第六章 鞅方法定价

第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。

在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。

接着，我们讨论一般结果。

我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。

在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。

在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。

这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。

无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。

作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。

1．二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图1一期二项式生成过程这里∆-t S =股票在时间∆-t 的价格 q =股票价格上涨的概率 r f =一期的无风险利率u =股票价格上涨的乘子)11(>+>f r ud =股票价格下跌的乘子()011<<<+d r f在每一期末，股票价格或者以概率q 涨为∆-t uS ，或者以概率1-q 跌为∆-t dS 。

每期的无风险利率为r f 。

对r f 的限制为u r d f >+>1，这是无套利条件。

直观地可以看出，无论是1+>>r u d f （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u d r f >>+1（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。

等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p 也为正。

条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。

例子：用密度函数来刻画例子：在二项树下的条件期望鞅的含义：[]()[]∆-∆-∆-∆-=-++=+t t t ft t f S dS p puS r S E r 11111 ()()∆-∆-∆-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+i t f i t t f t i t r S r S E 11 []()[]∆-∆-=-++=+t dt u t ft t f c dc p pc r c E r 11111 ()()∆-∆-∆-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+i t f i t t f t i t r c r c E 11 即，()nt t f tr S 01=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+和()nt t ftr c 01=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+均是鞅过程。

等价鞅测度存在性： 定义p r d u df =+--()1，则11-=-+-p u r u df ()从p 的定义可以看出，无套利条件u r d f >+>1成立当且仅当p 大于0而小于1（即，p 是概率）。

等价鞅测度唯一性：上面定义的p r d u df =+--()1是使得下式成立（即股票和期权价格的折现值是鞅）的唯一概率。

[]()[]∆-∆-∆-∆-=-++=+t t t ft t f S dS p puS r S E r 11111（Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.） 性质：在一个二项树模型中，股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条件是存在唯一的等价鞅测度。

证明：例子：无套利验证例子：期货合约的无套利定价例子：不完备市场的等价鞅测度不唯一。

注：(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, and computations performed, which would be impossible using the economic notion alone. (2) 推广：利率衍生产品，利率是随机的，以商品为标的物的衍生产品，外汇衍生产品。

2．一般经济系统2.1 不确定性经济环境 我们考虑一个具有唯一易腐消费品的证券市场经济。

如果没有特别地强调，我们用{}F ,Ω表示不确定经济环境中具有有限状态的状态空间，用F ={}T t F t ,1,0:=表示信息结构，对任意T t F F t ⊆,。

和第一章一样，我们假设到时间T ，投资者就完全知道真实的状态且=0F {Ø,Ω}。

证券市场具有N +1种长期证券，以N j ,,1,0 =作为指标。

长期证券j 的特征由其红利过程(){}T t t x x j j ,,1,0: ==来刻画，这里()t x j 表示以消费品为单位，在时间t 支付的随机红利。

红利过程适应于F 。

为使得分析简化，我们不妨假设第0种长期证券直到时间T 才支付红利，在时间T ，不管哪个状态发生，支付的红利均为一个单位的消费品。

从这个假设我们可以看出，第0种证券事实上是一种T 期的面值为1的折现债券。

第0种证券在时间t 的价格以)(t B 表示，()1=T B ；而第j （1≥j ）种证券在时间t 的分红后价格以)(t S j 表示。

因为价格过程是分红后的价格，所以有()0=T S j 。

自然地，我们假设()t S j 和()t B 是关于t F 可测的。

因为在经济均衡中能够确定的只是证券的相对价格，所以不失一般性，我们假设长期证券的价格以唯一的消费品为单位，即消费品的价格为1。

经济中有I 个个体，以I i ,,2,1 =作为指标。

每个个体具有时间可加的效用函数，这些函数是单调增的、严格凹的、可微的。

我们假设()∞='0itu ，这个假设保证所有个体都选择严格正的消费。

我们假设个体的主观概率为{}Ω∈=ωω:ii P P ，并且任意不确定状态的概率大于0。

我们假设个体拥有的禀赋是长期证券，份额为()()(){}{}Nj i j ii100,0==θθα，()0i α表示个体i 在时间0拥有的第0种证券的份数。

()0i j θ表示个体i 在时间0拥有的第j 种证券的份数。

为了避免退化情形，我们假设对每个个体i 而言，()0i α≥0，()0i j θ≥0且存在某个j 使得()0ij θ>0。

定义1：一个交易策略θ是一个1+N 维过程()()(){}{}N j jt t t 1,==θθα,这里，()t α和()t j θ分别表示个体在时间t 的交易发生前，持有的从时间t -1到时间t 的第0种证券和第j 证券的份数。

一个交易过程一定是一个可料过程。

我们引入记号()()()()T N t t t θθθ,,1 =定义2：一个消费计划c 是一个适应于F 的过程：(){}T t t c c ,,1,0; ==，这里()t c 表示以唯一消费品为计量单位，个体在时间t 的随机消费。

定义3：一个交易策略{}θα,称为可行的，如果它是可料的且存在一个消费计划c 使得，对于任意t 有()()++t B t 1α()()t S t T 1+θ()()()()()t c t X t S t T-+=θ()()t B t α+， （2-1）这里()()()()TN t S t S t S ,,1 =， ()()()()TN t x t x t X ,,1 =。

我们用H 表示所有的可行的策略形成地集合。

注：1. 关系（2-1）是一种自然的预算约束：在t 期收入（包括证券组合的市场值和红利）用于消费和下一期的投资（购买下一期的证券组合）。

2. 因为()1=T B ，且对所有的j 而言，0)(=T S j ，所以（2-1）的左边为0，从而（2-1）变成()T α+()()()T c T X T T =θ即在期末，所有的财富都用于消费。

3. 在（1-24）中的消费计划c 称为是由交易策略),(θα融资的，以()θα,c 来表示。

我们用C 表示所有由可行交易策略融资的消费计划的集合。

4. 因为一个长期证券是由它在每个时间的红利来刻画地，所以我们可以把由可行交易策略融资地消费计划视为长期证券。

2.2 套利、状态价格和鞅 正如我们在前言中提到的一样，本章的主要目的之一在于，给定价格系统{}S B ,，如何确定其余衍生资产的价格。

因此，我们第一步就是验证这个价格系统是否具有某种意义上的“合理性”，以及为了满足这种合理性该价格系统应该满足的条件。

因为对合理性的要求越弱，这种合理性的应用也就越强，所以我们下面给出价格系统为了具有某种合理性应该满足的条件，并使得这个条件尽可能地弱。

从最理想的角度出发，这个价格系统具有的合理性也应该是一个均衡价格系统应该具有的。

因为经济中的个体具有非满足性，所以要使得一个价格系统是均衡的，这个价格系统就不能存在套利机会。

因此我们把这个均衡价格系统具有的性质作为价格系统{}S B ,必须满足的合理性。

下面给出目前经济环境中套利机会的严格定义。

定义3：一个套利机会指的是由某个可行交易策略),(θα融资的消费计划()θα,c ，满足下列条件：1．()θα,c是非负的，且至少存在某个时间t ，使得()()t cθα,>0的概率严格为正。

2．()()+00B α()()000≤S T θ 直观上来说，一个套利机会就是不花钱就能进行消费。

一个价格系统如果具有套利机会就不可能是一个均衡的价格系统，因为每个非满足的个体都会利用这种套利机会，从而市场不可能是出清的。

在本节剩下的内容里，我们任固定某个个体的主观概率iP ，所有的计算都在这个概率之下得到的，为了记号简单，我们简记iP 为P 。

当证券市场不存在套利机会时，任意一种长期证券的价格过程和它的积累红利，如果以第0种证券为单位，具有如下的性质：在任意时间t ，它们在将来任意时间的和的条件期望等于它们在时间t 的和。