2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013重庆高考试卷
2013年重庆高考理综物理试题：层次分明难度适中1.试题总的印象
2013年重庆高考物理试题不偏不倚、堂堂正正。题目情景比较新颖，试题内容与生产、生活实际以及学生学习联系紧密，关注科技热点，很好地体现了新课程理念，倡导学生的探究学习，融入研究性学习的过程和方法，注重“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”多方面检测考生的科学素养。试题难易适中，对学生能力的考查，对各个层次学生的区分做得相当好，体现教育评价的科学性，可以说是一套比较出彩的高考题。
3.体现了新课程理念，注重过程与方法，倡导学生的探究学习
如第4、5、6、7、8题，试题选材有伽利略斜面实验的多角度分析、我国科学家在实验上观察到的反常霍尔效应的量子化、舰载机着陆时阻拦索的研究性学习课题、电热毯故障检测的研究性学习课题、测量磁感应强度的研究性学习课题、关于“子母球”的研究性学习课题等等，这些素材来源于教材、学生生活和生产实践，注重物理学与科学技术与社会生活的联系，注重对学生建模能力的培养，提倡科学探究，注重学习中的过程与方法，回归了物理学研究的本源、物理学主要的研究方法以及研究精神等。在考查学生对物理知识的掌握的同时，了解物理学的发生与发展过程，恰当地体现了新课标要求。
4.试题层次分明，体现选拔功能
今年高考物理试题科学严谨，符合课标和考纲的要求。试题起点较低，层次分明，难易适中，整卷阶梯明显，有主要考查1个考点的简单题目，也有考查了多个考点的复杂题目，较复杂的题目又搭建了台阶，让考生易于入手，对不同层次的考生都有较好的区分度。这些题目既考查了学生进一步学习物理所必备的基础知识，同时又能考查学生学习物理的基本素养，充分体现了试题的选拔功能，有利于高等学校选拔人才，也有利于学校新课程改革的顺利推进。
2013年重庆高考数学试题理科10题
磕． 若Ｉ — Ｏ Ｐ ｌ ＜ ， 则 Ｉ ｌ 的 取 值
由
上Ａ Ｂ ２ 得 一［ （ ｃ ｏ ｓ ０ １ ＋ｃ ０ ｓ ２ ） ｃ ｏ ｓ ０＋
（ ｓ ｉ ｎ ０ １ ＋ｓ ｉ ｎ ０ ２ ） ｓ ｉ ｎ ０ ］ Ｒ十Ｃ Ｏ Ｓ （ ０ ｌ 一０ ２ ） ＝０ ①．
２ ０ １ ３ 年 重庆 高考数学试题理科 １ Ｏ 题
重庆 市 第八 中学校 ４ ０ ０ ０ ３ ０ 郑军委 陶兴模
题目 在平面 上， 上 磕， Ｉ — Ｏ Ｂ １ Ｉ ＝ ｌ — Ｏ Ｂ ２ Ｉ
： １， ：Ａ — ＢＩ ＋
Ａ Ｂ ２ ＝（ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ２一Ｒ ｅ ｏ ｓ ０ ， ｓ ｉ ｎ ０ ２一Ｒ ｓ ｉ ｎ ０ ） ．
代入 ② 得 ，
Ｏ — — Ｂ ・ Ｏ — — Ｂ ， ＝Ｏ —｝ Ａ・ （ Ｏ — — Ｐ ＋Ｏ — — Ａ）一ｏ — — ａ
＝Ｏ — — — Ａ — ■ ・ ０ — — — ｐ③． 即Ｏ — — — Ｂ ０ ・ Ｏ — — — Ｂ — ＋ ，＝Ｏ — — — Ａ・ — ｝Ｏ — — — Ｐ — － ｝ ．
将 ① 式平方得
—— — —— ——’ ————
＋
＋２ 一 ０ Ｐ． ＝
解法 ３ 不等式法
根 据条件 知 ， Ｂ ， Ｐ， Ｂ ：
构成一个 矩形 Ａ Ｂ 。 Ｐ Ｂ ： ，以
口２ — Ｐ
＋ ＯＢ． ＋２ ＤＢ ・Ｄ Ｂ，
即
＋
＝２ ， 由 ０≤Ｉ
．
（ ， ） ， 则 点 Ｐ的坐标 为 （ 口 ， ６ ） ， 由Ｊ Ｏ — Ｂ Ｉ ＝ Ｉ
１得
解ｉ ｎ ０ ） ， Ｐ （ ｒ ｃ ｏ ｓ ， ｒ ｓ ｉ ｎ ） ， Ｂ ｔ （ Ｃ Ｏ Ｓ ０ １ ， ｓ ｉ ｎ ０ １ ） ， Ｂ ２ （ Ｃ Ｏ Ｓ ０ ２ ， ｓ ｉ ｎ ０ ２ ） ． 由题 意 可 知 ： ０
重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x ）n （其中n ∈N 且n≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x 5与x 6的系数，列出方程求出n ． 【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r ∴展开式中x 5与x 6的系数分别是35C n 5，36C n 6 ∴35C n 5=36C n 6 解得n=7 故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab 即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A． B． C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算；球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O 的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1 故选C【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= 74 ． 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n }中，a 3+a 7=37， ∵a 3+a 7=a 2+a 8=a 4+a 6=37 ∴a 2+a 4+a 6+a 8=37+37=74， 故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为【点评】本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．【点评】主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C222，得到概率．4（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C2224∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ 1 2 3P∴Eξ=【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题；数形结合．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD 与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．【点评】此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e=，一条准线的方程为x=2． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P 满足，其中M ，N 是椭圆上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值．若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a 和c ，则b 可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P ，M ，N 的坐标，根据题设等式建立等式，把M ，N 代入椭圆方程，整理求得x 2+2y 220+4（x 1x 2+2y 1y 2），设出直线OM ，ON 的斜率，利用题意可求得x 1x 2+2y 1y 2=0，进而求得x 2+2y 2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值求得c ，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由，得（x ，y ）=（x 1，y 1）+2（x 2，y 2）， 即x=x 1+2x 2，y=y 1+2y 2， ∵点M ，N 在椭圆上，所以，故x 2+2y 2=（x 12+4x 22+4x 1x 2）+2（y 12+4y 22+4y 1y 2）=20+4（x 1x 2+2y 1y 2） 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =﹣∴x 1x 2+2y 1y 2=0 ∴x 2+2y 2=20所以P 在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F 1，F 2，由椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a n+1S n （n ∈N *）．（Ⅰ）若a 1，S 2，﹣2a 2成等比数列，求S 2和a 3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k ≤． 【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2，由S 2是等比中项知S 2=﹣2，由此能求出S 2和a 3．（Ⅱ）由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，S n ≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n ﹣1≤． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2， 由S 2是等比中项知S 2≠0，∴S 2=﹣2．由S 2+a 3=a 3S 2，解得． （Ⅱ）证明：因为S n+1=a 1+a 2+a 3+…+a n +a n+1=a n+1+S n ，由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，∴S n ≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k ===①因，且， 要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．。
(完整版)2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）（2012•重庆）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15 C．20 D．25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由不等式可得，由此解得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选A．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．3．（5分）（2012•重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）A．B．C．D．105考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项．解答：解：的展开式通项公式为T r+1==，令=0，r=4．故展开式中常数项为=，故选B．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：两角和与差的正切函数；根与系数的关系．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选D．点评：本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的图象．专题：计算题．分析：利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．解答：解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．点评：本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；交集及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：先分别画出集合A与集合B表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可解答：解：∵⇔或其表示的平面区域如图，（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π∴A∩B所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和y=均关于y=x对称，故阴影部分面积为圆的面积的一半，即故选：D．点评：本题主要考查了二元不等式表示平面区域的知识和延伸，准确的画出两集合表示的平面区域是解决本题的关键，属基础题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由条件可得a+bi=1+3i，根据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即可求得a+b 的值．解答：解：∵（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，∴a+bi=1+3i，∴a=1，b=3，∴a+b=1+3=4，故答案为4．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．12．（5分）（2012•重庆）=．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法则求得所求式子的值．解答：解：由于====，故答案为：．点评：本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c 的值．解答：解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，又b=3，∴由正弦定理=得：c===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．解答：解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．∴f′（1）=0，∴，∴a=﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0）=令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．解答：解：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3P（ξ=1）=P（A1）+P（）=P（ξ=2）=P（）+P（）== P（（ξ=3）=P（）==ξ的分布列为ξ 1 2 3P期望Eξ=1×+2×+3×=．点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：计算题；转化思想．分析：（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．解答：解：f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）=4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx=2cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx=sin2ωx+1，∵﹣1≤sin2ωx≤1，所以函数y=f（x）的值域是[]（II）因y=sinx在每个区间[]，k∈z上为增函数，令，又ω＞0，所以，解不等式得≤x≤，即f（x）=sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数又有题设f（x）在区间上为增函数所以⊆[，]，对某个k∈z成立，于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．点评：本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；转化思想．分析：（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y 轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．解答：解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB 互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥∴•=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x 2=1，得=（1，0，0），所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值点评：本题考查二面角的求法及点到面距离的求法，点到面的求法一般是作垂线，垂线段的长度即所求，二面角的余弦值的求法有两种，一种是几何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二种方法是现在比较常用的方法向量法，其特征是思维量小，计算量大，作题时对这两种方法要根据题设灵活选用20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．考点：数列与不等式的综合；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据S n+1=a2S n+a1，再写一式，两式相减，即可证得{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立，设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3），即证（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即可证得结论．解答：证明：（Ⅰ）∵S n+1=a2S n+a1，①∴S n+2=a2S n+1+a1，②②﹣①可得：a n+2=a2a n+1∵a2≠0，∴∵S n+1=a2S n+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1∵a2≠0，∴a1=1∴{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3）即证（n≥2）a2=1时，等号成立当﹣1＜a2＜1时，与同为负；当a2＞1时，与同为正；∴a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得∴综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查叠加法的运用，需要一定的基本功，属于中档题．。
简约平实重基础 融会贯通考真知——2013年高考数学重庆卷理科第9题赏析
命 题 感 悟
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
简约平 实重基础 融会 贯通 考真知
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２ Ｏ １ ３ 年 高考数 学重庆卷理科 第９ 题 赏析
⑩重 庆 市梁 平 实验 中 学 蒋 明 建
２ ０ １ ３ 年 高考数学重庆卷理科 第９ 题： ４ ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 一 ｔ ａ ｎ ４ ０ 。 ＝
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ｃ ｏ ｓ ４ ０。 ２ ｃ ｏｓ ｌ Ｏ￣
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ｓ ｉ ｎ ４
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ｃ ｏ ｓ ４ ０ 。
求 值 的 目的． 观察 本题 目， 发 现它有两 个特 征 ： 一个特 征
是虽然４ ０ 。 、 ５ ０ 。 不 是特殊角 ， 它们 的和９ ０ 。 却 是特殊 角 ， 根
Ｃ Ｏ ｓ ４ ０。 ２ ｓ ｉ ｎ ５ ０ ￣ ｃ ｏ ｓ ３ ０￣
—
—
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、 ／ 了．
ｃ ｏ ｓ ４ ０。
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中・ ？ 毒 《 ： － ？ 高 中 版
２ ０ １ ３年 １ １ 月
命 题 感 悟
坛 线
评注 ： 这 里 是 根 据 角 变换 的 “ 中 间 集 中” 原则 ， 将８ ０ ｏ
８ ０ ￣ 一 ３ ０ 。 ． 又 可逆 用 两 角 差 的 正 弦公 式 求 解 ． 即
２ ｓ ｉ ｎ ８ ０ ￣ － ｃ ｏ ｓ ５ ０ 。 ２ ｓ ｉ ｎ ８ ０ ￣ － ｃ ｏ ｓ （ ８ ０ ￣ － ３ ０ 。 ）
ｓ ｉ ｎ ５ ０ 。 ｓ ｉ ｎ ５ ０ 。
2010年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：∴q=2故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B． C．4 D．8【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．【点评】本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把简化为，由此可得答案．【解答】解：===﹣，故选B．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点B时，z最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．5．（5分）（2010•重庆）函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；综合题．【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A． B． C． D．【考点】圆的参数方程；直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，故选C．【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及直线的倾斜角和直线和圆的方程的应用，属于基础题．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【考点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用．【专题】压轴题．【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C．【点评】本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意．10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线D．双曲线【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则= ﹣2i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：=，故答案为﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的运算法则．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m= ﹣3 ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁U A={1，2}，∴A={0，3}，∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，∴0+3=﹣m，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系，关键是由题意得出集合A．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．【点评】对立事件公式的应用经常在概率计算中出现，从正面做包含的事件较多，可以从反面来解决，注意区分互斥事件和对立事件之间的关系．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB 的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）= ．【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知取x=1，y=1得f（2）=﹣取x=2，y=1得f（3）=﹣取x=2，y=2得f（4）=﹣取x=3，y=2得f（5）=取x=3，y=3得f（6）=猜想得周期为6法二：取x=1，y=0得取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1）所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故答案为：．【点评】准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=2【点评】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．17．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，∴所求的概率P（A）==（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．【点评】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加容易．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．【解答】解：（1）=，当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y﹣2=0．（2）因为a≠1，由（1）可知=；又因为f（x）在x=1处取得极值，所以，解得a=﹣3；此时，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；=，由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．【点评】掌握函数的导数与极值和单调性的关系．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【考点】点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；综合题；空间角．【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC 的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG 平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中，PA=AB=，所以AE=PB==（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==在Rt△CBE中，CE==，由CD=，所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•s in=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==【点评】本题主要考查了点，线，面的距离计算．在求两面角问题时关键是找到两个面的平面角．20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN 与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．【解答】解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），则由题意知，，∴a=2，b=1，∴C的标准方程为．∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x E x+4y E y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，由方程组及，解得，设MN与x轴的交点为Q，则在直线x E x+4y E y=4k，令y=0得，∵x E2﹣4y E2=4，∴==．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．【考点】数列递推式；数学归纳法．【专题】计算题；压轴题；探究型；归纳法．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a zk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示c k和又c k'，根据c k＜＜1求得c≥1，再根据c k'＜0，判断出单调递增知c k'≥c1'求得＜﹣，最后综合答案可得．【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k+1=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．。
2013年安徽省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．（5分）（2013•安徽）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的混合运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi．则，解得．所以z=1+i．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（2013•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选D．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．3．（5分）（2013•安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论．专题：规律型．分析：根据公理的定义解答即可．经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理．解答：解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理．故选A．点评：本题考查了公理的意义，比较简单．4．（5分）（2013•安徽）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出．解答：解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增．当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增．若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0．∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求解即可．解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解．6．（5分）（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．解答：解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题．7．（5分）（2013•安徽）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8．（5分）（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：直线的斜率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选B．点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．9．（5分）（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．解答：解：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．由，得：．所以，解得①．由|λ|+|μ|≤1．所以①等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．10．（5分）（2013•安徽）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A．3B．4C．5D．6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题；压轴题；导数的综合应用．分析：求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意图象：如图有三个交点，故选A．点评：考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11．（5分）（2013•安徽）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式定理的通项公式即可得出．解答：解：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得．故答案为．点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键．12．（5分）（2013•安徽）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．解答：解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0．即可得到a的取值范围．解答：解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，．∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=．化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0．∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1．∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为[1，+∞）．点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．14．（5分）（2013•安徽）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是．考点：数列的应用；数列的函数特性．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：设，利用已知可得A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S．由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，…．因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n．解答：解：设，∵OA1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S．∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，…．∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2．∴．因此数列{a n}的通项公式是．故答案为．点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．15．（5分）（2013•安徽）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．解答：解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16．（12分）（2013•安徽）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性．解答：解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以T==π，∴ω=1．（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减．点评：本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．17．（12分）（2013•安徽）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．考点：导数的运算；一元二次不等式的解法．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案．解答：解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d （a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为．点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力．18．（12分）（2013•安徽）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y 轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为．即可得出Q．得到直线F1Q的斜率=．利用F1Q⊥F1P，可得=．化为．与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标．解答：解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得．故椭圆E的方程为．（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中．由题设可知：x0≠c．则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=．故直线F2P的方程为．令x=0，解得．即点Q．因此直线F1Q的斜率=．∵F1Q⊥F1P，∴=．化为．联立，及x0＞0，y0＞0，解得，．即点P在定直线x+y=1上．点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题．19．（13分）（2013•安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD．解答：（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键．20．（13分）（2013•安徽）设函数f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立．（2）由题意可得f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，故x n﹣x n+p＞0．用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）的解析式，变形可得x n﹣x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立．解答：证明：（1）对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0．又f n（）=﹣1++[+++…+]≤﹣+•=﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n（x n）=0．（2）对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1（x）=f n（x）+＞f n（x），∴f n+1（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0．由f n+1（x）在（0，+∞）上单调递增，可得x n+1＜x n，即x n﹣x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的n、p∈N+，x n﹣x n+p＞0．由于f n（x n）=﹣1+x n+++…+=0 ①，f n+p（x n+p）=﹣1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用0＜x n+p≤1，可得x n﹣x n+p=+≤≤＜=＜．综上可得，对于任意p∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜．点评：本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题．21．（13分）（2013•安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．考点：概率的应用；古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用．专题：综合题；压轴题；分类讨论；转化思想；概率与统计．分析：（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n 进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可．解答：解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k ﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0 而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=m=2k﹣[]点评：本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分。
2013年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•重庆）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．解答：解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3}，∵全集U={1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）={4}．故选D点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•重庆）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0 D．存在x0∈R，使得x02＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）（2013•重庆）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）A．9B．C．3D．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，即可得到所求式子的最大值．解答：解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f （a）的最大值为，故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，故选B．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．解答：解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．点评：本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．200 D．240考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积． 解答：解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，由图知V==200．故选C ．点评： 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键． 6．（5分）（2013•重庆）若a ＜b ＜c ，则函数f （x ）=（x ﹣a ）（x ﹣b ）+（x ﹣b ）（x ﹣c ）+（x ﹣c ）（x ﹣a ）的两个零点分别位于区间（ ） A ． （a ，b ）和（b ，c ）内 B ． （﹣∞，a ）和（a ，b ）内 C ． （b ，c ）和（c ，+∞）内 D ． （﹣∞，a ）和（c ，+∞）内考点： 函数零点的判定定理． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由函数零点存在判定定理可知：在区间（a ，b ），（b ，c ）内分别存在一个零点；又函数f （x ）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出． 解答： 解：∵a ＜b ＜c ，∴f （a ）=（a ﹣b ）（a ﹣c ）＞0，f （b ）=（b ﹣c ）（b ﹣a ）＜0，f （c ）=（c ﹣a ）（c ﹣b ）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a ，b ），（b ，c ）内分别存在一个零点； 又函数f （x ）是二次函数，最多有两个零点， 因此函数f （x ）的两个零点分别位于区间（a ，b ），（b ，c ）内． 故选A ． 点评： 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键． 7．（5分）（2013•重庆）已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A ． 5﹣4 B ． 1 C ． 6﹣2 D ．考点： 圆与圆的位置关系及其判定；两点间的距离公式． 专题： 直线与圆． 分析： 求出圆C 1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C 2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．解答：解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．点评：本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力．8．（5分）（2013•重庆）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．解答：解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环log23 3第二次循环log23•log34 4第三次循环log23•log34•log45 5第四次循环log23•log34•log45•log56 6第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故选B．点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题．9．（5分）（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值．分析：原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．解答：解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]考点：向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．解答：解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．11．（5分）（2013•重庆）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．12．（5分）（2013•重庆）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．考点：等差数列的前n项和；等比数列的前n项和．专题：计算题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案．解答：解：∵{a n}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•（a1+4d），又a1=1，∴d2﹣2d=0，公差d≠0，∴d=2．∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．故答案为：64．点评：本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．13．（5分）（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：压轴题；概率与统计．分析：不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．解答：解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，共计20+60+120+90+180+120=590种故答案为：590．点评：本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）（2013•重庆）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC 的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．解答：解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．故答案为5．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）（2013•重庆）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．解答：解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），则|AB|=16．故答案为：16．点评：本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．16．（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，8]．考点：绝对值不等式的解法．专题：压轴题；不等式的解法及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．解答：解：由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x﹣5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）（2013•重庆）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．解答：解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（I）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（13分）（2013•重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）从7个小球中取3的取法为，若取一个红球，则说明第一次取到一红2白，根据组合知识可求取球的种数，然后代入古典概率计算公式可求（2）先判断随机变量X的所有可能取值为200，50，10，0根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）设A i表示摸到i个红球，B i表示摸到i个蓝球，则Ai与Bi相互独立（i=0，1，2，3）∴P（A1）==（2）X的所有可能取值为0，10，50，200P（X=200）=P（A3B1）=P（A3）P（B1）=P（X=50）=P（A3）P（B0）==P（X=10）=P（A2）P（B1）==P（X=0）=1﹣=∴X的分布列为x 0 10 50 200PEX==4元点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．19．（13分）（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．（1）求PA的长；（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，﹣3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2，从而得到=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）的计算，得=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（3，，﹣2）和=（3，﹣，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B﹣AF﹣D的正弦值．．解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．又∵OD=CDsin=，∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；（II）由（I）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），设平面FAD 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），平面FAB 的法向量为=（x 2，y 2，z 2）， ∵•=0且•=0，∴，取y 1=得=（3，，﹣2），同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），∴向量、的夹角余弦值为cos ＜，＞===因此，二面角B ﹣AF ﹣D 的正弦值等于=点评：本题在三棱锥中求线段PA 的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题． 20．（12分）（2013•重庆）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2+b 2+ab=c 2． （1）求C ； （2）设cosAcosB=，=，求tan α的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数． 专题：解三角形． 分析： （1）利用余弦定理表示出cosC ，将已知等式变形后代入求出cosC 的值，由C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由A+B 的度数求出sin （A+B ）的值，进而求出cos （A+B ）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos （A+B ），将cosAcosB 的值代入求出sinAsinB 的值，将各自的值代入得到tan α的方程，求出方程的解即可得到tan α的值．解答：解：（1）∵a 2+b 2+ab=c 2，即a 2+b 2﹣c 2=﹣ab ， ∴由余弦定理得：cosC===﹣，又C 为三角形的内角， 则C=；（2）由题意==，∴（cosA ﹣tan αsinA ）（cosB ﹣tan αsinB ）=，即tan 2αsinAsinB ﹣tan α（sinAcosB+cosAsinB ）+cosAcosB=tan 2αsinAsinB ﹣tan αsin （A+B ）+cosAcosB=，∵C=，A+B=，cosAcosB=，∴sin （A+B ）=，cos （A+B ）=cosAcosB ﹣sinAsinB=﹣sinAsinB=，即sinAsinB=，∴tan 2α﹣tan α+=，即tan 2α﹣5tan α+4=0，解得：tan α=1或tan α=4．点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|=4． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P'Q ，求圆Q 的标准方程．考点：圆锥曲线的综合．专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．解答：解：（Ⅰ）由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则，即①∵离心率，∴②联立①②得：，所以b2=8．把b2=8代入②得，a2=16．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（）（t＞0）．联立，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8又P（）在椭圆上，所以．整理得，．代入t2+r2=8，得．解得：．所以，．此时．满足椭圆上的其余点均在圆Q外．由对称性可知，当t＜0时，t=﹣，．故所求圆Q的标准方程为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查方程组的解法，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（12分）（2013•重庆）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集．考点：集合中元素个数的最值；子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，根据P n中有3个数与I n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P7中元素的个数．（2）先用反证法证明证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P14满足要求，从而求得n的最大值．解答：解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，P n={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}=P n={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时P n中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，P n可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n ．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i 为虚数单位，N={3，4}，M ∩N={4}，则复数z=（ ） A ． ﹣2i B ． 2i C ． ﹣4i D ． 4i考点：交集及其运算．专题：计算题．分析： 根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z 的值． 解答： 解：根据题意得：zi=4， 解得：z=﹣4i ．故选C 点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•江西）函数y=的定义域为（ ）A ． （0，1）B ． [0，1）C ． （0，1]D ． [0，1] 考点：函数的定义域及其求法．专题： 计算题；函数的性质及应用． 分析：由函数的解析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项 解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x ＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B 点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）（2013•江西）等比数列x ，3x+3，6x+6，…的第四项等于（ ）A ． ﹣24B ． 0C ． 12D ． 24考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析： 由题意可得（3x+3）2=x （6x+6），解x 的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项． 解答： 解：由于 x ，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x （6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24， 故选A ． 点评： 本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A ． 08 B ． 07 C ． 02 D ． 01考点：简单随机抽样．专题：图表型．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论． 解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01， 故第5个数为01． 故选：D ． 点评： 本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．5．（5分）（2013•江西）（x 2﹣）5的展开式中的常数项为（ ） A ． 80 B ． ﹣80 C ． 40 D ． ﹣40考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计． 分析：利用（x ）5展开式中的通项公式T r+1=•x 2（5﹣r ）•（﹣2）r •x ﹣3r ，令x 的幂指数为0，求得r 的值，即可求得（x ）5展开式中的常数项．解答：解：设（x ）5展开式中的通项为T r+1，则T r+1=•x 2（5﹣r ）•（﹣2）r •x ﹣3r =（﹣2）r ••x 10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2， ∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C ． 点评： 本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题． 6．（5分）（2013•江西）若S 1=x 2dx ，S 2=dx ，S 3=e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为（ ） A ． S 1＜S 2＜S 3B ． S 2＜S 1＜S 3C ． S 2＜S 3＜S 1D ． S 3＜S 2＜S 1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及应用．分析： 先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答： 解：由于S 1=x 2dx=|=，S 2=dx=lnx|=ln2， S 3=e x dx=e x |=e 2﹣e ．且ln2＜＜e 2﹣e ，则S 2＜S 1＜S 3． 故选：B ．点评： 本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）A ． S =2*i ﹣B ． S =2*i ﹣C ． S =2*iD ． S =2*i+42 1考点：程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s ＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案． 解答： 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I 时，程序在运行过程中各变量的值如下表示： i S 是否继续循环 循环前1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否故输出的i 值为：5，符合题意． 故选C ． 点本题考查了程序框图中的当型循环，当型循评： 环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．8．（5分）（2013•江西）如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m+n=（ ）A ． 8B ． 9C ． 10D ． 11考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：判断CE 与EF 与正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，求出m+n 的值． 解解：由题意可知直线CE 与正方体的上底面答： 平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF 与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8． 故选A ． 点评： 本题考查直线与平面的位置关系，基本知识的应用，考查空间想象能力．9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ） A ． B ． C ．D ．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线与圆．分析： 由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部分（含与x 轴的交点），由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值． 解答：解：由y=，得x 2+y 2=1（y ≥0）． 所以曲线y=表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合， 则﹣1＜k ＜0，直线l 的方程为y ﹣0=，即．则原点O 到l 的距离d=，l 被半圆截得的半弦长为．则===． 令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B ．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧的长为x （0＜x ＜π），y=EB+BC+CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y=f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专压轴题；函数的性质及应用．题： 分析： 由题意可知：随着l 从l 1平行移动到l 2，y=EB+BC+CD 越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y ，结合考查选项可得答案．解答： 解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG 为正三角形，此时AM=OH=， 在正△AED 中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA ﹣（AE+AD ）=3×﹣2×1=2﹣2．如图． 又当x=时，图中y 0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x ，y ）在图中红色连线段的下方，对照选项，D 正确． 故选D ．点评： 本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．（5分）（2013•江西）函数y=最小正周期T 为 π ． 考点： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像与性质．分析： 函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期． 解答：解：y=sin2x+2×=sin2x ﹣cos2x+=2（sin2x ﹣cos2x ）+=2sin （2x﹣）+， ∵ω=2，∴T=π． 故答案为：π 点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为 ． 考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析： 根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果．解答： 解：∵、为单位向量，且 和 的夹角θ等于，∴=1×1×cos =． ∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为 =，故答案为 ． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．13．（5分）（2013•江西）设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x ，则f ′（1）= 2 ． 考点：导数的运算；函数的值．专题： 计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析： 由题设知，可先用换元法求出f （x ）的解析式，再求出它的导数，从而求出f ′（1）． 解答： 解：函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x ，令e x =t ，则x=lnt ，故有f （t ）=lnt+t ，即f （x ）=lnx+x ，∴f ′（x ）=+1，故f ′（1）=1+1=2．故答案为：2． 点评： 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．14．（5分）（2013•江西）抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p= 6 ． 考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p 即可．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣， 准线方程与双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF 为等边三角形，所以，即p 2=3x 2， 即，解得p=6．故答案为：6． 点评： 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．15．（5分）（2013•江西）（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为（t 为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ρcos 2θ﹣sin θ=0 ． 考点： 抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析： 先求出曲线C 的普通方程，再利用x=ρcos θ，y=ρsin θ代换求得极坐标方程．解答：解：由（t 为参数），得y=x 2， 令x=ρcos θ，y=ρsin θ，代入并整理得ρcos 2θ﹣sin θ=0． 即曲线C 的极坐标方程是ρcos 2θ﹣sin θ=0．故答案为：ρcos 2θ﹣sin θ=0． 点评： 本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcos θ，y=ρsin θ．16．（2013•江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集为 [0，4] ． 考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析： 利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．解答： 解：不等式||x ﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x ﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x ﹣2|≤2的解集，0≤|x ﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x ≤4．所以不等式的解集为[0，4]． 故答案为：[0，4]．点评： 本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）（2013•江西）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA ﹣sinA ）cosB=0． （1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的取值范围．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：解三角形．分析： （1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA 不为0求出tanB 的值，由B 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB 的值代入表示出b 2，根据a 的范围，利用二次函数的性质求出b 2的范围，即可求出b 的范围． 解答： 解：（1）由已知得：﹣cos （A+B ）+cosAcosB ﹣sinAcosB=0，即sinAsinB ﹣sinAcosB=0，∵sinA ≠0，∴sinB ﹣cosB=0，即tanB=， 又B 为三角形的内角， 则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a ，cosB=， ∴由余弦定理得：b 2=a 2+c 2﹣2ac •cosB ，即b 2=a 2+c 2﹣ac=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3（a ﹣）2+，∵0＜a ＜1，∴≤b 2＜1， 则≤b ＜1． 点评：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2013•江西）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2 （1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈N *，都有T ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列． 分析： （I ）由S n 2可求s n ，然后利用a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n（II ）由b==，利用裂项求和可求T n ，利用放缩法即可证明解答：解：（I ）由S n 2 可得，[]（S n +1）=0 ∵正项数列{a n }，S n ＞0 ∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n﹣1）=2n ，而n=1时也适合 ∴a n =2n （II ）证明：由b ==∴]=点评： 本题主要考查了递推公式a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用．19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．考点： 离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析： （1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值 解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种 X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形 所以小波参加学校合唱团的概率P （X=0）==（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形 X=1时有8种情形 X=﹣1时，有10种情形 X 的分布列为： X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE 并延长交AD 于F （1）求证：AD ⊥平面CFG ；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB ≌△DCB 得到△EAB ≌△ECB ，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF ⊥AD 且AF=FD ，结合题意得到FG 是△PAD 是的中位线，可得FG ∥PA ，根据PA ⊥平面ABCD 得FG ⊥平面ABCD ，得到FG ⊥AD ，最后根据线面垂直的判定定理证出AD ⊥平面CFG ；（2）以点A 为原点，AB 、AD 、PA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系，得到A 、B 、C 、D 、P 的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP 、平面DCP 的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值． 解答： 解：（1）∵在△DAB 中，E 为BD 的中点，EA=EB=AB=1，∴AE=BD ，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB= ∴∠EDA=∠EAD=，可得EF ⊥AD ，AF=FD又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD 是的中位线，可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）设平面BCP的法向量=（1，y 1，z1），则解得y 1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），设平面DCP的法向量=（1，y 2，z2），则解得y 2=，z2=2，可得=（1，，2），∴cos ＜，＞===因此平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值等于|cos ＜，＞|=．点评： 本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面与平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C ：经过点P （1，），离心率e=，直线l 的方程为x=4． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2=λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a ，b 用c 表示出来代入方程，解得c ，从而解得a ，b ，即可得到椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x 的一元二次方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用根与系数的关系求得x 1+x 2=，，再求点M 的坐标，分别表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值；方法二：设B （x 0，y 0）（x 0≠1），以之表示出直线FB 的方程为，由此方程求得M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得A 的坐标，由此表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2=λk 3即可求得参数的值 解答：解：（1）椭圆C ：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c ，则b 2=3c 2②，代入①解得c=1，a=2，b= 故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y=k （x ﹣1）③ 代入椭圆方程并整理得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， x 1+x 2=，④在方程③中，令x=4得，M 的坐标为（4，3k ），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k 1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k 1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k 3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB 的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA 的斜率k 1=，直线PB 的斜率为k 2=所以k 1+k 2=+=2×=2k 3，故存在常数λ=2符合题意点评： 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．（14分）（2013•江西）已知函数f （x ）=，a 为常数且a ＞0． （1）f （x ）的图象关于直线x=对称； （2）若x 0满足f （f （x 0））=x 0，但f （x 0）≠x 0，则x 0称为函数f （x ）的二阶周期点，如果f （x ）有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的x 1，x 2，和a ，设x 3为函数f （f （x ））的最大值点，A （x 1，f （f （x 1））），B （x 2，f （f （x 2））），C （x 3，0），记△ABC 的面积为S （a ），讨论S （a ）的单调性． 考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：压轴题；新定义．分析： （1）只要证明成立即可；（2）对a 分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x 3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性． 解答： （1）证明：∵==a （1﹣2|x|），=a （1﹣2|x|），∴，∴f （x ）的图象关于直线x=对称． （2）解：当时，有f （f （x ））=．∴f （f （x ））=x 只有一个解x=0又f （0）=0，故0不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=，∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．由f（0）=0，，，．故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．（3）由（2）得，．∵x 2为函数f（x）的最大值点，∴，或．当时，S （a ）=．求导得：S ′（a ）=．∴当时，S （a ）单调递增，当时，S （a ）单调递减． 当时，S （a ）=，求导得．∵，从而有．∴当时，S （a ）单调递增．点评： 本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．。
2013年重庆市高考文科数学试卷(含详细解答过程)
若甲、 乙两人相邻而站则有甲乙丙、 丙甲乙、 乙甲丙、 丙乙甲， 共 4 种， 故所求的概率为 14. OA 为边， OB 为对角线的矩形中， OA (3,1) ， OB (2, k ) ，则实数 k ． 【答案】4 【考点】本题主要考查向量的剑法运算、向量垂直的充要条件。 【解析】∵ OA ＝(－3,1)， OB ＝(－2，k)， ∴ AB ＝ OB － OA ＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)． 又 OA ， AB 为矩形相邻两边所对应的向量， ∴ OA ⊥ AB ，即 OA · AB ＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0， 即 k＝4.
3
（A） 5 【答案】C
（B） 1
（C） 3
（D） 4
【考点】本题主要考查函数的求值、对数的运算。 【解析】∵ log 210
1 ， lg2
－1
∴lg(log210)＝lg(lg 2) ＝－lg(lg 2)． 令 g(x)＝ax ＋bsinx，易知 g(x)为奇函数． ∵f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝g(－lg(lg 2))＋4＝5，∴g(－lg(lg 2))＝1. ∴g(lg(lg 2))＝－1. ∴f(lg(lg 2))＝g(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. 故选 C． 10.设双曲线 C 的中心为点 O ，若有且只有一对相较于点 O 、所成的角为 60 的直线 A1B1 和
2 2 2
k＝2，s＝1＋(2－1)2＝2； k＝3，s＝2＋(3－1)2＝6； k＝4，s＝6＋(4－1)2＝15； k＝5，s＝15＋(5－1)2＝31＞15.
∴k＝5.故选 C． 6.下图是某公司 10 个销售店某月销售某产品数量 （单位： 台） 的茎叶图， 则数据落在区间[20,30） 内的概率为 1 8 9 （A）0.2 （B）0.4 2 1 2 2 7 9 （C）0.5 （D）0.6 3 0 0 3 【答案】B 题（6）图 【考点】本题主要考查茎叶图的识别，频率、频数的计算。 【解析】∵数据总个数 n＝10， 又∵落在区间[22,30)内的数据个数为 4， ∴所求的频率为
重庆市2013年高考数学考纲解读及命题分析《不等式(理工农医类)》
重庆市2013年高考数学考纲解读及命题分析《不等式（理工农医类）》摘要：本文通过对2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）考试说明的解读和2006-2012年的历史命题分析来预测新课标之后重庆高考数学不等式板块的命题趋势。
并在此趋势下，根据课程大纲及考试大纲要求提出高考复习建议。
关键词：考纲解读、预测、趋势、复习建议不等式在高考中占据着十分重要的地位，新考纲颁布后，在每年的高考试卷中都有一个填空题选做5分，以及22题的最后一问也是数列不等式，而且不等式和立体几何这一类在高考中分数固定的知识点不一样的是不等式在高考中不仅仅局限于这两个题，而是其思想很有可能在很多选填题中体现。
填空题的这一个不等式题目与平面几何、极坐标与参数方程这两块之前从未涉及到的内容一起构成填空三选二的选做题。
从熟悉度和考纲要求两方面来说都是比较占优势的。
一、《不等式（理工农医类）》考纲解读◆运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件寻找或设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据惊醒估计和近似运算。
1.绝对值不等式【考纲解读】（1）、理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a+b|≤|a|+|b|②|a-b|≤|a-c|+|c-b|③会求解以下类型的不等式： |ax+b|≤c；|ax+b|≥c；|x-a|+|x-b|≥c（2）、会用上述不等式证明一些简单问题（3）、了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法和分析法【命题规律及趋势】绝对值不等式在以前的教材中出现过，知识没有像现在这样单独列出来一个考点，这其实也不算是一个新增考点。
但是对于其几何意义以及其证明对于大家来说是比较陌生的，但是“距离”这一几何意义在考纲中是有要求的。
这也是数形结合的一种很好的体现。
考纲在抽象概括能力这一块高度要求舍弃事物非本质的属性，揭示其本质属性，就此处的绝对值不等式而言就是找到它的本质属性：距离。
2013年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）A．B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题．分析：通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．解答：解：复数，所以===．故选B．点评：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2．（5分）（2013•辽宁）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2]C．（1，2）D．（1，2]考点：交集及其运算；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．解答：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D点评：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量；单位向量．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．解答：解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，则与向量同方向的单位向量为=，故选A．点评：本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4考点：等差数列的性质；命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．解答：解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．点评：本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．解答：解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20，则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B．点评：本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．6．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7．（5分）（2013•辽宁）使得（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4B．5C．6D．7考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式T r+1=3n﹣r••，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．解答：解：设（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则：T r+1=3n﹣r••x n﹣r•=3n﹣r••，令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，∴当r=2时，n最小，即n min=5．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．故选C．点评：熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答：解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．11．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16考点：函数的值域．专题：压轴题；新定义；函数的性质及应用．分析：先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B 即可．解答：解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．综上可知：（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．故选：B．点评：熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．12．（5分）（2013•辽宁）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新函数，确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．解答：解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：点评：本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．考点：总体分布的估计；极差、方差与标准差．专题：压轴题；概率与统计．分析：本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．解答：解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．故答案为：10．点评：本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x ﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．解答：解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得4sin2x=1，即sin2x=．∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．（2）∵函数=（sinx，sinx）•（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB 的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：如图，由AB是圆的直径，得AC⊥BC．由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC．又PA∩AC=A，PA⊂平面APC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，因为PA⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以PA⊥CM，故CM⊥平面PAB．过M作MN⊥PB于N，连接NC．由三垂线定理得CN⊥PB．所以∠CNM为二面角C﹣PB﹣A的平面角．在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得，，．在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得．因为Rt△BNM∽Rt△BAP，所以．故MN=．又在Rt△CNM中，．故cos．所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角及其求法，“寻找垂面，构造垂线”是找二面角的平面角常用的方法，此题是中档题．19．（12分）（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（I）从10道试题中取出3个的所有可能结果数有，张同学至少取到1道乙类题的对立事件是：张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（I）设事件A=“张同学至少取到1道乙类题”则=张同学至少取到的全为甲类题∴P（A）=1﹣P（）=1﹣=（II）X的所有可能取值为0，1，2，3P （X=0）==P（X=1）==P（X=2）=+=P（X=3）==X的分布列为X 0 1 2 3PEX=点评：本题主要考查了古典概型及计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列及期望值的求解，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值．（Ⅱ）由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程解答：解：（Ⅰ）因为抛物线C1：x2=4y上任意一点（x，y）的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为﹣，所以A点的坐标为（﹣1，），故切线MA的方程为y=﹣（x+1）+因为点M（1﹣，y0）在切线MA及抛物线C2上，于是y0=﹣（2﹣）+=﹣①∴y0=﹣=﹣②解得p=2（Ⅱ）设N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1≠x2，由N为线段AB中点知x=③，y==④切线MA，MB的方程为y=（x﹣x1）+，⑤；y=（x﹣x2）+⑥，由⑤⑥得MA，MB的交点M（x0，y0）的坐标满足x0=，y0=因为点M（x0，y0）在C2上，即x02=﹣4y0，所以x1x2=﹣⑦由③④⑦得x2=y，x≠0当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y因此中点N的轨迹方程为x2=y点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，此类题运算较繁，解答的关键是合理引入变量，建立起相应的方程，本题探索性强，属于能力型题21．（12分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（I）①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（II）利用（I）的结论得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥=．再令H（x）=，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．解答：（I）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e﹣2x≥1﹣x⇔（1+x）e﹣x≥（1﹣x）e x，令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）e x，则h′（x）=x（e x﹣e﹣x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．②当x∈[0，1）时，⇔e x≥1+x，令u（x）=e x﹣1﹣x，则u′（x）=e x﹣1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）．综上可知：．（II）解：设G（x）=f（x）﹣g（x）=≥=．令H（x）=，则H′（x）=x﹣2sinx，令K（x）=x﹣2sinx，则K′（x）=1﹣2cosx．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞﹣3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）﹣g（x）≤==﹣x．令v（x）==，则v′（x）=．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞﹣3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案和试题分析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．解答：解：根据题意得：zi=4，解得：z=﹣4i．故选C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•江西）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及使用．分析：由函数的分析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）（2013•江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0C．12 D．24 考点：等比数列的性质．专题：等差数列和等比数列．分析：由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．解答：解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．点评：4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B． 07 C． 02 D．01考点：简单随机抽样．专题：图表型．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．5．（5分）（2013•江西）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 二项式定理．考点：计算题；概率和统计．专题：分利用（x）5展开式中的通项公式T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r，令x的幂析：指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项．解解：设（x）5展开式中的通项为T r+1，答：则T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C．点本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及使用．分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=e x dx=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．故选：B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*i D．S=2*i+4考程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．解答：解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选C．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．8．（5分）（2013•江西）如果，正方体的底面和正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A．8B．9C．10 D．11考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系和距离．分析：判断CE和EF和正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．解答：解：由题意可知直线CE和正方体的上底面平行在正方体的下底面上，和正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF和正方体的左右两个侧面平行，和正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．故选A．点评：本题考查直线和平面的位置关系，基本知识的使用，考查空间想象能力．9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l和曲线y=相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．考直线和圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线和圆．分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含和x轴的交点），由此可得到过C点的直线和曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．解答：解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含和x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l和曲线有两个交点，且直线不和x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线和圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O和等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l和半圆相交于F，G两点，和三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及使用．分析：由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．解答：解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．点本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．评：二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．（5分）（2013•江西）函数y=最小正周期T为π．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和和差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像和性质．分析：函数分析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和和差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．解答：解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin （2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和和差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及使用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．13．（5分）（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题；函数的性质及使用；导数的概念及使用．分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的分析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的分析式，属于基本题型，运算型．14．（5分）（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线和双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线和双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，准线方程和双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的使用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．15．（5分）（2013•江西）（坐标系和参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣sinθ=0．考点：抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由（t为参数），得y=x2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．16．（2013•江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为[0，4]．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及使用．分析：利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．解答：解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．所以不等式的解集为[0，4]．故答案为：[0，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．考点：余弦定理；两角和和差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．解答：解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．点评： 此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 18．（12分）（2013•江西）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令b，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈N *，都有T ．考点： 数列的求和；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；证明题；等差数列和等比数列． 分析： （I ）由S n2可求s n ，然后利用a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n （II ）由b==，利用裂项求和可求T n ，利用放缩法即可证明 解答： 解：（I ）由S n2可得，[]（S n +1）=0∵正项数列{a n }，S n ＞0∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=2n ，而n=1时也适合 ∴a n =2n （II ）证明：由b==∴]=点评： 本题主要考查了递推公式a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的使用及数列的裂项求和方法的使用． 19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望和方差．专题：计算题；概率和统计．分析：（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）==（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形X=1时有8种情形X=﹣1时，有10种情形X的分布列为：X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的使用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线和平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系和距离；空间角．分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD 且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=∴∠EDA=∠EAD=，可得EF⊥AD，AF=FD又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得y1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得y2=，z2=2，可得=（1，，2），∴cos＜，＞===因此平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值等于|cos＜，＞|=．点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面和平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定和性质，考查了利用空间向量研究平面和平面所成角等知识，属于中档题．21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB和直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线和圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根和系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再和椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力和探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．（14分）（2013•江西）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．（1）f（x）的图象关于直线x=对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：（1）只要证明成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．解答：（1）证明：∵==a（1﹣2|x|），=a（1﹣2|x|），∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．（2）解：当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=，∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．由f（0）=0，，，．故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．（3）由（2）得，．∵x2为函数f（x）的最大值点，∴，或．当时，S（a）=．求导得：S′（a）=．∴当时，S（a）单调递增，当时，S（a）单调递减．当时，S（a）=，求导得．∵，从而有．∴当时，S（a）单调递增．点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．。
重庆市2013高考数学理科试卷(有答案)
重庆市2013高考数学理科试卷（有答案）2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的．（1）已知集合，集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）命题“对任意，都有”的否定为（A）对任意，使得（B）不存在，使得（C）存在，都有（D）存在，都有（3）（）的最大值为（A）9 （B）（C）3 （D）（4）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）. 甲组乙组 9 0 9 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则、的值分别为（A）2、5 （B）5、5 （C）5,8 （D）8,8 （5）某几何体的三视图如题（5）图所示，则该几何体的体积为（A）（B）（C）200 （D）240 （6）若，则函数两个零点分别位于区间（A）和内（B）和内（C）和内（D）和内（7）已知圆：，圆：，、分别是圆、上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（A）（B）（C）（D）（8）执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是（A）（B）（C）（D）（9）（A）（B）（C）（D）（10）在平面上，，，．若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）已知复数（是虚数单位），则．（12）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若、、称等比数列，则．（13）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）如题（14）图，在△ 中，，，，过作△ 的外接圆的切线，⊥ ，与外接圆交于点，则的长为．（15）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为的直线与曲线（为参数）相交于、两点，则．（16）若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）设，其中，曲线在点（1，）处的切线与轴相较于点（0,6）．（Ⅰ）确定的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值．（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个篮球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖 3红1蓝 200元二等奖 3红0蓝 50元三等奖 2红1蓝 10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．（Ⅰ）求一次摸球恰好摸到1个红球的概率；（Ⅱ）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额的分布列与期望．（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）如题（19）图，四棱锥中，⊥底面，，，，为的中点，⊥ ．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在△ 中，内角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，，求的值．（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．若⊥ ，求圆的标准方程．（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）对正整数，记…，，，．（Ⅰ）求集合中元素的个数；（Ⅱ）若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“稀疏集”．求的最大值，使能分成两个不相交的稀疏集的并．。
20.三角函数的化简求值
1.广东省2012年高考数学考前十五天每天一练（4） 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（D ） A ． 43-B ．54C ．34-D ．452.陕西省西工大附中2011届高三第八次适应性训练数学（文） 观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++= ； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++= ； ③tan 5tan100tan100tan(15)+-tan(15)tan 51+-=；一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为 .【答案】90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时3.陕西省咸阳市2012届高三上学期高考模拟考试（文科数学） sin 330 的值是（ ）A ．12 B. 12- C. D. 【答案】B4.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理cos300= （ ）(A)-12 (C)12【答案】C5.2012北京宏志中学高考模拟训练-数学理 已知2sin 3α=，则cos(2)πα-= （ ）（A ） （B ）19-6..山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（二）（2012烟台二模）22sin(250)cos 70cos 155sin 25-︒︒︒-︒的值为A ．B ．一12C ．12D 【答案】C7.山东省烟台市2012届高三五月份适应性练习 数学文（三）已知倾斜角为α的直线的值为则平行与直线α2tan 022，y x l =+- A.54 B.34 C.43 D.32 【答案】A4．（福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试）已知a ∈（3,2ππ），且cos 5α=-，则tan α DA ．43B ．一43C ．-2D ．22．（2011年江苏海安高级中学高考数学热身试卷）已知tan 2α=，则s i n ()c o s ()s i n ()c o s ()παπααα++--+-＝ ． 【答案】1贵州省五校联盟2012届高三年级第三次联考试题)10.如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（ ）A ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭C(贵州省五校联盟2012届高三第四次联考试卷) 5.已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为 （ ） A．4- B.47 C.47± D.43- A(贵州省2012届高三年级五校第四次联考理) 13.函数sin y x x =-的最大值是 . 2(贵州省2012届高三年级五校第四次联考文) 4. 若4cos ,,0,52παα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7 C ．177或D ．177-或-A洋浦中学2012届高三第一次月考数学理科试题13．已知函数22()1xf x x =+，则11(1)(2)(3)()()23f f f f f ++++= .25冀州市中学2012年高三密卷（一）6. 已知角α2的顶点在原点, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边过⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23,21, )[πα2,02∈ 则 =αtan ( )A. 3-B. 3C. 33D. 33±B冀州中学高三文科数学联排试题 10．已知sin θ+cos θ=15，θ∈(0，π)，则tan θ的值为 A ． 43- B ．34- C ．43或43- D ．43-或34-A河北省南宫中学2012届高三8月月考数学（文） 6.已知2tan =α，则ααcos sian 的值为（ ）A.21B.32C.52D.1C冀州中学第三次模拟考试文科数学试题13. 已知2()4f x x x =-，则(sin )f x 的最小值为 -32012年普通高考理科数学仿真试题(三) 12.定义一种运算：⎩⎨⎧≤=⊗a b b a a b a ,,,令()()45sin cos 2⊗+=x x x f ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则函数⎪⎭⎫⎝⎛-2πx f 的最大值是 A.45B.1C.—1D.45-【答案】A2012年普通高考理科数学仿真试题(四) 17.（本小题满分12分）已知函数()().1cos 2267sin 2R x x x x f ∈-+⎪⎭⎫⎝⎛-=π （I ）求函数()x f 的周期及单调递增区间；＞b.（II ）在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c,已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,A 经过函数()x f 的图象，b,a,c 成等差数列，且9=⋅AC AB ，求a 的值. 【答案】9（广东省韶关市2012届第二次调研考试）．已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=, 若点A 的纵坐标为35．则sin α=35_____________; tan(2)πα-=___247____________. 5（广东省深圳市2012高三二模文）. tan 2012︒∈A. (0,3B. (3C. (1,3--D. (3- 【答案】B16(上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷理）对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是( ) AA ()()2sin cos sin sin αβαβαβ⋅=++-B ．()()2cos sin sin cos αβαβαβ⋅=++-C ．cos cos 2sinsin22αβαβαβ+-+=⋅ D ．cos cos 2coscos22αβαβαβ+--=⋅17.（上海市财大附中2012届第二学期高三数学测验卷文）已知πα<<0，21cos sin =+αα ，则α2cos 的值为( ) A A ．47- B ．47 C ．47± D ．43-3．广东省中山市2012届高三期末试题数学文 已知233sin 2sin ,(,),52cos πθθθπθ=-∈且则的值等于 A ．23 B ．43 C ．—23 D ．—43AB7. 广东实验中学2011届高三考前 已知24sin 225α=-, (,0)4πα∈-，则s i n c o s αα+=A ．15-B ．51 C ．75- D ．5716. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题 已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ，则x 的取值范围是 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+z k k x k x ,232ππππ 15. 北海市合浦县教育局教研室2011-2012学年高一下学期期中考试数学试题若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)0(21)0(6sin )(x x x x x f π，则=)]1([f f 21- 。
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．〔4分〕〔2013•上海〕计算：=．考点：数列的极限．专题：计算题．分析：由数列极限的意义即可求解．解答：解：==，故答案为：．点评：此题考查数列极限的求法，属基础题．2．〔4分〕〔2013•上海〕设m∈R，m2+m﹣2+〔m2﹣1〕i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=﹣2．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．解答：解：∵复数z=〔m2+m﹣2〕+〔m﹣1〕i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，故答案为：﹣2．点评：此题主要考查复数的基本概念，得到m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．3．〔4分〕〔2013•上海〕假设=，x+y=0．考二阶行列式的定义．点：专常规题型．题：利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．分析：解答：解：∵=，∴x2+y2=﹣2xy∴〔x+y〕2=0∴x+y=0故答案为0此题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．点评：4．〔4分〕〔2013•上海〕已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，假设3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是．余弦定理．考点：专解三角形．题：分把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理析：即可得出．解解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，答：∴==．∴C=．故答案为．熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．点评：5．〔4分〕〔2013•上海〕设常数a∈R，假设的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则a=﹣2．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．解答：解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10﹣2r〔〕r=C5r x10﹣3r a r 令10﹣3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是﹣10，∴aC51=﹣10，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．〔4分〕〔2013•上海〕方程+=3x﹣1的实数解为log34．考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：化简方程+=3x﹣1为=3x﹣1，即〔3x﹣4〕〔3x+2〕=0，解得3x=4，可得x的值．解答：解：方程+=3x﹣1，即=3x﹣1，即8+3x=3x﹣1〔3x+1﹣3〕，化简可得32x﹣2•3x﹣8=0，即〔3x﹣4〕〔3x+2〕=0．解得3x=4，或3x=﹣2〔舍去〕，∴x=log34，故答案为log34．点评：此题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．7．〔4分〕〔2013•上海〕在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．考点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．点：专题：计算题．分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ〔ρ﹣1〕=1，解得ρ=或ρ=〔舍〕，所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，故答案为：．点评：此题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．8．〔4分〕〔2013•上海〕盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是〔结果用最简分数表示〕．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．解答：解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．故答案为点评：此题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．9．〔4分〕〔2013•上海〕设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，假设AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．解答：解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C〔﹣1，1〕，因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．点此题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．评：10．〔4分〕〔2013•上海〕设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=30d2．极差、方差与标准差．考点：专概率与统计．题：分利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算析：公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．解答：解：由题意可得Eξ===x1+9d．∴x n﹣Eξ=x1+〔n﹣1〕d﹣〔x1+9d〕=〔n﹣10〕d，∴Dξ=+…+〔﹣d〕2+0+d2+〔2d〕2+…+〔9d〕2]===30d2．故答案为：30d2．熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．点评：11．〔4分〕〔2013•上海〕假设cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin〔x+y〕=．三角函数的和差化积公式；两角和与差的余弦函数．考点：三角函数的求值．专题：分利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos〔x﹣y〕=，再利用和差化析：积公式sin2x+sin2y=，得到2sin〔x+y〕cos〔x﹣y〕=，即可得出sin〔x+y〕．解解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos〔x﹣y〕=．答：∵sin2x+sin2y=，∴sin[〔x+y〕+〔x﹣y〕]+sin[〔x+y〕﹣〔x﹣y〕]=，∴2sin〔x+y〕cos〔x﹣y〕=，∴，∴sin〔x+y〕=．故答案为．点评：熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．12．〔4分〕〔2013•上海〕设a为实常数，y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f 〔x〕=9x++7．假设f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．．考点：函数奇偶性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：先利用y=f〔x〕是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f〔x〕的最小值，解不等式求出a的范围．解答：解：因为y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f〔x〕=0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f〔﹣x〕=﹣9x﹣+7 因为y=f〔x〕是定义在R上的奇函数，所以f〔x〕=9x+﹣7；因为f〔x〕≥a+1对一切x≥0成立，所以当x=0时，0≥a+1成立，所以a≤﹣1；当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，所以6|a|﹣7≥a+1，解得，所以．故答案为：．点评：此题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．13．〔4分〕〔2013•上海〕在xOy平面上，将两个半圆弧〔x﹣1〕2+y2=1〔x≥1〕和〔x﹣3〕2+y2=1〔x≥3〕，两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过〔0，y〕〔|y|≤1〕作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为2π2+16π．考点：进行简单的合情推理．专题：计算题；压轴题；阅读型．分析：由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．解答：解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，高为2π的圆柱平放得到的，如下图，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．故答案为2π2+16π．点此题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放评：置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．14．〔4分〕〔2013•上海〕对区间I上有定义的函数g〔x〕，记g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f〔x〕有反函数y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔〔2，4]〕=[0，1〕．假设方程f〔x〕﹣x=0有解x0，则x0=2．考点：反函数；函数的零点．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1〕时，x∈[1，2〕时f 〔x〕的值域，进而可判断此时f〔x〕=x无解；由f〔x〕在定义域[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f〔x〕的取值集合，再根据方程f〔x〕=x有解即可得到x0的值．解答：解：因为g〔I〕={y|y=g〔x〕，x∈I}，f﹣1〔[0，1〕〕=[1，2〕，f﹣1〔2，4]〕=[0，1〕，所以对于函数f〔x〕，当x∈[0，1〕时，f〔x〕∈〔2，4]，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解；当x∈[1，2〕时，f〔x〕∈[0，1〕，所以方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解；所以当x∈[0，2〕时方程f〔x〕﹣x=0即f〔x〕=x无解，又因为方程f〔x〕﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f〔x〕的取值应属于集合〔﹣∞，0〕∪[1，2]∪〔4，+∞〕，故假设f〔x0〕=x0，只有x0=2，故答案为：2．点评：此题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．〔5分〕〔2013•上海〕设常数a∈R，集合A={x|〔x﹣1〕〔x﹣a〕≥0}，B={x|x≥a﹣1}，假设A∪B=R，则a的取值范围为〔〕A．〔﹣∞，2〕B．〔﹣∞，2]C．〔2，+∞〕D．[2，+∞〕考点：集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．解答：解：当a＞1时，A=〔﹣∞，1]∪[a，+∞〕，B=[a﹣1，+∞〕，假设A∪B=R，则a﹣1≤1，∴1＜a≤2；当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；当a＜1时，A=〔﹣∞，a]∪[1，+∞〕，B=[a﹣1，+∞〕，假设A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，∴a＜1；综上，a的取值范围是〔﹣∞，2]．故选B．点评：此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解此题的关键．16．〔5分〕〔2013•上海〕钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的〔〕A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：因为“好货不廉价”是“廉价没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不廉价”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不廉价”是“好货”的必要条件．解答：解：“好货不廉价”是“廉价没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不廉价”是真命题．所以“好货”⇒“不廉价”，所以“不廉价”是“好货”的必要条件，故选B点评：此题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．17．〔5分〕〔2013•上海〕在数列〔a n〕中，a n=2n﹣1，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为〔〕A．18 B．28 C．48 D．63考点：数列的函数特性．专题：压轴题．分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，要使a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕．则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=〔2i﹣1〕〔2j﹣1〕+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1〔i=1，2，…，7；j=1，2，…，12〕，当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12〕，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．故选A．点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn〔i，m=1，2，...，7；j，n=1，2， (12)是解题的关键．18．〔5分〕〔2013•上海〕在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．假设m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足〔〕A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，∵m、M分别为〔++〕•〔++〕的最小值、最大值，∴m＜0，M＜0故选D．点评：此题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．〔12分〕〔2013•上海〕如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．考点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．点：专题：空间位置关系与距离．分析：解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC．所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=〔2，1，﹣2〕，再根据=﹣0，可得⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B 到平面D′AC的距离d=的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．解答：解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，于是直线BC′平行于平面D′AC．直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V==，而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，故△CAD′的面积S△CAD′=••=，所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则由题意可得，点A〔1，0，1 〕、B〔1，2，1〕、C〔0，2，1〕、C′〔0，2，0〕、D′〔0，0，0〕．设平面D′AC的一个法向量为=〔u，v，w〕，则由⊥，⊥，可得，．∵=〔1，0，1〕，=〔0，2，1〕，∴，解得．令v=1，可得u=2，w=﹣2，可得=〔2，1，﹣2〕．由于=〔﹣1，0，﹣1〕，∴=﹣0，故有⊥．再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC．由于=〔1，0，0〕，可得点B到平面D′AC的距离d===，故直线BC′到平面D′AC的距离为．点评：此题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，表达了转化的数学思想，属于中档题．20．〔14分〕〔2013•上海〕甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品〔生产条件要求1≤x≤10〕，每小时可获得的利润是100〔5x+1﹣〕元．〔1〕要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；〔2〕要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：〔1〕求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；〔2〕确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．解答：解：〔1〕生产该产品2小时获得的利润为100〔5x+1﹣〕×2=200〔5x+1﹣〕根据题意，200〔5x+1﹣〕≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0∴x≥3或x≤﹣∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；〔2〕设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100〔5x+1﹣〕×=90000〔〕=9×104[+]∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．点评：此题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．21．〔14分〕〔2013•上海〕已知函数f〔x〕=2sin〔ωx〕，其中常数ω＞0 〔1〕假设y=f〔x〕在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；〔2〕令ω=2，将函数y=f〔x〕的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g〔x〕的图象，区间[a，b]〔a，b∈R，且a＜b〕满足：y=g〔x〕在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．考点：三角函数的图像与性质．专题：分〔1〕已知函数y=f〔x〕在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单析：调性可得，且，解出即可；〔2〕利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g〔x〕=2．令g〔x〕=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．假设b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]〔m∈N*〕恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间〔14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．解解：〔1〕∵函数y=f〔x〕在上单调递增，且ω＞0，答：∴，且，解得．〔2〕f〔x〕=2sin2x，∴把y=f〔x〕的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，∴函数y=g〔x〕=，令g〔x〕=0，得，或x=〔k∈Z〕．∴相邻两个零点之间的距离为或．假设b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]〔m∈N*〕分别恰有3，5，…，2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间〔14π+a，b]至少有一个零点，∴．另一方面，在区间恰有30个零点，因此b﹣a的最小值为．点评：此题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．22．〔16分〕〔2013•上海〕如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，假设存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”〔1〕在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程〔不要求验证〕；〔2〕设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；〔3〕求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．专题：压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：〔1〕由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为〔〕，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与〔0，1〕连线的斜率；〔2〕由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；〔3〕由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．解答：〔1〕解：C1的左焦点为〔〕，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．〔2〕证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．假设原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx〔|k|＞1〕．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx〔|k|＞1〕，则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx〔|k|＞1〕与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．〔3〕证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．假设|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得〔1﹣2k2〕x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=〔4kb〕2﹣4〔1﹣2k2〕〔﹣2b2﹣2〕=8〔b2+1﹣2k2〕≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心〔0，0〕到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．点评：此题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．23．〔18分〕〔2013•上海〕给定常数c＞0，定义函数f〔x〕=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足a n+1=f〔a n〕，n∈N*．〔1〕假设a1=﹣c﹣2，求a2及a3；〔2〕求证：对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；〔3〕是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？假设存在，求出所有这样的a1；假设不存在，说明理由．考点：数列的函数特性；等差关系确实定；数列与函数的综合．专题：压轴题；等差数列与等比数列．分析：〔1〕对于分别取n=1，2，a n+1=f〔a n〕，n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；〔2〕由已知可得f〔x〕=，分三种情况讨论即可证明；〔3〕由〔2〕及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．解答：解：〔1〕a2=f〔a1〕=f〔﹣c﹣2〕=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，a3=f〔a2〕=f〔2〕=2|2+c+4|﹣|2+c|=2〔6+c〕﹣〔c+2〕=10+c．〔2〕由已知可得f〔x〕=当a n≥﹣c时，a n+1﹣a n=c+8＞c；当﹣c﹣4≤a n＜﹣c时，a n+1﹣a n=2a n+3c+8≥2〔﹣c﹣4〕+3c+8=c；当a n＜﹣c﹣4时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣c﹣8＞﹣2〔﹣c﹣4〕﹣c﹣8=c．∴对任意n∈N*，a n+1﹣a n≥c；〔3〕假设存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列．由〔2〕及c＞0，得a n+1≥a n，即{a n}为无穷递增数列．又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣c，从而a n+1=f〔a n〕=a n+c+8，由于{a n}为等差数列，因此公差d=c+8．①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f〔a1〕=﹣a1﹣c﹣8，又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣c，∴a n+1=f〔a n〕=a n+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；②假设﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f〔a1〕=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；③假设a1≥﹣c，则由a n≥a1得到a n+1=f〔a n〕=a n+c+8，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞〕．点评：此题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．。
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析2013年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.（4分）计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1} ^{n}k\sqrt{n^2+k^2}$考点：数列的极限。
专题：计算题。
分析：根据数列极限的定义即可求解。
解答：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}k\sqrt{n^2+k^2}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{n}\sqrt{1+\frac{k^2}{n^2}}$int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^2}dx=\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$故答案为：$\frac{2}{3}(1+\sqrt{2})$。
点评：本题考查数列极限的求法，属基础题。
2.（4分）设$m\in R$，$m^2+m^{-2}+(m^2-1)i$是纯虚数，其中$i$是虚数单位，则$m=-2$。
考点：复数的基本概念。
专题：计算题。
分析：根据纯虚数的定义可得$m^2-1=0$，$m^2-1\neq0$，由此解得实数$m$的值。
解答：$\because$复数$z=(m^2+m^{-2})+(m-1)i$为纯虚数。
therefore m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，解得$m=-2$。
故答案为：$-2$。
点评：本题主要考查复数的基本概念，得到$m^2+m^{-2}=0$，$m^2-1\neq0$，是解题的关键，属于基础题。
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2013年重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
4．（5分）（2013•重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
5．（5分）（2013•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
．．
6．（5分）（2013•重庆）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+
7．（5分）（2013•重庆）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，
． 1
．．﹣
10．（5分）（2013•重庆）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||
＜，则||的取值范围是（）
]，，，
题卡相应位置上．
12．（5分）（2013•重庆）已知{a n}是等差数列，a1=1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
20．（12分）（2013•重庆）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
21．（12分）（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过
左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
2013重庆数学理科答案
=200
=5﹣
=
=．
由，得
|，∴
∴
∴
，
|，∴||
×
+﹣
cosC=﹣
C=；
==
，
C=，，cosAcosB=
=sinAsinB=sinAsinB= tan﹣=
，
∵离心率，∴
得：
∴椭圆的标准方程为；
（）在椭圆上，所以．整理得，．
，得
解得：．所以
．
，
．。