深度透视中考错题

深度透视中考错题

1. 题目呈现

23．（9分）（2015•广元）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

记得在前年秋季学期和去年春季学期，曾有几位老师在Q群上提到此题，表示对此题第（3）问产生了困惑与不解。笔者清楚地记得第一位提出来的是武鸣的刘强老师，刘老师酷爱钻研，笔者心中一直对刘老师充满敬意。当时刘老师在Q群上说，按照这2种方法计算的出来结果不一样，用方法

一求得x=457150，方法二求得x=407

130，刘老师产生了疑问。 2.初步分析

当时笔者在Q 群上这样分析（为了方便计算，条件BE=10，sinA=不变）：

如图所示，由已知条件易求CE=13，DE=2，AE=5.2，则AB=15.2。而又AD=4.8，AO=9.6，则AB=2AG=2×9.6×1312，两次算得的AB 的值不同，从而得出题目所给的条件有问题。再进一步分析，设DE=5x ，由AB=AE+BE=2AG 可得到方程13x+10=2×24x ×1312，解得x=407130，DE=5x=407

650≠2，即得出CD ≠15，所以第（3）小题的条件与题干中的条件CE=CB 相矛盾。

3.深度透视

近日，笔者荣幸地参加了以农学宁老师为组长的《广西北部湾四市同城背景下中考数学命题的研究》课题组，由于

自己的爱好与课题的需要，笔者对近年的中考题进行研究，以对怎样才能命好中考题提出自己的一点点建议和看法。以此为契机，笔者对这道题再度进行深入研究。（其实笔者还在Q群上抛出几道题，供各位同仁思考。）

经研究，笔者发现：这题为什么出错可用作图原理去进行分析说明。这道题是求半径，反过来逆向推理，若半径确定，即圆确定，又sinA=，即∠OAB确定，如图，作出OA 后，假设AB在OA右侧，则B点也确定。作DE垂直平分OA于点D，按照题目的意思，点C为BE的垂直平分线和射线DE的交点，即点C也是确定的。当BE=10时，CD恰好等于15吗？若等，则题目没有问题，若不等，则题目出错。

在用作图原理分析的过程中，笔者又有意外的发现：如果半径确定，∠OAB确定，则BE也就确定。如下图所示，

sinA=，BE=10，对此图进行放缩，即半径变化，则BE也跟着变化，就不再等于10。反过

来，若∠OAB确定、BE确定，则半径也就确定，否则DE不再垂直AO。如下面2个图，sinA=，BE=10，但DE不垂直AO。

所以，通过上面的分析可知，只要知道∠OAB和BE，即可求出半径。计算过程如下：

如下图所示，设DE=5x，由AB=AE+BE=2AG可得到方程

13x+10=2×24x ×1312，解得x=407130，所以AO=24x=407

3120。

因此，原题中的条件CD=15不仅错误，而且多余，且此题提供的数据不符合“多思少算”的原则，若改成sinA=53，BE=39或7.8就好算多了。

4.启示与反思

就命题的角度而言，根据罗增儒教授提出的6条逻辑性要求：条件的真实性、条件的充分性、条件的相容性、条件与结论的相容性、条件的独立性和条件的最少性，这道题违背了条件的相容性。但我们可以思考得更深一些，为什么此题在命题形成之后能躲过众多命题和审题专家的“法眼”，说明我们在解题过程中反思与批判意识的薄弱性。事实上，如果我们能在解题之后带着结论返回原题进行分析，不难发现错误所在，刘老师就做到了这一点。当然，在命题时利用“几何画板”等辅助工具进行准确作图也有助于发现问题，

但我们从理论上讲或者夸张一点说，当点与点、线与线无限接近时，我们就无法通过作图来用眼睛观察发现问题；况且，如果不是几何和数形结合的题目，即不是与图形有关的题目，那么我们也不能通过作图去发现问题，需要通过演绎推理去分析。由此可知，命题不仅需要技术，更需要较高的数学素养。

愿本文能成为引玉之砖，让大家都来关注命题、研究命题。

谨以此文表示笔者对沈副和农老师的衷心感谢！