对称式和轮换对称式及问题详解

对称式和轮换对称式

一．填空题（共10小题）

1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________．

2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．

3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．

4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．

5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________．

6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________．

7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________．

8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________．

10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________．

二．选择题（共2小题）

11．已知，，，则的值是（）

A．B．C．D．

12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750

三．解答题（共1小题）

13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

答案与评分标准

一．填空题（共10小题）

1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：．

考点：对称式和轮换对称式。

分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：++=+++，再整理，配方即可得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．

解答：解：∵a=，b=，c=，

∴全部取倒数得：=+，=+，=+，

将三式相加得：++=+++，

两边同乘以2，并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0，

配方得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，

∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，

解得：a=b=c=1，

∴△ABC是等边三角形，

∴△ABC的面积=×1×=．

故答案为：．

点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．

2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22

的值为．

考点：对称式和轮换对称式。

分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把

x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．

解答：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．

由②，得

④，

把④代入③，得

⑤

把⑤代入③，得

⑥

把⑤、⑥代入①，得

+=b

∴，

∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2

∴y12+ay22=．

故答案为：

点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．

3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为﹣．

考点：对称式和轮换对称式。

分析：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f为正数，即abcdef=1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案．

解答：解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，

∴abcdef=1，

∴bcdef=，

∵=4，

∴bcdef=4a，

∴4a=，

∴a=．

同理可求出：b=，c=，d=2，e=3，f=4．

∴原式=++3﹣﹣2﹣4，

=．

故答案为：﹣．

点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关键．

4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=44或﹣44．

考点：对称式和轮换对称式。

分析：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出．

解答：解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，

①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，

②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，

所以b﹣a=c﹣b，即b=，代入②得ca﹣=﹣1，

4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或a﹣c=4，

当a﹣c=2时，a=c+2，b==c+1，代入③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，

所以a=﹣1，b=﹣2，此时6a+7b+8c=6×（﹣1）+7×（﹣2）+8×（﹣3）=﹣44，

当a﹣c=﹣2时，a=c﹣2，b==c﹣1，代入③式得（c﹣2）（c﹣1）﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7，c=3，

所以a=1，b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44，

所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44，

故答案为44或﹣44．

点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出b=，此题难度不大．

5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=5．

考点：对称式和轮换对称式。

分析：根据题意令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．

解答：解：令x1=sinθ，x2=cosθ，

又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，

故，

解得：y1=cosθ+3sinθ，y2=3cosθ﹣sinθ，

故y12+y22=5．

故答案为5．

点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=cosθ，x2=sinθ，此题难度不大．

6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=1．

考点：对称式和轮换对称式。

分析：∵a=，b=，c=分别代入，，表示出，，的值，然后化简就可以求出结果了．

解答：解：∵a=，b=，c=，

∴=