有理数运算常用的技巧

有理数运算常用的技巧

一、归类运算

进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷。如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。

1 1

例1、计算：一(0.5) —( —3 — ) + 2.75 —(7—)

4 2

变式：计算：-2 3 1 ：〔：；：-3 - 2^1-4

二、凑整求和

将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题

效率.

例2、计算：19 + 299 + 3999+ 49999.

变式：计算：36.54 22 -82 63.46

三、变换顺序

在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换率、结合律和分配律等运算律简化运算.

5 1 2 7

例3、计算：[4 - + (—丄)]+ [( —2) + 6 —].

12 7 7 12

’’ f 4)

变式：计算：-12.5 31 0.1

I 5丿

四、逆用运算律

在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征, 妙地逆用分

对此加以灵活变形，便可巧配律，使解题简洁明快.

例4、计算：17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88.

3 3 2 3 3 25 12 3 3 3 3 3

变式1： (-一) 0.75 0.5 (-―)(1 )(—) 4 "(-一)

4 4 37 2

5 4 4

2 2

变式2：472634 +472635 - 472633X 472635 -472634X 472636

五、巧拆项(裂项相消)

把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷.

常见的裂项相消：

①亠丄丄

n(n 1) n n 1

变式2：

1 1 1 ------ + ........ + ------------ +

4 7 7 10 100 103

变式

3：

1 1 1

计算：

_

_ --

11 13 15 13 15 17 29 31 33

六、变量替换（换元法）

量在解题过程中起到桥梁作用.

七、分组搭配（巧添括号）

观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算. 例 9、计算：2 - 3 -4+ 5 + 6 -7 — 8 + 9…+ 66 - 67-68 + 69. 变式：计算：

训2-(3-4 + 5"-7-&4|弭1[]一|11「12* ••■141997 + 1998 -19P9 - 2000 d| 如机

八、倒序相加

在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化.

③

n(n 1)(n

2)

冷治-(n 1)(n 2)]

1 (n - 1)(n 1)

例5、计算 2003 - 1001 X 竺.

2004 1002

1 1

+ ----- + ------ +||| + -----------

3 5 57 99 101

1 1 1 1 「 1

+— +

| | + -------- 9900 2005

X

1 例6、 - 1x3 变式1: 1 -

2 6 12 20 30

通过引入新变量转化命题结构，

这样不但可以减少运算过程, 还有利于寻找接题思路， 其中的新变

1 2 7- 3-

例7、计算 4 3

X

12

6

1

0.125 (7 — 3 —) 9

2 4 3

7 5

例8、(第8届“希望杯”)计算： 变式1:计算

(2+丄+】+丄+ +

—)

3 4……2010 1 1 1

(丄 +_ +-L + +_

变式1 :计算（2+ 一

2

—）

2011

11. 3 4

变式2: 计算

丄

2006

1・11…丄

2 3 2005

变式3:

96

(0.125 + 丄 71 +3 二 4

L 1+1+1 +

<23

‘7

1 37、 f 12

计算17厶+27丄-1137" 13生+8

I 27 17 39 丿 -21 5).

-2 '3

1 )-(

2 +

2011

2006

2 3 2005

一5峯

17 27

39

17

+ 3)+( 31 2 + 3 + 3)+•••+ (丄+ Z +•••+ 兰

5 5 60 60 60

错位相减

就能收到事半功倍的效果.

例12、计算1 —1+ 1—1+ ——— + ——

2 4 8 16 32 64

对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征, 运用整体运算的思维，创造性地加以解决,

例13、计算: 2 3 2010 S =1 2 2 2 HI 2

变式1: 计算: —却丄

22010

变式2: 计算:

1 1 1

1 ■

3 32 33

丄

2013

3

卜一、分解相约

对于较复的算式直接运算很困难，抓住其特征，分解化为相同的形式，将相同的部分约去。

例14、计算: '1><2X：4*2X：4X：8* n ‘2n ‘4n 1

------------------------------------------- i 订><3x9+2^6汉18+ …+ n ‘3n ‘9n

丿

变式1:计算变式2:计算1 _202 50505 13131313

21 2121 212121 21212121

2013 20132013 201320132013 2013201320132013 2014 20142014 201420142014 2014201420142014

1

例10、计算—+ （

2 50).

变式1: 变式2:

4005 +

-------

2003 计算1+3+5+7+…+ 1997+1999 的值.

计算

2003 2003 2003

九、添数配对（添项法）添数配对实质上也是一种凑整运算

例11、计算

变式：计算211111 1

+ —+—+—+——+——+--------+

4 8 16 32 64 128

1 + 256 512

3)+(丄 + -

4 5 5

1 1

+ -

128 256