，加法的交换律和结合律；（2）−2123+314−(−23)−(+14)＝﹣2123+314+23−14＝（﹣2123+23）+（+314−14）＝﹣21+3＝﹣18．【变式1-1】计算：(−23)+(516)+(−416)−913.【分析】可利用结合律进行运算，最后得出结果．【解答】解：原式＝（−23−913）+（516−416）＝﹣10+1＝﹣9【变式1-2】计算：123+212−334+13−4.25.【分析】先算同分母分数，再相加即可求解；【解答】解：123+212−334+13−4.25＝（123+13）+212+（﹣334−4.25）＝2+212−8＝﹣312；【变式1-3】计算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）．【分析】先算同分母分数，再相加即可求解．【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+114+（﹣418）＝（3712−3712）+（﹣114+114）+（﹣418）＝0+0+（﹣418）＝﹣41．【分析】运用加法的交换律和结合律计算可得．【解答】解：原式＝（﹣347−1637）+（12.5+2.5）＝﹣20+15＝﹣5．【变式2-1】计算下列各题：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535）+（−18）．【分析】根据加法的运算律计算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7；（2）原式=(325+535)−(278+18)=9﹣3＝6．【变式2-2】计算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣145）【分析】（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；（2）根据有理数的加减运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4）＝﹣9+10＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345）+145=+(234−1.75)−(345−145)＝1﹣2＝﹣1．【变式2-3】计算下列各题：（1）（0.5）+（+92）+（−192）+9.5；（2）（−12）+（−25）+（+32）+（185）+（+395）；（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（−43）+（−34）+（+72）+0.75+（−73）．【分析】（1）应用加法交换律和结合律将两个小数和两个分数分别结合在一起计算；（2）先运用减法法则，再将分母相同的结合起来进行计算；（3）将正负数分别结合计算；（4）小数化分数，分母相同的结合计算．【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92−192）＝10﹣5＝5；（2）原式=−12−25+32+185+395=（32−12）+（185+395−25）＝1+11＝12；（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6；（4）原式=−724334723473（77）+（33）+（−4373）=−113．【分析】先变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：−52×(−115)+133×(−115)+56×2.2=52×115−133×115+56×115＝（52−133+56）×115＝（156−266+56）×115＝（﹣1）×115=−115．【变式3-1】计算：235×127+2.6÷711−135×67．【分析】先将题目式子中的带分数化为假分数，小数化为假分式，然后根据乘法分配律即可解答本题．【解答】解：235×127+2.6÷711−135×67=135×97+135×117−135×67=135×（97+117−67）=135×147=265．【变式3-2】计算：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34【分析】分别提取公因数﹣13和﹣0.34，即可简化计算，再合并即可；【解答】解：−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34＝﹣13×（23+13）﹣0.34×（27+57）＝﹣13﹣0.34＝﹣13.34【变式3-3】计算：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)；【分析】根据乘法分配律可以解答本题；【解答】解：0.7×149+234×(−15)+0.7×59+14×(−15)＝0.7×（149+59）+（234+14）×（﹣15）＝0.7×2+3×（﹣15）＝1.4+（﹣45）＝﹣43.6；【题型4拆项法】【方法点拨】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【例4】阅读下面的计算过程，体会“拆项法”计算：﹣556+(−923)+1734+(−312)．解：原式=[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−56)+(−23)+34+(−12)]=0+(−114)=(−114)启发应用用上面的方法完成下列计算：(−3310)+(−112)+235−(212)【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12），再根据有理数的加减运算法则计算可得．【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（−310−12+35−12）＝﹣4+（−710）＝﹣4710．【变式4-1】阅读下列解题方法，然后根据方法计算．﹣516−（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（−16）﹣（−23）]＝4+12=412．计算：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112【分析】利用加法的结合律，将整数、分数分别结合在一起先相加，运算简便．【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823）+4037+112＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（−56）+（−23）]+4037+112＝﹣4037+（−32）+4037+32＝0【变式4-2】计算：﹣991517×34．【分析】根据乘法分配律简便计算．【解答】解：﹣991517×34＝（﹣100+217）×34＝﹣100×34+217×34＝﹣3400+4＝﹣3396．【变式4-3】计算：399498399×(−6)【分析】根据乘法分配律简便计算．【解答】解：399498399×(−6)＝（400+33133）×（﹣6）＝400×（﹣6）+33133×（﹣6）＝﹣2400﹣165133＝﹣240165133．【题型5组合法】【方法点拨】找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目.【例5】计算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式写成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一个有25个﹣2，据此计算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【变式5-1】计算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式结合后，相加即可得到结果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【变式5-2】计算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四项四项结合，计算即可得到结果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【变式5-3】计算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】将4个数字作为一组，分组计算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【题型6裂项相消法】【方法点拨】将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分配率从而使得计算变得简洁.【例6】阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①12−13=12×13；②14−15=14×15；③16−17=16×17（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：17−18=17×18；（2）通过观察，计算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．（3）探究上述的运算规律，试计算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案；（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．【解答】解：（1）17−18=17×18；故答案为：17−18=17×18；（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17＝1−17=67；（3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199）=12（1−199）=12×9899=4999．【变式6-1】12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式（分别写出表示的过程和结果）1342=＝，1772=＝．（2）利用以上所得的规律进行计算：32−56+712−920+1130−1342+1556−1772【分析】（1）直接利用已知运算规律进而计算得出答案；（2）直接利用已知运算规律将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：（1）1342=16+17=6+76×7；1772=18+19=8+98×9；故答案为：16+17，6+76×7；18+19，8+98×9；（2）32−56+712−920+1130−1342+1556−1772＝1+12−（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）+（17+18）﹣（18+19）＝1−19=89．【变式6-2】类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：12−13= 32×3−23×2=3−26=16，我们将上述计算过程倒过来，得到16=12×3=12−13，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于12×4可以用裂项的方法变形为：12×4=12×(12−14)．类比上述方法，解决以下问题．（1）猜想并写出：1or1)=．（2）探究并计算下列各式：①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020．【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题；（2）①根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值；②根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）1or1)=1−1r1，故答案为：1−1r1；（2）①11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50＝1−12+12−13+13−14+⋯+149−150＝1−150=4950；②1−2×4+1−4×6+1−6×8+⋅⋅⋅+1−2018×2020=−12×（12−14+14−16+16−18+⋯+12018−12020）=−12×（12−12020）=−12×10092020=−10094040．【变式6-3】阅读理解题第1个等式：12=2−12×1=1−12；第2个等式：16=3−23×2=12−13；第3个等式：112=4−34×3=13−14；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：；（2）计算：11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021．【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．【解答】解：（1）第5个等式：130=6−56×5=15−16；（2）11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021=14×（1−15+15−19+19−113+⋯⋯+12017−12021）=14×（1−12021）=14×20202021=5052021．故答案为：130=6−56×5=15−16．。