2015-2016第一学期《概率统计》期末考试试卷

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概率论与数理统计期末考题(有答案)

概率统计期末统考试题答案考试日期1．（15分）已知)3,1(~2N X , ),4,0(~2N Y 且X 与Y 的相关系数.21-=XY ρ设,23Y X Z -= 求)(Z D 及.XZ ρ解因,3)(2=X D ,4)(2=Y D 且XY Y D X D Y X ρ)()(),cov(=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=2143,6-= ---3分所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23)(Y X D Z D ⎪⎭⎫⎝⎛-+=2,3cov 2)(41)(91Y X Y D X D),cov(21312)(41)(91Y X Y D X D ⨯⨯-+=,7= ---5分又因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,cov ),cov(Y X X Z X ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=2,cov 3,cov Y X X X),cov(21),cov(31Y X Y X -=,6),cov(21)(31=-=Y X X D ---4分故 .772736)()(),cov(=⋅==Z D X D Z X XZ ρ ---3分 2．（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤.解根据中心极限定理有 ---4分(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ ---5分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-0.9938(1.5)10.99380.93321=+Φ-=+- ---6分 0.927=.3．（15分）设二维随机变量(,)X Y 联合密度函数为01,01(,)0x y y x p x y +<<<<⎧=⎨⎩其它，求X 与Y 的协方差及相关系数。

解由于 1+0-1()d 01()=(,)d 20X x y y x x p x p x y y ∞∞⎧+=+<<⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其它; ---2分101117E ()d +23412X x x y =+==⎰, 12201115E ()d +24612X x x y =+==⎰,2225711D =E (E )()1212144X X X -=-=, ---5分类似地有，711,12144EY DY ==---2分 11000<<10<<11E ()d d d ()d 3x y XY xy x y x y x xy x y y =+=+=⎰⎰⎰⎰ ---2分2171cov(,)=E E E ()312144X Y XY X Y -⋅=-=-, ---2分11441(,1114411X Y ρ-==-. ---2分4．（10分）在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布),(2σμN , 这里22100米=σ, 现在进行了25次发射试验, 用2S 记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求2S 超过502米的概率.解根据抽样定理，有),1(~)1(222--n S n χσ于是 ---3分⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>222250)1()1(}50{σσn S n P S P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯>=1005025)24(2χP ---4分 }12)24({2>=χP }401.12)24({2>>χP .975.0=(查表) ---3分于是我们可以以超过%5.97的概率断言, 2S 超过50 米2. ---1分5. （15分）设总体X 具有概率概率密度⎩⎨⎧≤>=--θθλθλθλx x e x f x ,0,),,()( 其中θλ,0>均为未知参数. n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的样本, 求λθ,的矩估计量.解 ()1()d e d +x EX x f x x x x λθθλθλθλ+∞+∞---∞===⎰⎰,,; ---2分222()2211()d e d (+)+x EX x f x x x x λθθλθλθλλ+∞+∞---∞===⎰⎰,,, ---3分故由 2211111(+)+n i i X X n θθλλλ==+=∑， ---4分得到θλ，的矩估计量12211ˆˆ(X X)ni i X n θλ-=⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑。

概率统计考试题及答案

湖北汽车工业学院概率论与数理统计考试试卷一、(本题满分24，每小题4分)单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上): 【C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ．则下列命题不正确的是 )(A )()|(A P B A P =． )(B )()|(B P A B P =． )(C )(1)(B P A P -=． )(D )()()(B P A P AB P =．【B 】2．已知随机变量X 的分布律为则)35(+X E 等于)(A 8． )(B 2． )(C 5-． )(D 1-．【A 】3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，而}5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ,则)(A 对任何实数μ，都有21p p =． )(B 对任何实数μ，都有21p p <． )(C 只对μ的个别值，才有21p p =． )(D 对任何实数μ，都有21p p >．【C 】4．在总体X 中抽取样本,,,321X X X 则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是)(A 3213211X X X ++=μ． )(B 2223212X X X++=μ． )(C 3333213X X X ++=μ． )(D 4443214X X X++=μ．【D 】5。

设)(~n t X ,则~2X)(A )(2n χ． )(B )1(2χ． )(C )1,(n F ． )(D ),1(n F ．【B 】6．随机变量)1,0(~N X ,对于给定的()10<<αα,数αu 满足αα=>)(u u P ，若α=<)(c X P ，则c 等于)(A 2αu ． )(B 2)1(α-u ． )(C α-1u ． )(D 21α-u ．二、（本题满分24，每小题4分）填空题(请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上):1. 设样本空间{},2,3,4,5,61=Ω,{},21=A ，{},32=B ，{},54=C ，则=)(C B A {},3,4,5,61。

2015概率统计试卷A

第1页
2
D. S 是的极大似然估计量.
2
2
共5页
8. 设 X1 ,
, X n 是 N (, 2 ) 的样本，未知, X
1 n 1 n 2 X , S ( X i X )2 ，则 2 的置 i n i 1 n 1 i 1
[ ]
信度为 0.95 的置信区间为
2.已知随机变量 X ~ U (2, 2), 且Y X ，求（1）Y的概率密度（2）求 P( Y>X).
2
第3页共6页
x 1 e ,x 0 3．总体 X 的概率密度函数 f ( x) , 0 。 X1 , 0, x 0
, X n 为 X 的样本，求的极大似然
A. (
(n 1)S 2 (n 1) S 2 , ) (2n ) (0.025) (2n) (0.975)
S n
B.
(
(n 1)S 2 (n 1)S 2 , ) (2n1) (0.025) (2n1) (0.975)
S n
近似服从 [ ]
C. X t( n1) (0.025)
得分
2．总体 X ~ N (1 , 2 ) ， Y ~ N (2 , 2 ) ，且 X 与 Y 相互独立，设 X1 , X 2 ,
, X m 是来自于 X 的样本，
Y1 , Y2 ,
, Yn 是来自于 Y 的样本， S , S 分别是这两个样本的样本方差，证：对于任意常数
2.设袋中有 6 只红球，4 只白球，甲乙两人先后从中任取一只，已知乙取到白球，则甲取到的是红球
3.在区间(0,1)中随机取两个数，两数之和小于 1.4 的概率为 4. 设 X 为随机变量， E( X ) 0, E(2 X 1) 8, D(2 X 1) 2 ，则 E(X)= B．2

概率统计试卷2015-1016B(上)解答部分

华北电力大学 2015 --2016 学年第 1学期概率论与数理统计试卷（B ）附表：2χ分布的上分位点一、填空题（每空3分，共15分）1. 设事件A 和B 相互独立，A 和B 同时发生的概率为0.04，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则=)(A P 0.2 。

2．从9,,2,1,0 等十个数字中任意选出三个不同的数字,则{取到的三个数字中不含0或5}的概率为 14/15 。

3. 设由来自总体),(~2σμN X 容量为10的简单随机样本，计算得样本均值为20x =，样本标准差为s =2，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是20±0.025(9) 。

4. 设4321,,,X X X X 是来自正态总体()22,0N 的容量为4的简单随机样本，()2212342X aX b X X X =++-，则当 a b 、分别为 1/a b ==1/4,装订线内不得答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊时统计量X 服从2χ分布。

5．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=else x x x f ,010,2)(，以Y 表示对X 的三次独立重复观察事件{0.1}X ≤出现的次数，则EY = 0.03 。

二、（16分）甲乙丙三台机器加工同一种零件，第一台废品率0.07，第二台废品率0.04，第三台废品率0.08，第一台加工的数量比第二台多一倍，第三台加工的数量为前两台的总和，求任意取出一件是合格品的概率；又若任意取出一件是废品，求它是由第三台机器生产的概率。

(1)0.93 (2)4/7三、（15分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=else x x x x x f ,010,101,1)(求（1）1()2P X < ；（2）EX ；（3）X 的分布函数()F x 。

(1)7/8 (2)0(3)220111022()1012211x x x x F x x x x x <-⎧⎪⎪++-≤≤⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎪≥⎩四、（10分）设二维随机向量(,)X Y 服从{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布,求 min(,)Z X Y =的概率密度函数。

概率统计期末考试试题及答案

概率统计期末考试试题及答案试题一：随机变量的概率分布某工厂生产的产品合格率为0.9，不合格率为0.1。

假设每天生产的产品数量为100件，求下列事件的概率：1. 至少有80件产品是合格的。

2. 至多有5件产品是不合格的。

试题二：连续型随机变量的概率密度函数设随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，0 ≤ x ≤ 1，0 其他，求：1. X的期望E(X)。

2. X的方差Var(X)。

试题三：大数定律与中心极限定理假设某银行每天的交易量服从均值为100万元，标准差为20万元的正态分布。

求：1. 该银行连续5天的总交易量超过500万元的概率。

2. 根据中心极限定理，该银行连续20天的总交易量的平均值落在90万元至110万元之间的概率。

试题四：统计推断某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本数据如下：95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104求：1. 零件长度的平均值和标准差。

2. 零件长度的95%置信区间。

试题五：假设检验某公司对两种不同品牌的打印机进行了效率测试，测试结果如下：品牌A：平均打印速度为每分钟60页，标准差为5页。

品牌B：平均打印速度为每分钟55页，标准差为4页。

样本量均为30台打印机。

假设两种打印机的平均打印速度没有显著差异，检验假设是否成立。

答案一：1. 至少有80件产品是合格的，即不合格的产品数少于或等于20件。

根据二项分布，P(X ≤ 20) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k *(0.9)^(100-k)]，k=0至20。

2. 至多有5件产品是不合格的，即不合格的产品数不超过5件。

根据二项分布，P(X ≤ 5) = Σ[C(100, k) * (0.1)^k * (0.9)^(100-k)]，k=0至5。

答案二：1. E(X) = ∫[2x * x dx]，从0到1，计算得 E(X) = 2/3。

2. Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = ∫[2x^2 * x dx] - (2/3)^2，从0到1，计算得 Var(X) = 1/18。

2013-2015概率统计试题及解答

(2) 设 Y 为 150h 内烧坏的电子管数，则 Y ~ B(3, p) ， p = P{X < 150} = F (150) = 1 。(3 分)
3
所求为 P{Y ≥ 2} = C32 (1 3)2 (2 3) + (1 3)3 = 7 27 。(2 分)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 三、1. (1) 由
姓名：
2014～2015 学年第一学期试卷课程名称：概率统计考试形式：闭卷试卷： A
题号
一二三四总分
标准分 24 16 30 30
得分
注请填写清楚左侧装订线内的所有信息，并在交卷时保持三页试卷装订完好。
A 一、填空题和选择题 (每题 3 分，共 24 分)
1. 已知 P(A) = 0.5 ， P(B) = 0.6 ， P ( B A) = 0.8 ，则 P ( A ∪ B) =
⎪⎩ 0,
其它.
cov( X ,Y ), ρXY , D( X − Y ) 。
姓名：
学号：线
专业班级：订
专业班级：全校工科、经管、理科各专业 [该项由出卷人填写]
装
第( 2 )页共( 3 )页
姓名：
2014～2015 学年第一学期试卷课程名称：概率统计考试形式：闭卷试卷： A
A 四、计算下列各题 (共 30 分) 1. (7 分) 某单位设置一电话总机，共有 100 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的，且每时刻每个分机有 10%的概率要使用外线通话。问总机需要多少外线才能
36
6
36
∫ ∫ ∫ ∫ E(XY ) =
+∞
+∞
xyf (x, y)dxdy =

概率论和数理统计期末考试题及答案

概率论与数理统计期末复习题一一、填空题（每空2分，共20分）1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ).2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ).3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ），D （2Y-X+1）=（ 17 ）.5、已知随机变量X ～N(μ,σ2),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6且X 与Y 相互独立。

则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ).7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ).二、计算题（每题12分，共48分）1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率.解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=ii iA B P A P B P(2)21.049.0/)3.035.0()|(2=⨯=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-000)(2x x e A x f x λλ解：（1）由归一性：λλλλλλ/1,|)(102==-===∞+--+∞+∞∞-⎰⎰A A e A dx e A dx x f x x 所以（2）⎰=-==<<--λλλλ/1036.0/11}/11{e dx e X P x（3）⎰---==11)1(λλλe dx eF x3、设随机变量X 的分布律为且X X Y 22+=，求(1)()E X ; (2)()E Y ; (3))(X D . 解：（1）14.023.012.001.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯-=X E （2）24.043.012.001.01)(2=⨯+⨯+⨯+⨯=X E422)(2)()2()(22=+=+=+=X E X E X X E Y E（3）112)]([)()(22=-=-=X E X E X D4、若X ～N(μ,σ2),求μ, σ2的矩估计.解：（1）E(X)=μ 令μ=-X 所以μ的矩估计为-Λ=X μ（2）D(X)=E(X 2)-[E(X)]2又E(X 2)=∑=n i i X n 121D(X)= ∑=n i i X n 121--X =212)(1σ=-∑=-n i i X X n所以σ2的矩估计为∑=-Λ-=ni i X X n 122)(1σ三、解答题（12分）设某次考试的考生的成绩X 服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分? 解：提出假设检验问题：H 0: μ=70, H 1 ：μ≠70,nS X t /70-=-～t(n-1),其中n=36,-x =66.5,s=15,α=0.05,t α/2(n-1)=t 0.025(35)=2.03 (6)03.24.136/15|705.66|||<=-=t所以,接受H 0,在显著性水平0.05下,可认为在这次考试中全体考生的平均成绩为70分四、综合题（每小题4分，共20分）设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为：32,01,01(,)0,x ce y x y f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩其它试求: )1( 常数C ；)2(()X f x , )(y f Y ；)3( X 与Y 是否相互独立？)4( )(X E ,)(Y E ,)(XY E ； )5( )(X D ,)(Y D . 附：Φ（1.96）=0.975； Φ（1）=0.84； Φ（2）=0.9772t 0.05(9)= 1.8331 ; t 0.025(9)=2.262 ; 8595.1)8(05.0=t ， 306.2)8(025.0=t t 0.05(36)= 1.6883 ; t 0.025(36)=2.0281 ; 0.05(35) 1.6896t =， 0.025(35) 2.0301t = 解：(1))1(9|31|3113103103101010102323-=⋅⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰e c y e c dy y dx e c dxdy y ce x x x 所以,c=9/(e 3-1)(2)0)(1319)(,103323103=-=-=≤≤⎰x f x e e dy y e e x f x X xx X 为其它情况时，当当所以,333,01()10,xX e x f x e ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它同理, 23,01()0,Y y y f y ⎧≤≤=⎨⎩其它(3)因为: 32333,01,01()()(,)10,x X Y e y x y f x f y f x y e ⎧⋅≤≤≤≤⎪==-⎨⎪⎩其它所以,X 与Y 相互独立. (4)113333013130303331111(|)1213(1)x xx x EX x e dx xde e e y e e dx e e e =⋅=--=⋅--+=-⎰⎰⎰124100333|44EY y y dx y =⋅==⎰ 3321()4(1)e E XY EX EY e +=⋅=- (5) 22()DX EX EX =-11223231303300133130303331|21112(|)13529(1)x x xx x EX x e dy x e e xdx e e e xe e dx e e e ⎡⎤=⋅=⋅-⋅⎢⎥⎣⎦--⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-=-⎰⎰⎰ ∴3323326332521(21)9(1)9(1)1119(1)e DX e e e e e e -=-+---+=-22()DY EY EY =- 12225010333|55EY y y dy y =⋅==⎰ ∴ 2333()5480DY =-=概率论与数理统计期末复习题二一、计算题（每题10分，共70分）1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？解：用A 表示“从甲袋中任取一球为红球”， B 表示“从乙袋中任取两球都为白球”。

概率论期末测试E

2015-2016秋季学期《概率论与数理统计》复习题 E考试题型分值选择题：15题，每题3分，共45分计算题：4题，10分+15分+15分+15分=55分复习题1.B A ,为随机事件，4.0)(=A P ，3.0)(=B P ，()0.6P A B =，则()P AB = 0.3 。

2．已知()P B A =0.3 ，()P A B -=0.2，则()P A = 2 / 7 。

3．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为。

4. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___2633____。

5. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为41,31,51，则此密码被译出的概率为___35___。

6．随机变量X 能取1,0,1-，取这些值的概率为35,,248c c c ，则常数c =_815_。

7．随机变量X 分布律为5,4,3,2,1,15)(===k kk X P ，则(35)P X X ><=__。

8.02,()0.420,10x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩是X 的分布函数，则X 分布律为__200.40.6i X p -⎛⎫⎪⎝⎭__。

9．已知随机变量X 的分布律为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1.07.02.04324πππP X ，则随机变量函数X Y sin =的分布律为___10.7Y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭__。

10. 假设X 服从的分布是(0,1)N ，则2+1X 服从的分布是 (1,4)N 。

11．设()()~2,9,~1,16X N Y N ，且,X Y 相互独立，则~X Y +__2(3,5)N ___。

12. 随机变量()5,0.2XB ，则(23)E X +=__5__，()23D X +=___，2(21)E X -=__2.6__，。

13. 随机变量()0,2XU ，则()3E X --=__-4__，()3D X --=__13__。

(完整版)大学概率统计试题及答案

注意：以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值:、选择填空题(共80分，其中第1-25小题每题2分，第26-351. A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3, P( B ) = 0.4,且A 与B 相互独立，则P(AUB)= B ；(A) 0.7(B) 0.58(C) 0.82(D) 0.122. A 、B 是两个随机事件，P( A ) = 0.3 , P( B ) = 0.4，且A 与B 互不相容,则P(AUB) D;(A) 0(B) 0.42(C) 0.88(D) 13. 已知 B,C 是两个随机事件,P( B | C ) = 0.5, P( BC ) = 0.4J 则 P( C ) = C : (A) 0.4 (B) 0.5 (C) 0.8 (D) 0.94. 袋中有6只白球,4只红球，从中抽取两只，如果作不放回抽样，则抽得的两个球颜色不同的概率为：_______ :84126(A)亦 (B)亦(C)25(D)可5. 袋中有6只白球,4只红球，从中抽取两只，如果作放回抽样，则抽得的两个球颜色不同的概率为：CJ84 12 6(A)15(B)15(C)25(D)2516.在区间［0,1］上任取两个数，则这两个数之和小于的概率为 C7.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生假设小题每题3分))封题… 答… 不… 内… 线… 封…密…(A) 1/2 (B) 1/4 (C) 1/8(D) 1/16矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的可能性为1/3,通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃(A) 1 (B) 1/2(C) 1/3 (D) 1/68•已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。

设他们有丫个儿子，如果生男孩的概率为0.5，贝U 丫服从 B ____________ 分布.(A) (0 1)分布(B) B(4,0.5)(C) N(2,1)(D)(2)9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布()来描述.已知P{ X 99} P{ X 100}.则该市公安机关平均每天接到的110报警电话次数为 C _________ 次.10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

(完整word版)2015-2016南京信息工程大学期末试卷--概率统计.docx

南京信息工程大学期末试卷（理科）2015－ 2016 学年第一学期概率统计课程试卷( B卷)本试卷共2页；考试时间120分钟；出卷人统计系；出卷时间2016年1月学院专业班学号姓名一、填空题（15 分，每题 3 分）71、设相互独立的事件A, B 满足条件： P( A) P(B) ，且已知 P( A B)，则P( A)_______。

16142、某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p( p 0)，则此人射击 4 次恰好有 2次命中目标的概率为_________。

6 p2(1 p)23、设随机变量X ~ N (4,3 2 ) ，则二次方程 y2 4 y X0 无实根的概率为_______。

124 、设随机变量X和 Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P(max{ X ,Y}1)1 _________ 。

95 、设随机变量X 和 Y 相互独立，且都服从正态分布N (, 2 ) ，则 E( XY 2 ) _________ 。

32二、选择题（ 15 分，每题 3 分）1、设A和B为两个随机事件，且0P( A)1, P( B)0, P( B A)P( B) ，则必有（C）。

A.P( A B)P( A B)B.P( A B)P( A B)C. P(AB )P( A)P( B)D. P( AB)P( A) P( B)2、设U~ N (0,1) ，则下列错误的是( B )。

A ．P(U1)(1) B.P( |U|1)2( 1C.P( 1 U 1 )2( 1 )D. P(U1)P(U1) 1(1)3、从总体X中抽取样本容量为n16 的样本，若总体的标准差(X )10.52 ，则总体X的标准差 ( X ) 为（A）。

A.( X )42.08B.( X )10.52C.( X ) 2.63D.( X ) 168.324、随机量X ~ N ( 1 ,12 ), Y ~ N (2 , 22 ) ，且P( X11)P( Y21) ，必有( A )。

《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案

《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案第⼀套⼀、判断题（2分?5）1、设A ，B 是两事件，则()A B B A -=U 。

（）2、若随机变量X 的取值个数为⽆限个，则X ⼀定是连续型随机变量。

（）3、 X 与Y 独⽴，则max{,}()()()X Y X Y F z F z F z =。

（）4、若X 与Y 不独⽴，则EY EX XY E ?≠)(。

（）5、若(,)X Y 服从⼆维正态分布，X 与Y 不相关与X 与Y 相互独⽴等价。

（）⼆、选择题（3分?5）1、对于任意两个事件A 和B （）.A 若AB φ=，则,A B ⼀定独⽴ .B 若AB φ≠，则,A B ⼀定独⽴ .C 若AB φ=，则,A B ⼀定不独⽴ .D 若AB φ≠，则,A B 有可能独⽴2、设,X Y 相互独⽴，且(1,2)X N -:，(1,3)Y N :，则2X Y +服从的分布为（）.A (1,8)N .B (1,14)N .C (1,22)N .D (1,40)N3、如果随机变量X 与Y 满⾜()()D X Y D X Y +=-，则下列说法正确的是（）.A X 与Y 相互独⽴ .B X 与Y 不相关.C ()0D Y = .D ()()0D X D Y =《概率与数理统计》⾼教第四版（浙江⼤学、盛骤）期末试卷复习题4、样本12,,,n X X X L 取⾃正态总体(0,1)N ，X ，S 分别为样本均值与样本标准差，则（）.A (0,1)X N : .B 221(1)ni i X n χ=-∑:.C(0,1)N : .D (1)X S t n -:5、在假设检验中，设0H 为原假设，犯第⼀类错误的情况为（）.A 0H 真，拒绝0H .B 0H 不真，接受0H .C 0H 真，接受0H .D 0H 不真，拒绝0H三、填空题（3分?5）1、设,A B 为两个随机事件，已知()13P A B =U ，()19P AB =，则()P B =2、若袋中有5只⽩球和6只⿊球，现从中任取三球，则它们为同⾊的概率是 3、设⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为：601(,)0x x y f x y ≤≤≤?=?，则(1)P X Y +≤=4、设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()E X =5、在总体X 的数学期望µ的两个⽆偏估计123141214X X X ++和12312131X X X ++中，最有效的是精品⽂档四、计算题 1、（10分）甲箱中有a 个红球，b 个⿊球，⼄箱中有a 个⿊球，b 个红球，先从甲箱中随机地取出⼀球放⼊⼄箱。

概率论和数理统计期末考试题库(完整版)

数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。

2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。

3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。

4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。

5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。

6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。

7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。

8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。

设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。

1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。

2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。

3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。

4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。

2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(二)试卷答案

北京交通大学2015~2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷参考答案一．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<-=其它0101,y x y c y x f ⑴ 求常数c （5分）；⑵ 求概率{}1<+Y X P （5分）．解：⑴ 由密度函数的性质：()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()⎰⎰⎰⎰-==+∞∞-+∞∞-y dx y c dy dxdy y x f 011,1()()6312111210cc dy y y c ydy y c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=⎰⎰，由此得6=c ． ⑵ {}()⎰⎰<+=<+1,1y x dxdy y x f Y X P()⎰⎰⎰-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=2101212102616dx y y dy y dx xx y x x ()434121321321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰dx x ．二．（本题满分10分）设随机变量Y 服从参数为1=λ的指数分布，定义随机变量k X ，()2,1=k 如下：⎩⎨⎧>≤=k Y kY X k 10 求二维随机变量()21,X X 的联合分布列．解：由题设，得随机变量Y 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e y f y． ()()()()111121112,100---∞--=-===≤=≤≤===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P y y ，()()()02,11021=∅=>≤===P Y Y P X X P ，()()()()2121212121112,101-----=-===≤<=≤>===⎰⎰e e edy e dy y f Y P Y Y P X X P y y，()()()()22222122,111-∞+-+∞-+∞=-===>=>>===⎰⎰e e dy e dy yf Y P Y Y P X X P yy ．因此，()21,X X 的联合分布列为三．（本题满分12分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它01421,22y x y x y x f ．⑴ 求随机变量X 及Y 各自的边缘密度函数()x f X 与()y f Y （8分）；⑵ 判断随机变量X 与Y 是否相互独立（4分）？解：⑴ 当11<<-x 时， ()()()4212212182121421421,22x x y x ydy x dyy x f x f x x X -=⋅===⎰⎰+∞∞-，所以，随机变量X 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它11182142x x x x f X ．当10<<y 时， ()()2523322724731421421,y y y y y ydy x dx y x f y f yyyyY =⋅=⋅===--+∞∞-⎰⎰，所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y yx f X ． ⑵ 因为()()()y f x f y x f Y X ≠,，所以随机变量X 与Y 不独立．四．（本题满分12分）设随机变量X 与Y 相互独立，下表给出()Y X ,的联合分布列及X 与Y 各自的边际分布的某些取值：试计算该表的其它数值．解：()()()2418161,,12111=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4161241,1111=======y Y P y Y x X P x X P ，()()()()1218124141,,,2111131=--===-==-====y Y x X P y Y x X P x X P y Y x X P ， ()()()214181,1212=======x X P y Y x X P y Y P ，()()()3141121,1313=======x X P y Y x X P y Y P ，()()43411112=-==-==x X P x X P ，()()()838121,,21222=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ， ()()()4112131,,31332=-===-====y Y x X P y Y P y Y x X P ．表中其余各值如下表所示：可以验证，对于上述表中各值，X 与Y 相互独立．五．（本题满分12分）将3个球随机地放入4个杯子中．令X 表示杯子中球的最大个数．求：⑴ X 的分布列（6分）；⑵ X 的数学期望()X E 与方差()X D （6分）．解：⑴ X 的可能取值为3,2,1．且{}8341334===P X P ．{}1614433===X P ．{}{}{}1691618313112=--==-=-==X P X P X P ．所以，随机变量X 的分布列为⑵ ()1616316281=⨯+⨯+⨯=X E ．()1651161316928312222=⨯+⨯+⨯=X E ．因此，()()()()2568716271651222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ．六．（本题满分10分）记掷n 颗均匀的骰子点数之和为X ，求()X E （5分）与()X var （5分）．解：以k X 表示掷第k 颗均匀的骰子出现的点数，()n k ,,2,1 =，则随机变量n X X X ,,,21相互独立，而且同分布，∑==nk k X X 1．k X 的分布列为所以，(){}27621616161====⋅=∑∑==k k k k k X P k X E ． (){}691616126122===⋅=∑∑==k k kk k X P k XE所以，()()()()1235273691var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k k k X E X E X ．因此，()()n X E X E X E nk nk k n k k 2727111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．再由n X X X ,,,21 的相互独立性，得()()n X X X nk nk k n k k 12351235var var var 111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．七．（本题满分14分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律（6分）． ⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律（4分）．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义（4分）．解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且 (){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=，（其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ．即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．八．（本题满分10分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从标准正态分布()1,0N ．令随机变量22Y X Z +=．⑴ 试求随机变量Z 的密度函数()z f Z （6分）．⑵ 试求()Z E （4分）．⑴ 由题意，得()2221x X ex f -=π ()∞<<∞-x ， ()2221y y ey f -=π()∞<<∞-y ．设随机变量22Y X Z +=的分布函数为()z F Z ，则(){}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=22当0≤z 时，(){}()022=∅=≤+=P z Y X P z F Z ；当0>z 时，(){}()()⎰⎰≤+=≤+=zy x YXZdxdy y f x f z Y XP z F 2222⎰⎰≤++-=zy x y x dxdy e 2222221π作极坐标变换θθsin ,cos r y r x ==，则有()⎰⎰⎰--==zr zr Z rdr erdr ed z F 022202221πθπ所以，随机变量22Y X Z +=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000022z z rdre z F z rZ所以，随机变量22Y X Z +=的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0022z z zez F z f z Z Z ⑵ ()()⎰⎰⎰∞+-+∞-∞+-∞+∞-+-===2222222dz ezedz e zdz z f z Z E z z z z222212222ππ====⎰⎰+∞∞--+∞-dz e dz ez z ．九．（本题满分10分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．① 求X 与Y 的相关系数（6分）；② 计算概率{}X Y P ≥（4分）．（1）由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-，所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X ，()()()()923232var 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y ， ()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===1220222012,dx y x xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181var var ,cov ,-=-==Y X Y X YX ρ．（2） {}()()()2123232,1121=-=-===≥⎰⎰⎰⎰⎰-≥dx x dy dxdxdy y x f X Y P x xxy ．。

概率统计15-16第1学期期末试题A

：
线
(A) a 5, b 5
(B) a 5, b 5
(C) a 5, b 5
(D) a 5, b 0
4、以下结论中不．正．确．的是
(A)事件 A 与 B 为对立事件，则 A 与 B 一定为互斥事件
(B)事件 A 与 B 为独立事件，则 A 与 B 不一定为互斥事件
(C)若 D( ) D D ，则与相互独立
题号
1
2
3
4
5
答案
1、设随机变量 ~ N(0,1) ， ~ N(1, 2) ，且与相互独立，记，则
~
；
2、设随机变量的期望和方差分别为 E 10 ， D 4 。若由切比雪夫不等式有
P( 10 c) 0.04 ，则 c
；
3、设连续型随机变量服从区间[a, a] 上的均匀分布，a 0 ，要使 P( 1) 1 ， 3
则a
；
4、 ( X1,
, X 4 ) 是来自总体 N (0, 2 ) 的简单随机样本，则统计量
X12
X
2 2
X
2 3
X 42
~
；
5 、设随机变量，和其乘积的概率分布分别如下所示，则
P( 2) _______。
012 P111
236
0 1 2 P111
课
程
名
称
：
考试科目：概率论与数理统计
试卷总分：100 分
概
考试时间：120 分钟
占总评比例： 40%
率论
题号
一
二
三
卷面分
与
得分
数理
评卷教师

概率统计期末试卷-答案

2013年下学期概率统计模拟卷参考答案、填空题：每空3分，共18分.请将各题号对应的正确答案填写在下列表格内空1) 2. 口袋中有3个黑球、2个红球，从中任取一个，放回后再放入同颜色的球 1个.设B i ={第i 次取到黑球},i=1,2,3,4.贝V P(B 1B 2B 3B 4)=(空 2).解用乘法公式得到P(B 1B 2B 3B 4) P(B 1)P(B 2 | B 1)P(B 3 | B 1B 2)P(B 41 B 1B 2B 3)b ba r r abrbr a b r 2a b r 3a=3/70193.在三次独立的重复试验中，每次试验成功的概率相同，已知至少成功一次的概率为 .则每次试验成27功的概率为(空3)..19解设每次试验成功的概率为p,由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是274. 设随机变量X, Y 的相关系数为0.5, E(X) E(Y) Q E(X 2) E(Y 2) 2,则E[(X解 E[(X Y)2] E(X 2) 2E(XY) E(Y 2)4 2[Cov(X,Y) E(X)E(Y)]4 2XY； D(X) * D(Y) 4 2 0.5 26.5. 设随机变量X 的方差为2,用切比雪夫不等式估计P{| X E(X ) |> 3} =(空 5)解由切比雪夫不等式，对于任意的正数，有P{X E(X) > }< 警，2 所以 P{| X E(X)|\3}w —. 96.设总体X 的均值为0,方差2存在但未知，又X 1,X 2为来自总体X 的样本，k(X 1 X 2)2为2的无偏估计.则常数k =( 空 6) _________ .由于 E[k(X 1 X 2)2] kE[(X 12 2X 1X 2 X 22)]2 2k[E(X 1 ) 2E(X 1X 2)E(X 2 )]1所以k=为2的无偏估计2、单项选择题：每小题2分，共18分.请将各题号对应的正确选项代号填写在下列表格内即(1 P )327,故p=38 272Y) ] =(空 4)k2 21.若两个事件 A 和B 同时出现的概率 P(AB)=O,则下列结论正确的是().(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) P(A)=0或P(B)=0.. (D)以上答案都不对•解本题答案应选(D).2件二等品.若从中任取2件，那么以0.7为概率的事件是(3.设事件A 与B 相互独立，且0<P(B)<1,则下列结论中错误的是 ().(A) A 与 B 一定互斥. (B) P(AB) P(A)P(B).(D) P(AU B) P(A) P(B) P(A)P(B).解因事件A 与B 独立，故A 与 B 也相互独立，于是(B)是正确的.再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的.从而本题应选(C).2 24. 设随机变量X 服从正态分布N( 1，J ，Y 服从正态分布N( 2，2)，且P{ X 1 1} P{ Y 21}，贝U 下列各式中正确的是().(A) d < 也. (B)01 > 玄 (C)< 国. (D) (J) > p2.解对时，答案是(A).5. 设 X ~ N 0 1，令 Y X 2,则 Y~( ).(A) N( 2，3).(B) N(0,1).(C)N( 2,1).(D)N(2,1).解由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).26. 设X 与Y 相互独立，且都服从N(,)，则下列各式中正确的是().(A) E(X Y) E(X) E(Y).(C) D(X Y) D(X) D(Y). 解注意到E(X Y) E(X) E(Y) D(X Y) D(X) D(Y) 2 2.选(D).7. 设(X, Y)服从二元正态分布，则下列结论中错误的是().(A) ( X, Y)的边缘分布仍然是正态分布 . (B) X 与Y 相互独立等价于 X 与Y 不相关. (C) (X, Y)的分布函数唯一确定边缘分布函数 . (D) 由(X, Y)的边缘概率密度可完全确定 (X, Y)的概率密度.解仅仅由(X, Y)的边缘概率密度不能完全确定(X, Y)的概率密度.选(D)2.在5件产品中，只有3件一等品和 (A) 都不是一等品. (C)恰有1件一等品. (B) 至多有1件一等品.(D)至少有1件一等品.,其中只含有一件一等品的概率为1 1 C 3 C2没有一等品的概率为 C° C ；C 2,将两者加起来即为 0.7.答案为(B ).(C) P(A|B) P(A).(B) E(X Y) 2 . (D) D(X Y) 2 2.0 .由于X 与Y 相互独立，所以8.设z(n),t (n),F (^，匕)分别是标准正态分布N(0,1)、2(n)分布、t 分布和F 分布的上解至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品位点，在下列结论中错误的是((A) z Z1 . ).(B) 2( n)=1- 2 (n).(C) t (n) t (n). (D) F (n")F1 (n2, nJ1 Y2 2 X U三> (10分)某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%,经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05.现从该种产品中任意抽取一件进行检查.(1) 求这件产品是次品的概率；(2) 已知抽得的产品是次品，问此产品来自乙车间的概率是多少？解设A 表示取到的产品是一件次品”，B i (i=1,2, 3)分别表示所取到的产品来自甲、乙、丙车间” •易知，B !,B 2,B 3是样本空间S 的一个划分，且P(BJ 0.4,P(B 2)0.38,P(B 2) 0.22， P(A|B) 0.04, P(A| B 2) 0.03,P(A|B 3)0.05. ...4 分(1)由全概率公式可得P(A) P(A|B)PQ) P(A|B 2)P(B 2)P(A|B 3)PG)0.4 0.04 0.38 0.03 0.22 0.05 0.0384.(2)由贝叶斯公式可得四、(10分)设随机变量X 的概率密度为1(x 1), 0x2, f (x) 4 0, 其它，对X 独立观察3次，求至少有2次的结果大于1的概率.解根据概率密度与分布函数的关系式bP{a X < b} F(b) F(a) f(x)dx ,a可得21 P{X 1}—(x 1)dx1 458 .......................... 5.分所以,3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为2 5 23 CsL)(一)35 3 C 3 (一) 175.......................... 5.分8 8 8 256五、(12分)随机变量(X,Y)的概率密度为解应选(B).9.设随机变量X ~t(n)(n1),Y(A) 丫〜2(n). (C) Y 〜F(n,1). 由题设知,X U ,其中Ui r ,则下列关系中正确的是(X(B) 丫〜2(n 1). (D) Y~F(1,n)).〜N(0,1),V(n).于是这里U 22(1),根据F 分布的定义知Y 丄〜F(n,1).故应选(C).X.............................. 4.分P(B 2 |A)P(A|BJP(B 2)P(A)0.38 0.03 0.038419 0.297 . 64.........................2分15 2依题意，有 a2350a 5250 >9280，即 15 a 2 350a 4030 W 0,解得色 W a W 26.故期望利润不2 3(6 x y),0 x 2,2 y 4, f (x,y)8 0,其它.求：(1) P{X Y W 4} ; (2)关于X 的边缘分布和关于 Y 的边缘分布；(3) X 与Y 是否独立？并说明理由当 y W 2 时或 y >4 时，f Y (y)0 .⑶ 因为f (x, y) f x (x)f Y (y),所以X 与Y 不相互独立500a 300( X a) 300X 200a, a X W 30,M a500X 100(a X) 600X 100a, 10W X W a.需求量X 的概率密度为六、(10分)设某种商品每周的需求量 X 是服从区间［10,30］上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间［10,30］中的某一整数.该经销商店每销售一单位该种商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位该种商品亏损 100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利 300元.为实现该商店所获利润期望值不小于9280元的目标，试确定该经销商店对该种商品的进货量范围.解设进货量为a 单位，则经销商店所获利润为........................ 4分(1)P{X Y W 4}f (x, y)dxdyx y W 44 2dy1 (6 x y)dx8 (6 y)xdy4.分x 2时，f x (x)f(x,y)dy 41 2 8(6y)dy 4(3 x);4当x W 0时或x >2时，f X (x)0.f x (X )x),x 2, 3.分0,其它.当 2<y<4 时,f Y (y)f (x, y)dx21 0 8(61y)dy -(5 y);4f y (y)丄(5 40,y),4,3.分其它................................................... 2.分 f(x)—,1020 0,其它.30,2.分由此可得利润的期望值为301M 1020E(M a )dx10(600x100a)dx — 202015 2a 350a 5250 230a (300x 200a)dx八、(12分)从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得该样本平均值11958,样本标准差s 316 •设该试验物的发热量服从正态分布N(,)，其中参数d 2未知.(1)求的置信水平为0.95的置信区间；(2)取显著性水平 a =0.05，问是否可以认为该试验物发热量的期望值为12100? (3)问题(1)和(2)的前提与结论之间有什么关系？解(1)已知数据 n=24, x =11958, s=316, a = 0.05,可得 t /2(n 1)=t 0.025(23)=2.0687.所求置信区间(3)假设检验中的显著性水平 a =0.05与置信区间估计的置信水平 0.95满足关系0.95=1 - a ； .....1分七、(10分)设总体X 的概率密度为f(x ；)其中0> 求：⑴ (2) 解 1是未知参数,X 1,X 2，…,X n 是来自总体的矩估计量；0的极大似然估计量. 总体X 的数学期望为( 0,X 的容量为 1)x , 0 x 1,其它.n 的简单随机样本. E(X)xf (x)dx1 0(1)x 1dx令E(X) X ,即1 _-X ，得参数0的矩估计量为 22X 14.分设X 1, x 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值 nX ii 1,则似然函数为(1) ,0 X i 1,2.分0,其它.当 0<X i <i (i=i,2,3,…,n)时,L>0 且 In Ln ln(1)nIn X j ,令i 1d In L nnIn x =0,得 0i 1的极大似然估计值为n 1 -,而 In x ii 10的极大似然估计量为1 —In X ii 1为(xs--- t/2(n1),xs------ t /2(n1))=(11824.59,12091.41)4.分⑵ 提出假设 H 0：尸£=12100; H 1：戶宇. ................................................................... 2.分对于0=1-0.95= 0.05,选取检验统计量t拒绝域为|t|>t/2(n 1)=t 0.025(23)=2.0687......2 分代入数据 n=24, x =11958, s=316,得到 |t ||11958_12100| 316 「242.20144 >2.0687.所以拒绝原假设，不能认为该试验物发热量的期望值为12100................................................................. 2.分注意：题目参考数据: t0.025(24)=2.0639, t0.025(23)=2.0687, t0.05(24)=1.7109,t0.05(23)=1.7139z0.025=1.96, z0.05=1.65。

2015-2016学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(一)试卷及答案

因此，有
P(C ) = P(A1 ∪ A1B2 A3 ∪ A1B2 A3 B4 A5 ∪ A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) = P( A1 ) + P (A1B2 A3 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 ) + P(A1B2 A3 B4 A5 B6 A7 ) 3 7 6 3 7 6 5 4 3 7 6 5 4 3 2 3 + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 10 10 9 8 10 9 8 7 6 10 9 8 7 6 5 4 7 = = 0.58333333 ． 12 =
1 1 + +0−0−0−0+0 12 16 7 = = 0.145833333333 ． 48 =
⑵ 由于 {随机事件 A，B，C 都不发生 } = A B C = A ∪ B ∪ C ，
所以，
P{随机事件 A，B，C 都不发生 } = P A ∪ B ∪ C
= 1 − P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A) − P(B ) − P (C ) + P ( AB ) + P (BC ) + P( AC ) − P( ABC )
⑵ 将 5 颗骰子分成两组，一组 2 颗，一组 3 颗，有分法 C52 种．再将 6 个点数取 2 个，分别分给两个组，有 P62 不同的分法．因此随机事件 B 含有 C52 ⋅ P62 个样本点．故
P (B ) =
C52 ⋅ P62 25 = = 0.03858024691 ． 65 648
二．（本题满分 8 分）设随机事件 A 、 B 、 C 满足： P ( A) = P (B ) = P (C ) =

概率统计15-16第1学期期末试题A答案

2、解：，，，
，，，，
：，：
解法一：由于统计量接受，即其电阻的方差相等。
解法二：选统量
拒绝域
成立时，，接受，即两批电子元件的电阻的方差相等。
：，：
选统计量
拒绝域
成立时，，接受，两批电子元件的平均电阻没有显著差异。
3、解：⑴
取矩估计方程：，解得的矩估计量
⑵似然函数
1、解：已知时，直径均值的置信度为的置信区间为：
，，，，
直径均值的置信度为0.95的置信区间为：
未知时，直径均值的置信度为的置信区间为：
，，，，
直径均值的置信度为0.95的置信区间为：
滚珠直径标准差的置信度为的置信区间为：
，，，，
滚珠直径标准差的置信度为0.95的置信区间为：
，
即是单调减函数，由定义得的最大似然估计量为
由无偏估计得方程：，解得
4、解：(1)方法一：
方法二：
(2)方法一：
方法二：
课程名称：概率论与数理统计学分：3.5教学大纲编号：
试卷编号：考试方式：考试考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共小题，每小题3分，共15分)
1、B2、D3、A4、C5、B
二、填空题(本大题共5个空，每空3分，共15分)
1、；2、；3、；4、；5、
三、（本题包含10问，每问7分，总计70分）

概率统计期末考试试卷及参考答案1

3.1概率统计期末考试试卷及参考答案1一、单项选择题1、在一个班级同学中选出一个班长，一个团支书；则事件“选出的班长是男生，选出的团支书是女生”的对立事件是（B ）A.“选出的班长是女生，选出的团支书是男生”；B.“选出的班长是女生或选出的团支书是男生”；C.“选出的班长是女生，选出的团支书是女生”；D.“选出的班长是男生，选出的团支书是男生”.2、随机变量2~(3,)XN σ,且有{36}0.4P X <<=,则{0}P X <=(A).A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43、随机变量,X Y 独立同分布,且{1}{1}0.5P XP X ===-=，则有（B ）.A.{}1P X Y ==.B.{}0.5P X Y ==.C.{0}0.25P X Y +== D.{0}0.25P XY ⋅==.4、设~()X P λ（泊松分布）且{2}2{1}P X P X ===,则()E X =(D ).Ａ.１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.４5、设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为(), ()F x f x ，则下列选项中正确的是(A )A.0()1F x ≤≤ B.0()1f x ≤≤Ｃ.{}()P X x F x ==Ｄ.{}()P Xx f x ==.6、设2~(,)XN μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本.下列各项不是统计量的是(C)Ａ．4114ii X X ==∑Ｂ．142X X μ+-Ｃ．42211()ii K XX σ==-∑Ｄ．42211()3i i S X X ==-∑二、填空题1、某生做四题作业，设i A 表示该生第i 题做对，则事件“他前两题都没有做对而后两题没有都做错”可表示为4123()A A A A .2、设A,B 为随机事件，A 与B 互不相容，{}0.2P B =，则()P AB =0.2.3、袋中有50个球，其中20个黄球、30个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为0.44、设随机变量~(12,0.5),~(18,0.4),XB Y B 且X 与Y 相互独立，则：()D X Y -=0.95、设随机变量X 的分布函数为20, 0(), 011 1x F x Ax x x <⎧⎪=⎨⎪<⎩≤≤，,则A =1；6、设22~()n χχ，则有2()E χ＝n7、设12,,,n X X X 是来自[2,]θθ-上的均匀分布总体的一个样本，则θ的矩估计量是1X +三、计算题（一）1、甲乙丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解：设i A 表示i 人击中飞机，i=1，2，3.B 表示飞机被击落。

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案

《概率论与数理统计》期末考试试题及答案)B 从中任取3),(8a k k ==则Y X =产品中有12件是次品四、(本题12分)设⼆维随机向量(,)X Y 的联合分布律为\01210.10.20.12Y X a 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独⽴为什么五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤=-≤≤其他求()(),E X D X⼀、填空题(每⼩题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、 3、2156311C C C 或411或 4、1 5、13 6、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - ⼆、解设12,A A 分别表⽰取出的产品为甲企业和⼄企业⽣产,B 表⽰取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ========..... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=?+?=................ 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ?=== ............................... 12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知34=+-=+=故16k =. .......................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0x F x f t dt -∞==?; 当03x <<时, 2011()()612xxF x f t dt tdt x -∞===??; 当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞==+-=-+-;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞?==+-=;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤< .................................. 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F<≤=-=-=?? ????? .......................... 12分四、解 (1)由分布律的性质知01.0.20.10.10.21a +++++=故0.3a = ........................................................... 4分0.40.30.3Xp ............................................... 6分120.40.6Y p ................................................... 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===?=,故{}{}{}0,101P X Y P X P Y ==≠==所以X 与Y 不相互独⽴. .............................................. 12分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤=-≤≤其他求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞??==+-=+-=?........... 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=.......................... 9分 221()()[()].6D XE X E X =-= ......................................... 12分⼀、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B)=2、设事件A 与B 独⽴，A 与B 都不发⽣的概率为19，A 发⽣且B 不发⽣的概率与B 发⽣且A 不发⽣的概率相等，则A 发⽣的概率为：；3、⼀间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率：没有任何⼈的⽣⽇在同⼀个⽉份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ??, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独⽴，则Z=max(X,Y)的分布律：；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独⽴，则D(2X-3Y)= ,1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ??≤≤?=其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1）1/4,||,02,(,)0,y x x x y ?<<其他求边缘密度函数(),()X Y x y ??；2）问X 与Y 是否独⽴是否相关计算Z = X + Y 的密度函数()Z1、（10分）设某⼈从外地赶来参加紧急会议，他乘⽕车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。

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华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2015-2016学年第 1 学期考试科目：概率论与数理统计考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1、下列命题正确的是（
）
（A ）若事件A 发生的概率为1，则A 为必然事件；
（B ）若随机变量X 与Y 不独立，则()()()E X Y E X E Y +=+不一定成立；（C ）若X 是连续型随机变量，且()f x 是连续函数，则()Y f X =
一定是连续型随机变量；
（D ）设A ，B 是任意两个事件，则AB A B = 。

2、设随机变量X 的概率密度为()2
69
x
x f x -+-=，若()()P X c P X c >=≤，
则c 的值为（）（A ）0；
（B ）3；
（C ）
（D ）3-。

3、设总体()0,1X N ，()1,,n X X 是其简单随机样本，2X S ，分别是其样本均值和样本方差，则下列各式正确的是（）（A ）()0,1X N ；（B ）()0,1nX N ；（C ）
()1X
t n S
- ；
（D ）()()2211n S n χ-- 。

4、设随机变量()0,1X N ，()0,1Y N ，则下列结论正确的是（）（A ）X Y +服从正态分布；
（B ）22X Y +服从2χ分布；
（C ）2
2X Y
服从F 分布；
（D ）22X Y 和都服从2χ分布。

5、在假设检验的U 检验中，对给定的检验水平α，下列判断正确的是（）（A ）若00:H μμ=，对10:H μμ≠，则拒绝域为{}
W αμμμ=>；
（B ）若00:H μμ=，对10:H μμ<，则拒绝域为12W αμμμ-
⎧⎫⎪⎪
=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；
（C ）若00:H μμ=，对10:H μμ>，则拒绝域为12W αμμμ-
⎧⎫⎪⎪
=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭；
（D ）若00:H μμ=，对10:H μμ≠，则拒绝域为2W αμμμ⎧⎫⎪⎪
=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭。

6、设总体()2,X N μσ ，σ未知，从中抽取容量为16的样本，其样本均值为X ，样本方差为2S ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是（）
（A ）0.02516S
X u
；（B ）()0.0251516S
X t
；（C ）()0.025154
S
X t ；
（D ）0.0254
S
X u 。

二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 3 分，共 21 分）
1、随机变量1,,n X X 独立且服从同一分布，数学期望为μ，方差为2σ，这n 个随机变量的简单算术平均数为X ，则()i D X X -=。

2、若事件A 与B 相互独立，()()(),0.3,0.7P A P B P A B α=== ，则α=。

3、设()210,X N σ ，且()10200.3P X <<=，则()010P X <<=。

4、设某物体的质量(),0.01X N μ ，为使未知参数μ的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.1，则至少应测量次。

5、设随机变量X 的分布函数为()0,
00.1,010.3,
120.6,231,
3
x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪
=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，
则{}0.5 2.5P X ≤≤=。

6、某机器生产的零件长度X （cm ）服从参数10.05,0.06μσ==的正态分布，规定长度在范围10.050.12±（cm ）内为合格，则从中抽取一产品为不合格品的概率为。

（已知()2=0.9772Φ）
7、设123,,X X X 是来自正态总体()2,X N μσ 的简单随机样本，其中
1123131ˆ5102X X X μ
=++，2123115ˆ3412X X X μ
=++，3123111
ˆ333
X X X μ=++都是μ的无偏估计，则其中在μ的估计中最有效。

三、解答题（本大题共 6 小题，第3题11分，其它各题10分，共 61 分）
1、甲、乙两人轮流投篮，甲先投，一般来说，甲、乙两人独立投篮的命中率分别为0.7和0.6.但由于心理因素的影响，如果对方在前一次投篮中投中，紧跟在后面投篮的这一方的命中率就会有所下降，甲、乙的命中率分别变为0.4和0.5.试求：（1）乙在第一次投篮中投中的概率；（2）甲在第二次投篮中投中的概率。

2、已知随机变量X 服从区间（0,1）上的均匀分布，令21Y X =+，求Y 的概率密度函数。

3、设随机变量X 的概率密度为(),02
20,
a a x x f x ⎧
-<<⎪=⎨⎪⎩其它，试求（1）常数a ；（2）X 的分布函数()F x ；（3）条件概率112P X X ⎧⎫
>≤⎨⎬⎩⎭。

4、已知健康人的红血球直径服从均值为7.2m μ的正态分布。

今在某患者血液中随机测得9个红血球的直径如下：
7.8, 9.0, 7.1, 7.6, 8.5, 7.7, 7.3, 8.1, 8.0.
问该患者红血球平均直径与健康人的差异是否显著不同()0.05α=？（已知()()()()0.0250.050.0250.058 2.3060;8 1.860;9 2.262;9 1.833t t t t ====） 5、设总体X 的概率密度函数为()1
,01,0f x x θ=<<>，其中θ为未知参
数，设12,,,n x x x 是来自总体的简单随机样本观测值，试求θ的矩估计和最大似然估计。

6、设某经销商与某出版社订购下一年的挂历，根据该经销商以往多年的经销经验，他得出需求量分别为150本、160本、170本、180本的概率分别为0.1, 0.4, 0.3, 0.2，各种订购方案的获利()1,2,3,4i X i =（百元）是随机变量，经计算，
（2）为使期望利润最大且风险最小，经销商应订购多少本挂历？。