4-5向量空间北京邮电大学 陈曦 线性代数

例如，上题中b1,b2在基a1,a2, a3中的坐标依次为
2 ,− 2 ,−1 和
42 ,1,
33
33
16
8
特别的，在n维向量空间Rn中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en为基，则以x1,x2,…,xn为分量的向量x可以表 示为
x＝x1e1＋x2e2＋…＋xrer 可见向量在基e1,e2,…,en中的坐标就是该向量的分量。 因此， e1,e2,…,en叫做Rn的自然基。
例 设向量组a1,a2,…,am与向量组b1,b2,…,bs等价，
记V1＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λmαm| λ1, λ2,…,λm∈R} V2＝{x＝μ1b1＋μ2b2＋ … ＋μsbs| μ1, μ2,…, μs∈R} 试证： V1＝ V2
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证明 设x∈V1 ，则x可由a1,a2,…,am线性表示。
=
⎛
B
−1
A
⎜ ⎜⎜⎝
y1 y2 y3
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
即
⎛ z1 ⎞
⎛ y1 ⎞
⎜ ⎜
z2
⎟ ⎟
=
P −1
⎜ ⎜
y2
⎟ ⎟
⎜⎝ z3 ⎟⎠
⎜⎝ y3 ⎟⎠
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式。
20
10
作业题
P112 36,37,38,39,40
21
11
,
b2
)
=
(a1
,
a2
,
a3
)
⎜ ⎜
−
2 3
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜⎝⎜ −1
2 3
⎟ ⎟⎟⎠
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也就是
b1
=
2 3
a1
−
2 3
a2
−
a3
b2
=
4 3 a1
+
a2
+
2 3
a3
定义 如果在向量空间V中取定一个基a1,a2,…,ar ，那么
V中任一向量x可唯一的表示为
x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λrαr
数组λ1, λ2,…,λr称为向量x在基a1,a2,…,ar中的坐标。
z1,z2,z3 ，即
x
=
(a1,a2 ,a3
⎛ )⎜⎜⎜⎝
y1 y2 y3
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
,
x
=
(b1 , b2
, b3
⎛
)
⎜ ⎜⎜⎝
z1 z2 z3
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
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故
⎛ A⎜⎜⎝⎜
y1 y2 y3
⎞ ⎟ ⎟⎠⎟
=
⎛
B
⎜ ⎜⎝⎜
z1 z2 z3
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
得
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
z1 z2 z3
⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
性无关，即要证A～E。
设 即
记作
b1＝x11a1＋x21a2＋x31a3 b2＝x12a1＋x22a2＋x32a3
⎛ x11 (b1,b2 ) = (a1,a2 ,a3 )⎜⎜ x21
⎜⎝ x31
x12 ⎞
x22
⎟ ⎟
x32 ⎟⎠
B＝AX
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对矩阵(A|B)施行初等行变换，若A能变为E，则 a1,a2, a3为R3的一个基，且当A变为E时，B变为 X＝A-1B
α＝(0, α2,…, αn)T ， β＝(0, β2,…, βn)T ∈V1 ， 有α＋β ＝(0, α2 ＋β2,…, αn＋βn)T ∈V1 ， λα ＝(0, λα2,…, λαn)T ∈V1 。 所以V1是向量空间。
4
2
例 判别下列集合是否为向量空间
V2＝{x＝(1,x2,…,xn)T | x2,…,xn∈R}
10
5
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此 它没有基。 （2）若把向量空间V看做向量组，那么V的基就是向量 组的最大无关组， V的维数就是向量组的秩。 （3）若向量组a1,a2,…,ar是向量空间V的一个基，则V可 以表示为
V＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λrαr | λ1, λ2,…,λr∈R}
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例 设矩阵
⎛ 2 2 −1⎞
A
=
(a1
,
a2
,
a3
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
2 −1
−1 2
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 4⎞
B
=
(b1 ,
b2
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
0 −4
3 2
⎟ ⎟⎟⎠
验证a1,a2,a3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性
表示。
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6
解 要证a1,a2,a3是R3的一个基，只要证a1,a2,a3线
(e1,e2,e3) ＝(a1,a2,a3)A－1 故(b1,b2,b3) ＝(e1,e2,e3)B ＝(a1,a2,a3)A－1B
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9
即基变换公式为
(b1,b2,b3) ＝ (a1,a2,a3)P 其中表达式的系数矩阵P ＝A－1B称为从旧基到新基
的过渡矩阵。
设向量x在旧基和新基中的坐标分别为y1,y2,y3和
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例 在R3中取定一个基a1,a2,a3 ，再取一个新基
b1,b2,b3 ，设A＝(a1,a2,a3)， B＝(b1,b2,b3) 。求用a1,a2,a3 表示的b1,b2,b3表示式（基变换公式），并求向量在两 个基中的坐标之间的关系式（坐标变换公式）。
例 由 (a1,a2,a3) ＝(e1,e2,e3)A
2
1
例 3维向量的全体R3，是一个向量空间。
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量， 数λ乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 。 类似的，n维向量的全体Rn ，也是一个向量空间。
3
例 判别下列集合是否为向量空间
V1＝{x＝(0,x2,…,xn)T | x2,…,xn∈R}
解 因为对于V1的任意两个元素
解
因为若
α
=
(1,
α百度文库2
,",
α n
)T
∈ V2
，
而 2α = (2, 2α2 ,", 2αn )T ∉ V2 。
所以V2不是向量空间。
5
例 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V＝{x＝λa＋μb| λ,μ∈R} 试判断集合是否为向量空间。
解 因为若x1＝λ1a＋μ1b ， x2＝λ2a＋μ2b 。
8
4
子空间
定义 设有向量空间V1及V2 ，若向量空间V1 ⊂ V2，
就说V1是V2的子空间。
实例
设V是由n维向量所组成的向量空间 显然 V ⊂ Rn 所以V总是Rn的子空间
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向量空间的基与维数
定义 设V是向量空间，如果r个向量a1,a2,…,ar ∈V ，
且满足 （1） a1,a2,…,ar线性无关； （2） V中任一向量都可由a1,a2,…,ar线性表示。 那么，向量组a1,a2,…,ar就称为向量V的一个基， r称 为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。
第五节 向量空间
向量空间的概念
定义 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且
集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集 合V为向量空间。
说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指
若α∈V，β ∈V，则α＋ β∈V ； 若α∈V，λ∈R，则λα∈V 。 2.全体n维向量的集合是向量空间，记作Rn。
因为a1,a2,…,am可由b1,b2,…,bs线性表示，故x可由 b1,b2,…,bs线性表示，所以x∈V2 。 也就是说，若 x∈V1 ，则x∈V2 ，因此 V1 ⊆ V2 类似的可证：若 x∈V2 ，则x∈V1，因此 V2 ⊆ V1 因为 V1 ⊆ V2 ，V2 ⊆ V1 ，所以V1＝ V2 。
⎛ 2 2 −1 1 4⎞
(
A
|
B)
=
⎜ ⎝⎜⎜
2 −1
−1 2
2 2
0 −4
3 2
⎟ ⎟⎟⎠
14
7
⎛ ⎜
1
0
0
⎜
2 3
4⎞
3
⎟ ⎟
(
A
|
B)
~
⎜ ⎜
0
1
0
−2 3
1
⎟ ⎟
⎜ ⎜⎝⎜ 0 0 1
−1
2 3
⎟ ⎟⎟⎠
因此有A～E ，故a1,a2, a3为R3的一个基，且
⎛ 2 4⎞
⎜ ⎜
3
3
⎟ ⎟
(b1
则有x1 ＋ x2 ＝(λ1＋λ2)a＋(μ1＋μ2)b ∈ V， kx1 ＝ (kλ1)a＋(kμ1)b ∈ V。 所以V是一个向量空间。 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间。
6
3
一般的，由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间为 V＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λmαm|λ1, λ2,…,λm∈R}