60实变函数与泛函分析 微分与不定积分

i 1
| (ti ) (ti 1 ) | | (ti ) (ti 1 ) |
i 1 i 1
n
n
2 有界变差函数
设f(x)是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组 P
a x0 x1 xn b,
b n
称V ( f , P) | f ( xi ) f ( xi 1 ) |
n
则称F(x)是[a,b]上的绝对连续函数
注： 绝对连续函数一定是一致连续函数，当然是连续函 数，也一定是有界变差函数，从而几乎处处有有限导数。
例
1 若f ( x)是[a, b]上的可积函数，
x a
则F ( x) f (t )dt c为绝对连续函数
利用积分的绝对连续性即可
2 Cantor函数为单调连续函数， 故为有界变差函数， 但不是绝对连续函数， 从而绝对连续函数是有 界变差 函数的一真子类
推论 F(x)在[a,b]上绝对连续当且仅当
存在[a, b]上的可积函数 f ( x)，使F ( x) f (t )dt c
a x
1 绝对连续函数
设F(x)是[a,b]上的有限函数，若 0, 0,
使对[a,b]中的任意有限个互不相交的开区间 (ai , bi ) (i 1,2,, n) 当 (b a ) 时，
n i 1 i i
有 | F (bi ) F (ai ) |
i 1
有界变差函数与不定积分
F ( x) ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt
a a a
x
x
x
定理 f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个非负单调不减函数的差

不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数 （是有界变差函数）知道，先取导数再取积分 并不能返回，问什么函数满足此性质？
折线长 L(T ) {( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
2 2 i 1 i 1
n
1 2
| (ti ) (ti 1 ) |和 | (ti ) (ti 1 ) | 都
i 1
n 2 2
1 2
n
n
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
第六章 微分与不定积分
第一节 单调函数与有界变差函数
引入 微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
x d (( R) f (t )dt ) f ( x) a dx
若F `(x)
x a
在[a,b]上连续，则
( R) F ' (t )dt F ( x) F (a)
本章的主要目的是要 在Lebesgue积分理论中推广这一结果
) ( ) ( 1/3
) ( ) ( 2/3
) ( )
1
Cantor函数
( x)
a.在G=[0,1]-P的各构成区间上，
如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为
1 2n
,
3 2n
,
5 2n
, ,
2 n 1 2n
;
b.规定 ( 0 ) 0 ( 1 ) 1
c.当 x P {0,1} 时,规定 ( x) sup{ (t ) : t G且t x}
则开区间 ( ( x0 ), ( x0 ))或( ( x0 ), ( x0 )) 非空，
此区间中的每个数都不属于 ( x) 的值域，
这与 (G) [0,1] 矛盾。
（端点情形类似说明） 注：Cantor函数把长度为零的集合 连续拉长成长度为1的集合
第六章 微分与不定积分
第二节 不定积分与绝对连续函数
称 ( x) 为[0,1] 上的Cantor函数。
显然在[0,1]上单调不减，从而为有界变差函数， 并且导函数几乎处处为0， ' ( x)dx 0 1 (1) (0)

[ 0,1]
Cantor函数在[0,1]上连续
否则，若 ( x) 在x0∈ (0,1)处不连续，
注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集， 从而有界变差函数的不连续点为一可数集， 故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数
Cantor函数
（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）
7/8
3/4
5/8
1/2 3/8 1/4 1/8 如此类似取值一直定义下去
( ) ( 0 1/9
]
分划P， V ( f , P) | f ( xi ) f ( xi 1 ) || f (b) f (a) |
a i 1
V ( f ) | f (b) f (a) |
0
1
例
连续函数不一定是有界变差函数
f ( x)

x cos 2 x 0
x( 0 ,1] x 0
0.2
1/4
0.2 0.4 0.6 0.8
对[0,1]取分划
T :1
1
1 2n
-0.2

1 2 n 1
1 1 3 2 1,
1/6 1/2
-0.4
则V ( f , T ) | f ( xi ) f ( xi 1 ) | 1 i
0 i 1 i 1
n
n
从而V ( f ) ，故f ( x)不为 [0,1]上的有界变差函数
0
1
3 Jordan分解定理
定理 f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个非负单调不减函数的差

即f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) 1 x 其中f1 ( x ) （V ( f ) f ( x ) | f ( a ) | ） 2 a 1 x f 2 ( x ) （V ( f ) f ( x ) | f ( a ) | ） 2 a
a i 1
为f(x)对分点组P的变Байду номын сангаас，称
b b a a
V ( f ) sup{V ( f , P) : P为[a, b]的分点组 }为f ( x)在[a, b]的全变差
b
若V ( f ) ，则称f ( x)为 [a, b]上的有界变差函数
a
例
闭区间上的单调函数一定是有界变差函数
[
b n
主要内容
F ( x) ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt
a a a
x
x
x
为两个单调不减函数的差


单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数 有界变差函数（即两个单调不减函数的差） 绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）
1 单调函数的可微性
Weierstrass在1772构造出一 处处连续但无处可导的函数
f (x) b n cos (a n π x ) （其中 0 <b< 1
n 0
且 a为正奇数）

定理 设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f `(x)在 [a,b]上几乎处处存在有限导数，且


[ a ,b ]
f ' ( x)dx f (b) f (a)
Koch曲线
注：等号不一定成立， 即使f(x)是[a,b]上的 连续单调不减函数， 例如Cantor函数。
引入 曲线的求长
参数曲线L：
x ( t ) y ( t )
t [ a, b]
分划T：a t0 t1 tn b
2 Lebesgue不定积分与微分的关系
定理
( L) F ' (t )dt F ( x) F (a)
a
x
若F(x)在[a,b]上绝对连续，则
定理
若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则
x d (( L) f (t )dt ) f ( x) a.e.于[a, b] a dx