正弦交流电的基本概念
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第五章正弦交流电
0 ωt i d(UmSinω t) u=C dt =ω CUmcosω t (a) (b) =ω CUmSin(ω t+90°)=ImSin(ω t+90°) · I 由上式得: （1）i与u是同频率的正弦量。 （2）i超前u相位角。 · U (c) （3）u与i的有效值（或最大值）之比称为容抗。 XC=U/I=Um/Im=1/ω C=1/2∏fC 若电压U和C电容确定时，当f较高时,容抗XC较少，电容中通过的电流较 大，说明电容对高频电流的阻碍作用较小；当f较低时，容抗XC较大，电 容中通过的电流较小，说明电容对低频电流的阻碍作用较大；当f=0,即直 流XC=∞,电容可视为开路. （4）电压u与电流i的波形如图（b） （5）电压与电流相量之比称为复容抗，即
+j
• （2）相量图求。
8v
· U1 10v · U
00
ψ =23° ψ =-30°
6v · U2
+1
第三节电阻元件的正弦交流电路
• 一、电阻的伏安特性： • u=Ri • 设电流i=ImSinω t, 代人得 • u=Ri=RImSinω t=UmSinω t • 则可得，u与i的伏安特性如下： （1）u是与i同频同相的正弦电压。 • （2）u与i的幅值或有效值间是线性关 • 系其比值是线性电阻R，即 • Um/Im=U/I=R • （3）u与i的波形如图（b） 。 • （4）u与i伏安关系的相量形式为: · • I=Iej0°=I∠0°=I, ˙ U=Uej0°=U∠O°=U · U U ej0° U • ·= = = R
第四节电感元件的正弦交流电路
• 一、电感的伏安特性： di • u=-e=L dt • 设电流为参考正弦量代人得
• • • • • • • •
第六讲 正弦交流电的基本概念及
I= √2
Im
U= √2
Um
E=
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Em
√2
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Байду номын сангаас
2.1.(1) 分析计算正弦交流电时是否也与直流电一样 是从研究它们的大小和方向着手？ 【答】不是，应从研究它们的频率、大小和相位着手。
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例2-2 已知某电网供电频率f为50Hz，试求角频率及周期T。 解：角频率为 =2f=2×50=100 =314rad/s
【答】（a）式中 ( a ) i
10 30
10 sin( t 30 ) A 是瞬时表达式，
是相量表达式，二者不等；（b）式中I为有效值， 5 45 A U 20 60 V 是相量，二者不等；（c）式中 是相量表达式， 是瞬时值表达式，二者不等。 )V 20 2 sin( t 60
2.2 正弦量的相量表示法
一、相量法
正弦交流电动势 e E m sin( t ) 的相量式为：
E E (cos j sin ) E
说明： （1）相量是表示正弦量的一种方式，相量不是时间 函数。
（2）相量是正弦量的复数表示形式，但不是正弦量。
（3）相量的加减只能是同频率正弦量的相加或相减
相位差: 同频率的正弦电量的初相位之差。
i = 100 sin（314 t +30O）A u = 311sin（314 t－60O）V
= u － i = －60O －30O = －90O
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交流电相位差分析
e1 = Em1sin（ ωt + 1 ） e2= Em2sin（ ωt + 2）
正弦交流电
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(2) 平均功率(有功功率)P
i
瞬时功率在一个周期内的平均值
+
u
1T
1T
P T 0 p dt T 0 u i dt
大写 1 T 1
p
_ p
R
T
0 2 UmIm(1 cos 2ω t)dt
P
1T
UI(1 cos2ω t)dt UI
T0
O
ωt
P U I I 2R U 2 单位:瓦（W）
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(3)相量的两种表示形式
相量式: U Uejψ U ψ U( cos ψ jsin ψ)
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
（4）只有同频率的正弦量才能画在同一相量图中。
(5)相量的书写方式 • 模用最大值表示 ，则用符号：
U m 、Im
• 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、I
i 10 sin ( ω t 60)？A
最大值
4 2 sin (ω t 30 )A？
瞬时值
4.已知：
U 100 15V
U 100V ？负号 ？ U 100 ej15 V
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2.3 电阻元件、电感元件与电容元件
2.3.1 电阻元件
1 电压与电流的关系
u Ri
2 电阻元件的参数
i 2π
O
ωt
T
周期 T：变化一周所需要的时间（s）
频率 f ：1s 内变化的周数（Hz）
f
=
1 T
角频率ω： 正弦量 1s 内变化的弧度数
ω = 2πf
=
2π T
正弦交流电的基本概念
例4.2 已知 u 220 2 sin(t 235 ) V
i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系
解
u 220 2 sin(t 235 ) 220 2 sin(t 125 ) V
所以电压u的初相角为 125 电流i的初相角为45
ui
u
i
125 45
。
电视载波频率为30MHz～300 MHz。
正弦交流电的基本概念
3. 初相
①θ称为正弦电流的初相。它是正弦量在t＝0时的相位，即
θ = (ωt + θ) t=0
②初相的正负与大小与计时起点的选择有关。通常在 的主值 范围内取值。如果离坐标原点最近的正弦量的最大值出现在时间起点之前， 则式中的 θ＞0；如果离坐标原点最近的正弦量的最大值出现在时间 起点之后，则式中的θ＜0。
170 0
表明电压u滞后于电流i170
注意：初相的取值范围为
正弦交流电的基本概念
例4.3 分别写出图4.6中各电流i1
i1 i2 的相位关系。
i
i1
i2
i2 的相位差，并说明
i i1
3
2
2
2
0
t
i2
0
2
3
2 t
2
(a)
(b)
i
i1
i2
ii1i2来自 2 t22(c)
3 2
t
2
2
3 4
(d)
2. 角频率
①正弦量的相位 随时间变化的角度 (t+ ) 称为正弦量的相位。
②角频率 角频率 d (t ) ，即 是相位随时间的变化率。
dt
反映了正弦量变化的快慢程度，其单位为弧度／秒(rad／s)。
正弦交流电的基本概念、相量表示法
在复平面中，以实轴为电阻轴，虚轴为感抗和容抗之和，将阻抗的相量标在图上，形成阻抗相量 图。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
04
交流电路的分析
交流电路的元件
01
02
03
电阻元件
在交流电路中，电阻元件 的阻抗不随时间变化，其 值由电阻的物理性质决定。
电感元件
在交流电路中，电感元件 的感抗随频率变化，其值 由电感的物理性质决定。
电容元件
幅角
相量与实轴正方向的夹角，表示正弦交流电的 相位。
相量运算
加标法题
将•两个文同字频内率容的相量 • 文字内容
按•平行文四字边内形容法则进 • 文行字合内成容。
减法
将一个相量减去另一 个相量，等于将一个 相量的起点平移到另 一个相量的终点后再
进行加法运算。
数乘
一个标量与一个相量 的乘积，表示该标量 乘以相量的模长和幅
表示发电机或变压器的输出功率与输入功 率的比值，反映了设备本身的损耗。
THANKS
角。
比例关系
对于两个同频率的相 量，其比值等于相应 正弦量的比值，即电 压与电流的比值为电 阻，电压与感抗的比 值为电感，电流与容 抗的比值为电容。
03
正弦交流电的相量表示
电压的相量表示
电压的相量表示法
将正弦交流电压的幅度和初相角用复数表示，即$U = U_{m}angletheta$。其 中，$U_{m}$表示电压的幅度，$theta$表示电压的初相角。
电压相量图
在复平面中，以实轴为幅度轴，虚轴为相位轴，将电压的相量标在图上，形成 电压相量图。
电流的相量表示
电流的相量表示法
将正弦交流电流的幅度和初相角用复 数表示，即$I = I_{m}angletheta$。 其中，$I_{m}$表示电流的幅度， $theta$表示电流的初相角。
正弦交流电的基本概念
正弦交流电的基本概念
正弦交流电是一种周期性变化的电信号，其波形呈现出正弦曲线。
以下是正弦交流电的几个基本概念：
1. 周期（Period）：正弦交流电的周期是指一个完整波形所经过的时间，在物理上通常用秒（s）表示。
周期记作 T。
2. 频率（Frequency）：频率是指单位时间内正弦交流电波形重复的次数，用赫兹（Hz）表示。
频率与周期的倒数成反比关系，即频率 f = 1 / T。
3. 幅值 （Amplitude）：正弦交流电的幅值是指波形的最大偏移量或振幅，用伏特 （V）表示。
幅值决定了波形的峰值大小。
4. 相位（Phase）：正弦交流电的相位表示波形在一个周期内的位置。
相位可以用角度（°）或弧度（rad）来度量，并相对于参考点进行测量。
5. 波形表示：正弦交流电的波形通常用函数表达式或图形表示。
函数表达式可以写为 V(t) = Vm * sin(ωt + φ)，其中 V(t) 是时刻 t 的电压值，Vm 是幅值，ω 是角频率，t 是时间，φ 是相位差。
6. 相位差 （Phase Difference）：如果存在不同频率或相位的两个正弦交流电信号，它们之间的相位差表示波形的时间偏移量。
相位差可以用角度或时间表示，常常用来描述电路中的相位关系和信号延迟。
正弦交流电是电力系统中最常见的电信号类型，广泛应用于各种电子设备、电路和电力传输。
掌握这些基本概念有助于理解和分析交流电路行为，并在实际应用中进行电气工程设计和故障排除。
第3章 正弦交流电路
3.3.1 单一参数的正弦交流电路
1.纯电阻电路 (1) 电压与电流的关系
+
u iR
u
i I m sin t
_
u iR I m R sin t U m sin t
i R
对于正弦交流电路中的电阻电路(又称纯电阻 电路)，一般结论为：
1)电压、电流均为同频率的正弦量。
2)电压与电流初相位相同，即两者同相。
y
i
ω
Im
i1
ωt1 φ
Im
i0
90
o
x
o
ωt1
ωt
φ
t t1 i1 I m sin(t 1)
对于一个正弦量可以找到一个与其对应的旋转矢量，反之， 一个旋转矢量也都有一个对应的正弦量。
3.2.2 复数及复数的运算 1、复数
A a jb
A r cos r sin
e j cos j sin
作相量图时要注意： 只有同频率的正弦量才 能画在一个相量图上，不 同频率的正弦量不能画在 一个相量图上。
+j
U
Φu
o
Φi
+1
I
3.3正弦交流电路的简单分析与运算
电阻元件、电感元件与电容元件都是组成 电路模型的理想元件。
所谓理想元件，就是突出元件的主要电磁 性质，而忽略其次要因素。如电阻元件具 有消耗电能的性质（电阻性），其它的电 磁性质如电感性、电容性等忽略不计。。
f = 1/T T = 1/f
i
角频率是指交流电在1s内变化的电 Im
角度。正弦量每经过一个周期T，
o
对应的角度变化了2π弧度，所以
φ
ωt
T
2f 2
正弦交流电的基本概念
在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但其初相位不 一定相同，设其表达式分别为：
u Um sin（t u） i Im sin（t i）
两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差，用 表示，即
（t u）（t i） u i
正
弦
交
流
电
的 基 本 概
相 位 和 初
念相
位
1.3
第7页
正
弦
交瞬
流时
电值
的 基 本 概
、 幅 值 和 有
念效
值
1.2
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示。瞬时值中的最 大值称为幅值或最大值，它是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，用 大写字母加下标m表示。
为了反映交流电在能量转换方面的实际效果，工程上常采用有效值来 表示正弦量的大小。有效值是根据电流的热效应来规定的，一个交流电流 i和一个直流电流I分别通过相同的电阻R，如果在相同的时间T内，它们产 生的热量相等，那么这个交流电流i 的有效值就等于这个直流电流I的大小。 有效值都用大写字母表示，根据上述定义，有：
若两正弦量的相位差 ＝π/2，则称两者正交，如下（左）图所示。 若两正弦量的相位差 ＝π，则称两者反相，如（右）图所示。
电 工 电 子 技 术
U
Um 2
E
Em
2
正
弦
交
流
电
的 基 本 概
相 位 和 初
念相
位
1.3
第9页
ωt＋φi称为相位角或相位，它反映了正弦量的变化进程。t＝0时的相位 称为初相位角或初相位。初相位与计时起点的选择有关，计时起点不同，初 相位就不同，正弦量的初始状态也就不同。计时起点可以根据需要任意选择， 通常规定初相位在其主值范围内取值，即 |φi|≤π
u Um sin（t u） i Im sin（t i）
两个同频率正弦量的相位之差或初相位之差称为相位差，用 表示，即
（t u）（t i） u i
正
弦
交
流
电
的 基 本 概
相 位 和 初
念相
位
1.3
第7页
正
弦
交瞬
流时
电值
的 基 本 概
、 幅 值 和 有
念效
值
1.2
正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示。瞬时值中的最 大值称为幅值或最大值，它是正弦量在整个振荡过程中达到的最大值，用 大写字母加下标m表示。
为了反映交流电在能量转换方面的实际效果，工程上常采用有效值来 表示正弦量的大小。有效值是根据电流的热效应来规定的，一个交流电流 i和一个直流电流I分别通过相同的电阻R，如果在相同的时间T内，它们产 生的热量相等，那么这个交流电流i 的有效值就等于这个直流电流I的大小。 有效值都用大写字母表示，根据上述定义，有：
若两正弦量的相位差 ＝π/2，则称两者正交，如下（左）图所示。 若两正弦量的相位差 ＝π，则称两者反相，如（右）图所示。
电 工 电 子 技 术
U
Um 2
E
Em
2
正
弦
交
流
电
的 基 本 概
相 位 和 初
念相
位
1.3
第9页
ωt＋φi称为相位角或相位，它反映了正弦量的变化进程。t＝0时的相位 称为初相位角或初相位。初相位与计时起点的选择有关，计时起点不同，初 相位就不同，正弦量的初始状态也就不同。计时起点可以根据需要任意选择， 通常规定初相位在其主值范围内取值，即 |φi|≤π
第二章正弦交流电路
第2章 正弦交流电路判断题正弦交流电的基本概念1．若电路的电压为)30sin(︒+=t U u m ω，电流为)45sin(︒-=t I i m ω， 则u 超前i的相位角为75°。
[ ]答案:V2．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90100sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= [ ] 答案:V3．若电路的电压为u ＝I m sin(ωt+30°)，电流为i =I m sin(ωt-45°)，则u 超前i 的相位角为15°。
[ ]答案:X4．正弦量的三要素是指其最大值、角频率和相位。
[ ]答案:X5．正弦量可以用相量表示，因此可以说，相量等于正弦量。
[ ]答案:X6．任何交流电流的最大值都是有效值的2倍。
[ ]答案:X7．正弦电路中，相量不仅表示正弦量，而且等于正弦量。
[ ]答案:X正弦量的相量表示法1．如有电流t i 100sin 261=Ａ，)90200sin(282︒+=t i Ａ，则电流相量分别是︒=0/61I &Ａ，︒=90/82I &Ａ。
所以二者的电流相量和为：21I I I &&&+= 。
[ ] 答案:X单一参数的正弦交流电路1．电容元件的容抗是电容电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X2．在电感元件的电路中，电压相位超前于电流90º，所以电路中总是先有电压后有电流。
[ ]答案:X3．电感元件的感抗是电感电压与电流的瞬时值之比。
[ ]答案:X4．电感元件的感抗是电感电压与电流的有效值之比。
[ ]答案:V5．直流电路中，电容元件的容抗为零，相当于短路。
[ ]答案:X6．直流电路中，电感元件的感抗为无限大，相当于开路。
[ ]答案:X7．直流电路中，电容元件的容抗为无限大，相当于开路。
正弦交流电基础知识
3.1.3 有效值
正弦量是一个随时间按正弦规律作 周期性变化的物理量，可以用瞬时值和 最大值来表示。但瞬时值描述较繁琐， 最大值又只能反映瞬间情况，不能确切 表达它的效果，为此工程上引入一个新 概念，即有效值。下面从等效能量概念 来定义有效值。
有效值：如果交流电通过一个电阻时，在 一个周期内产生的热量与某直流电通过同 一个电阻在同样的时间内产生的热量相等， 就将这一直流电的数值定义为交流电的电 流有效值。 I
交流电相比于直流电有如下优点。
（1）正弦交流电在电力供电系统中广泛应 用， （2）交流电可通过变压器任意变换电流、电 压，便于输送、分配和使用。 （3）交流发电机和电动机比直流的简单、经 济和耐用。
交流电的三要素
最大值Im，周期T（或频率ω），初相位Ψ。
正弦交流电的波形图
ω称为正弦电流的角频率。它表示正 弦量的对应的角度随时间变化的速度，或 者说，表示单位时间增加的角度。主单位 是弧度每秒（即rad／s）。正弦量变化的 快慢还可以用周期（T）和频率（f）表示。 周期是指正弦量变化一个循环所需的 时间，用T表示，它的主单位是秒（s）。 频率是指正弦量每单位时间内变化的循环 次数，用f表示，它的主单位是赫兹 （Hz）。频率和周期的关系是互为倒数 。
I=
mபைடு நூலகம்
2
= 0.707 I m
同样，还有电压有效值。
工程上凡是谈到周期电流、电压或电动 势的量值时，若无特殊说明，都是指有 效值而言。在交流测量仪表上指示的电 流或电压也都是有效值。但在分析各种 电子器件的击穿电压或电气设备的绝缘 耐压时，要按最大值考虑。
它是正弦量在计时起点t0时刻的相角即t它又反映正弦量的初始值即t0时刻的值如果能求出正弦电流的振幅频率和初相位根据给定的参考方向就可以完全确定该正弦电流
正弦交流电的基本概念
UN IN
=
220 2.27
= 96.9
W = PN t = （500×1）W·h= 0.5 kW·h
18
第3章 交流电路
二、纯电感电路
1.电压、电流 的关系 (1) 频率关系: 同频率的正弦量;
(2) 大小关系: Um =ωL Im
U =ωL I
感抗 : XL =ωL = U / I U = XL I
+i
+
R
uR
+
uL
uL
+
C
uC
│Z│
X
UX = UL + UC 阻抗三角形
U =│Z│I
UC
R
UR I
0＜ ＜ 90°
UR = R I
感性电路
UX = X I = (XL XＣ) I
27
第3章 交流电路
UL UC UC
U UR
＝0
电路呈阻性
UL
I UC UL
UR
I
UX= UL+ UC
U
90＜ ＜90
(3) 相位关系: ψu = ψi + 90°
ui
(4) 相量关系：U = j XL I
(5) 波形图:
O
ωt
90°
(6) 相量图：如 ： I = I 0 则：U = U 90
19
U I
第3章 交流电路
2.功率关系
ui
(1) 瞬时功率
p=ui
= Umcosωt Im sinωt
O
ωt
= U I sin 2ωt
R2 + (XL XC )2 = R2 + XL2
汽车电工电子技术--正弦交流电
p i u 2UI sin t cost UI sin 2t
i uL
p i u UI sin 2t
u
i
t
i
iii源自u uuuP可逆的 能量转换
过程
+
P <0
+ P <0
t
P >0
P >0
储存 释放 能量 能量
2. 平均功率 P （有功功率）
p i u UI sin 2t
P 1
p
2. p 随时间变化
3. p与 u2、i2 成比例
ωt
2. 平均功率（有功功率）P：一个周期内的平均值
i
i 2 I sin t
u
R
u 2 U sin t
P 1
T p dt 1
T
u i dt
T0
T0
大写 1 T 2UI sin2 t dt T0
P UI
1
T
UI(1 cos2 t)dt UI
电容的储能
电容是一种储能元件, 储存的电场能量为：
Wc
t
0
uidt
0ucudu
1 cu2 2
1.当电容元件中的电压增大时，电场能量增大；
此过程中从电源中取能量，即电容处于充电状
态。式中的
1 c u2 2
就是电场能量。
2.当电压减小时，电容处于放电状态，即电容 元件向电源放还能量。
四、单一参数的正弦交流电路
三.电容电路
i
u
C
基本关系式:
i C du dt
设： u 2U sin t
则： i C du 2UCcost
dt
2U C sin(t 90 )
第四章： 正弦交流电路
= 2U sin (t+90)
i
【小结】电感两端电压和电流关系：
O
ωt
① 两者频率相同；
90
② 电压超前电流90，即相位差为：
= u i 90
③ 大小关系：U=I·L=I· XL ； XL为感抗；
20
i(t)= 2I sin t
u(t)= 2IL sin (t+90)
2. 感抗：Ω
∵ 有效值：U =I L
u
i
o
ωt
i
i
i
i
+
--
+
u uuu
-
++-
p(t)
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
∵ 储存能量和释放能量交替
进行 ∴ 电感L是储能元件。
【结论】纯电感不消耗能量， 只和电源进行能量交换（能量 的吞吐)。
ωt
储能 释能 储能 释能
24
(3)无功功率Q：
用以衡量电感电路中与电源交换能量的瞬时最大值即振幅 称作~。即：
正确写出幅、角的值。如：
+j
B 4
A
A 3 j4
第一象限
4 A 5 arctan
3
-3 0 C -4
B 3 j4
第二象限
4 B 5(180 arctan )
+1
3
3
C 3 j4
第三象限
4 C 5(arctan 180)
3
D
D 3 j4
第四象限
4 D 5( arctan )
3
式中的j 称为旋转因子，复数乘以j相当于在复平面上逆
正弦交流电的基本概念
家用电器中的正弦交流电
家用电器如电灯、电视、空调等都依赖于正弦交流电来正常 工作。正弦交流电的特性使得家用电器能够实现稳定的运行 ，并提供了良好的用户体验。
家用电器的能耗和性能与正弦交流电的质量密切相关。电压 和频率的稳定对于家用电器的正常运行至关重要，而正弦交 流电的特性恰好满足了这些要求。
工业生产中的正弦交流电
大小
正弦交流电的大小不断变化，而直流电的大小保持恒定。
应用
正弦交流电主要用于电力系统、电子设备和电机控制等领域，而直流电主要用于电池供电、信号 传输和电子仪器等领域。
02
正弦交流电的产生
交流发电机的工作原理
交流发电机的基本结构
交流发电机通常由转子、定子和两个电刷组成。转子绕组 通入励磁电流后产生磁场，当转子旋转时，磁场随之旋转。
瞬时值的概念及其计算方法
瞬时值是指正弦交流电在某一时刻的数值。
瞬时值的计算方法是将正弦交流电的角频率、幅度和初相位代入正弦函数表达式中 得到。
瞬时值能够准确地反映正弦交流电在每个时刻的实际情况，因此在分析电路的瞬态 响应和波形失真等问题时，瞬时值具有重要的意义。
06
正弦交流电在日常生活和工 业中的应用
正弦交流电的基本概念
$number {01}
目 录
• 正弦交流电的概述 • 正弦交流电的产生 • 正弦交流电的参数 • 正弦交流电的波形 • 正弦交流电的分析方法 • 正弦交流电在日常生活和工业中
的应用
01
正弦交流电的概述
定义与特性
定义
正弦交流电是指电流随时间按正 弦函数规律变化的电能。
特性
正弦交流电具有周期性变化、方 向不断改变、大小不断改变等特 性。
线性动态电路等。
电工基础5.1 正弦交流电的基本概念
u Um cos(t 60) 当t=0时，所以 u(0) Um cos(60)
（１） Im 为电流i的振幅 （２）Ｕｍ为电压u的振幅 3.周期，频率和角频率 （1）周期
正弦量变化一次所用的时间称为周期，用T表 示单位为秒（s）。
（2）频率
正弦量单位时间内变化的周期数称为频率。用f表 示，单位为赫兹（Hz）. ①周期与频率的关系 f 1 T
②频率的单位
1kHZ 103 HZ
按能量等效的概念定义，以电流为例。设两个相同
电阻R，分别通过正弦电流 i 和直流电流I。
1 有效值
（1）正弦电流 I 通过R在一个周期T里消耗的能量为
Q1 T pdt T i2Rdt R T i2dt
0
0
0
（2）直流电I通过R在相同时间T内产生的能量为
Q2 PT I 2RT
图4-3 例4-1图
解:(1)有波形图可知，T 16ms
2
T
2
16103
125rad / s
f
1 T
16
1 103
62.5HZ
或
2f 2 62.5 125rad / s
由波形图可知，从时间起点到离原点最近的波
形最大值所需的时间为2ms。则初相
随时间按正弦规律变化的交流电流或电压称为 正弦电流或电压。 （2）正弦量
正弦电压、电流统称为正弦量或正弦交流电
二 正弦量的三要素
1.正弦电流i Im cos(t i )
Im ， 和 i分别称为振幅，角频率和
初相位。此三个量称为正弦量的三要素。波形 如图4-2所示。
2. 振幅
正弦量在一个周期内的最大值称为振幅。用 Am 表示
正弦交流电的基本概念
1.3 正弦量的相量表示法
正弦交流电用三角函数式及其波形图表示很 直观， 但不便于计算。 对电路进行分析与计 算时经常采用相量表示法， 即用复数式与相 量图来表示正弦交流电。
• 相量
求解一个正弦量必须先求得它的三要素， 但在分析 正弦交流电路时， 由于电路中所有的电压、 电流都是 同一频率的正弦量， 而且它们的频率与正弦电源的频 率相同， 因此我们只要分析另外两个要素——幅值
i
i2 i1
O
2
1
2
t
图2-3 两个同频率正弦量之间的相位差
•
两个同频率的正弦量， 可能相位和初相
角不同， 但它们之间的相位差不变。 在研究
多个同频率正弦量之间的关系时， 可以选取
其中某一正弦量作为参考正弦量， 令其初相
为零， 其他各正弦量的初相即为该正弦量与
参考正弦量的相位差。
• 有效值
周期电压和电流的瞬时值是随时间变化的， 在实际 工作中， 人们更关心它作功的实际效果。 要反映它的 实际效果， 用最大值或平均值都不合适， 因为最大值 是瞬时值， 而正弦波在一个周期内平均值是零。 在电 工技术中， 常用有效值来衡量周期电压和电流的大小。 电流、 电压的有效值分别用大写字母I、 U表示。
由上式可知，周期电流的有效值等于 电流瞬时值的平方在一个周期内的平均 值再开方， 因此， 有效值又称为均方根 值。
同理可得周期电压U的有效值为
U 1 T u2 (t)dt
T0
• 正弦交流电流i(t)=Im sin(ωt+φi)的有效值为
I
1 T i2(t)dt T0
1 T
T 0
I
2 m
sin2
(t
i
《电工电子技术》——正弦交流电路
dt
dt
Im sin(wt 90)
1 电压与电流之间的频率关系 电容元件两端的端电压与电流是同频率的正弦电量。
2 电压与电流之间的数值关系
最大值
Im
wCU m
Um 1 /(wC )
有效值
I wCU U U 1/(wC) X c
X c 等于电压有效值与电流有效值之比，单位为欧[姆]，称为容 抗。
计算过程请参考书本，相量图为：
2.3单一参数交流电路
2.3.1单一电阻元件正弦交流电路 一、单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间的关系
i
u
R
i u U m sin(wt u )
R
R
2U R
sin(wt
u
)
单一电阻元件正弦交流电路电压与电流之间有如下几种关系：
1 电压与电流之间的频率关系 在单一电阻电路中，通过电阻元件的电流与其两端电压是 同频率的正弦电量。
I Ie j i I i
I 为有效值
二、相量图
在复数平面上，用几何图形表示正弦量的相量的图，称为相 量图。
已知正弦电压： 相应的电压相量为
u 220 2 sin(wt 45)
U 22045
已知正弦电流： 相应的电流相量为：
i 8 2 sin(wt 30)
字母 T 表示，单位是秒（s）。正弦量在1秒时间内重复变化的
周期数称为频率，用小写字母 f 表示，单位为赫兹（Hz），如 果1秒钟内变化一个周期，频率是1Hz。周期与频率互为倒数关 系：
f 1 T
在我国，发电厂提供的交流电的频率为50Hz，其周期 T 0.02， 这一频率称为工业标准频率，也称工频。
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U Um 2 0.707 Um
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707E m
2.周期、频率、角频率
（1）周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期， 用字母 T 表示，单位为秒：s 。显然正弦交流电流或电压相 邻的两个最大值 ( 或相邻的两个最小值 ) 之间的时间间隔即 为周期，由三角函数知识可知
正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、 电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一 时刻 t 的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0)
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 例如已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 100 Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为 i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A
3.相位、初相位、相位差 任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 )， 本章只涉及两个同频率正弦量的相位差 (与时间 t 无关)。设 第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初相为 02 ， 则这两个正弦量的相位差为 12 = 01周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即 f 1
T
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的
次数，即表征交流电交替变化的速率 ( 快慢 ) 。频率的国际单 位制是：赫兹(Hz) 。角频率与频率之间的关系为
= 2 f
例如正弦交流电流 i = 2sin( t－30) A 的有效值 I = 2×0.707 = 1.414 A，如果通过 R = 10 的电阻时，在 一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为 P = I2R = 20 W，即与 I = 1.414 A 的直流电流通过该电阻 时产生相同的电功率。 我国工业和民用交流电源的有效值为 220 V、频率为 50 Hz，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。 因为正弦交流电的有效值与最大值 (振幅值)之间有确 定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可 以合在一起叫做正弦交流电的三要素。
图 7-1 相位差的同相与反相波形
例如已知 u = 311sin(314t 30) V，i = 5sin(314t 60) A， 则 u 与 I 的相位差为 ui = (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞后 90，或 I 比 u 超前90。
交流电的表示法
作业：书P82计算题1、2、3
i ( t ) = Imsin( t i0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0) 式中，Im、Um、Em 分别叫做交流电流、电压、电动势的振幅 (也叫做峰值或最大值 )，电流的单位为安培 (A)，电压和电动 势的单位为伏特(V)； 叫做交流电的角频率，单位为弧度/秒 (rad/s)，它表征正弦交流电流每秒内变化的电角度； i0、 u0、 e0 分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相，单位为弧 度 rad 或度( )，它表示初始时刻(t = 0 时)正弦交流电所处 的电角度。 振幅、角频率、初相这三个参数叫做正弦交流电的三要素。 任何正弦量都具备三要素。
2．有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长 度大小)、仍用初相角做为相量的幅角，例如
u 220 2 sin( t 53) V，i 0.41 2 sin t A
则它们的有效值相量图如图 7-4 所示。
图 7-4 正弦量的有效值相量图举例
小结：
1.正弦交流电的三要素； 2.正弦交流电的表示方法。
并规定
|12| ≤ 180
或
|12| ≤
在讨论两个正弦量的相位关系时： (1)当 12 > 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量越 前(或超前) 12 ； (2)当 12 < 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量滞 后(或落后) | 12 | ； (3)当 12 = 0 时，称第一个正弦量与第二个正弦量同 相如图 7-1(a)； (4)当 12 = 或 180 时，称第一个正弦量与第二 个正弦量反相如图 7-1 (b)； (5)当 12 = 或 90 时，称第一个正弦量与第二 2 个正弦量正交。
二、波形图表示法
图 7-2 正弦交流电的波形图举例
三、相量图表示法
正弦量可以用最大值相量或有效值相量表示，但通常用 有效值相量表示。
1.振幅相量表示法
最大值相量表示法是用正 弦量的最大值做为相量的模 ( 大 小 ) 、用初相角做为相量的幅角， 例如有三个正弦量为 e = 60 sin( t＋60 °) V u = 30 sin( t＋30 °) V i = 5 sin( t－30°) A 图 7-3 正弦量的振幅相量图举例 则它们的最大值相量图如图 7-3 所示。
1.(最大值)有效值
表征正弦交流电变化过程中所能达到的最大幅值。 标注：Im（Um）——最大值 在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而 规定一个能够表征其大小的特定值——有效值 设正弦交流电流 i( t ) 在一个周期 T 时间内，使一电 阻R 消耗的电能为 QR ，另有一相应的直流电流 I 在时间 T 内也使该电阻 R 消耗相同的电能，即 QR = I2RT 。
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与 I)是等效 的，则该直流电流 I 的数值可以表示交流电流 i(t) 的大小，于 是把这一特定的数值 I 称为交流电流的有效值。理论与实验均 可证明，正弦交流电流 i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 0.707 倍，即 Im I = 0.707 I m 2 正弦交流电压的有效值为
正弦交流电动势的有效值为
E Em 2 0.707E m
2.周期、频率、角频率
（1）周期
正弦交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期， 用字母 T 表示，单位为秒：s 。显然正弦交流电流或电压相 邻的两个最大值 ( 或相邻的两个最小值 ) 之间的时间间隔即 为周期，由三角函数知识可知
正弦交流电的基本概念
一、交流电的产生
如果电流的大小及方向都随时间做周期性变化，并且 在一个周期内的平均值为零的电流称为交流电。
二、正弦交流电
大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、 电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势，在某一 时刻 t 的瞬时值可用三角函数式(解析式)来表示，即
i ( t ) = Imsin( t i 0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0)
一、解析式表示法 二、波形图表示法 三、相量图表示法
一、解析式表示法
i(t) = Imsin( t i0) u(t) = Umsin( t u0) e(t) = Emsin( t e0) 例如已知某正弦交流电流的最大值是 2 A，频率为 100 Hz， 设初相位为 60 ，则该电流的瞬时表达式为 i(t) = Imsin( t i0) = 2sin(2f t 60) = 2sin(628t 60)A
3.相位、初相位、相位差 任意一个正弦量 y = Asin( t 0 )的相位为( t 0 )， 本章只涉及两个同频率正弦量的相位差 (与时间 t 无关)。设 第一个正弦量的初相为 01 ，第二个正弦量的初相为 02 ， 则这两个正弦量的相位差为 12 = 01周期的倒数叫做频率(用符号 f 表示)，即 f 1
T
它表示正弦交流电流在单位时间内作周期性循环变化的
次数，即表征交流电交替变化的速率 ( 快慢 ) 。频率的国际单 位制是：赫兹(Hz) 。角频率与频率之间的关系为
= 2 f
例如正弦交流电流 i = 2sin( t－30) A 的有效值 I = 2×0.707 = 1.414 A，如果通过 R = 10 的电阻时，在 一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为 P = I2R = 20 W，即与 I = 1.414 A 的直流电流通过该电阻 时产生相同的电功率。 我国工业和民用交流电源的有效值为 220 V、频率为 50 Hz，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。 因为正弦交流电的有效值与最大值 (振幅值)之间有确 定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可 以合在一起叫做正弦交流电的三要素。
图 7-1 相位差的同相与反相波形
例如已知 u = 311sin(314t 30) V，i = 5sin(314t 60) A， 则 u 与 I 的相位差为 ui = (30) ( 60) = 90，即 u 比 I 滞后 90，或 I 比 u 超前90。
交流电的表示法
作业：书P82计算题1、2、3
i ( t ) = Imsin( t i0) u ( t ) = Umsin( t u0) e ( t ) = Emsin( t e0) 式中，Im、Um、Em 分别叫做交流电流、电压、电动势的振幅 (也叫做峰值或最大值 )，电流的单位为安培 (A)，电压和电动 势的单位为伏特(V)； 叫做交流电的角频率，单位为弧度/秒 (rad/s)，它表征正弦交流电流每秒内变化的电角度； i0、 u0、 e0 分别叫做电流、电压、电动势的初相位或初相，单位为弧 度 rad 或度( )，它表示初始时刻(t = 0 时)正弦交流电所处 的电角度。 振幅、角频率、初相这三个参数叫做正弦交流电的三要素。 任何正弦量都具备三要素。
2．有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长 度大小)、仍用初相角做为相量的幅角，例如
u 220 2 sin( t 53) V，i 0.41 2 sin t A
则它们的有效值相量图如图 7-4 所示。
图 7-4 正弦量的有效值相量图举例
小结：
1.正弦交流电的三要素； 2.正弦交流电的表示方法。
并规定
|12| ≤ 180
或
|12| ≤
在讨论两个正弦量的相位关系时： (1)当 12 > 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量越 前(或超前) 12 ； (2)当 12 < 0 时，称第一个正弦量比第二个正弦量滞 后(或落后) | 12 | ； (3)当 12 = 0 时，称第一个正弦量与第二个正弦量同 相如图 7-1(a)； (4)当 12 = 或 180 时，称第一个正弦量与第二 个正弦量反相如图 7-1 (b)； (5)当 12 = 或 90 时，称第一个正弦量与第二 2 个正弦量正交。
二、波形图表示法
图 7-2 正弦交流电的波形图举例
三、相量图表示法
正弦量可以用最大值相量或有效值相量表示，但通常用 有效值相量表示。
1.振幅相量表示法
最大值相量表示法是用正 弦量的最大值做为相量的模 ( 大 小 ) 、用初相角做为相量的幅角， 例如有三个正弦量为 e = 60 sin( t＋60 °) V u = 30 sin( t＋30 °) V i = 5 sin( t－30°) A 图 7-3 正弦量的振幅相量图举例 则它们的最大值相量图如图 7-3 所示。
1.(最大值)有效值
表征正弦交流电变化过程中所能达到的最大幅值。 标注：Im（Um）——最大值 在电工技术中，有时并不需要知道交流电的瞬时值，而 规定一个能够表征其大小的特定值——有效值 设正弦交流电流 i( t ) 在一个周期 T 时间内，使一电 阻R 消耗的电能为 QR ，另有一相应的直流电流 I 在时间 T 内也使该电阻 R 消耗相同的电能，即 QR = I2RT 。
就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与 I)是等效 的，则该直流电流 I 的数值可以表示交流电流 i(t) 的大小，于 是把这一特定的数值 I 称为交流电流的有效值。理论与实验均 可证明，正弦交流电流 i 的有效值 I 等于其振幅(最大值)Im 的 0.707 倍，即 Im I = 0.707 I m 2 正弦交流电压的有效值为