弹性中心法ppt课件
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1第二章第四节弹性理论PPT课件
——点
弹性
Edlim DQ•PdQ •P
DP Q dPQ
• 斜率和弹性的区别：
1. 定义的区别。
2. 弹性不随刻度的变化而变化，斜率则不然。
3. 对于线形需求曲线来说：斜率是常数，弹性却不 是。
需求弹性
❖ 线形需求曲线的需求价格弹性
P
横轴公式
ed
dQ dP
POB OP0 Q OAOQ0
指一种商品的供给量对其自身价格变化的反应程度， 其弹性系数等于供给量变动的百分比除以价格变动的 百分比。
DQ
弧弹性公式：
es
(Q1
Q2)/ 2 DP
DQ P1 P2 DP Q1 Q2
(P1 P2)/2
点弹性公式：
DQP dQP
es
DlPi m 0DPQd
PQ
❖ 特点：
供给弹性
供给的价格弹性系数为正。因供给定律表明，供
假设他知道需求曲线，即每个价格能出售 的数量。 Q0为当天要销售的数量。则售 价应在P0。 鲜鱼富于弹P性，价格与收益 反相关。
P1
A
P0
BD
P2
CE
0
Q1 Q0
D Q
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
给量与价格呈同方向变动。
同一条供给曲线,供给弹性不同。
当供给曲线相交于纵坐标时，供给价格弹性大于1；
当供给曲线相交于横坐标时，供给价 格弹性小于1；
供给弹性
点弹性
ES
dQS dP
•P QS
300200 100
弹性
Edlim DQ•PdQ •P
DP Q dPQ
• 斜率和弹性的区别：
1. 定义的区别。
2. 弹性不随刻度的变化而变化，斜率则不然。
3. 对于线形需求曲线来说：斜率是常数，弹性却不 是。
需求弹性
❖ 线形需求曲线的需求价格弹性
P
横轴公式
ed
dQ dP
POB OP0 Q OAOQ0
指一种商品的供给量对其自身价格变化的反应程度， 其弹性系数等于供给量变动的百分比除以价格变动的 百分比。
DQ
弧弹性公式：
es
(Q1
Q2)/ 2 DP
DQ P1 P2 DP Q1 Q2
(P1 P2)/2
点弹性公式：
DQP dQP
es
DlPi m 0DPQd
PQ
❖ 特点：
供给弹性
供给的价格弹性系数为正。因供给定律表明，供
假设他知道需求曲线，即每个价格能出售 的数量。 Q0为当天要销售的数量。则售 价应在P0。 鲜鱼富于弹P性，价格与收益 反相关。
P1
A
P0
BD
P2
CE
0
Q1 Q0
D Q
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
给量与价格呈同方向变动。
同一条供给曲线,供给弹性不同。
当供给曲线相交于纵坐标时，供给价格弹性大于1；
当供给曲线相交于横坐标时，供给价 格弹性小于1；
供给弹性
点弹性
ES
dQS dP
•P QS
300200 100
弹性力学基础知识PPT课件
应力矩阵
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
经济数学-弹性ppt课件
可编辑课件
24
三、供给弹性
（二）供给曲线的变化
（c）单位弹性供给：弹性等于1
价格（P） S
5 4
（d）富有弹性的供给：弹性（E）大于1
价格（P） S
5 4
0 100 125 数量（Q）
0 100 200 数量（Q）
1.价格上升22%… 2. …引起供 1.价格上升22%… 给量增加22%
2. …引起供给量 增加67%
有相近替代品的物品往往较富有需求弹性，因为消费 者从这种物品转向其他物品较为容易。
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4
一、需求弹性
市场定义
在任何一个市场上，需求弹性都取决于我们所划出的市 场界限。
Hale Waihona Puke 时间长短物品往往随着时间变长而需求更富有弹性。
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5
一、需求弹性
（二）计算需求价格弹性
需求量变动的百分比 需求价格弹性 =
供给量变动的百分比 供给价格弹性 =
价格变动的百分比
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22
三、供给弹性
（一）供给价格弹性及其决定因素
例如：假设每加仑牛奶的价格从2.85美元上升到3.15美 元，牧场主每月生产的牛奶量从0.9万加仑增加到1.1万加 仑。则
价格量变动百分比=（3.15-2.85）/3.00×100%=10% 供给变动百分比=（11000-9000）/10000×100%=20% 从而
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6
一、需求弹性
（三）中点法（弧弹性） 价格（P）
计算：A点到B点的需求弹性 B点到A点的需求弹性
从A点到B点，价格上升了50%， 数量减少了33%，则需求的价 格弹性是33/50（0.66）；
从B点到A点，价格下降了33%， 而数量增加了50%，则需求的 价格弹性是50/33（1.5）。
弹性力学总结与复习全ppt课件
4. 平面问题Airy应力函数
的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
结构特点
（1）一般多连体
1(z)
1 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1 (z)
1(z)
3 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1*(z)
其中： 1(z),1(z) 为该多连体中单值解析函数。
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1
的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
结构特点
（1）一般多连体
1(z)
1 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1 (z)
1(z)
3 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1*(z)
其中： 1(z),1(z) 为该多连体中单值解析函数。
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1
7.7 用弹性中心法计算对称无铰拱
重庆大学土木工程学院®
令δ 12= δ 21=0，便可得到刚臂长度 S为 ，便可得到刚臂长度y
1 EI
O ds 弹性中心 y ys
yS =
∫ ∫
y ds EI 1 ds EI
x
y
为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于 为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI 的图形， 代表此图中的微面积， 的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个 代表此图中的微面积 图形面积的形心计算公式。 图形面积的形心计算公式。 由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关， 由于此图形的面积与结构的弹性性质 有关，故称它为弹性 有关 面积图，它的形心则称为弹性中心 弹性中心。 面积图，它的形心则称为弹性中心。
第一步， 第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 臂的无铰拱 这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的， 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。 代替。
FP
C O EI=∞
A
B
FP
C X2 O X2 X1 X1 X3 X3 y ys K B y
x
第二步，选取基本体系。 第二步，选取基本体系。将带刚臂的 无铰拱在刚臂下端O处切开 处切开。 无铰拱在刚臂下端 处切开。
M A = X 1 + X 2 ( y − yS ) + M P qR 2 q (2 R) 2 = 0.87qR + 1.14qR(2 R − 0.81R) + [− − ] 2 2
2
M C = X 1 − X 2 yS = 0.87 qR 2 − 1.14qR × 0.81R = −0.05qR 2 （外侧受拉）
A
All Rights Reserved
令δ 12= δ 21=0，便可得到刚臂长度 S为 ，便可得到刚臂长度y
1 EI
O ds 弹性中心 y ys
yS =
∫ ∫
y ds EI 1 ds EI
x
y
为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于 为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI 的图形， 代表此图中的微面积， 的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个 代表此图中的微面积 图形面积的形心计算公式。 图形面积的形心计算公式。 由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关， 由于此图形的面积与结构的弹性性质 有关，故称它为弹性 有关 面积图，它的形心则称为弹性中心 弹性中心。 面积图，它的形心则称为弹性中心。
第一步， 第一步，把原来的无铰拱换成带刚 臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与 臂的无铰拱 这个带刚臂的无铰拱与 原来的无铰拱是等效的， 原来的无铰拱是等效的，可以相互 代替。 代替。
FP
C O EI=∞
A
B
FP
C X2 O X2 X1 X1 X3 X3 y ys K B y
x
第二步，选取基本体系。 第二步，选取基本体系。将带刚臂的 无铰拱在刚臂下端O处切开 处切开。 无铰拱在刚臂下端 处切开。
M A = X 1 + X 2 ( y − yS ) + M P qR 2 q (2 R) 2 = 0.87qR + 1.14qR(2 R − 0.81R) + [− − ] 2 2
2
M C = X 1 − X 2 yS = 0.87 qR 2 − 1.14qR × 0.81R = −0.05qR 2 （外侧受拉）
A
All Rights Reserved
第五章-弹性及其应用 ppt课件
PPT课件
23
线性需求曲线的弹性
P $30
E
=
200% 40%
=
5.0
20
E = 67% = 1.0
67%
10
E
=
40% 200%
=
0.2
$0 0
PPT课件
Q 20 40 60
24
线性需求曲线的 斜率为常数，但 它的弹性不是常 数
其他需求弹性
• 需求收入弹性
衡量一种物品需求量对消费者收入变动的反映程度。 需求收入弹性=需求量变动百分比/收入变动百分比 正常品：收入弹性正的（必需品弹性小、奢侈品弹性大） 低档品：收入弹性负的
如果P = $250, Q= 8 ， 收益 = $2000
价格上升所 P 增加的收益
$250 $200
当需求富有弹性时，价格上升会使收益减少
PPT课件
8
20
需求量 减少所 损失的 收益
D
Q 12
总收益与需求价格弹性
• 如果需求是缺乏弹性的，那需求价格弹性< 1
需求量变动的百分比 < 价格变动的百分比
• 需求价格弹性：
50% / 25% = 2
PPT课件
11
需求弹性
• 如果需求价格弹性大于1，需求就富有弹性；如果弹性小于1，需求就缺乏
弹性；如果弹性为零，需求完全无弹性；如果弹性无穷大，需求完全有弹 性。
• 需求价格弹性与需求曲线的斜率密切相关。 • 拇指规则：
通过某一点的需求曲线越平坦，需求的价格弹性就越大 通过某一点的需求曲线越陡峭，需求的价格弹性就越小
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
第二章 3弹性理论PPT课件
21
▪ 从不同方向计算同一段弧的 需求价格弹性值是不同的。
▪ 同一条负斜率需求曲线上各 个点上的需求价格弹性值是 不等的。弹性不同于斜率。
Back 22
23
2、需求价格弹性的计算
▪ (1)、需求价格弧弹性的 计算
▪ (2)、需求弧弹性的五种 分类
▪ （3）需求点弹性
24
▪ （1）弧弹性：表示需求曲线上 两点之间的弹性。
5
▪不同的商品价格发生变化， 都会引起需求量或供给量 的变化，但是哪一种商品 的需求量或供给量对价格 变化更敏感呢？
▪定性分析
定量分析
6
▪从企业经营决策的角度 来看，企业需要知道需 求函数中任意自变量的 变化对需求量的影响。
7
▪ 某些变量如价格、广告宣传、 产品质量等，是企业管理者 可以控制的，对于这些变量， 管理者必须知道它们的变化 对需求量的影响、才能确定 是否要改变这些变量。
10
8
7
6 P (£)
P = –2 Mid P
method
Ped =
m
=
n
=
=
Q = 10
Q
P
mid Q mid P
10 15
2 7
10/15 x 7/2
70/30
4
2
Demand
0
0
10 15 20 fig 30
40
50 31
Mid Q Q (000s)
Measuring elasticity using the arc
10
8
7
6 P (£)
P = –2 Mid P
method
Ped =
m
=
n
▪ 从不同方向计算同一段弧的 需求价格弹性值是不同的。
▪ 同一条负斜率需求曲线上各 个点上的需求价格弹性值是 不等的。弹性不同于斜率。
Back 22
23
2、需求价格弹性的计算
▪ (1)、需求价格弧弹性的 计算
▪ (2)、需求弧弹性的五种 分类
▪ （3）需求点弹性
24
▪ （1）弧弹性：表示需求曲线上 两点之间的弹性。
5
▪不同的商品价格发生变化， 都会引起需求量或供给量 的变化，但是哪一种商品 的需求量或供给量对价格 变化更敏感呢？
▪定性分析
定量分析
6
▪从企业经营决策的角度 来看，企业需要知道需 求函数中任意自变量的 变化对需求量的影响。
7
▪ 某些变量如价格、广告宣传、 产品质量等，是企业管理者 可以控制的，对于这些变量， 管理者必须知道它们的变化 对需求量的影响、才能确定 是否要改变这些变量。
10
8
7
6 P (£)
P = –2 Mid P
method
Ped =
m
=
n
=
=
Q = 10
Q
P
mid Q mid P
10 15
2 7
10/15 x 7/2
70/30
4
2
Demand
0
0
10 15 20 fig 30
40
50 31
Mid Q Q (000s)
Measuring elasticity using the arc
10
8
7
6 P (£)
P = –2 Mid P
method
Ped =
m
=
n
人教版高中物理必修弹力(共)-ppt精品课件
人教版高中物理必修1 3.2弹力 (共26张PPT＋素材)【PPT优秀课件】- 精美版
图13-6
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例：画出下列物体所受到的所有弹力。
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压力：方向垂直于支持面而指向被压的物体
支持力：方向总是垂直于支持面，指向被支持的物体
N
半球形的碗
A N
B
FA对B
曲面与曲面间弹力方向： 与过接触点的公切面垂直并指向受力物体
FB对A
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绳的弹力 由于绳被拉长而对所拉物体产
假设法或平衡法
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巩固练习 人教版高中物理必修1 3.2弹力 (共26张PPT＋素材)【PPT优秀课件】-精美版
1、 关于弹力，下列说法正确的是( ABC ) A．拉力、压力、支持力在性质上均为弹力 B．物体由于发生了弹性形变，会对使其发生弹性形变
生的弹力，通常称为拉力．
F
F2
F1
拉力的方向总是沿绳而指向绳收缩的方向．
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杆的弹力
F G
G
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第三讲-弹性理论PPT课件
Ed = ———————— 或 = — × ——
ΔP/（P1+P2）/2
➢点弹性公式与计算
ΔP Q1+Q2
dQ/Q dQ P Ed = —— 或 = —×—
dP/P dP Q
-
6
弧弹性计算
某杂志价格为2元时销售量为5万册，价 格为3元时销售量为3万册，则需求价格 弹性为多少？
解：价格从2元上涨至3元，Ed= -0.8 价格从3元下降至2元，Ed= -2
接上页：
供给者的行为取决于PT，而不是市场价格P； 即，收税后的新供给函数为：QS=-2+2（P-3） 解新的均衡值，即：-2+2（P-3）=34-P=-8+2P 3P=42 得：PE=14， QE=20 均衡价格上升2元，此即消费者所承担的税额； 总税额的其余部分，即1元是生产者承担的部分。
-
35
P
S1
D0
S0
E1
P1
t
P0
E0
P2
o
Q1 Q0
-
Q
29
（a）缺乏弹性的需求
P
D0
S1
P1
E1E1
S0
t
P0
E0
P2
o
Q1Q0
-
Q
30
（c）缺乏弹性的供给
P
S1
D0
S0
P1
E1 t
P0
E0
P2
o
Q1 Q0
-
Q
31
（d）富有弹性的供给
P
S1
D0
S0
P1
E1 t
P0
E0
P2
o
Q1 Q0
2024版弹性力学ppt课件
弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨目录CONTENTS01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变位移关系01020403应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
物体上某一点在外力作用下的位置变化。
应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素如塑性变形、蠕变等。
02弹性力学分析方法与技巧03求解基本方程采用分离变量法、积分变换法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变等物理量的解析表达式。
01建立弹性力学基本方程根据弹性力学基本原理，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
02选择适当的坐标系针对具体问题，选择合适的坐标系以简化计算，如直角坐标系、极坐标系等。
解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，每个单元内假设近似解，通过节点连接相邻单元。
离散化连续体根据弹性力学原理和单元形状函数，建立单元刚度矩阵。
建立单元刚度矩阵将所有单元的刚度矩阵按照节点编号组装成总体刚度矩阵。
组装总体刚度矩阵根据实际问题施加边界条件和载荷，求解线性方程组得到节点位移。
施加边界条件和载荷数值法（有限元法）在弹性力学中应用实验法在弹性力学研究中作用验证理论分析结果通过实验手段对理论分析结果进行验证，确保理论模型的正确性和可靠性。
弹性中心法完美版PPT
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二、荷载作用下
力法方程简化为式
d 11 X 1 Δ1 P 0 d 22 X 2 Δ2 P 0 d 33 X 3 Δ3 P 0
当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴 时，或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。 因为
(qds)co sqdx
(qds)sinqdy
由于荷载对称，故反对称力X3=0
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(1)求弹性中心位置
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
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3）在荷载作用下
q
q
q
ys
q
R
y
MP (曲杆段)
曲杆段 直杆段
MP (直杆段)
M Pq 2(Rsin )2q22 R (1co )2 sqR 2(1cos)
qR2 qy2 MP 2 2
据此，可求得系数和自由项为
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
yds
2
2R(1co)sRd2
2R
ydy
yS
EI EI0 1ds EI
EIR
二、荷载作用下
力法方程简化为式
d 11 X 1 Δ1 P 0 d 22 X 2 Δ2 P 0 d 33 X 3 Δ3 P 0
当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴 时，或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。 因为
(qds)co sqdx
(qds)sinqdy
由于荷载对称，故反对称力X3=0
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(1)求弹性中心位置
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
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3）在荷载作用下
q
q
q
ys
q
R
y
MP (曲杆段)
曲杆段 直杆段
MP (直杆段)
M Pq 2(Rsin )2q22 R (1co )2 sqR 2(1cos)
qR2 qy2 MP 2 2
据此，可求得系数和自由项为
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
yds
2
2R(1co)sRd2
2R
ydy
yS
EI EI0 1ds EI
EIR
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一步使余下的一对副系数 12
FP
和 21也等于零，从而使力法
方程进一步简化为三个独立的 A
一元一次方程：
C O
EI=∞ B
11 X 1 Δ1 P 0
22 X 2
Δ2 P
0
33 X 3 Δ 3 P 0
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.
FP
C
x
X2 O
X2
ys
y
A
X1 X1
K
X3 X3
图形面积的形心计算公式。
由于此图形的面积与结构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面 积图，它的形心则称为弹性中心。
如果求出yS，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至 弹性中心，然后取形如图带刚臂的基本体系，则力法方程
中的全部副系数都等于零。这一方法就称为弹性中心法。
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B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。 因为
(qds)co sqdx
(qds)sinqdy
由于荷载对称，故反对称力X3=0
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.
(1)求弹性中心位置
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
.
二、荷载作用下
力法方程简化为式
11 X 1 Δ1 P 0 22 X 2 Δ2 P 0 33 X 3 Δ3 P 0
当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的 影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴 时，或拱高f<l/5时，或拱高f >l/5且拱顶截面高度hc>l/10
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.
x
X1=1
X1=1 K
ys
x y
X2=1 X2=1
K
y
y
x
M1 1, FN10, FQ10
M2 yyS, FN2cos, FQ2sin
x X3=1 X3=1 K
M3 x, FN3sin, FQ3cos
y
式中，yS为刚臂长度；为截面处拱轴切线与水平
线之间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。
时，还需考虑轴力对 22的影响。即
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.
11
M
2 1
ds
EI
1 ds EI
22
M
2 2
ds
EI
F
2 N
2
ds
EA
(y yS )2 ds EI
M
2 3
ds
EI
x2 ds
EI
Δ 1 P
M 1M P ds EI
FN X2 cosX3 sinFNP
弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的 闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。
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.
【例7-14】试用弹性中心法计算图示圆拱直墙刚架的弯矩MA和 MC。设EI=常数。
qds qdscos
q
qdssin
ds C R
R
A
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.
3）在荷载作用下
q
q
q
q
R
MP (曲杆段)
ys y
曲杆段 直杆段
MP (直杆段)
M Pq 2(Rsin )2q22 R (1co )s 2qR 2(1cos)
qR2 qy2 MP 2 2
据此，可求得系数和自由项为
1 1M E 1 2d s I E 20 2 1 I R d E 2R 2 R I 1 d y 5 .E 1R 4 I
B
y
下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的 。
第一步，把原来的无铰拱换成带刚臂 的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与原
FP
C
来的无铰拱是等效的，可以相互代替。
A
O EI=∞ B
第二步，选取基本体系。将带刚臂的 无铰拱在刚臂下端O处切开。
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.
FP
C
x
X2 O
X2 ys y
y ys
X2 =1
M2
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
1）在X1=1作用下
基本体系
直、曲杆段 M1 1
2）在X2=1作用下
曲杆段 M 2 y y s R ( 1 c o s ) 0 . 8 1 R R ( 0 . 1 9 c o s )
直杆段 M 2yySy0.8R 1
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.
2 2 M E I 2 2 d s E 2 I0 2 R 2 ( 0 . 1 9 - c o s) 2 R d E 2 IR 2 R ( y 0 . 8 1 R ) 2 d y 2 . 0 E 4 I R 3
A
X1 X1
K
X3 X3
B
y
FP A
C O
EI=∞ B
FP
C
x
X2 O
X2
ys
y
A
X1 X1
K
X3 X3
B
y
第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。
副系数 12的算式如下：
1 2
M 1 M 2 d s EI
F N 1 F N 2 d s EA
F Q 1 F Q 2 d s GA
Δ 2 P
M 2M P ds EI
Δ 3 P
M 3M P ds EI
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.
由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔 离体的平衡条件或内力叠加公式[参见单位未知力引起
的内力表达式求得
MX1 X2(yyS)X3xMP
FQ X2 sinX3 cosFQP
12 21 (1 )(E yy IS)ds00EyIdsySE1Ids
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.
令 12= 21=0，便可得到刚臂长度yS为 1
y
yS
EI
1
ds
EI d s
EI x
y O
ys
弹性中心 ds
y
为了形象地理解式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于1/EI
的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而上式就是计算这个
7.7 用弹性中心法计算对称无铰拱
一、弹性中心
为了简化计算，采用以下两项简化措施：
第一选取对称的基本结构
力法方程简化为两 组独立的方程，即
FP A
对
称
轴
B
11X1 12X2 Δ1P 0
21X1 22X2 Δ2P 0
33X3Δ3P0
FP
X1
X2
X2
A
X3
B
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.
第二项简化措施是利用刚臂进
R
A
B
qds
dx
x
q
ds
dy
X2
ys
X2
X1 X1
X3 X3
y
基本体系
yds
2
2R(1co)sRd2
2R
ydy
yS
E I E 1ds EI
I0
2 E
2Rd2
I0
E
EIR
2R
dy IR
0.8R 1
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(2)计算系数和自由项 由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为