北京101中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

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北京101高一下学期期末数学

北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 在中，，，，则边的值为（）．A. B. C. D.2. 已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.3. 下列结论正确的是（）．A. 若，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则4. 已知，，则的取值范围是（）．A. B. C. D.5. 在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则（）．A. B. C. D.6. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：，，，则（）．A. ，，为“同形”函数B. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数C. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数D. ，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数7. 已知函数，若且，则的值是（）．A. B. C. D.8. 已知，，且对任意，都有：①；②．以下三个结论：①；②；③．其中正确的个数为（）．A. B. C. D.二、填空题共6小题．9. 在等差数列中，，，则前项之和__________．10. 已知，函数的最小值是__________．11. 计算：__________．12. 在等比数列中，，，则数列的前项和__________．13. 在中，若，，成等差数列，且三个内角，，也成等差数列，则的形状为__________．14. 给出下列命题：①若，则；②若，，则；③若，则；④；⑤若，，则，；⑥正数，满足，则的最小值为．其中正确命题的序号是__________．三、解答题（共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，共50分）15. 在中，，，分别是角，，的对边，且，，．求：（）的值．（）的面积．16. 某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．17. 已知函数（，为常数）．（）求函数的最小正周期．（）求函数的单调递减区间．（）当时，的最小值为，求的值．18. 设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1．（）求数列和的通项公式．（）设，求数列的前项和．19. 已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列的前项和为，且是与的等差中项．（）求数列的通项公式．（）设，数列满足，．求数列的前项和．（）在（）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，，恒有成立，且（为常数，），试判断数列是否为等差数列，并说明理由．。

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M = （）A. {}1B. {}3,5C. {}1,3,4,5D. {}1,2,3,5,62. 已知平面直角坐标系内的点()1,1A ，()2,4B ，()1,3C -，则AB AC -=( )A. 8 D.10 3. 已知1sin cos 5αα+=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是（） A. 34-B. 43C. 34D.43- 4. 已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度5. 已知a 与b 是非零向量且满足()3a b a -⊥ ，()4a b b -⊥，则a 与b 的夹角是（）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 6. 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是（）Ａ．平行四边形但不是矩形Ｂ．正方形Ｃ．菱形Ｄ．矩形 7. 设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞是递增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是（）Ａ．()()12f a f b +=+ Ｂ．()()12f a f b +<+Ｃ．()()12f a f b +>+ Ｄ．不确定8. 已知O 为平面内一点，,,A B C 是平面内不共线的三点，且()12OP OB OC =++cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定过ABC ∆的（）Ａ．内心Ｂ．垂心Ｃ．重心Ｄ．外心二、填空题：本大题共6小题，共30分9. 若()3f x x =，则满足()1f x <的x 的取值范围是___________.10. 若函数()234f x x x =-+在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=___11. 已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-，则m n -的值为_________.12. 若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--=_________.13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BD λμ=+(),R λμ∈，则________.λμ+=BD14. 已知点O 为三角形ABC 内一点，230OA OB OC ++= ，则ABC AOCSS ∆∆=__________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 设全集U R =，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()U C A B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足B C C = ，求实数a 的取值范围.16. 求值：()()()tan150cos 210sin 420sin1050cos 600︒-︒-︒︒-︒17. 已知()1,2a = ，()1,1b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，πϕπ-<≤）在6x π=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()4226cos sin 1226x x g x x f π--=⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. 设函数()424xxf x =+ （1）用定义证明：函数()f x 是R 上的增函数；（2）证明：对任意的实数t 都有()()11f t f t +-=；（3）求值：1232015...2016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分9. (),1-∞ 10.39411. 3- 12. 7513.34 14. 72三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 解：（1）依题意知：集合{}13A x x =-≤<，{}2B x x =≥（解不等式242x x -≥-可得：2x ≥）故{}23A B x x =≤<又U R = 从而(){}23U C A B x x x ⋂=<≥或（2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由B C C = 可得：B C ⊆ 故有2a <即所求实数a 的取值范围是(),2-∞16. 解：由诱导公式可得：()tan150tan 18030tan 303︒=︒-︒=-︒=-()()cos 210cos 210cos 18030cos30-︒=︒=︒+︒=-︒= ()()sin 420sin 420sin 36060sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒= ()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-()()1cos 600cos 600cos 318060cos 602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-故原式4111422⎛ ⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17. 解：根据向量的坐标运算可得：()1,2a b λλλ+=++由a 与a b λ+ 的夹角为锐角可得：()0a a b λ⋅+>而()1,2a =，故有()()1++22+=3+50λλλ>从而可得：53λ>-即所求实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18. 解：（1）由题意可得：()max 2f x A ==，22T T ππ=⇒= 于是222T ππωπ=== 故()()2sin 2f x x ϕ=+ 由()f x 在6x π=处取得最大值2可得：222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+()k Z ∈又πϕπ-<< 故6πϕ=因此()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可得：2sin 22sin 2cos 262662x x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()()4226cos 1cos 12cos 2x x g x x ---=-4226cos cos 24cos 2x x x +-=- ()()()2223cos 22cos 122cos 1x x x +-=-23cos 22x +=23cos 12x =+ 21cos 2x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 令2cos t x =，可知01t ≤≤且12t ≠ 即211cos 0,,122x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦从而()7751,,442g x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦因此，函数()g x 的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦19. 解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值12,x x 且12x x <()()()()()()()()()122112121212121242442424444242424242424x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++ 由12x x <可得：12440xx-<从而()()120f x f x -< 即()()12f x f x <根据函数单调性的定义可得：函数()f x 在R 上为增函数.（2）证明：因为()()114412424t tt tf t f t --+-=+++ ()()()()1114244242424t t t t tt---+++=++()()112448142444tt tt--++==+++ 故对任意的实数t 都有()()11f t f t +-= （3）由（2）可得：12015120162016f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22014120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32013120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，...... ，20151120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1232015...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2015201420131...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上下等式左右两边分别相加可得：201512M ⨯= 故可得：20152M = 因此，12320152015...20162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

【精准解析】北京市101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题

北京 101 中学 2017-2018 学年下学期高一年级期末考试数学试
卷
一､选择题共 10 小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.不等式
x x
1 2
0
的解集是(
)
A. x 1 x 2
B. x 1 x 2
C. x x 2 或 x 1 D.
x x 2
【答案】B
【解析】
故选：C. 【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断，面面关系有关命题的判断，属于简单题.
7.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:① BM 平面 ADNE； ② CN / / 平面 ABFE；③平面 BDM P 平面 AFN；④平面 BDE 平面 NCF.其中正确命题的
2.设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，若 a4 a10 4 ，则 S13 ( )
A. 13
B. 14
C. 26
Hale Waihona Puke D. 52【答案】C【解析】
【分析】
由已知结合等差数列的性质求得 a7，再由等差数列的前 n 项和得答案.
【详解】解：在等差数列{an}中，由 a4+a10＝4，得 2a7＝4，即 a7＝2.
正确；
由 BD∥FN，BE∥CN，且 BD∩BE＝B，证明平面 BDE∥平面 NCF，判断④错误.
【详解】解：把正方体的平面展开图还原成正方体 ABCD﹣EFMN，如图 1 所示；
对于①，平面 BCMF∥平面 ADNE，BM⊂平面 BCMF， ∴BM∥平面 ADNE，①错误；
对于②，平面 DCMN∥平面 ABFE，CN⊂平面 DCMN， ∴CN∥平面 ABFE，②正确；
【分析】
由正弦定理得 a2

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位置；（ II ）求平面 α把该长方体分成的两部分体积的比值．
17．已知函数 f（ x ）= sinxcosx﹣ cos2x + ，△ ABC 三个内角 A ， B，C 的对边分别为 a， b，
c 且 f（ A） =1 ．（ I）求角 A 的大小；（Ⅱ）若 a=7， b=5，求 c 的值． 18．某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中 “√表”示购买， “×”表示未购买．
6．在梯形 ABCD 中，∠ ABC= ， AD ∥ BC，BC=2AD=2AB=2 ，将梯形 ABCD 绕 AD 所在
的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D ．2π
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（
）
A ．2+
B． 4+
C． 2+2
D．5
8．对于集合 { a1， a2， …， an} 和常数 a0，定义
14．已知函数 f（ x）=
．
（ 1）若 f （ x）＞ k 的解集为 { x| x＜﹣ 3 或 x＞﹣ 2} ，则 k 的值等于 ______；（ 2）对任意 x＞0， f（ x）≤ t 恒成立，则 t 的取值范围是 ______ ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 50 分 .
15．海关对同时从 A ， B， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商
w=
为集合 { a1， a2， …， an} 相对
a0 的 “正弦方差 ”，则集合 { ，
，
} 相对 a0 的 “正弦方差 ”为（
）

北京101中学2016-2017学年高一下学期期末考试数学试卷+Word版含答案

北京 101 中学 2016-2017 学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分 120 分，考试时间 100 分钟
一、选择题共 8 小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合 M={x|x 2-4x+3<0} ， N={x|3-x>1} ，则 M N=（
）
A. {x| 1<x<3}
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题共 6 小题。
9. 已知函数 f （ x） =x+ 8 -3 （ x>0），则 f （ x）的最小值是 __________ 。 x
10. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员甲乙
第一次 87 89
第二次 9l 90
12. 从 1， 2，3， 4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为
_______。
13. 已知直线 l ⊥平面，直线 m 平面，给出下列命题，其中正确命题的序号是 _______。
①∥
l ⊥m；② ⊥
l ∥m；③ l ∥ｍ ⊥ ；④ l ⊥ｍ ∥ 。
14. 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影。由区域
B. {x| 1<x<2}
C.
D. {x| x<3}
2. 某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，
在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人数为（
）
类别
人数
老年教师
900
中年教师

北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

北京市海淀区101中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题一､选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.不等式102x x +≤-解集是( )A. {}12x x -≤≤B. {}12x x -≤<C. {2x x >或}1x ≤-D. {}2x x <『答案』B『解析』根据题意，102x x +≤-可以变形为（x +1）（x ﹣2）≤0且x ﹣2≠0，解得﹣1≤x ＜2，即不等式的解集为{x |﹣1≤x ＜2}，故选：B2.设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13S =( ) A. 13B. 14C. 26D. 52『答案』C『解析』在等差数列{a n }中，由a 4+a 10＝4，得2a 7＝4，即a 7＝2.∴S 13＝()11371313262a a a+⨯==.故选：C.3.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形D. 不能确定『答案』A『解析』因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<，由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，代入上式得222a b c +<，的又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以π(,π)2∈C ，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A.4.已知直线1l 的方程为3470x y +-=，直线2l 的方程为3410x y ++=，则直线1l 和2l 的距离为( ) A.85B.95C.45D.910『答案』A『解析』∵已知直线l 1的方程为3x +4y ﹣7＝0，直线l 2的方程为3x +4y +1＝0，则直线l1和l 2的距离为d ＝85，故选：A.5.设某直线的斜率为k ，且k ⎛∈ ⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )A. π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭ B. π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭C. 50ππ,,36π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20ππ,,63π⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭『答案』D『解析』直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若k ，tan α20,,6ππ3πα⎡⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：D6.对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一组条件是（） A. m n ⊥，m α，n β B. m n ⊥，m αβ=，n β⊂C. m n ，n β⊥，m α⊂D. m n ，m α⊥，n β⊥『答案』C『解析』A 选项中，根据m n ⊥，m α，n β，得到αβ⊥或αβ∥，所以A 错误；B 选项中，m n ⊥，m αβ=，n β⊂，不一定得到αβ⊥，所以B 错误；C 选项中，因为m n ，n β⊥，所以m β⊥. 又m α⊂，从而得到αβ⊥，所以C 正确；D 选项中，根据m n ，m α⊥，所以n α⊥，而n β⊥，所以得到αβ∥，所以D 错误. 故选：C.7.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:①BM ⊥平面ADNE ；②//CN 平面ABFE ；③平面BDM 平面AFN ；④平面BDE ⊥平面NCF .其中正确命题的序号是( )A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ①②③④『答案』A『解析』把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD ﹣EFMN ，如图1所示；对于①，平面BCMF ∥平面ADNE ，BM ⊂平面BCMF ， ∴BM ∥平面ADNE ，①错误；对于②，平面DCMN ∥平面ABFE ，CN ⊂平面DCMN ， ∴CN ∥平面ABFE ，②正确；对于③，如图2所示，BD ∥FN ，BD ⊄平面AFN ，FN ⊂平面AFN ， ∴BD ∥平面AFN ；同理BM ∥平面AFN ，且BD ∩BM ＝B ， ∴平面BDM ∥平面AFN ，③正确；对于④，如图3所示，同③可得平面BDE ∥平面NCF ，④错误. 综上，正确的命题序号是②③.故选：A8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 83B.23C. 2D. 4『答案』B『解析』由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图是长方体的一部分，由三视图的数据，AB＝BC＝2，P到底面的距离为1，∴该几何体的体积：V＝1122132⨯⨯⨯⨯＝23.故选：B.9.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A. 8B. 12C. 16D. 18『答案』C『解析』根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4＝16故选：D.10.如图，四棱锥S ABCD-的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD且SO=E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保⊥，则动点P的轨迹的周长为( )持PE ACA. B. C. 1+ D. 1+『答案』D『解析』分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；则EF ∥BD ，EF ⊄平面BDS ，BD ⊂平面BDS ∴EF ∥平面BDS 同理FG ∥平面BDS又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，， ∴平面EFG ∥平面BDS ，由AC ⊥BD ，AC ⊥SO ，且AC ∩SO ＝O ，则AC ⊥平面BDS ， ∴AC ⊥平面EFG ，∴点P 在△EFG 的三条边上；又EF ＝12BD ＝12＝1，FG ＝EG ＝12SB ＝122，∴△EFG 的周长为EF +2FG ＝故选：D.二､填空题共6小题.11.直线:cos106π-+=l x y 的斜率为________.『答案』2『解析』直线l ：x cos6π﹣y +1＝0，即为直线l ﹣y +1＝0，即为y +1，故『答案』.12.设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________.『答案』64『解析』设公比为q ，∵a 2＝4，a 3a 4＝128，∴4q ×4q 2＝128， ∴q 3＝8， ∴q ＝2，∴a 6＝a 2q 4＝4×24＝64，故『答案』为：64.13.若0a >，0b >，1a b +=，一定有1144ab ab +≥，()22221144ab ab ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭成立，请将猜想结果填空:1n nn na b a b+≥________. 『答案』144nn +『解析』由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，一定有ab +1ab ≥4+14，（ab ）2+（1ab ）2≥42+214成立，可以猜想：1144n n nn n n a b a b +≥+，故『答案』为：144nn +.14.如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，1BC =，2AB =，3BB '=，M 为AB 的中点，点P 在线段C M '上，点P 到直线BB '的距离的最小值为________.『答案』2『解析』连接MC ，由BB '∥CC '，BB '⊄平面MCC '，CC '⊂平面MCC '，可得BB '∥平面MCC '，由点P 到直线BB '的距离的最小值为异面直线BB '和直线C 'M 的距离，即有直线BB '和平面MCC '的距离即为异面直线BB '和MC '的距离，也即B 到平面MCC '的距离，过B 在底面AC 内作BH ⊥MC ，由CC '⊥底面AC ，可得CC '⊥BH ，即有BH ⊥平面MCC '，由BC ＝BM ＝1，且BC ⊥BA ，可得BH ＝2.故『答案』为：2. 15.已知ABC 中，点()1,1A ，()4,2B ，()4,6C -.则ABC 的面积为________.『答案』10『解析』由两点式的直线BC 的方程为262y --＝444x ---，即为x +2y ﹣8＝0，由点A 到直线的距离公式得BC 边上的高dBC ＝∴△ABC 的面积为1210，故『答案』为：10.16.已知()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足:22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，+的最大值为________.『解析』设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），OA ＝（x 1，y 1），OB ＝（x 2，y 2），由x 12+y 12＝1，x 22+y 22＝1，x 1x 2+y 1y 2＝12，可得A ，B 两点在圆x 2+y 2＝1上，且OA OB ⋅＝1×1×cos ∠AOB ＝12，即有∠AOB ＝60°，即三角形OAB 为等边三角形，AB ＝1，的几何意义为点A ，B 两点到直线x +y ﹣1＝0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x +y ＝1平行，可设AB ：x +y +t ＝0，（t ＞0），由圆心O 到直线AB 的距离d，可得1，解得t＝2，1+，+故『答案』三､解答题共4小题.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.17.等比数列{}n a 中，22a =，748a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，求m . 解：（1）∵等比数列{a n }中，a 2＝2，a 7＝8a 4. ∴2×q 5＝8×（2×q 2），解得q ＝2，当q ＝2时，a n ＝2n ﹣1，∴{a n }的通项公式为，a n ＝2n ﹣1，（2）记S n 为{a n }的前n 项和，a 2＝2，q ＝2，则a 1＝1，则S n ＝1212n--＝2n ﹣1，由S m ＝63，得S m ＝2m ﹣1＝63，m ∈N ，解得m ＝6.18.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos 45B =，3b =. (1)当6A π∠=时，求a 的值；(2)当ABC ∆的面积为3时，求a c +的值. 解：（1）∵cos 45B =，∴3sin 5B =，由正弦定理可知：sin sin a bA B=， ∵A ＝30°，∴sin A ＝sin30°＝12， ∴sin 5sin 2b A a B ==；（2）∵1sin 2ABC S ac B =△，△ABC 的面积为3， ∴3310ac =，∴ac ＝10，由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，∴222249210165a c a c =+-⨯⨯=+-，即a 2+c 2＝25，则（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25+20＝45，故a c +=19.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==.四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F 为PC 的中点，求证://EF 平面P AD ；(2)求证:平面AFD ⊥平面P AB ；(3)是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.解：(1)因为E ，F 分别为侧棱PB ，PC 的中点，所以//EF BC ，因为//BC AD ，所以//EF AD ，而EF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以//EF 平面P AD ；(2)因为平面ABCD ⊥平面P AC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，PA ⊂平面P AC ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥.又因为AB AD ⊥，PA AB A =，所以AD ⊥平面P AB ，而AD ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面P AB ；(3)在棱PC 上显然存在点F 使得AF PC ⊥.由已知，AB AD ⊥，//BC AD ，1AB BC ==，2AD =.由平面几何知识可得CD AC ⊥.由(2)知，PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PA AC A =，所以CD ⊥平面P AC .而AF ⊂平面P AC ，所以CD AF ⊥.又因为CD PC C =，所以AF ⊥平面PCD .在PAC ∆中，2PA =，AC =90PAC ∠=︒，可求得，PC =PF =可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为3. 20.如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为()6,8，直线CD 交AB 于点()6,3D ，交x 轴于点()12,0C .(1)求直线CD 的方程；(2)动点P 在x 轴上从点()10,0-出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t .①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA B ∠=∠?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值.解：（1）直线CD 过点C （12，0），D （6，3），直线方程为030y --＝12612x --，化为一般形式是x +2y ﹣12＝0；（2）①如图1中，作DP ∥OB ，则∠PDA ＝∠B ，由DP ∥OB 得，PA AO ＝AD AB ，即6PA ＝38，∴P A ＝94；∴OP＝6﹣94＝154，∴点P（154，0）；根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（334，0），∴满足条件的点P坐标为（154，0）或（334，0）；②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，则直线OB的『解析』式为y＝43 x，直线PQ的『解析』式为y＝43x+403，由440332120y xx y⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，解得48xy=-⎧⎨=⎩，∴Q（﹣4，8）；∴PQ10，∴PQ＝OB，∴四边形OPQB是平行四边形，又OP＝OB，∴平行四边形OPQB是菱形；此时点M与点P重合，且t＝0；如图3，当OQ＝OB时，设Q（m，﹣12m+6），则有m2+2162m⎛⎫-+⎪⎝⎭＝102，解得m；∴点Q；设M的横坐标为a，则62a+＝652+或62a+＝652+，解得a或a；又点P是从点（﹣10，0）开始运动，则满足条件的t ；如图4，当Q 点与C 点重合时，M 点的横坐标为6，此时t ＝16；综上，满足条件的t 值为0，或16，或925+或925-.。

2016-2017学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷〖含答案〗

9．（4 分）若关于 x 的不等式
对于一切 x∈（1，+∞）恒成立，则实
数 a 的取值范围是（） A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）【解答】解：∵x＞0，∴2x+ =2（x﹣1）+ +2≥6，
当 2（x﹣1）= ，即 x=2 时取等号；
则关于 x 的不等式
对于一切 2017 学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（4 分）已知数列{an}满足 a1=3，an+1=2an，那么 a4=（） A．24 B．18 C．16 D．12 【解答】解：数列{an}满足 a1=3，an+1=2an，可得数列{an}是首项为 3，公比为 2 的等比数列，则 a4=a1q3=3×23=24．故选：A．
4．（4 分）设直线 l 经过两点 A（2，1），B（﹣1，3），则直线 l 下方的半平面（含
直线 l）可以用不等式表示为（）
A．2x+3y﹣7≥0B．2x+3y﹣7≤0C．2x+3y+1≥0 D．2x+3y+1≤0
【解答】解：根据题意，直线 l 经过两点 A（2，1），B（﹣1，3），
由市西城区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．（4 分）已知数列{an}满足 a1=3，an+1=2an，那么 a4=（） A．24 B．18 C．16 D．12 2．（4 分）不等式的解集为（）

【全国百强校】北京2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题

北京2016—2017学年度第二学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题（每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选择中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在括号里）
1. ）．
A. B. C. D.
2. 由观测数据理据有观测数据
，由这两个散点图可以判断（）．
A. 正相关，
B.
C. D.
3.
所示））．
4. ）．
A. B. C. D.
5. 项、第）．
A. B. C. D.
6. 下列命题中正确的是（）．
A. 若两条直线都平行与同一个平面，则这两条直线平行
B. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
C. 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面
D. 若这两条直线垂直于同一个平面，则这两个直线共面
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）．
C.
8. ）．
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共30分．请将答案填在题中横线上）
9.
__________．
10. __________．
11. 如图在某路段检测点，对
__________．
12.
__________．
13. __________．
14. 为等差比数列，比．现给出下列命题：
①
②等差数列一定是等差比数列；
③，则数列
④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比．其中正确的命题的序号为__________．。

2017-2018年北京市101中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年北京市101中学高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）不等式≤0的解集是（）A．{x|﹣1≤X≤2}B．{x|﹣1≤X＜2}C．{x|x＞2或x≤﹣1}D．{x|x＜2} 2．（3分）设等差数列{a n}的前n项和S n，若a4+a10＝4，则S13＝（）A．13B．14C．26D．523．（3分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定4．（3分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣7＝0，直线l2的方程为3x+4y+1＝0，则直线l1和l2的距离为（）A．B．C．D．5．（3分）设某直线的斜率为k，且k∈（﹣，），则该直线的倾斜角α的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[0，）∪（，π）D．[0，）∪（，π）6．（3分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β7．（3分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题：①BM⊥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE⊥平面NCF．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④8．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．2D．49．（3分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．1610．（3分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面是边长为的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD，且SO＝，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）A．2B．2C．1+D．1+二、填空题共6小题．11．（3分）直线l：x cos﹣y+1＝0的斜率为．12．（3分）设等比数列{a n}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝．13．（3分）若a＞0，b＞0，a+b＝1，一定有ab+≥4，（ab）2+（）2≥42+成立，请将猜想结果填空：a n b n+≥．14．（3分）如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，BC＝1，AB＝2，BB'＝3，M为AB的中点，点P在线段C'M上，点P到直线BB'的距离的最小值为．15．（3分）已知△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（﹣4，6）．则△ABC的面积为．16．（3分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，则+的最大值为．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．等比数列{a n}中，a2＝2，a7＝8a4．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．18．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且．（1）当A＝30°时，求a的值；（2）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AC⊥平面ABCD，且P A⊥AC，P A＝AD＝2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1．E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC 上的任意一点．（1）若F为PC的中点，求证：EF∥平面P AD；（2）求证：平面AFD⊥平面P AB；（3）是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．20．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．（1）求直线CD的方程；（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA＝∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．2017-2018学年北京市101中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）不等式≤0的解集是（）A．{x|﹣1≤X≤2}B．{x|﹣1≤X＜2}C．{x|x＞2或x≤﹣1}D．{x|x＜2}【解答】解：根据题意，≤0可以变形为（x+1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解可得﹣1≤x＜2，即不等式的解集为{x|﹣1≤x＜2}，故选：B．2．（3分）设等差数列{a n}的前n项和S n，若a4+a10＝4，则S13＝（）A．13B．14C．26D．52【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a10＝4，得2a7＝4，即a7＝2．∴S13＝．故选：C．3．（3分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cos C＝∴∴△ABC是钝角三角形故选：C．4．（3分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣7＝0，直线l2的方程为3x+4y+1＝0，则直线l1和l2的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵已知直线l1的方程为3x+4y﹣7＝0，直线l2的方程为3x+4y+1＝0，则直线l1和l2的距离为d＝＝，故选：A．5．（3分）设某直线的斜率为k，且k∈（﹣，），则该直线的倾斜角α的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．[0，）∪（，π）D．[0，）∪（，π）【解答】解：直线l的斜率为k，倾斜角为α，若k∈（﹣，），所以﹣＜tanα≤所以α∈[0，）∪（，π）．故选：D．6．（3分）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．7．（3分）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题：①BM⊥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE⊥平面NCF．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④【解答】解：把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA﹣EFMN，如图1所示；对于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM⊂平面BCMF，∴BM∥平面ADNE，①错误；对于②，平面DCMN∥平面ABFE，CN⊂平面DCMN，∴CN∥平面ABFE，②正确；对于③，如图2所示，BD∥FN，BD⊄平面AFN，FN⊂平面AFN，∴BD∥平面AFN；同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，∴平面BDM∥平面AFN，③正确；对于④，如图3所示，BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，且BD、BE⊂平面BDE，∴平面BDE∥平面NCF，∴④错误．综上，正确的命题序号是②③．故选：A．8．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．2D．4【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图是长方体的一部分，由三视图的数据，AB＝BC＝2P到底面的距离为1，∴该几何体的体积：V＝＝．故选：B．9．（3分）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4＝16故选：D．10．（3分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面是边长为的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD，且SO＝，E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（）A．2B．2C．1+D．1+【解答】解：分别取CD、SC的中点F、G，连接EF、FG和EG，如图所示；则EF∥BD，FG∥DS，且EF∩FG＝F，BD∩DS＝D，∴平面EFG∥平面BDS，由AC⊥BD，AC⊥SO，且AC∩SO＝O，则AC⊥平面BDS，∴AC⊥平面EFG，∴点P在△EFG的三条边上；又EF＝BD＝××＝1，FG＝EG＝SB＝×＝，∴△EFG的周长为EF+2FG＝1+．故选：D．二、填空题共6小题．11．（3分）直线l：x cos﹣y+1＝0的斜率为．【解答】解：直线l：x cos﹣y+1＝0，即为直线l：x﹣y+1＝0，即为y＝x+1，故直线的斜率为，故答案为：．12．（3分）设等比数列{a n}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝64．【解答】解：设公比为q，∵a2＝4，a3a4＝128，∴4q×4q2＝128，∴q3＝8，∴q＝2，∴a6＝a2q4＝4×24＝64，故答案为：6413．（3分）若a＞0，b＞0，a+b＝1，一定有ab+≥4，（ab）2+（）2≥42+成立，请将猜想结果填空：a n b n+≥．【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b＝1，一定有ab+≥4+，（ab）2+（）2≥42+成立，可以猜想：a n b n+≥4n+，故答案为：4n+14．（3分）如图，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，BC＝1，AB＝2，BB'＝3，M为AB的中点，点P在线段C'M上，点P到直线BB'的距离的最小值为．【解答】解：连接MC，由BB'∥CC'，BB'⊄平面MCC'，CC'⊂平面MCC'，可得BB'∥平面MCC'，由点P到直线BB'的距离的最小值为异面直线BB'和直线C'M的距离，即有直线BB'和平面MCC'的距离即为异面直线BB'和MC'的距离，也即B到平面MCC'的距离，过B在底面AC内作BH⊥MC，由CC'⊥底面AC，可得CC'⊥BH，即有BH⊥平面MCC'，由BC＝BM＝1，且BC⊥BA，可得BH＝．故答案为：．15．（3分）已知△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（﹣4，6）．则△ABC的面积为10．【解答】解：由两点式的直线BC的方程为＝，即为x+2y﹣8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，BC两点之间的距离为＝4，∴△ABC的面积为×4×＝10，故答案为：10．16．（3分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，则+的最大值为+．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），＝（x1，y1），＝（x2，y2），由x12+y12＝1，x22+y22＝1，x1x2+y1y2＝，可得A，B两点在圆x2+y2＝1上，且•＝1×1×cos∠AOB＝，即有∠AOB＝60°，即三角形OAB为等边三角形，AB＝1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1＝0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y＝1平行，可设AB：x+y+t＝0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d＝，可得2＝1，解得t＝，即有两平行线的距离为＝，即+的最大值为+，故答案为：+．三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．等比数列{a n}中，a2＝2，a7＝8a4．（1）求{a n}的通项公式；（2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m．【解答】解：（1）∵等比数列{a n}中，a2＝2，a7＝8a4．∴2×q5＝8×（2×q2），解得q＝2，当q＝2时，a n＝2n﹣1，∴{a n}的通项公式为，a n＝2n﹣1，（2）记S n为{a n}的前n项和，a2＝2，q＝2，则a1＝1，则S n＝＝2n﹣1，由S m＝63，得S m＝2m﹣1＝63，m∈N，解得m＝6．18．设△ABC的内角A，B，C所对应的边长分别是a，b，c，且．（1）当A＝30°时，求a的值；（2）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，…（2分）由正弦定理可知：，∵A＝30°，∴sin A＝sin30°＝，∴…（6分）（2）∵，△ABC的面积为3，…（7分）∴，∴ac＝10…8分由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B…（9分）∴，即a2+c2＝25…（10分）则：（a+c）2＝a2+c2+2ac＝25+20＝45…（11分）故：…（12分）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AC⊥平面ABCD，且P A⊥AC，P A＝AD＝2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1．E为侧棱PB的中点，F为侧棱PC 上的任意一点．（1）若F为PC的中点，求证：EF∥平面P AD；（2）求证：平面AFD⊥平面P AB；（3）是否存在点F，使得直线AF与平面PCD垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）因为E，F分别为侧棱PB，PC的中点，所以EF∥BC．因为BC∥AD，所以EF∥AD．而EF⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以EF∥平面P AD．（2）因为平面ABCD⊥平面P AC，平面ABCD∩平面P AC＝AC，且P A⊥AC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以P A⊥AD．又因为AB⊥AD，P A∩AB＝A，所以AD⊥平面P AB，而AD⊂平面AFD，所以平面AFD⊥平面P AB．（3）在棱PC上显然存在点F使得AF⊥PC．由已知，AB⊥AD，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝2．由平面几何知识可得CD⊥AC．由（2）知，P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD，因为P A∩AC＝A，所以CD⊥平面P AC．而AF⊂平面P AC，所以CD⊥AF．又因为CD∩PC＝C，所以AF⊥平面PCD．在△P AC中，P A＝2，AC＝，∠P AC＝90°，可求得，PC＝，PF＝．可见直线AF与平面PCD能够垂直，此时线段PF的长为．20．如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，顶点B的坐标为（6，8），直线CD交AB于点D（6，3），交x轴于点C（12，0）．（1）求直线CD的方程；（2）动点P在x轴上从点（﹣10，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．①点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PDA＝∠B？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线CD上存在点Q，使得以OB为一边，O，B，M，Q为顶点的四边形为菱形，并求出此时t的值．【解答】解：（1）直线CD过点C（12，0），D（6，3），直线方程为＝，化为一般形式是x+2y﹣12＝0；（2）①如图1中，作DP∥OB，则∠PDA＝∠B，由DP∥OB得，＝，即＝，∴P A＝；∴OP＝6﹣＝，∴点P（，0）；根据对称性知，当AP＝AP′时，P′（，0），∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）；②如图2中，当OP＝OB＝10时，作PQ∥OB交CD于Q，则直线OB的解析式为y＝x，直线PQ的解析式为y＝x+，由，解得，∴Q（﹣4，8）；∴PQ＝＝10，∴PQ＝OB，∴四边形OPQB是平行四边形，又OP＝OB，∴平行四边形OPQB是菱形；此时点M与点P重合，且t＝0；如图3，当OQ＝OB时，设Q（m，﹣m+6），则有m2+＝102，解得m＝；∴点Q的横坐标为或；设M的横坐标为a，则＝或＝，解得a＝或a＝；又点P是从点（﹣10，0）开始运动，则满足条件的t的值为或；如图4，当Q点与C点重合时，M点的横坐标为6，此时t＝16；综上，满足条件的t值为0，或16，或或．。

北京市101中学2017-2018学年高一下学期期末数学试题

北京市101中学2017-2018学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．不等式102x x +≤-的解集是( ) A ．{}12x x -≤≤B ．{}12x x -≤<C ．{2x x >或}1x ≤-D ．{}2x x < 2．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13S =( )A ．13B ．14C ．26D ．52 3．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定4．已知直线1l 的方程为3470x y +-=，直线2l 的方程为3410x y ++=，则直线1l 和2l 的距离为( )A ．85 B ．95 C ．45 D ．9105．设某直线的斜率为k ，且k ⎛∈ ⎝⎭，则该直线的倾斜角α的取值范围是( ) A ．5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．50,,36πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U D ．20,,63πππ⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭U 6．对于直线,m n 和平面,αβ，能得出αβ⊥的一组条件是（）A ．m n ⊥，m αP ，n βPB ．m n ⊥，m αβ=I ，n β⊂C ．m n P ，n β⊥，m α⊂D ．m n P ，m α⊥，n β⊥ 7．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个命题:①BM ⊥平面ADNE ；②//CN 平面ABFE ；③平面BDM P 平面AFN ；④平面BDE ⊥平面NCF .其中正确命题的序号是( )A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．83B．23C．2 D．49．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设1AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A．8 B．12 C．16 D．1810．如图，四棱锥S ABCD-的正方形ABCD，AC与BD的交点为O，SO⊥平面ABCD且SO=E是边BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持PE AC⊥，则动点P的轨迹的周长为( )A．B．C．1+D．111．直线:cos 106l x y π-+=的斜率为________.12．设等比数列{}n a 满足24a =，34128a a =，则6a =________.13．若0a >，0b >，1a b +=，一定有1144ab ab +≥，()22221144ab ab ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭成立，请将猜想结果填空:1n n n n a b a b+≥________. 14．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，1BC =，2AB =，3BB '=，M 为AB 的中点，点P 在线段C M '上，点P 到直线BB '的距离的最小值为________.15．已知ABC V 中，点()1,1A ，()4,2B ，()4,6C -.则ABC V 的面积为________.16．已知()11,A x y ，()22,B x y 两点，满足:22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为________.17．等比数列{}n a 中，22a =，748a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =，求m .18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos 45B =，3b =. (1)当6A π∠=时，求a 的值；(2)当ABC ∆的面积为3时，求a c +的值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥，2PA AD ==.四边形ABCD 满足//BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==.E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点.(1)若F 为PC 的中点，求证://EF 平面P AD ；(2)求证:平面AFD ⊥平面P AB ；(3)是否存在点F ，使得直线AF 与平面PCD 垂直?若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由.20．如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，顶点B 的坐标为()6,8，直线CD 交AB 于点()6,3D ，交x 轴于点()12,0C .(1)求直线CD 的方程；(2)动点P 在x 轴上从点()10,0-出发，以每秒1个单位的速度向x 轴正方向运动，过点P 作直线l 垂直于x 轴，设运动时间为t .①点P 在运动过程中，是否存在某个位置，使得PDA B ∠=∠?若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；②请探索当t 为何值时，在直线l 上存在点M ，在直线CD 上存在点Q ，使得以OB 为一边，O ，B ，M ，Q 为顶点的四边形为菱形，并求出此时t 的值.。

2016北京101中高一(下)期末数学

）
A． 2+ B． 4+ C． 2+2
D． 5
8．（ 5 分）对于集合 {a 1，a2，…， an} 和常数 a0，定义 w=
为
集合 {a 1， a2，…， an} 相对 a0 的“正弦方差”，则集合 { ，
，
} 相对 a0 的“正弦方差”为（
）
A．
B．
C．
D．与 a0 有关的一个值
二、填空题：
9．（ 5 分）某电子商务公司对 1000 名网络购物者 2015 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
（ 1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
（ 2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买
3 种商品的概率；
（ 3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
19．（ 10 分）已知数列 {a n} 和 {b n} 满足 a1a2a3…ａn=
位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取
6 件样品进行检测．
地区 A B C
数量 50 150 100
（Ⅰ）求这 6 件样品来自 A，B， C 各地区商品的数量；
（Ⅱ）若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率．
16．（ 10 分）如图，在长方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 中， AB=16， AA1=8， BC=10，点 E， F 分别在 A1B1C1D1 上， A1E=D1F=4，过
点 E， F 的平面 α 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形

北京一零一中2016度第二学期期末考试

北京一零一中-学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题：.某市年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下:则这组数据的中位数是将梯形血CD 绕皿所在的直线旋转一周而形，成的曲面所围成的几何体的体积为4ff 5ff.T •亍.T.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是2+^ 4+占.等差数列中，勺+% 1°耳7则数列｛叮的公差为.在区间L 2川上随机选取一个数X，则X<1的概率为4 3 2 15 . 5 3 .5.执行如图所示的程序框图，输出的斤值为x-y>0x+y-4<0.已知◎满足约束条件I 八1 ，则z二一氐+$的最大值为.在梯形功仙中,ZABC^r jU)HSC,BC^2AD=lAB=%2+2^•对于集合佃心”…”叮和常数%,定义:sin?（吗一曲））十血2（% _昭十…*鈕2（% _吗）'1:, 为集合相对®的“正弦方n 5JT 7JT 差”,则集合6r6 '相对坷的“正弦方差”为•与%|有关的一个值•某电子商务公司对名网络购物者年度的消费情况进行统计，发现消费金额间tJ l 内，其频率分布直方图如图所示•在这些购物者中，消费金额在区间 M 丄 ^1内的购物者的人数为•sinLl%门〜抵「见©，则3 ••已知1 5 恥2 2 GM h ■-「1，则切h 的取值范围是• •如图，在正三棱柱¥心_破中，"上2（ , /”//分血吗的中点，成为棱dC 上的动点，则动肋'周长的最小值为• •已知函数（）若几U ：祖的解集为 ⑴八•上」：上乃，则E 的值等于; （）对任意 !>o, m 恒成立，则/的取值范围是•北京一零一中-学年度第二学期期末考试高一数学答题卷、选择题：本大题共小题，共分• 2二、填空题:（单位：万元）都在区-在^ABC 中，視=4,占二5^二6,贝卩snC来源03 04 05 06 0? 0K09•等比数列的前k 项和为「：，公比不为，若坷1，且对任意的"七此都有见别是棱题号答案［来源］■・・来源三、解答题：本大题共小题，共分•.海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量从这些商品中共抽取件样品进行检测•地区A BC（I ）求这件样品中来自各地区商品的数量；50150100（）若在这件样品中随机抽取件送往甲机构进行进一步检测，求这件商品来自相同地区的概率 ..如图，长方体'中赫-W >吐1，过点府丿的平面欣与此长方体的面（I ）在图中画出这个正方形 EFGH （不必说明画法和理由），并说明G"在棱上的具体位置；（n ）求平面厲把该长方体分成的两部分体积的比值且 i.（）求角』的大小;（n ）若心7，施5求C 的值.取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、况，整理成如下统计表，其中“V”表示购买,买.RC-卩点〃分别在人上, 相交，交线围成一个正方形EFG/Z .［来/（I ）= \.5 sinxcosi 亠 eng 3伽c 三个内角的对边分别为①丸「［来源］.某超市随机选丁四种商品的情“X”表示未购（I）求这位顾客中，同时购买乙和丙的频率；（H）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买「种商品的概率；（皿）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由..已知数列亦和血满足中厂叫（才陕，若亦为等比数列，且呦M釧鼻⑴设厂::U记数列和的前伽为必（）求久；（）求正整数k，使得对任意M N，均有•%北京一零一中-学年度第二学期期末考试高一数学答题卷.（）.三、解答题：本大题共小题，共分 ..海关对同时从人三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示.工作人员用分层抽样的方这些商品中共抽取件样品进行检测 .（I ）求这件样品中来自各地区商品的数量;（）若在这件样品中随机抽取件送往甲机构进行进一步检测，求这件商品来自相同地区的概率1 1（）共进口件商品，其中来自地区的商品占的比例为仆；其中来自地区的商品占的比例为1；其1中来自地区的商品占的比例为 3 ；根据分层抽样的原则，件样品中来自地区件，自地区件，自地区件.（）共有个基本事件，其中件商品来自相同地区对应的基本事件有个，设事件4_“件样品中随机抽取件，这件商品来自相同地区•”则（）15的人昭^中曲二16,丛珂血=10,点分别在站.解上占也"，过点0：屮的平面a 与此长方体的面相交，交线（I ）在图中画出这个正方形云阳H （不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（n ）求平面〔I 把该长方体分成的两部分体积的比值 .法从.如图，长方体围成一个正方形E 阳(I )如图，风KLV/押(n)平面把该长方体分成的两部分是两个棱柱，高相同，体积比等于底面积的比；两个棱()求角.d 的大小;(n)若也=7，b=5求C 的值.?解:()因为 /■: it. .■-'.、• - 'til - ' . ■ ■ it, '■22 2 d又'.■- -I .,D所以:二' ,2“勺..6 " fi( 2 3(n)由余弦定理口「一 ]_..' (4)得到啊门；d '.bknK ；1，所以c -址卅0 解得f 3 (舍)或 c S.某超市随机选取1咖位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“V”表示购买，“X”表示未购买.、x 商人数\甲乙丙丁100V X V ［来源］217X V X V 200VVVX柱的底面均为直角梯形，所以体积比2，伽C 三个内角的对边分别为°丿一.厂已知300V X V XVXX X 98X［来源学。

【全国百强校】北京市2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题

2016-2017北京高一下期末
一、选择题：（每题有且只有一个答案，每题5分，共60分）
1. ）．
A. B. C. D.
2. 的夹角的大小为（）．
A. B. C. D.
3. 如图所示，在放置的四个几何体中，其正视图为矩形的是（）．
A. B. C. D.
4. 中，角）．
A. B.
C. D.
5. 是等差数列，且）．
6. 设，，且，则（）．
A. B. C. D.
7. ，平面）．
A. B.
C. D.
8. ，，，，，，则角（）．
9. 已知某几何体的三视图（单位：）．
10. 设向量，满足：，，以，，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为圆的公共点个数最多为（）．
A. B. C. D.
11.
错误
．．的为（）．
A. B.
C. D.
12. ）．
B. D.
二、填空题：（每题5分，共6×5=30分）
13. __________．
14. ．
15. 的最小值为__________．
16. 中，____________________．
17. ，
确的是__________．（请把正确答案的题号写在横线上）
三、解答题：
18. 的大小．
19. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，他们把以下形状的数成为三角形数（如图）．
______）．（请将正确答案的选项填在括号内）
A B C D
是其前
①项的和
②
20.
21. 的边长为，，沿对角线
．
22. ，且满足。

2016北京101中高一(下)期末数学

2016北京101中高一（下）期末数学一、选择题：1．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．232．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．2π7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．58．（5分）对于集合{a1，a2，…，a n}和常数a0，定义w=为集合{a1，a2，…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合{，，}相对a0的“正弦方差”为（）A．B．C．D．与a0有关的一个值二、填空题：9．（5分）某电子商务公司对1000名网络购物者2015年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为．10．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．11．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，公比不为1．若a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，则S5=．12．（5分）已知1＜a＜2，2＜a+b＜4，则5a﹣b的取值范围是．13．（5分）如图，在正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB=2，A1A=2，D，F分别是棱AB，AA1的中点，E 为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）=．（1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，则k的值等于；（2）对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，则t的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．（10分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．16．（10分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，AA1=8，BC=10，点E，F 分别在A1B1C1D1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH．（I）在图中画出这个正方形EFGH（不必说明画法和理由），并说明G，H在棱上的具体位置；（II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．17．（10分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c且f（A）=1．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若a=7，b=5，求c的值．18．（10分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？19．（10分）已知数列{a n}和{b n}满足a1a2a3…a n=（n∈N*）．若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a n和b n；（Ⅱ）设c n=（n∈N*）．记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有S k≥S n．参考答案与试题解析一、选择题：1．【解答】样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B2．【解答】设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．3．【解答】在区间[﹣2，3]上随机选取一个数X，则﹣2≤X≤3，则X≤1的概率P=，故选：B．4．【解答】模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件a＜，a=，k=2不满足条件a＜，a=，k=3不满足条件a＜，a=，k=4满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4．故选：B．5．【解答】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．6．【解答】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：=．故选：C．7．【解答】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE==2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．∴S△ABCS△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．8．【解答】因为集合{，，}相对a0的“正弦方差”，所以W===故选：C．二、填空题：9．【解答】由题意，根据直方图的性质得（1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2）×0.1=1，解得a=3由直方图得（3+2.0+0.8+0.2）×0.1×1000=600．故答案为：600．10．【解答】∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．11．【解答】∵等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意的n∈N+都有a n+2+a n+1﹣2a n=0，∴a n q2+a n q=2a n ，即q2+q=2，解得q=﹣2，或q=1（舍去）．∴S5==11，故答案为11．12．【解答】画出1＜a＜2，2＜a+b＜4的可行域，如图：目标函数z=5a﹣b在直线2=a+b与直线a=2的交点B（2，0）处，z值的上界取：10，在直线4=a+b与直线a=1的交点A（1，3）处，目标函数z值的下界取：2，5a﹣b的取值范围是（2，10）．故答案为：（2，10）．13．【解答】由正三棱柱A1B1C1﹣ABC，可得AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．在Rt△ADF中，DF==2．把底面ABC展开与侧面ACC1A1在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在△ADE中，∠DAE=60°+90°=150°，由余弦定理可得：DE==．∴△DEF周长的最小值=+2．故答案为：+2．14．【解答】（1）：f（x）＞k⇔kx2﹣2x+6k＜0．由已知{x|x＜﹣3，或x＞﹣2}是其解集，得kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2．由根与系数的关系可知（﹣2）+（﹣3）=，解得k=﹣，（2）任意x＞0，f（x）≤t恒成立，等价于t≥=恒成立，∵x+≥2=2，当且仅当x=时取等号，∴t≥，故答案为：（1）：﹣，（2）：[，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共50分.15．【解答】（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．16．【解答】（I）作出图形如图所示：过E作EM⊥AB于M，∵四边形EFGH为正方形，∴EH=EF=BC=10，∵EM=AA1=8，∴MH==6，∴AH=AM+MH=10，∴DG=10，即H在棱AB上，G在棱CD上，且AH=DG=10．（II）设平面α把该长方体分成的两部分体积分别为V1，V2，则V 1=S•AD=×（4+10）×8×10=560，V2=V长方体﹣V1=16×8×10﹣560=720．∴==．17．【解答】（I）因为f（x）=sinxcosx﹣cos2x+==sin（2x﹣）…（6分）又f（A）=sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），…（7分）所以，∴…（9分）（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得到，所以c2﹣5c﹣24=0 …（11分）解得c=﹣3（舍）或c=8 …（13分）所以c=818．【解答】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2．（2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人），故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为=0.3．（3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大．19．【解答】（Ⅰ）∵a1a2a3…a n=（n∈N*）①，当n≥2，n∈N*时，②，由①②知：，令n=3，则有．∵b3=6+b2，∴a3=8．∵{a n}为等比数列，且a1=2，∴{a n}的公比为q，则=4，，∴q＞0，∴q=2．由题意知a n＞0∴（n∈N*）．又由a1a2a3…a n=（n∈N*）得：，，∴b n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅱ）（i）∵c n===．∴S n=c1+c2+c3+…+c n====；（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；当n≥5时，，而=＞0，得，所以，当n≥5时，c n＜0，综上，对任意n∈N*恒有S4≥S n，故k=4．。

北京海淀101中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题(含精品解析)

）2=
＜
=1，故④正确；
⑤若 a＞b，＞ ⇔ ﹣ ＞0⇔ ＞0⇔ ＜0，则 ab＜0，所以 a＞0，b＜0，故⑤正确；
⑥正数 x，y 满足 + =1，则 x+2y=（x+2y）（ + ）=1+2+ + ≥3+2 ，故其最小值为 3+2 ，故⑥错误．
综上所述，正确命题的序号是：②③④⑤，
故答案为：②③④⑤．
点睛：本题考查了等差数列的性质，考查了三角函数的化简与求值，训练了对数的运算性质，是中低档题．
14. 给出下列命题：①若
，则；②若，，则
；③若
，则
；④
；⑤若，，则，；⑥正数，满足
为．其中正确命题的序号是__________．
，则
【答案】②③④⑤
【解析】分析：利用不等式的性质与基本不等式对①②③④⑤⑥逐项判断即可．
∴
.
点睛：（I）当已知条件中含有 sn 时，一般会用结论
来求通项，一般有两种类型：
①所给的 sn=f（n），则利用此结论可直接求得 n＞1 时数列{an}的通项，但要注意检验 n=1 是否适合②所给
的 sn 是含有 an 的关系式时，则利用此结论得到的是一个关于 an 的递推关系，再用求通项的方法进行求
∴数列{an}的前 9 项之和故答案为 99. 点睛：本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前 n 项和公式是解决问题的关键，属于中档题．
10. 已知，函数【答案】5
的最小值是__________．
【解析】分析：由，函数
=
-1+1，然后由基本不等式即可求得最小值.
详解：由题可得：

2016-2017学年北京市朝阳区高一(下)期末数学试卷及答案

2016-2017学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）点P（1，0）到直线x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．1B．C．2D．22．（5分）已知角α的终边在第四象限，且sinα＝﹣，则tanα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）已知直线2x﹣y+1＝0与直线x+ay+2＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣2B．﹣C．D．24．（5分）已知平面向量，满足＝（1，1），||＝，•＝﹣3，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°5．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别是（）A．ω＝2，φ＝B．ω＝2，φ＝﹣C．ω＝，φ＝D．ω＝，φ＝﹣6．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8，则数列{a n}的前n项和为（）A．2n﹣1B．16[1﹣（）n]C．2n﹣1﹣1D．16[1﹣（）n﹣1]7．（5分）在梯形ABCD中，＝2＝4，且＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．1B．2C．D．38．（5分）将函数y＝2sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为（）A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣9．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积的升数为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且C＝，c＝．当•取得最大值时，的值为（）A．1+B．+C．2﹣D．2+二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，1），若⊥，则x＝．12．（5分）若点A（4，0）与点B（0，2）关于直线l对称，则直线l的斜率为．13．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝2x+y的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*），则a2＝，通项公式a n＝．15．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，D是BC边上的一点，且AB＝7，AD＝5，BD ＝3，则∠ADC的度数为，AC的长为．16．（5分）已知等式sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin x°＝sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sin x°，其中x是正整数，当1≤x≤90时，满足该等式的x的个数为；当1≤x≤2017时，满足该等式的x的个数为．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（9分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期．（II）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．18．（9分）已知数列{a n}为等比数列，且a2＝1，a5＝27，{b n}为等差数列，且b1＝a3，b4＝a4．（I）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式．（II）设数列{b n}的前n项和为S n，求数列{}的前n项和T n．19．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c sin A＝a cos C．（I）求角C的大小．（II）若c＝，a+b＝7，求△ABC的面积．20．（12分）如果存在常数A，对于数列{a n}中任意一项a i（i∈N*），A﹣a i也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}具有D性质，常数A是它的D性系数．（I）若数列：2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，求m和A的值．（II）已知等差数列{b n}共有101项，所有项之和是S，求证：数列{b n}具有D性质，并用S表示它的D性系数．（III）对于一个不少于3项，且各项均为正整数的等比数列{c n}，能否同时满足：①对于任意的正整数i，j，当i＜j有，有c i＜c j；②具有D性质．请给出你的结论，并说明理由．2016-2017学年北京市朝阳区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【考点】IT：点到直线的距离公式．【解答】解：点P（1，0）到直线x﹣y﹣3＝0．由点到直线的距离公式d＝．可得：d＝＝．故选：B．【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，比较基础．2．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【解答】解：∵角α的终边在第四象限，且sinα＝﹣，∴cosα＝＝，tan＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．3．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【解答】解：∵直线2x﹣y+1＝0与直线x+ay+2＝0平行，∴2＝﹣，解得a＝﹣，故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两直线平行的性质的合理运用．4．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，＝（1，1），则||＝，又由||＝，且•＝﹣3，则•＝||||cosθ＝﹣3，则有cosθ＝＝﹣，又由0≤θ≤180°，则θ＝﹣150°；故选：D．【点评】本题考查向量的数量级的运算，关键是掌握向量的数量积计算公式．5．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【解答】解：由题设图象知，周期T＝，∴T＝4π∴ω＝＝．图象过点（），∴1＝sin（×+φ），可得φ＝，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴φ＝．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．6．【考点】8E：数列的求和．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4＝9，a2a3＝8，∴a1a4＝a2a3＝8，且a1＜a4，∴a1，a4是方程x2﹣9x+8＝0的两个根，解方程x2﹣9x+8＝0，得a1＝1，a4＝8，∴a4＝a1q3＝8，解得q＝2，∴数列{a n}的前n项和：S n＝＝2n﹣1．故选：A．【点评】本题考查数列的前n项和的求法及应用，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．7．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：由＝＝＝+，即可得到λ＝、μ＝1，∴．故选：C．【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题．8．【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【解答】解：函数y＝2sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（2x﹣），将得到的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin（2（x+）﹣）＝2sin（2x）＝2cos2x．∴对称轴方程为2x＝kπ，k∈Z，∴x＝．当k＝﹣1时，可得一条对称轴方程为x＝﹣．故选：D．【点评】本题考查了三角函数对称轴的求法和平移变换的规律的运用．属于基础题9．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4＝3，a7+a8+a9＝4，即4a1+6d＝3①，3a1+21d＝4②，②×4﹣①×3得：66d＝7，解得d＝，把d＝代入①得：a1＝，故选：A．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．10．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵C＝，∴B＝﹣A，由正弦定理得＝，∴b＝2sin（﹣A）＝cos A+sin A，∴•＝bc cos A＝b cos A＝3cos2A+sin2A＝+cos2A+sin2A＝（sin2A+cos2A）+＝sin（2A+）+，∵A+B＝，∴0＜A＜，∴当2A+＝即A＝时，•取得最大值，此时，B＝﹣＝∴sin A＝sin＝sin（﹣）＝，sin B＝，∴＝＝＝2+，故选：D．【点评】本题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，三角恒等变换，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，答案写在答题卡上．11．【考点】9J：平面向量的坐标运算；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【解答】解：向量＝（1，2），＝（x，1），若⊥，可得x+2＝0，解得x＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的垂直的充要条件的应用，考查计算能力．12．【考点】I3：直线的斜率．【解答】解：∵点A（4，0）与点B（0，2）关于直线l对称，∴k l•k AB＝﹣1，而，∴k l＝2，即直线l的斜率为2．故答案为：2．【点评】本题考查由两点坐标求直线的斜率，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．13．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出实数x，y满足条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，﹣1），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×2﹣1＝3．即目标函数z＝2x+y的最大值为3，给答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．【考点】8H：数列递推式．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，a n+1＝2S n+1（n∈N*），当n＝1时，则a2＝2+1＝3；a n+1＝2S n+1…①a n＝2S n﹣1+1（n∈N*），…②；①﹣②，得：a n+1﹣a n＝2a n，整理，得a n+1＝3a n，∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．a n＝3n﹣1．给答案为：3；3n﹣1．【点评】本题考查等比数列的递推关系式的应用，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题．15．【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：∵AB＝7，AD＝5，BD＝3，∴在△ABD中，余弦定理cos∠ADB＝＝．∴∠ADB＝120°．那么∠ADC＝60°．在△ABD中，余弦定理cos B＝＝，∴sin B＝．正弦定理：，可得：AC＝．故答案为：60°，．【点评】本题考查AC长的求法，考查sin B的值的求法，是中档题，解题时要注意正余弦定理的合理运用．16．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：当x＝1时，结论显然成立，当2≤x≤90时，sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin x°＞sin1°，sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sin x°＜sin1°，故当1≤x≤90时，满足该等式的x的个数为1，同理可得：当90＜x＜180时，方程无解．由于y＝sin x的周期为2π，且sin180°＝sin360°＝0，故当x≥180时，sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sin x°＝0，而sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin359°＝sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin360°＝0，∴方程sin1°+sin2°+sin3°+sin4°+…+sin x°＝sin1°•sin2°•sin3°•sin4°•…•sin x°在每个周期内有两解，∴当1≤x≤2017时，满足该等式的x的个数为[]×2+1＝11．其中[]表示的整数部分．故答案为：1，11．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，方程的个数判断，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【解答】解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sin x cos x．化简可得f（x）＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+）（I）∴f（x）的最小正周期T＝．（II）x∈[﹣，]上，∴2x+∈[，]，∴当2x+＝时，函数f（x）取得最小值为．∴当2x+＝时，函数f（x）取得最大值为1×2＝2．故得f（x）在区间[﹣，]上的最大值为2，最小值为．【点评】本题考查三角函数的性质的运用和化简能力以及计算能力．18．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（Ⅰ）在等比数列{a n}中，由a2＝1，a5＝27，得，即q3＝27，得q＝3．∴，则，在等差数列{b n}中，由b1＝a3＝3，b4＝a4＝9，得d＝，∴b n＝b1+（n﹣1）d＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．∴＝，∴＝．【点评】本题考查等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．19．【考点】HP：正弦定理．【解答】（本题满分为10分）解：（I）在△ABC中，∵c sin A＝a cos C，∴由正弦定理得sin C sin A＝sin A cos C，…3分∵0＜A＜π，∴sin A＞0．从而sin C＝cos C，又∵cos C≠0，∴tan C＝，可得：C＝，…5分（II）∵C＝，c＝，a+b＝7，可得：a2+b2+2ab＝49，…①∴由余弦定理可得：31＝a2+b2﹣ab，…②∴联立①②可得：ab＝6，∴S△ABC＝ab sin C＝6×＝．【点评】本题主要考查三角形的有关知识，考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式的应用，是常考题型，属于中档题．20．【考点】8E：数列的求和．【解答】（Ⅰ）解：因为2，3，6，m（m＞6）具有D性质，且它的D性系数为A，所以A﹣m，A﹣6，A﹣3，A﹣2也是该数列的项，且A﹣m＜A﹣6＜A﹣3＜A﹣2，故A﹣m＝2，A﹣6＝3，即A＝9，m＝7．（Ⅱ）证明：设数列{b n}的公差为d，因为数列{b n}是项数为101项的有穷等差数列若b1≤b2≤b3≤…≤b101，则A﹣b1≥A﹣b2≥A﹣b3≥…≥A﹣b101，即对数列{b n}中的任意一项b i（1≤i≤101），A﹣b i＝b1+（101﹣i）d＝b102﹣i∈{b n}同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥b101，A﹣b i＝b1+（101﹣i）d＝b102﹣i∈{b n}也成立，由“数列具有D性质”的定义可知，数列{b n}是“数列{b n}具有D性质”；又因为数列{b n}所有项之和是S，所以S═＝，即A＝；（Ⅲ）解：假设存在这样的递增的等比数列{c n}，设它的公比为q（q＞1），因为数列{c n}为递增数列，所以c1＜c2＜c3＜…＜c n，则A﹣c1＞A﹣c2＞A﹣c3＞…＞A﹣c n，又因为数列{c n}为“数列具有D性质”，则A﹣c i∈{c n}，所以A﹣c i是正整数故数列{c n}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则c i+c n+1﹣i＝A（1≤i≤n）①若n＝3，则有c1+c3＝A，c2＝，又c22＝c1c3，由此得q＝1，与q＞1矛盾②若n≥4，由c1+c n＝c2+c n﹣1，得c1﹣c1q+c1q n﹣1﹣c1q n﹣2＝0即（q﹣1）（1﹣q n﹣2）＝0，故q＝1，与q＞1矛盾；综合①②得，不存在满足条件的数列{c n}．【点评】本题考查新定义，考查学生的阅读能力，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。

北京市101中学高一数学下学期期末考试试题

北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学一、选择题：1. 某市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是A. 19B. 20C. 21.5D. 232.等差数列中，则数列的公差为A. 4B. 3C. 2D. 13.在区间上随机选取一个数，则的概率为A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值为A.3B. 4C. 5D. 65.已知满足约束条件，则的最大值为A. B. C. D.6.在梯形中，将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. B. C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A． B．C． D．58.对于集合和常数，定义：为集合相对的“正弦方差”，则集合相对的“正弦方差”为A． B． C． D．与有关的一个值二、填空题：9. 某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示. 在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________.10.在中，则_________.11.等比数列的前项和为，公比不为1，若，且对任意的都有，则_________.12.已知，则的取值范围是______.13.如图，在正三棱柱中，，分别是棱的中点，为棱上的动点，则周长的最小值为_________.14.已知函数（1）若的解集为，则的值等于_________；（2）对任意，恒成立，则的取值范围是_________.北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. __________________________. 10. __________________________.11. __________________________. 12. __________________________.13. __________________________. 14. ____________, ___________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.16.如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.17.已知，三个内角的对边分别为且.（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.18.某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．5×中，同时购买乙和丙的频率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由.19.已知数列和满足，若为等比数列，且（I）求与；（Ⅱ）设,记数列的前项和为（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．北京一零一中2015－2016学年度第二学期期末考试高一数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. __________6000____________. 10. _____________1____________.11. __________11______________. 12. ____________(7,14)____ _____.13. ____________________. 14. _________, ____.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.（Ｉ）求这6件样品中来自各地区商品的数量；（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.(1)共进口300件商品，其中来自A地区的商品占的比例为；其中来自B地区的商品占的比例为；其中来自C地区的商品占的比例为；根据分层抽样的原则，6件样品中来自A地区1件，自B地区3件，自C地区2件.(2)共有15个基本事件，其中2件商品来自相同地区对应的基本事件有4个，设事件A=“6件样品中随机抽取2件，这2件商品来自相同地区”，则P(A)=16.如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由），并说明在棱上的具体位置；（Ⅱ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.（Ⅰ）如图，（Ⅱ）平面把该长方体分成的两部分是两个棱柱，高相同，体积比等于底面积的比；两个棱柱的底面均为直角梯形，所以体积比=17.已知，三个内角的对边分别为且.（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值.解：（I）因为又，，所以，（Ⅱ）由余弦定理得到，所以解得（舍）或18.某超市随机选取位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．√（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率；（Ⅲ）用样本估计总体，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？说明理由.【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同时购买丙的可能性最大.（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的频率为.（Ⅱ）从统计表可以看出，在在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为.（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.19.已知数列和满足，若为等比数列，且（I）求与；（Ⅱ）设,记数列的前项和为（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有．解答：（I）由题意，，，知，又有，得公比（舍去），所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为，；（II）（i）由（I）知，，所以；（ii）因为；当时，，而，得，所以当时，，综上对任意恒有，故．。