10.1计数原理

分步计数原理中的每个步骤互相依存，每一步都不能
独立完成这件事，只有每个步骤都完成了，这件事才 算完成.
例6 甲班有三好学生 8 人，乙班有三好学生 6 人，丙班有三 好学生9人：
（1）由这三个班中任选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？ （2）由这三个班中各选 1 名三好学生，出席三好学生表 彰会，有多少种不同的选法？
第 1类，取红色球，从9 个红色球 中任意取一个, 有k1 =9 种取法
第 2类，取蓝色球，从8 个蓝色球 中任意取一个, 有k2 =8 种取法 第3类，取白色球，从10个白色球 中任意取一个, 有k3 =10 种取法 共有多少种不同的取法
任 取 一 个 球
N＝9＋8＋10＝27(种)
1. 书架上有不同的数学书 7 本，不同的语文书 6本，不同 的英语书4本. 如果从书架任取一本书，问有多少种不同的 取法？
乙组 11 人，丙组 10 人，丁组 9 人．现要求该班选派一人 去参加某项活动，问有多少种不同的选法？ 解：根据分类计数原理，
不同的选法一共有：
N＝9＋11＋10＋9＝39(种)．
问题2 由 A 地去 C 地，中间必须经过 B 地，且已知由 A 地到 B 地有 3 条路可走，再由 B 地到 C 地有 2 条路可走， 那么由 A 地经 B 到 C 地有多少种不同的走法？ a3 b2 B C a2 A b1 a1 问题(1)：本题中要完成一件什么事？ 问题(2)：由 A 地去 C 地有 2 个步骤， 第一步：由 A 地到 B 地，有 3 种不同的走法； 第二步：由 B 地到 C 地，有 2 种不同的走法． 问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？
你能说出分类计数原理和分步计数原理的区别么？
解：确定使用分类计数原理还是分步计数原理的
关键是判断：
每类办法都能完成这件事，适宜用分类计数原理；
需要一次完成所有步骤才能完成这件事，则适宜
用分步计数原理。
例2 某校烹饪班有男生26人，女生20人，若要选男、女生各 1人作为学生代表参加学生代表大会，共有多少种选法？ 解：这件事可以分成两个步骤
有三类取法
第 1 类，从上层 15 本数学 书任取一本，有 15 种取法 任 取 一 本 书
共有多少种不同的取法
第 2 类，从中层 18 本语文 书任取一本，有 18 种取法
第 3 类，从下层 7 本物理 书任取一本，有 7 种取法
N＝15＋18＋7 ＝40(种)
例2
某班同学分成甲、乙、丙、丁四个小组，甲组 9 人，
解 3 × 2＝6 (种)．
（二）分步计数原理
有 n 个步骤 共有多少种不同的方法
第 第 2 1 步 步 完 有 有 成 一 → k1 → k2 → „→ 件 种 种 事 不 不 同 同 的 的 方 方 法 法
第 n 步 有 kn → 种 不 同 的 方 法
N k1 k2 kn
上面的计数原理叫做分步计数原理
解 (1) 依分类计数原理，不同的选法种数是 N＝8＋6＋9＝23；
(2) 依分步计数原理，不同的选法种数是
N＝8×6×9＝432．
分类计数原理
Байду номын сангаас
分步计数原理
两个原理的区别与联系
教材 P 166 习题 1，2，3，4，5
第 二 步，从20名女生中选出1人，有k1 =20 种选法； 依据分步计数原理有 N=26×20＝520 (种) 即共有520种选法.
练习1：书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文 书18本，下层有不同的英语书7本.现从中取出数学、语文、 英语书各一本，问有多少种不同的取法？
分析：
第 1 步， 从上层 15本数 学书任 取一本 , 有15种 取法； 有三个步骤 第 2 步， 从中层 18本语 文书任 取一本 , 有18种 取法； 第 3 步， 从下层 7 本英语 书 任 取一本 , 有 7 种 取 法 . 共有多少种不同的取法
（一）分类计数原理
有n 类办法 共有多少种不同的方法
第 1 类办法中 有 k1 种不同的方法 完 成 一 件 事
第 2 类办法中 有 k2 种不同的方法
„„
N＝k1＋k2＋…＋kn
第 n 类办法中 有 kn 种不同的方法
上面的计数原理叫做分类计数原理
例1 三个袋子里面分别装有9个红色球，8个蓝色球和10个 白色球. 任取一个球，共有多少种不同的取法？ 解：取出一个球，可能是是红色球，蓝色球或白色球。 有三类取法
第一步
百位 5
第二步
十位
第三步
个位
×
5
×
5
解
根据分步计数原理，
组成不同的 3 位数的个数共有 5×5×5＝125 (个).
两个原理的共同点与不同点.
(1)共同点： 都是研究“完成一件事，共有多少种不同
的方法”；
(2)不同点：分类计数原理中的 n 类办法相互独立，且每类办法里 的每种方法都可独立完成这件事；
各 取 一 本 书
N＝15×18×7＝1890
解：由分步计数原理得N＝15×18×7＝1890 (种)
例3 邮政大厅有4个邮筒，现将三封信逐一投入邮筒，共有 多少种投法？ 分析：这件事可以分成三个步骤 每个步骤投一封信，分别均有四种投法
解：依据分步计数原理，投法共有 4×4×4＝64 (种)
练习2：由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个 3 位数 (各位上的数字可以重复)？
概 率
统计 概率
统计
10.1 计数原理
问题1 从太原去北京，可以乘火车，也可以乘汽车，还 可以乘飞机.如果一天之内火车有 4个班次，汽车有 17个
班次，飞机有 6个班次，那么每天由太原去北京共有多少 种不同的方法？
1.要完成什么事？ 2.完成这件事有几类不
解 4＋17＋6＝27(种)
同的办法？ 3.每类办法中又有几种 方法？ 4.完成这件事共有多少 种不同的方法？