地震波传播原理

菲涅尔体和透射波

摘要

在地震成像实验中，通常使用基于波动方程高频渐进解的几何射线理论，因此，通常假设地震波沿着空间中一条连接激发点和接受点的无限窄的线传播，称为射线。事实上，地震记录有非常多的频率成分。地震波频率的带限性就表明波的传播应该扩展到几何射线周围的有限空间。这一空间范围就成为菲涅尔体。在这片教案中，我们讲介绍关于菲涅尔体的物理理论，展示适用于带限地震波的波动方程的解。波动方程的有限频理论通过敏感核函数精确地描述了带限透射波和反射波的旅行时与振幅和地球介质中慢度扰动之间的线性关系。菲涅尔体和有限频敏感核函数可以通过地震波相长干涉的概念联系起来。波动方程的有限频理论引出了一个反直觉的结论-在三维几何射线上的点状速度扰动不会不会造成波长的相位扰动。因此，这说明在射线理论下的菲涅尔体理论是波动方程有限频理论在有限频下的一个特例。最后，我们还澄清了关于菲涅尔体宽度限制成像实验分辨率的误解。

引言

在地震成像技术中，射线理论通常在正演和反演中被用有构建正反演波长算子。射线理论之所以收到欢迎部分是由于计算机速度和内存的限制，因为射线理论具有较高的计算效率并且对于各种地震成像方法的应用也比较容易。而另一方面，地震成像实验清晰的表明，射线理论，由于他对波场传播的近似描述，对于散射效应严重的波场的成像是不完备的。Cerveny 给出了对于地震波射线理论的一个全面的理解。

在地震成像实验中，记录到的透射波和反射波信号都是由一个主要由低频信号组成的宽带震源激发产生的，因为地震波的高频信号在地层中很容易衰减。但是射线理论是基于高频近似的，这表明基于射线理论的成像技术和和测量波场这件之能会存在方法上的冲突。这个围绕射线且对带限地震波的传播起主要影响的空间范围就被叫做菲涅尔体。射线理论在地下构造尺度大于记录波场的第一菲涅尔带的介质中能够取得较好的效果。对于低频反射波（频率成分在10-70Hz之间）和透射波（频率成分在300-800Hz之间），第一菲涅尔体的宽度可以分别达到500m和50m的量级。这个宽度要大于我们在陆地和海洋的反射波地震勘探以及井间和垂直地震剖面中想要成像的地下地质特征。

在这篇教案中，我们将看到如何将地震分辨率扩展到识别体积小于第一菲涅尔带的不均匀体。我们将展示如把射线理论下的旅行时和振幅公式扩展到更精确的、可以应用与带限反射和透射地震信号波场近似理论。波动方程的有限频理论提出了反射和透射地震波的敏感核函数（也称作Frechet核函数）。这些有限频Frechet核函数将速度扰动和旅行时与振幅的扰动线性的联系起来。有限频波长近似被直接应用到各种地震成

像实验中，例如井间、VSP 、反射以及偏移成像。由于二者都是由地震波的干涉相长引出，Frechet 核函数也可以与菲涅尔带自然地联系起来。

这篇教案按照如下结构讲述。首先从克其霍夫积分开始，我们导出了在均匀介质下菲涅尔体的概念。接下来将介绍均匀介质中有限频地震波的敏感核函数。随后，我们将展示一个射线理论失效的实例。之后，我们将菲涅尔体和Frechet 核函数的公式引向非均匀介质，并且将展示几个分辨率不再限制在第一菲涅尔带的高分辨率地震实验的例子。

菲涅尔体

在射线理论中，地震波沿着一条或几条连接震源和接受点的射线传播。实际上，地震波并不严格沿射线传播。波动是一种集体现象-即许多微粒在一个有限的空间区域中运动。对于有限频带的地震波，波场的不均匀性会随着波的传播而区域平滑。因此，波场在有限介质中的传播是连续的。波场变化区域的大小取决于波长，它随频率的增加而减小。这就是射线理论随着频率的增加而逐渐精确的物理原因。

对于有限频地震波传播，传播路径扩展到横跨在连接激发点和接受点的射线路径上的管状体。在射线理论中，这个管状体在无限频近似下退化为一条线（射线）。在这里，我们追随Kravtsov ，我们利用克其霍夫积分导出地震波在给定炮检对下的传播区域。 在图1中，位于rs 处的点源激发地震波。根据表象理论，在接受点r r 处记录的波场可以表示为放置在震源和接受点之间的面s 上的积分。利用图1中所示的几何关系，接受点位置的波场可被写作

p r r = 1p r s (p r ∇G r ,r r −G r ,r r ∇p(r ))d S （1）

其中p r r 是接受点r r 的声压，p 指物质密度，G r ,r r 是格林函数。

这个表达式适用于声波，他的推导可以追溯到Morse 和Feschbach ，以及Snieder 。定义格林函数G r ,r r 的介质可以为均匀介质或不均匀介质。对于弹性波，相似的表达式叫做Betti 理论。由于弹性波张量算符的数学复杂性会影响我们下一步的讲述，我们将继续采用声波下的方程（1）。在积分（1）中的曲面S 上的波场是指全部波场。但是，当反向散射很弱时，积分中的波场可以被直接从震源传播到界面S 的入射波场所取代。这叫做克其霍夫近似。

在克其霍夫近似中，积分（1）可以被解释为从界面S 各点散射的地震波的叠加，相关的射线路径在图1中用细实线标出。从S 上靠近几何射线的点出发传播的波基本上与初至波（直达波）同相。那些从远离几何射线的点出发的波要晚于初至波到达。因为这个原因，积分式（1）中对于透射波的影响主要来源于界面S 上靠近几何射线的点。

但是注意，这个论点并没有告诉我们什么叫“靠近”。我们将在下一章通过考虑均匀

介质这个特例来进一步阐述这一概念。

实例：均匀介质

对于均匀模型，散射过程的几何描述可参见图。入射波(波前用灰色实线标出)从源点

rs到r点，激发出向rr点传播的散射波（波前用灰色虚线画出）。点r在位于公式（1）中的积分曲面上，沿几何射线距离源点的距离为x。从积分点到几何射线的垂直距离可用q表示，激发接受点之间的距离用L表示。之后我们将对从源点rs出发经过积分点

r到接受点rr的弯曲折射波路径与几何射线进行对比。

我们考虑与激发接受点距离相等的几何射线传播路径长度和从源点rs出发经过积分点

r到接受点rr的弯曲折射波路径长度的差D.弯曲路径和直达路径之间的长度差可以表

达为如下公式

当便宜距离q（x）远比