浙江高考历年真题之解析几何大题(理科)

浙江高考历年真题之解析几何大题

（教师版）

1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，长轴12A A 的长为4，左准线l 与

x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1)，P 为1l 上的动点，使12F PF ∠ 最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．

解析：(Ⅰ)设椭圆方程为()22

2210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，

则2111,a MA a A F a c c =-=- ，()2

222

224

a a a c c a a

b

c ⎧-=-⎪⎪⎪

=⎨⎪=+⎪⎪⎩

由题意,得 2,3,1a b c ∴=== ，22

1.43

x y +=故椭圆方程为

(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >，当00y >时，120F PF ∠=； 当00y ≠时，22102

F PF PF M π

<∠<∠<，∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可

设直线1PF 的斜率011y k m =

+，直线2PF 的斜率0

21

y k m =-， 002122222212002||tan 1121||1

y k k F PF k k m y m y m -∴∠=

=≤=

+-+-⋅- 2

01||m y -=时，12F PF ∠最大，(2,1,||1Q m m m ∴±->

2、（2006年）如图，椭圆b

y a x 2

22+＝1（a ＞b ＞0）与过点A （2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点

T ，且椭圆的离心率e=

2

3。 (Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为线段AF 2的中点，求证：∠ATM=∠AF 1T 。

解析：（Ⅰ）过 A 、B 的直线方程为

12

x

y += 因为由题意得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-==+1211

2222x y b y a x 有惟一解，

即0)4

1(22222

22

=-+-+

b a a x a x a b 有惟一解, 所以22

2

2

(44)0(0),a b a b ab ∆=+-=≠故442

2-+b a =0

又因为e 3

c =即222

34a b a -= ， 所以224a b = 从而得2

2

1

2,,2

a b == 故所求的椭圆方程为22212x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）得6c =

, 所以 1266((F F ，从而M （1+4

6，0）

由 ⎪⎩

⎪⎨⎧+-==+1

211222

2x y y x ，解得 121,x x == 因此1(1,)2T =

因为126tan 1-=

∠T AF ，又21

tan =∠TAM ，6

2tan =∠2TMF ，得 12

6

6

1

12162

tan -=

+

-=

∠ATM ，因此，T AF ATM 1∠=∠ 3、（2007年）如图，直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．

解析：（I ）设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．

由2

214

x y +=，解得21,221x b =±- 所以222121

||21112

S b x x b b b b =

-=-≤+-=，当且仅当22b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由22

14

y kx b

x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222

(41)8440k x kbx b +++-=

2216(41)k b ∆=-+ ①

｜AB 222

2

122

16(41)

1|1241

k b k x x k

k -++-=+=+ ② 又因为O 到AB 的距离2

21||

1S

d AB k =

=

=+ 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得4

2

4410k k -+=，解得，2

213,22

k b ==， 代入①式检验，△＞0，故直线AB 的方程是

262y x =

+或26

2y x =-或262y x =-+262y x =--． 4、（2008年）已知曲线C 是到点P （83,21-

）和到直线8

5

-=y 距离相等的点的轨迹。 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,MA l MB x ⊥⊥ 轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得

QA

QB

2

为常数。

解析：（Ⅰ）设()N x y ，为C 上的点，则2

2

13||28NP x y ⎛

⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

N 到直线5

8

y =-的距离为58y +．