数值计算方法考试一

数值计算方法考试一

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数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程043

=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。

2、迭代格式)2(2

1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(21

10)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则

a =( )，

b =（ ），

c =（ ）。

4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则

∑==

n

k k

x l

)(( )，∑==

n

k k j

k x l

x 0

)(( )，当2≥n 时=

++∑=)()3(20

4x l x x

k k n

k k ( )。

5、设1326)(2

47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。

7、

{}∞

=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中

1)(0=x ϕ，则⎰=1

04)(dx x x ϕ 。

8、给定方程组⎩

⎨

⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR

迭代法收敛。

9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]

0[111]

0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是

阶方法。

10、设

⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。

二、选择题（每题2分）

1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ

2、在牛顿-柯特斯求积公式：

⎰∑=-≈b

a

n

i i n i x f C a b dx x f 0

)()

()()(中，当系数)

(n i C 是负值时，

公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ，

3、有下列数表 x 0

0.5 1 1.5 2 2.5 f(x) -2 -1.75 -1 0.25 2

4.25

所确定的插值多项式的次数是（ ）。

（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次

4、若用二阶中点公式))

,(4,2(1n n n n n n y x f h

y h x hf y y +++=+求解初值问题

1)0(,2=-='y y y ，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（ ）。 (1)20≤

三、1、（8分）用最小二乘法求形如2

bx a y +=的经验公式拟合以下数据：

i x

19 25 30 38 i y

19.0

32.3

49.0

73.3

2、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx

e

x

⎰

-1

时，

(1) 试用余项估计其误差。

（2）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）

31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2)x x 11+

=对应迭代格式

n n x x 111+

=+；（3）13-=x x 对应迭代格式

131-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭

代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组f AX =，其中

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f

（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。

五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1

)0(1y y dx

dy

用改进的欧拉法求)1.0(y 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足

)()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p =

六、（下列2题任选一题，4分） 1、 数值积分公式形如

⎰'+'++=≈1

)1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf

（1） 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高；（2）设

]1,0[)(4

C x f ∈，推导