弹性中心法ppt课件

Δ 2 P
M 2M P ds EI
Δ 3 P
M 3M P ds EI
All Rights Reserved
.
由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔 离体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起
的内力表达式求得
MX1 X2(yyS)X3xMP
FQ X2 sinX3 cosFQP
时，还需考虑轴力对 22的影响。即
All Rights Reserved
.
11
M
2 1
ds
EI
1 ds EI
22
M
2 2
ds
EI
F
2 N
2
ds
EA
(y yS )2 ds EI
cos
2
ds
EA
33
M
2 3
ds
EI
x2 ds
EI
Δ 1 P
M 1M P ds EI
FN X2 cosX3 sinFNP
弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的 闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。
All Rights Reserved
.
【例7-14】试用弹性中心法计算图示圆拱直墙刚架的弯矩MA和 MC。设EI=常数。
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
R
A
7.7 用弹性中心法计算对称无铰拱
一、弹性中心
为了简化计算，采用以下两项简化措施：
第一选取对称的基本结构
力法方程简化为两 组独立的方程，即
FP A
对
称
轴
B
11X1 12X2 Δ1P 0
21X1 22X2 Δ2P 0
33X3Δ3P0
FP
X1
X2
X2
A
X3
B
All Rights Reserved
.
第二项简化措施是利用刚臂进
A
X1 X1
K
X3 X3
B
y
FP A
C O
EI=∞ B
FP
C
x
X2 O
X2
ys
y
A
X1 X1
K
X3 X3
B
y
第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。
副系数 12的算式如下：
1 2
M 1 M 2 d s EI
F N 1 F N 2 d s EA
F Q 1 F Q 2 d s GA
B
y
下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的 。
第一步，把原来的无铰拱换成带刚臂 的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与原
FP
C
来的无铰拱是等效的，可以相互代替。
A
O EI=∞ B
第二步，选取基本体系。将带刚臂的 无铰拱在刚臂下端O处切开。
All Rights Reserved
.
FP
C
x
X2 O
X2 ys y
12 21 (1 )(E yy IS)ds00EyIdsySE1Ids
All Rights Reserved
.
令 12= 21=0，便可得到刚臂长度yS为 1
y
yS
EI
1
ds
EI d s
EI x
y O
ys
弹性中心 ds
y
为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI
的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个
图形面积的形心计算公式。
由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面 积图，它的形心则称为弹性中心。
如果求出yS，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至 弹性中心，然后取形如图带刚臂的基本体系，则力法方程
中的全部副系数都等于零。这一方法就称为弹性中心法。
All Rights Reserved
All Rights Reserved
.
x
X1=1
X1=1 K
ys
x y
X2=1 X2=1
K
y
y
x
M1 1, FN10, FQ10
M2 yyS, FN2cos, FQ2sin
x X3=1 X3=1 K
M3 x, FN3sin, FQ3cos
y
式中，yS为刚臂长度；为截面处拱轴切线与水平
线之间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。
.
二、荷载作用下
力法方程简化为式
11 X 1 Δ1 P 0 22 X 2 Δ2 P 0 33 X 3 Δ3 P 0
当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴 时，或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10
y ys
X2 =1
M2
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
1）在X1=1作用下
基本体系
直、曲杆段 M1 1
2）在X2=1作用下
曲杆段 M 2 y y s R ( 1 c o s ) 0 . 8 1 R R ( 0 . 1 9 c o s )
直杆段 M 2yySy0.8R 1
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
yds
2
2R(1co)sRd2
2R
ydy
yS
E I E 1ds EI
I0
2 E
2Rd2
I0
ห้องสมุดไป่ตู้
E
EIR
2R
dy IR
0.8R 1
All Rights Reserved
.
(2)计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。 因为
(qds)co sqdx
(qds)sinqdy
由于荷载对称，故反对称力X3=0
All Rights Reserved
.
(1)求弹性中心位置
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
All Rights Reserved
.
3）在荷载作用下
q
q
q
q
R
MP (曲杆段)
ys y
曲杆段 直杆段
MP (直杆段)
M Pq 2(Rsin )2q22 R (1co )s 2qR 2(1cos)
qR2 qy2 MP 2 2
据此，可求得系数和自由项为
1 1M E 1 2d s I E 20 2 1 I R d E 2R 2 R I 1 d y 5 .E 1R 4 I
一步使余下的一对副系数 12
FP
和 21也等于零，从而使力法
方程进一步简化为三个独立的 A
一元一次方程：
C O
EI=∞ B
11 X 1 Δ1 P 0
22 X 2
Δ2 P
0
33 X 3 Δ 3 P 0
All Rights Reserved
.
FP
C
x
X2 O
X2
ys
y
A
X1 X1
K
X3 X3
All Rights Reserved
.
2 2 M E I 2 2 d s E 2 I0 2 R 2 ( 0 . 1 9 - c o s) 2 R d E 2 IR 2 R ( y 0 . 8 1 R ) 2 d y 2 . 0 E 4 I R 3