《勾股定理》考点复习
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
中考数学考点复习 勾股定理
中考数学考点复习勾股定理一.选择题1. 在ABC 中，10AB =，AC =，BC 边上的高6AD =，则另一边BC 等于（ ）A ．10B ．8C ．6或10D ．8或102．直角三角形有两边为3和4，则第三边的长为（ ）A. 5B. D. 无法确定3. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ）A 、40B 、80C 、40或360D 、80或3604. 乐乐婷想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了 米，当他把绳子的下端拉开 米后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是（ ）米．A. B. C. D.5．在平面直角坐标系中，以点M （6，8）为圆心，2为半径的圆上有一动点P ，若A （﹣2，0），B （2，0），连接PA ，PB ，则当PA 2+PB 2取得最大值时，PO 的长度为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．．6．如图，在Rt ABC ∆中，90,45,B BCA AC ︒︒∠=∠==点D 在BC 边上，将ABD ∆沿直线AD 翻折，点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，连接,PE PC ，则PEC ∆的周长的最小值为（ ）A ．2BC 1D ．17．如图，两棵树高分别为6m ，2m ，两树相距5m ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞（ ）A ．4mB ． mC ．3mD ．9m 8．如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（ ）A ．B ．C ．13D ．59．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________A 25海里B 30海里C 35海里D 40海里10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．311．如图，有一个圆锥，高为8cm ，底面直径为12cm.在圆锥的底边B 点处有一只蚂蚁，它想吃掉圆锥顶部A 处的食物，则它需要爬行的最短路程是( )A.8cmB.9cmC. 10cmD. 11cm12. 如图，在矩形ABCD 中，BC ，ADC ∠的平分线交边BC 于点E ，AH DE ⊥于点H ，连接CH 并延长交边AB 于点F ，连接AE 交CF 于点O .给出下列命题：①AEB AEH ∠=∠；②DH =；③12HO AE =；④BC BF -.其中正确命题为（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④13．观察图形，可以验证（ ）A ．a 2+b 2＝c 2 B.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 2 C.a 2﹣b 2＝（a+b ）（a ﹣b ） D.（a+b ）2＝a 2+2ab+b 214．如图，等腰ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点D 是底边BC 的中点，以A 、C 为圆心，大于12AC 的长度为半径分别画圆弧相交于两点E 、F ，若直线EF 上有一个动点P ，则线段PC PD +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1215．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD的值是( )A ．32B ．2CD 二.填空题16. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 .17. 若直角三角形的两直角边的长的比是:512，斜边长是26，则斜边上的高是 .18.19. 如图所示，一架梯子 长 米，顶端 靠在墙 上，此时梯子下端 与墙角 的距离为 米，当梯子滑动后停在 的位置上，测得 长为 米．则梯子顶端 沿墙下移了________米．20. 一长方体如图，在A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B 点的食物，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是 ．21. 如图是单位长度为1的网格图，A 、B 、C 、D 是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成________个直角三角形．22．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ．若 ，则 的值是________．23．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，，则是________．24．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x ．则AC+CE 的最小值是_____．25．如下图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为________．26. 如图，在等腰ABC 中，5AC BC ==，6AB =，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，将边AD 沿DE 折叠，使点A 落在CD 上的点F 处．当点F 与点C 重合时，AD =________．27．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为,,20dm 3dm 2dm ,A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路．．．程．是 .在一个长为13米，宽为8米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且大于AD ，木块的正视图是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是________米．28.29. 如图，在ABC 中，90C ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，作射线AO ，交BC 于点E ；已知3CE =，5BE =，则AC 的长为________.30．如图，是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5 m 的半圆，其边缘AB ＝CD ＝20 cm ，小明要在AB 上选取一点E ，能够使他从点D 滑到点E 再到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为__________ m ．(π取3)三.解答题31．如图，在△ABC 中，AB ＝17cm ，AC ＝8cm ，BC ＝15cm ，将AC 沿AE 折叠，使得点C 与AB 上的点D 重合．（1）证明：△ABC 是直角三角形；（2）求△AEB 的面积．32. 如果m ，n 是任意给定的正整数（m ＞n ），证明：m 2+n 2，2mn ，m 2﹣n 2是勾股数（又称毕达哥拉斯数）．33．如图，在垂直于地面的墙上2m 的A 点斜放一个长2.5m 的梯子，由于不小心，梯子在墙上下滑0.5m ．求梯子在地面上滑出的距离BB ′的长度．34．如图，在中，，为边上一点，且，．（1）求的长； （2）若，求的面积．35．如图，在四边形ACDB 中，CD BD ⊥，4CD =，BCD △的面积为6，12AC =，13AB =，（1）求BC 的长；（2）求ABC 的面积．36．如图，在中，点、分别是，边中点于，延长，过作于． （1）求证：． （2）若，，求的长度．37. 如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在E 处，BE 交AD 于点F ．（1）判断BDF 的形状，并说明理由；（2）若6AB =，10AD =，求BDF 的面积．38．已知：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ．（1）填表：（2）如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：S l= (用含有m 的代数式表示)． （3）证明（2）中的结论．39．问题背景．在△ABC中，AB＝，BC＝，AC＝，求这个三角形的面积，乐乐同学在解答这道题时先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（△ABC的三个顶点都在正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算它的面积．（1）请直接写出△ABC的面积；（2）我们把上述方法叫做构图法，若△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，请你在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出相应的△ABC．并求其面积．40．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝4，CD＝6，E为AB边上的点．（1）连接CE，DE，CE⊥DE．①如图1，若AE＝BC，求证：AD＝BE；②如图2，若AE＝BE，求证：CE平分∠BCD；（2）如图3，F是∠BCD的平分线CE上的点，连结BF，DF，BF＝DF，求CF的长．41．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO，AB边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以32个单位每秒的速度从点A向点O运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点B运动，设运动时间为t．（1）如图1，已知点A的坐标为（a，b），且满足（a﹣3）2﹣b|＝0，则A点坐标；（2）如图1，连接BP，OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形？若能，试求：①运动时间t；②此时四边形APDQ的面积；若不能，请说明理由．42．我们在探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边，与斜边满足关系式，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的东东把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助东东完成验证的过程．（2）如图，在每个小正方形边长为的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出的高，利用上面的结论，求高的长．。
勾股定理知识点总结
17.1勾股定理考点一：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 技巧归纳：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题考点二：勾股定理的证明一般是通过剪拼，借助面积进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不变。
图1是由4个全等三角形拼成的,得到一个以a+b 为边长的大正方形和以直角三角形斜边c 为边长的小正方形。
则大正方形的面积可表示为(a+b)2，又可表示为12ab ·4+c 2,所以(a+b)2=12ab ·4+c 2，整理得a 2+b 2=c 2在图2的另一种拼法中，以c 为边长的正方形的面积可表示成四个全等的直角三角形与边长为(b-a)的正方形的面积的和,所以12ab ·4+(b-a)2=c 2，整理得a 2+b 2=c 2.考点三：勾股定理的应用(1)勾股定理的应用条件勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。
(2)勾股定理的实际应用勾股定理反映了直角三角形3条边之间的关系,利用勾股定理,可以解决直角三角形的有关计算和证明.例如:已知直角三角形的两条直角边可求斜边;已知直角三角形的斜边和一条直角边，可求另一条直角边。
勾股定理还可以解决生产生活中的一些实际问题。
在解决问题的过程中，往往利用勾股定理列方程(组)，将实际问题转化成直角三角形的模型来解决。
(3)利用勾股定理作长为 n (n 为大于1的整数)的线段实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点，而若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难。
勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点
勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a b ，c 222a b c +=，， .运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． 本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（ ）A ．15B ．16C ．17D ．25【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，则BC 的长为（ ）a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA．6B C．24D．2【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB=∠CBD=90°，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，则CD长为（）cm．D．15A．5B．13C．1445【变式1-3】如图，∠C=∠ABD=90∘，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于．【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，CB=8．(1)求AB的长；(2)求AB边上的高CD是多少？【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（）A．52B．6C．132D．6013【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为．【变式2-3】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，则高CD=．【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（）A B．―1C．―1+D．―1―【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（）A B+1C1D【变式3-2】如图，OC=2,BC=1，BC⊥OC于点C，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（）A B．C―2D．2―【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A3B．3―C3D．3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且a+b=14，求小正方形的边长．【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（）A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接BD ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2．【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S 阴影=______；方法2：S 阴影=______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．8，12，13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．7，24，25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1,C．6,7,8D．2,3,4【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）A．9，12，15B．15，36，39C．10，24，26D．12，35，36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图，一块四边形的空地，∠B=90°，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植1m2草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，(1)求∠ABC的度数；(2)求格点四边形ABCD的面积．【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（ ）A ．13，14，512B ．1.5，2，2．5C ．5，15，20D ．9，40，41【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是( )A ．13，14，15B ．3，4，7C ．6，8，10D ．12【变式7-2】下列数组是勾股数的是（ ）A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（ ）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7m ．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE ，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC （假设BC 是直的线）的长为39m ；③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m ．(1)求此时风筝的铅直高度CE．(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（）cm．A．10B．15C．20D．25【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（）A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得AC=4m，BC=3m，则树刮断前的高度为m．【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等，(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？【典例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在边AB的C′点．(1)求DC′的长度；(2)求△ABD的面积．【变式9-1】如图，长方形ABCD中，AB=9，BC=6，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH ，则线段BE 的长为（ ）A ．53B ．4C ．52D ．5【变式9-2】如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm【变式9-3】如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB =3，AD =5，求EC 的长．【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 ．【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米B．25米C．30米D．15米【变式10-24cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9B．+6C．D．12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为cm．【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了m，却踩伤了花草．【变式10-7】如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．。
期末复习 《勾股定理》常考题与易错题精选(35题)(原卷版)
期末复习- 《勾股定理》常考题与易错题精选（35题）一．勾股定理（共11小题）1．如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）A．10B．13C．15D．262．如图，长方形ABCD的顶点A，B在数轴上，点A表示﹣1，AB＝3，AD＝1．若以点A为圆心，对角线AC长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为（ ）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝5，BC＝12，则S△ACD ：S△ABD为（ ）A．12：5B．12：13C．5：1 3D．13：54．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝2，且∠AOB＝30°，则OC的长度为（ ）A．B．C．4D．5．在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为（ ）A．5B．7C．5或7D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（ ）A．B．3C．D．27．已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b．（1）如果a＝7，b＝24，求c；（2）如果a＝12，c＝13，求b．8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°（1）若AB＝，AC＝，求BC2（2）若AB＝4，AC＝1，求AB边上高．9．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，∠BCA＝60°，AC＝2，DA＝1，CD＝3．求四边形ABCD 的面积．10．如图，每个小正方形的边长都为1．求出四边形ABCD的周长和面积．11．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35．（1）求AB的长；（2）求△ACB的面积．二．勾股定理的证明（共3小题）12．如图，直角三角形ACB，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．（1）求证：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求证：CD＝BE；②若设△ADC的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理．13．【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．14．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）三．勾股定理的逆定理（共8小题）15．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（ ）A．7，20，24B．，，C．3，4，5D．4，5，616．三角形的三边长分别为a、b、c，则下面四种情况中，不能判断此三角形为直角三角形的是（ ）A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝8，b＝15，c＝17C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝12，b＝15，c＝1817．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．18．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度数；（2）求四边形ABCD的面积．20．如图，在△ABC中，AD、BE分别为边BC、AC的中线，分别交BC、AC于点D、E．（1）若CD＝4，CE＝3，AB＝10，求证：∠C＝90°；（2）若∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，求AB的长．21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．22．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求∠ACB的度数．四．勾股数（共3小题）23．下列四组数中不是勾股数的是（ ）A．3，4，5B．2，3，4C．5，12，13D．8，15，1724．下列各组数中，是勾股数的为（ ）A．，2，B．8，15，17C．，D．32，42，5225．观察下列各组勾股数有哪些规律：3，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．请解答：（1）当a＝11时，求b，c的值；（2）判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由．五．勾股定理的应用（共10小题）26．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6m，BC＝8m，CD＝24m，AD＝26m．（1）求出空地ABCD的面积；（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？27．由四条线段AB、BC、CD、DA所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量∠ADC＝90°，CD＝3m、AD＝4m、BC＝12m、AB＝13m．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少元？28．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．29．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？30．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？31．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？32．一架云梯长25m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7m．（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？33．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C 到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．34．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？35．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的）。
勾股定理笔记要点
勾股定理基础知识汇总一、 已经学过的有关直角三角形中的边角关系BA1．两锐角之间的关系：90oA B ∠+∠=2.边与高的关系： ab ch =3.边与角之间的特殊关系：在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、 勾股定理在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即222a b c +=三、 勾股定理逆定理如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
四、 勾股数组1.如果三个正整数,,a b c 满足关系222a b c +=，那么,,a b c 叫做勾股数。
2.勾股数的性质如果,,a b c 是勾股数，k 为正整数，那么,,ka kb kc 也是勾股数思考：勾股数的定义中有何限制？3.常用勾股数：3,4,5；5, 12,13；7,24,25；8,15,17；4.勾股数的几种表达方式22(1).21,22,221n n n n n ++++（毕达哥拉斯）22(2)1,2,1n n n -+（柏拉图） 2222(3),2,m n mn m n -+（丢番图）请探究上述三个表达式，思考下列问题 （1） 你能从勾股数3,4,5；5, 12,13；7,24,25；归纳出毕达哥拉斯给出的表达式吗？这组勾股数有何特征？（2） 柏拉图公式与丢番图公式之间有何联系？与你已经学过的哪些公式有关联？五、勾股定理应用（1） 学习过勾股定理之后三角形的特殊关系①如果30oA ∠=，那么::2a b c =②如果45o A ∠=，那么::a b c = ③如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a+ b ，c + h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形④如果,,a b c 是直角三角形的三条直角边，那么以a 1，b 1，1h的长为边的三条线段能组成直角三角形（2） 藤绕树问题的解法我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．（3）长方体盒子对角线的长度公式GEB（4）蚂蚁最短路径问题公式GcGcBcGEB六、典型例题例1：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= ．【答案】122.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt Rt ABC CDE △≌△，90B D ∠=∠=，且B C D ，，三点共线．试证明90ACE ∠=；（3）伽菲尔德（Garfield ，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．4.「问题情境」勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言． 「定理表述」请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）：（3分）「尝试证明」以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a b 、为底，以a b +为高的直角梯形（如图2）．请你利用图2，验证勾股定理；（4分） 「知识拓展」利用图2中的直角梯形，我们可以证明a bc+< BC a b =+，AD = ．又在直角梯形ABCD 中有BC AD（填大小关系），即 ．a bc+∴<．（3分）（图1）（图2）A BC Dc baa ab b ccEa b b a 图1 abc c A E D C B b 图25.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．6.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边长分别为6,8,9时，△ABC为______c2；当△ABC三边长分别为6,8,11时，△ABC 为___________三角形．(4分)(2)猜想：当a2+b2______c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2______c2时，△ABC为钝角三角形．(4分) (3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．(4分)7.阅读材料：例：并求它的最小值．解：3x如图，建立平面直角坐标系，点()0P x，是x轴上一点，P与点()01A，的距离，可以看成点P与点()32B，的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA PB+的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则P A P A=′，因此，求PA PB+的最小值，只需求PA PB+′的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA PB+′的最小值为线段A B′的长度．为此，构造直角三角形A CB′，因为=3=3A C CB'，，所以A B=′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点()0P x，与点()11A，、点B___________的距离之和．（填写点B的坐标）（2）代数式_____________．。
勾股定理知识点总结
练习：
1.若正整数a,b,c是一组勾股数，则下列各组数中，一 定是勾股数的是（ C ）
A.a+1,b+1,c+1
B.a2,b2,c2
C.2a,2b,2c
D.a-1,b-1,c-1
2.下列几组数：①1，2，3；②30，40，50；③ 3，4，1. 55
其中是勾股数的有_____②____（只填序号）
三角形是___直__角____三角形（按角分类填写）
3. 原命题与逆命题
互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个
命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题 的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做 它的逆命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角 三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确 定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最长边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2， 则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
练习：
1.已知△ABC的三边长a，b，c满足：(a+c)(a-c)=b2, 则（ A ） A.a边所对的角是直角 B.b边所对的角是直角 C.c边所对的角是直角 D.△ABC不是直角三角形
1.直角三角形中，已知两条边,不知道是直角边还是斜 边时，应分类讨论。 2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句、画图， 避免遗漏另一种情况。
6.方程思想
例１.小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳 子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后， 发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
期末复习勾股定理基础知识点1.6
勾股定理知识总结 一．基础知识点：1：勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边，则22c a b =+，22b c a =-，22a cb =-）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
222a b c+=只是一种表现形式，不是唯一的，如若满足222acb+=，是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理的证明4：勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等勾股定理练习 一．填空题：1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。
2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。
3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。
4．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：__________。
勾股定理知识点及典型例题
勾股定理知识点及典型例题一、勾股定理：勾股定理定义为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
勾股定理的逆定理为：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
勾股数是满足a²+b²=c²的三个正整数a，b，c。
注意，若a，b，c为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数。
常见的勾股数有3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13.判断直角三角形的方法有两种：一是如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
二是如果有一个角为90°或两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。
具体判断方法是确定最大边（不妨设为c），若c=a+b，则为直角三角形；若a+bc，则为锐角三角形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
勾股定理的作用有四个：一是已知直角三角形的两边求第三边；二是已知直角三角形的一边，求另两边的关系；三是用于证明线段平方关系的问题；四是利用勾股定理，作出长为a，b，c的直角三角形。
二、勾股定理的证明：勾股定理的证明方法有很多种，其中常见的是拼图的方法。
具体证明过程如下：在直角三角形ABC中，以BC为底边，作等腰直角三角形ABD，连接AD，则AD=AB，BD=BC。
因此，AB²=AD²+BD²=AD²+BC²，即a²=b²+c²。
1.一个无盖的正方体盒子内有两只昆虫，昆虫甲在顶点C1处，昆虫乙在棱BB1的中点E处。
昆虫乙要在最短时间内捕捉到昆虫甲，可以沿着路径A→E→C1爬行。
勾股定理复习考点全经典
勾股定理复习考点（全)－经典————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ勾股定理复习考点(全)-经典一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么ａ2 + ｂ２= c2。
公式的变形：a2 = ｃ2- b2， b2= c２-a２。
2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c，且满足a2 + b２＝ｃ2,那么三角形AＢC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,要注意处理好如下几个要点:①已知的条件:某三角形的三条边的长度.②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方＋中间边的平方.③得到的结论:这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
３、勾股数满足a2 ＋b２＝ c2的三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。
常见勾股数有:（3,4，５)（５，12，1３) ( 6，8，10 ) （７，24，25 )( 8,１５，1７) (9，12,１5 ）4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：(1)阴影部分是正方形;(2）阴影部分是长方形;（３）阴影部分是半圆.S 3S 2S 1２． 如图,以Ｒt △ＡBC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、Ｓ３,则它们之间的关系是( )A. S １- S 2＝ S 3 Ｂ. S １+ S 2= S 3 C. S 2+S ３< S 1 D. S 2- Ｓ3=S １4、四边形ABCD 中，∠B ＝90°,AB=3,BC=4，ＣD ＝１２,AD=13,求四边形ABCD 的面积。
勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。
这就是勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。
大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。
通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。
3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。
2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。
3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。
比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。
（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。
（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。
四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)
AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
勾股定理知识点及复习题
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 - ab c^ 2ab c 22大正方形面积为 S =(a - b)2=a 22ab - b 2化简可证方法三：S 弟形=-(a b) (a b)2S 弟形1 1=2S ADE • S ABE =2 — ab — C 2，化简得证3 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角 这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明存在的数量关系，它只 三角形的三边就不具有 了所考察的对象是直角勾股定理的复习—、勾股定理的内容1、 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2亠b 2 =c 23、 证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是用拼图的方法验证勾股定理思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式推导出勾股定理4 1 ab (b -a)2=c 2，化简可证： a? - b =c 22方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.三角形4 .勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在AABC 中, /C=90，贝V c = . a 2■ b 2, b = ,c 2—a 2, a = .c 2-b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题(注：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜 边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线(通常作垂线)， 构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.)5、在数轴上作出表示、n (n 为正整数)的点.ab易错点：(1)已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论.(2)另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；使用勾股定理的前提是直角三角形；(2)在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；例3.若（二）、例题解析 考点一：已知两边求第三边 例1 .在 ABC 中，.C =90 . ⑴已知 AC =6， BC =8 .求AB 的长 ⑵已知AB =17, AC =15，求BC 的长例4:在Rt △ ABC 中, a , b , c 分别是三条边, 求边长c . 剖析：由于审题不仔细，容易忽视了/B=90°错把c 当成了斜边.温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用 c2=a2+b2例2.如图，由Rt △ ABQ 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm,则正方形M 与正方形N 的面积之和为 ______________ cm 2a 、b 、c, a 2 =144,b 2 =25,则c 2 二 ______________例5:已知一个Rt △ ABC 的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是 剖析：此题并没有告诉我们已知的边长 4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论.温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论.例6：已知a,b,c 为/ ABC 三边，a=6, b=8, b<c ，且c 为整数，则c= 剖析：此题并没有告诉你/ ABC 为直角三角形，因此不能乱用勾股定理.正解：由b<c ，结合三角形三边关系得 8vcv6+8，即8vcv14，又因c 为整数，故c 边 长为 9、10、11、12、13.温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中 是否为直角三角形.例2.已知两线段的长为6cm 和8cm 当第三条线段取 ___________________ 时，这三条线段能组 成一个直角三角形。
2023年勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边旳平方和等于斜边旳平方；表达措施：假如直角三角形旳两直角边分别为，，斜边为，那么a b c 222a b c +=２.勾股定理旳证明，常见旳是拼图旳措施 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变化②根据同一种图形旳面积不一样旳表达措施，列出等式，推导出勾股定理常见措施如下：措施一：，4EFGH S S S ∆+=正方形正方形A B C D 2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．措施二：四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和等于大正方形旳面积．四个直角三角形旳面积与小正方形面积旳和为 221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为因此222()2S a b a ab b =+=++222a b c +=措施三：，，化简得证1()()2S a b a b =+⋅+梯形2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形３.勾股定理旳合用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在旳数量关系，它只合用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察旳对象是直角三角形４.勾股定理旳应用：勾股定理可以协助我们处理直角三角形中旳边长旳计算或直角三角形中线段之间旳关系旳证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形旳前提条件，理解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（一般作垂线），构造直角三角形，以便对旳使用勾股定理进行求解．①已知直角三角形旳任意两边长，求第三边。
在中，，则，ABC ∆90C ∠=︒c =b =，a =②懂得直角三角形一边，可得此外两边之间旳数量关系cba HG FEDCBAbacbac cabcab a bccb aE D CBA③可运用勾股定理处理某些实际问题５.勾股定理旳逆定理 假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。
勾股定理复习
好相齐,则河水的深度为( A)
1、在△ABC中，AC=6，BC=8，则AB的长为（ ） （A）10 （B）2 （C）4 （D）无法确定
2、已知直角三角形的两边长分别为3、4，则第三边
长为
。
3、以线段a=0.6，b=1，C=0.8为边组成的三角形是不 是直角三角形？
比一比,看谁快!
1、在Rt△ABC中，∠C=900
①若a=6，b=8， 则c=_1_0_;
33
B
D
C
6
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。
A
17 15 17
88
B
D
C
16
2 、 如 图 6 ， 在 △ ABC 中 ， AD⊥BC ， AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的 周长和面积。
A
15
13
12
B 9 D5 C
考点4
勾BC，为了
安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB
为6米，问至少需要多长的梯子？
解：根据勾股定理得：
AC2= 62 + 82
=36+64
=100 即：AC=10（-10不合，舍去） 答：梯子至少长10米。
C
8m
A
6m
B
1、 印度有一数学家婆什迦罗曾提出过“荷花问题”
x米 (X+1)米
C 5米
B
例题：一个长5m的梯子AB，斜靠在墙上，这时
梯子顶端离地面4m，如果梯子的顶端下滑2m，
那么梯子的底端也外移2m吗？
解：在Rt△AOB中，由勾股定理， A
得：OB AB2 A02
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《勾股定理》专题复习
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为
a、b，斜边为c ，那么a2 + b2= c2。
公式的变形：a2 = c2- b2，b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
①已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方- 最小边的平方=中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。
常见勾股数有：
（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)
4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
3、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________。
考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为 ．
2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 。
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）
A．2倍B．4倍C．6倍D．8倍
5、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
n2-，2n（n>1），那么它的斜边长是（）
6、如果直角三角形的两直角边长分别为1
n2+
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、1
7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（）
A. 222
+= C. 222
c b a
+= D.以上都有可能
a c b
a b c
+= B. 222
8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）
A、242
c m
c m D、602
c m C、482
c m B、36 2
9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）
A、5
B、25
C、7
D、15
考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
1、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求①AD 的长；②ΔABC的面积．
考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）
A. 4，5，6
B. 2，3，4
C. 11，12，13
D. 8，15，17
2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）
A、2∶3∶4
B、3∶4∶6
C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
3、下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
5、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。
考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
1、某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．
考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米
B C
3、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树
的
树梢，至少飞了 米．
考点七：折叠问题
1、折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC 。
2、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少？
8米 2米
8米
第6题图
A
B
C
E
F
D
3、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置
上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
考点八：应用勾股定理解决勾股树问题
1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为
考点九：图形问题
1、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA•垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？
考点十：与展开图有关的计算
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，
求从顶点A 到顶点C ’的最短距离．
考点十一：网格问题
1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2、如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) A ． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
B
C
A
A
B
C
C
（图1） （图2） （图3）
4、
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列
要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3
； ②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．
甲乙。