60实变函数与泛函分析 微分与不定积分
实变函数论、拓扑学与泛函分析
实变函数论、拓扑学与泛函分析微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。
以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。
又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。
这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。
人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。
比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
实变函数与泛函分析课件
微分学基本定理
导数的定义
介绍导数的定义及基本性质，如求导法则、高阶导数 等。
中值定理
介绍中值定理的内容及其证明方法，如拉格朗日中值 定理、柯西中值定理等。
极值定理
介绍极值定理的内容及其应用，如单调函数的极值、 最值等。
02 泛函分析
泛函分析的基本概念
投影定理：有界线性算子的投 影定理
紧算子与Fredholm算子
紧算子的定义
将紧集映射为紧集的算子
Fredholm性质
可逆、可计算、可逼近的性质
ABCD
Fredholm算子的定义
具有Fredholm性质的算子
Fredholm算子的应用
在微分方程、积分方程等领域有广泛应用
自伴算子与投影算子
自伴算子的定义
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
01
正交分解定理
02
Hilbert空间
03
Hilbert空间的定义
内积空间与Hilbert空间
正交基 Riesz表示定理
巴拿赫空间与连续线性映射
总结词：泛函分析是研究线性或非线性算子在某 种空间上的性质及其应用的学科，相关习题主要 考察学生对算子、空间及其性质的理解程度。
1. 空间上的算子与变换部分的习题主要涉及线性 算子、有界算子、紧算子等不同类型的算子的定 义、性质和计算方法，以及空间上的变换和约化 定理的应用。
实变函数论与泛函分析
实变函数论与泛函分析实变函数论与泛函分析是数学家们在研究函数分析的时候提出的一种理论模式。
实变函数论是一门理论体系，其研究的对象主要是和函数之间的关系。
泛函分析则注重对函数本身的进行分析。
实变函数论与泛函分析介绍如下：一、实变函数论1.定义实变函数论是指研究将一个变量关于另一个变量而又依赖于一个参数时函数的行为和性质的学科。
它试图分析它们之间的关系，在有限或无限的变量区间上建立关于函数的数学模型和理论，并导出用于解决数学问题的一般定理和式子。
2.应用实变函数论在各个数学学科，特别是微积分学中有着重要的地位。
在微积分中，它们被用来研究函数和变量之间的关系，帮助分析变量的变化率、局部变化规律以及参数对变量的影响等方面的数学模型，以及表示形式的分析等等。
二、泛函分析1.定义泛函分析是一门概括实变函数性质的学科。
它是研究实变函数的性质的一种新的数学方法，其研究的主要对象是函数本身的特征。
它不仅仅关注实变函数的变化规律以及参数对变量的影响，而且重视函数本身的一般特征。
2.应用泛函分析在数学中广泛应用，用它可以分析函数表示形式、函数图像、数值函数特征等，以及函数变量范围等方面的信息。
泛函分析可以快速求解实变函数存在的问题，例如函数的变换矩阵以及函数的定义域等等，并可以用来帮助分析实变函数在不同区间的特征。
它还可以帮助机器学习和统计学家们更好地探索实变函数方程的内在特征。
总之，实变函数论与泛函分析是数学家们用来研究函数的理论尝试，涉及到函数之间的关系、特征以及数学上的分析。
它们在数学学科中都具有重要的地位，为数学应用研究提供了强有力的帮助。
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
实变函数与泛函分析
(2) Hilbert旅馆问题
1, 2, 3, 4, 5, 6,… a1, a2, a3, a4, a5, a6, …
问下列情况是否能把新来的人安排下：
1 又来了有限个人{b1, b2, b3, … ，bn}
2 每个人带一个亲戚{b1, b2, b3, …, bn, …}
3 每个人带无限多个亲戚（亲戚可排个队） 4 又来了[0,1]个人
(1) Achilles追龟
0(甲)
甲的速度为1，乙的速度为1/2
½（乙）
3/4
7/8 15/16 1
n1
1 2n
1 2
1 22
1 2n
1
问题：时间由时刻组成，每一时刻，甲、乙都在一确定点上由于 甲、乙跑完相应路程所用时间一样，故甲、乙所用“时刻数”一 样，从而跑过的点的“个数”也一样。
当前您浏览的位置是第十八页，共二十页。
当前您浏览的位置是第六页，共二十页。
(2) Riemann可积的充要条件
xi-1 xi
f(x)在[a,b]上Riemann可积
xi-1 xi
b
n
n
b
a
f
( x)dx
lim ||T ||0
i 1
M ixi
lim
||T ||0
i 1
mi xi
a
f (x)dx
其中： M i sup{ f (x) : xi1 x xi} mi inf{ f (x) : xi1 x xi}
如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计 算总数，那就是Ri等理科教学》，2000.1）
0
1
当前您浏览的位置是第十六页，共二十页。
3.Lebesgue积分构思产生的问题
数学中的微积分与泛函分析
数学中的微积分与泛函分析1.极限：函数在某一点的极限值，极限的性质与运算法则，无穷小与无穷大，极限存在与不存在的判定方法。
2.导数：导数的定义，导数的性质与运算法则，高阶导数，隐函数求导，参数方程求导，导数在实际问题中的应用。
3.积分：积分的定义，积分的基本性质与运算法则，不定积分与定积分的计算，换元积分，分部积分，定积分的应用。
4.微分方程：微分方程的定义，微分方程的解法，常微分方程与偏微分方程，微分方程在实际问题中的应用。
二、泛函分析1.赋范线性空间：赋范线性空间的定义，基本性质与运算法则，范数的等价条件，赋范线性空间的对偶空间。
2.内积空间：内积空间的定义，内积的性质与运算法则，正交基，正交分解，内积空间的对偶空间。
3.希尔伯特空间：希尔伯特空间的定义，希尔伯特空间的基本性质，正交补，格伦平均定理，希尔伯特空间的对偶空间。
4.巴拿赫空间：巴拿赫空间的定义，巴拿赫空间的基本性质，巴拿赫空间的对偶空间，巴拿赫空间的应用。
5.泛函极限与连续性：泛函极限的定义，泛函极限的性质与运算法则，泛函的连续性，连续泛函的性质与运算法则。
6.赋范线性空间中的算子：算子的定义，算子的性质与运算法则，算子的谱，算子的本征值与本征向量，算子的扩张与降维。
7.泛函方程：泛函方程的定义，泛函方程的解法，抽象泛函方程，变分法，泛函方程在实际问题中的应用。
8.泛函分析在其他学科中的应用：泛函分析在数学物理中的作用，泛函分析在计算机科学中的应用，泛函分析在经济学、生物学等其他学科中的应用。
习题及方法：一、微积分习题1.极限习题：求函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x趋近于1时的极限值。
答案：当x趋近于1时，分子x^2 - 1趋近于0，分母x - 1趋近于0，所以f(x)的极限值为1。
2.导数习题：求函数f(x) = x^3的导数。
答案：f’(x) = 3x^2。
3.积分习题：计算不定积分I = ∫(1/x)dx。
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析要点实变函数是指定义在实数集上的函数。
泛函分析是数学领域中的一个分支，研究无穷维的向量空间中的函数，函数可以是函数空间的元素，也可作为泛函作用于其他函数上。
以下是实变函数与泛函分析的一些重要要点：1.实变函数的定义与性质：实变函数是一个定义在实数集上的函数，即其自变量和值都是实数。
实变函数可以分为一元函数和多元函数两种。
一元实变函数常见的类型包括常值函数、线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
多元实变函数一般是一元实变函数的扩展，引入了多个实数自变量。
2.实变函数的极限与连续性：实变函数的极限概念与数列极限类似，但要考虑函数在自变量无穷大时的极限。
连续函数是实变函数中很重要的一类，其定义是指函数在其定义域内的任意点上都有极限，并且极限值等于函数在该点的函数值。
连续函数具有许多重要的性质，如介值定理、最大最小值定理、魏尔斯特拉斯逼近定理等。
3.实变函数的导数与微分：实变函数的导数是研究实变函数变化率的重要工具，通过导数可以求得函数的切线、切平面、切量等。
导数的定义是函数在一点处的极限，有了导数概念之后，可以引入微分的概念，将实变函数局部线性化。
4.实变函数的积分与级数：实变函数的积分是对函数在一定区间上的面积或曲线下面积进行求和的过程。
具体可以分为定积分和不定积分两种，常见的积分方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等。
级数是实变函数的另一个重要概念，是无穷多项之和的极限形式，数学分析中常用到的级数包括幂级数、傅里叶级数等。
5.泛函分析的基本概念：泛函是一个将向量空间中的函数映射到实数域的映射，也可以理解为对函数进行描写或度量的方式。
泛函分析是考虑无穷维向量空间上的泛函的性质与运算的数学分支。
泛函分析包括拓扑向量空间、线性算子、度量性等方面的内容。
6.泛函分析中的函数空间：函数空间是泛函分析中一个重要的研究对象，它是一组具有特定性质的函数的集合。
常见的函数空间包括连续函数空间、可测函数空间、Lp 空间等。
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析长春理工大学数学研究生入学加试《实变函数与泛函分析》考试大纲一、总体要求考生应按本大纲的要求，掌握Lebesgue的测度论，实变量的可测函数理论，Lebesgue 积分理论与微分理论，掌握度量空间和赋范线性空间的概念和例子，有界线性算子和连续线性泛函的概念和例子，掌握Hilbert空间的基本性质。
较好的掌握测度论与抽象积分理论，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
二、教材《实变函数与泛函分析基础(第二版）》，程其襄等，高等教育出版社,2003.三、考试内容（一）集合1. 掌握集合的概念，集合的包含和相等的关系和判定方法；2. 熟练掌握集合的和、交、差、余的运算，掌握上限集、下限集和收敛集的定义3. 会求集合的和、交、差、余，会求集合族的上限集、下限集，会判定集合列是否收敛；4. 理解集合基数的概念，对等的概念，掌握Bernstein定理，会用Bernstein定理判定集合对等；5. 掌握可数集合与具有连续基数的不可数集合的概念、例子和运算性质，能够利用已知的例子和运算性质去确定集合为哪类无限集合；6. 知道不存在具有最大基数的集合。
（二）点集1. 理解距离和距离空间的概念，懂得Euclid空间是距离空间；2. 掌握邻域的概念与性质，掌握点列收敛、点集距离、有界集和区间的概念；3．深入理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的定义，理解并掌握集合的开核、导集、边界、闭包的概念及相关的性质；4. 熟练掌握开集、闭集的概念和相关性质，掌握紧集的概念，完备集的概念，掌握有限覆盖定理；5. 理解直线上开集、闭集的构造定理，掌握Cantor集的性质。
（三）测度论1.深入理解并熟练掌握外测度，L-可测集的定义和基本性质，并掌握典型的例子2.理解σ代数的定义，掌握Borel集、Gδ型集、Fσ型集的定义，明确可测集和Borel集、Gδ型集、Fσ型集之间的关系，掌握L-可测集类；（四）可测函数1. 理解并掌握可测函数的定义与等价条件，掌握简单函数的概念，几乎处处收敛的概念，理解简单函数与可测函数的关系；2. 理解Egorov定理，Lusin定理；3. 理解并掌握依测度收敛的定义，理解Riesz定理，Lebesgue定理，会利用这两个定理去解决实际问题。
实变函数与泛函分析教学大纲-数学与信息科学学院
《实变函数与泛函分析》教学大纲课程编码：110840课程名称：实变函数与泛函分析学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《复变函数》适用专业：信息与计算科学开课教研室：分析与程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：《实变函数与泛函分析》是大学数学系的重要专业方向课之一，它是数学分析的延续和发展。
2．课程任务：通过这门课程的教学应使学生掌握近代抽象分析的基本思想，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
二、课程教学基本要求实变函数与泛函分析包括两部分内容：“实变函数”与“泛函分析”。
“实变函数”主要学习测度论、可测函数论、积分论、微分与不定积分；“泛函分析”是通过在集合中引入各种结构，包括代数结构，拓扑结构、测度结构、序结构以及这些基本结构的各种复合，形成了各种各样的抽象空间，本课程主要研究这些抽象空间中的距离空间，赋范线性空间，内积空间的性质及其映射(线性算子和线性泛函)性质。
三、课程教学内容第一章 集合1.教学基本要求通过本章的系统学习，使学生熟悉集合列的上极限集、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示，集合的对等、基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念，可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质，自然数集、整数集、有理数集等的可数性，有理数集在实数轴上的稠密性。
2.要求学生掌握的基本概念、理论通过本章教学使学生熟悉集合列的上、下极限集、极限集的定义与交、并运算表示；掌握单调集合列{Ak}的概念及其极限集的求法。
熟悉集合的对等概念，熟悉对等是一个等价关系；熟悉集合对等的Cantor-Bernstein定理; 掌握集合对等的夹挤定理。
熟悉集合的基数概念；掌握有限集、可数集、不可数集的概念；掌握可数集是最小的无限集的结论以及可数集的基本运算性质; 掌握自然数集、整数集、有理数集等的可数性；掌握有理数集在实数轴上的稠密性；熟悉无理数集、实数集、区间点集等的不可数性。
大学数学实变函数与泛函分析
大学数学实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是大学数学中的重要内容。
实变函数研究的是定义在实数域上的函数，而泛函分析则是研究函数的泛函（即对函数的函数）。
这两个领域相辅相成，共同构成了大学数学中的重要组成部分。
本文将从以下几个方面进行探讨：实变函数的基本概念、实变函数的性质、泛函分析的基本概念以及实变函数与泛函分析的应用。
一、实变函数的基本概念在进一步深入实变函数之前，我们首先需要了解实变函数的基本概念。
实变函数是定义在实数域上的函数，通常用f(x)来表示。
在实变函数中，我们常常会遇到连续性、可导性、积分等概念。
例如，连续性是实变函数的重要性质之一，它描述了函数在给定区间上的光滑程度。
另外，我们还需要了解实变函数的极限、导数、微分等概念，并掌握它们的计算方法与性质。
二、实变函数的性质实变函数有许多重要的性质，这些性质在数学推导和证明中起着重要的作用。
其中，实变函数的一致收敛性是一项十分重要的性质。
一致收敛性涉及到了数列与函数之间的关系，在实际应用中具有广泛的应用。
此外，我们还需要探讨实变函数的极值、凸函数、泰勒展开等性质，并了解它们的应用与意义。
三、泛函分析的基本概念泛函分析是实变函数的推广，它研究的是定义在函数空间中的函数。
在泛函分析中，我们需要学习函数空间的结构、度量、拓扑等概念。
函数空间是泛函分析中的核心概念，它描述了不同函数之间的关系与性质。
此外，我们还需要了解泛函的概念与性质，学习泛函的极值、约束条件等问题，并掌握泛函分析的基本定理与方法。
四、实变函数与泛函分析的应用实变函数与泛函分析在科学研究与工程技术中有着广泛的应用。
在数学领域，实变函数与泛函分析的理论为其他分支学科提供了重要的工具与方法。
在物理学中，实变函数的泰勒展开与级数求和等技术被广泛应用于物理问题的建模与求解。
在工程技术中，泛函分析的优化理论与方法为工程问题的优化与设计提供了理论支持。
因此，实变函数与泛函分析的应用在现代科学与技术中具有重要的地位与作用。
实变函数与泛函分析全册精品完整课件
University of science & Technology of China
五大论：
集合论-着重介绍 Cantor 关于集合的势论的知识.
测度论-讲解 Lebesgue 测度的思想与方法.
积分论-讲解 L 积分的定义、性质、极限定理和 L 可积函数空间，积分与微分的关系.
空间论-主要讲述无穷维赋范空间和内积空间，以 及与共轭空间有关的知识. 算子论-主要讲述三大基本定理（共鸣定理、开映 射定理、闭图像定理），共轭算子以及算子谱理
论.
University of science & Technology of China
教学目的
使学生掌握 L 测度与 L 积分的基本理论、基本思想 与方法，为今后进一步使用现代分析普遍应用的这 一基本工具打下基础。
使学生掌握有关空间和算子的基本理论和思想方法 . 认识和理解现代数学中公理化、抽象与具体、理 论和应用密切联系的特点并加以应用.
前言
课程的重要性 课程讲授的主要内容 教学目的 难易程度 考核方式
University of science & Technology of China
《实变函数与泛函分析》的重要性 在20世纪初期产生并发展起来的学科，是整 个分析数学中最年轻的学科之一 从“经典理论”向“现代理论”转折的关口 是联系各门课程的纽带
通过与其他学科的联系，加强学生对于数学思想方 法的内在联系和一致性的认识，从整体上提高学生 的数学素养
University of science & Technology of China
课程难度与考核方式
内容抽象，难度较大 平时表现分+考试分数， 比例 认真学习则无须担心考核
实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析》教学大纲统计学（非师范类）专业用一、说明部分（一）课程性质、目的和教学任务本课程为统计学专业的专业限选课。
实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
本课程就其实质来说是方法性的，但对于应用学科的学生来说，作为授课的目的，则是知识性的，故在教学方法和内容的选择上来说，只能让学生了解那些体现实变函数与泛函分析基本特征的思想内容，冗难的证明过程应尽量避免。
（二）课程的教学原则和方法本课程的教学原则：理论课与习题课并重的原则：单项训练与综合训练相互结合的原则：经典的、基本的内容与现代数学的方法尽量结合的原则：直觉想象和审慎推敲相互结合和转化的原则。
教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。
（三）课程的主要内容学时分配《实变函数与泛函分析》安排授课共90学时。
第一章集合与测度12学时第二章可测函数12学时第三章Lebesgue积分16学时第四章线性赋范空间24学时第五章内积空间16学时第六章有界线性算子与有界线性泛函10学时二、正文部分第一章集合与测度（一）教学的目的和要求1.了解集族的交并关系，映射及其性质，集的对等，可数集合；2.掌握度量空间的概念和度量空间中的点集3.理解直线上的测度和可测集4.掌握Lebesgue测度及相关理论；（二）教学重点集族的交并关系（三）教学难点度量空间的概念和测度及可测集的概念。
实变函数与泛函分析
实变函数的定义
实变函数是定义在实 数集上的函数，其值
域也是实数集。
实变函数具有连续性、 可微性、可积性等性
质。
实变函数的定义域可 以是有限区间、无限 区间或者整个实数轴。
实变函数的值域可以 是有限区间、无限区 间或者整个实数轴。
实变函数的性质
实变函数是一类特殊的数学函数，具 有连续性、可微性和可积性等性质。
实变函数的连续性
实变函数的连续性与极限存 在性有关
实变函数在定义域内是连续 的
实变函数的连续性是函数的 一种基本性质
实变函数的连续性与可微性 密切相关
03 实变函数的应用
实变函数在数学物理方程中的应用
实变函数在求解偏微分方程中的应用 在解决波动方程、热传导方程等数学物理方程中的作用 实变函数在数值分析中的重要地位 实变函数在解决物理问题中的应用实例
求解中。
添加标题
05 泛函分析的应用
泛函分析在微分方程中的应用
微分方程的求解：通过泛函分析中的变分法，求解微分方程的近似解。 稳定性分析：利用泛函分析中的算子谱理论，研究微分方程解的稳定性。 近似方法：利用泛函分析中的逼近理论，构造微分方程的近似解。 数值计算：通过泛函分析中的数值分析方法，对微分方程进行数值模拟和计算。
添加标题
随机积分与微分 方程：在概率论 中，随机积分与 微分方程是非常 重要的研究方向， 而泛函分析中的 积分和微分理论 为此提供了重要
的数学基础。
添加标题
泛函分析在量子力学中的应用
描述了量子力学中的波函数和 概率幅
提供了量子力学中算子的表示 和分类方法
揭示了量子力学中的一些重要 定理和原理，如不确定性原理 和量子纠缠
研究对象：实变函数研究的是具体的、有限的、离散的数学对象，而泛函分析则研究 的是抽象的、无限的、连续的数学对象。
实变函数论与泛函分析
实变函数论与泛函分析实变函数论与泛函分析是以函数论为基础的一门数学分支，它不仅涉及到函数的定义、性质及其变换，还研究函数的结构和局部行为，它是近代数学研究中一个新兴的领域。
它研究多元可积函数、变分和微分方程、变分方程等。
实变函数论与泛函分析在统计学、数值分析、动力系统以及经济学等各个领域得到了广泛的应用。
实变函数论的发展源于传统的泛函分析，它集中研究变分的无穷维函数的性质。
由于它涉及到函数的分析，无穷维函数的构造以及复杂而难懂的定理，它是抽象的数学学科。
随着函数论的发展，实变函数论逐渐从泛函分析研究中分离出来，成为一门独立的理论。
实变函数论与泛函分析的研究内容与传统的泛函分析有很大的不同，主要包括：首先，它研究实变函数之间的关系，而不是复变函数之间的关系；其次，它研究实变函数及其变分的本质特性，而不是实变函数及其狄拉克或拉格朗日变分的表达式。
实变函数的特性与变分的表达式有很大的不同，需要引入新的概念和思想来研究它们。
实变函数论与泛函分析的应用领域也很广泛，对于统计、机器学习和数值分析有着重要的意义。
它可以用来解决各种复杂的数据模型中出现的复杂的优化问题，如机器学习中的支持向量机问题，可以用实变函数论来分析数据，从而获得更准确的结果。
另外，实变函数论也可以用来研究微分方程、动力系统和经济学中的经典模型。
比如Rogosin的模型就是基于实变函数论的理论研究，它可以用来评估经济影响的结果。
实变函数论与泛函分析是一门新兴的领域，它和传统的泛函分析有很大的不同。
它研究实变函数之间的关系，以及实变函数及其变分的本质特性，应用领域也很广泛，对于统计学、机器学习、数值分析以及动力系统、经济学等都有重要的意义。
它不仅可以评估经济影响的结果，还可以用来解决复杂的数据模型中出现的优化问题，从而取得更准确的结果。
实变函数论与泛函分析是多学科数学研究的新兴领域，具有广阔的发展前景。
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析实变函数是泛函分析的一个重要分支，它研究的是由实数到实数的函数。
在数学中，函数是一种映射关系，将输入映射为输出。
实变函数在数学中有广泛的应用，特别是在微积分、微分方程、拓扑和概率论等领域。
泛函分析是数学中研究无穷维向量空间上的连续线性函数的分支。
它是实变函数理论的推广和拓展，主要研究函数空间上的性质和运算。
泛函分析的主要对象是函数空间、算子空间和线性泛函等概念。
它的研究方法主要是通过利用度量、拓扑和凸分析等工具来研究函数的性质和运算。
在实变函数中，我们研究的是由实数到实数的函数的性质和运算。
例如，我们可以研究函数的连续性、可导性、积分性质等。
通过研究函数的性质，我们可以得到函数的极限、导数、积分等重要的数学概念和工具。
在微积分中，我们利用这些工具来研究函数的变化规律和求解问题。
而在泛函分析中，我们研究的是无穷维向量空间上的函数的性质和运算。
例如，我们可以研究函数空间上的连续性、收敛性、紧性等。
通过研究函数空间的性质，我们可以得到函数空间上的线性泛函、算子等重要的数学概念和技巧。
这些概念和技巧在拓扑学、偏微分方程、优化问题等领域中有重要的应用。
在实变函数理论中，我们研究的是由实数到实数的函数的性质，主要是通过利用微积分和数学分析的工具来研究函数的性质和运算。
而在泛函分析中，我们研究的是无穷维向量空间上的函数的性质，主要是通过利用度量、拓扑和凸分析等工具来研究函数的性质和运算。
总结起来，实变函数是泛函分析的一个重要分支，它研究的是由实数到实数的函数的性质和运算。
泛函分析是研究无穷维向量空间上的函数的性质和运算的一个分支。
实变函数是泛函分析的基础和起点，通过研究实变函数的性质和运算，我们可以进一步推广和拓展到泛函分析。
泛函分析在数学中有广泛的应用，特别是在微分方程、拓扑和概率论等领域。
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析要点实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A?B，则A ?B ，·Ａ?·Ｂ，－Ａ?－Ｂ。
T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。
（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I它覆盖了F（即Fс∪ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I）4、开（闭）集类、完备集类。
大学数学易考知识点实变函数与泛函分析
大学数学易考知识点实变函数与泛函分析大学数学易考知识点：实变函数与泛函分析一、引言在大学数学课程中，实变函数与泛函分析是重要的学习内容之一。
本文将介绍实变函数与泛函分析的相关知识点，帮助读者更好地掌握这些内容。
主要包括实变函数的基本概念、性质以及泛函分析的基础理论。
二、实变函数的基本概念与性质1. 实数与实变函数实数是数学中的基本概念之一，是实变函数的定义域和值域所在的数集。
实数满足完备性、可比性和稠密性等性质，在实变函数的研究中起到重要的作用。
2. 实变函数的连续性实变函数的连续性是指函数在定义域上的无间断性质。
连续性可分为点连续和一致连续两种，其中点连续要求函数在每一个点上都连续，而一致连续要求函数在整个定义域上都连续。
3. 导数与微分导数是实变函数研究中的重要工具，描述了函数在一点附近的变化率。
函数可导的充分必要条件是其在该点连续，并且在该点的左、右导数相等。
微分是导数的重要应用，描述了函数在某一点处的局部线性逼近。
4. 实变函数的积分积分是实变函数研究中的重要内容，描述了函数在一定区间上的累积效应。
常见的积分有定积分和不定积分两种，其中定积分描述了函数在某一区间上的累积效应，不定积分描述了函数的原函数。
三、泛函分析的基础理论1. 赋范空间与内积空间赋范空间是泛函分析中研究的基本对象，是一个具有范数的向量空间。
内积空间是具有内积的向量空间，内积可用于定义范数和度量空间。
2. 泛函与线性算子泛函是指将向量映射到实数或复数的函数，是泛函分析中的重要概念。
线性算子是将一个向量空间映射到另一个向量空间的线性变换，是泛函分析中的关键工具。
3. 可分空间与完备空间可分空间是指在该空间中存在可数稠密子集的向量空间。
完备空间是指拓扑空间中的任何一个柯西序列都收敛于该空间中的某一点。
可分空间和完备空间是泛函分析中的两个重要概念。
4. 链式法则与逆函数定理链式法则是泛函分析中导数的重要性质，描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
实变函数教案课件第六章：微分与不定积分
第六章 微分与不定积分 （总授课时数 8学时）在数学分析中，我们学了微积分学基本定理：（1）若()f x 在[,]a b 上连续，则(()())()x a dR f t dt f x dx=⎰ （2）若'()F x 在[,]a b 上连续，则()'()()()xaR F t dt F x F a =-⎰本章的主要目的是要在Lebesgue 积分理论中推广这一结果. 主要内容: ()()()()()()()xxxaaaF x L f t dt L f t dt L f t dt +-==-⎰⎰⎰为两个单调不减函数的差.所以要讨论()f x 的变动上限函数()F x 的可微性，我们只需讨论单调函数的可微性.单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数.有界变差函数（即两个单调不减函数的差）.但是单调函数（有界变差函数）先微分后积分不能还原.所以我们进一步研究绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数），在绝对连续的条件下，牛顿—莱布尼兹公式得以推广.§1 单调函数的可微性教学目的1、了解维它利（Vitali）覆盖与维它利定理。
2、了解单调函数不连续点集的特点，记住单调函数的微分定理.本节要点 掌握单调函数的微分定理. 本节难点Cantor 函数的性质. 授课时数 2学时——————————————————————————————一、维他利（Vitali） 覆盖 1、 定义设1E R ⊂，{}V I =是长度为正的区间族，如果对于任何的x E ∈及任何0ε>，存在区间x I V ∈，使x x I ∈且x mI ε<，则称V 依维他利 (Vitali) 意义覆盖E 简称E 的V —覆盖.注：定义的等价形式为：对于任何的x E ∈，存在一列区间{}x I V ⊂，使x x I ∈，1,2,,n = 且0()x mI n →→∞.2、 定理1 （维他利(Vitali)覆盖定理）设1E R ⊂且*m E <∞，V 是E 的V —覆盖，则可选出区间列{}x I V ⊂，使各x I 互不相交且(\)0kkm E I= .二、单调函数的可微性定理2 设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则 （1）'()f x 在[,]a b 上几乎处处存在有限导数； （2）'()f x 在[,]a b 上可积； （3）如果()f x 为增函数，有[,]'()()()a b f x dx f b f a ≤-⎰.注：等号不一定成立， 即使()f x 是[,]a b 上的连续单调不减函数，例如Cantor 函数. Cantor 函数()x θ（Cantor 集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）)a 在[0,1]G P =-的各构成区间上，在第n 次去掉的21n -个开区间上依次取值为13521,,,,2222n nn n n - )b 规定(0)0,(1)1θθ==;)c 当{0,1}x P ∈-时,规定()sup{():}x t t G t x θθ=∈<且,称()x θ为[0,1] 上的Cantor函数.显然在[0,1]上单调不减，从而为有界变差函数，并且导函数几乎处处为0，称()x θ为[0,1]上的Cantor 函数，有[0,1]'()01(1)(0)x dx θθθ=<=-⎰.我们还可以证明Cantor 函数在[0,1]上连续.否则，若()x θ在0(0,1)x ∈处不连续，则开区间0000((),())((),())x x x x θθθθ-+或 非空，此区间中的每个数都不属于()x θ的值域，这与()[0,1]G θ=矛盾。
《实变函数与泛函分析》教学大纲
《实变函数与泛函分析》教学大纲前言实变函数是数学科学学院的重要基础课，也是近代数学中最重要，最基本的一个分分支，同时这门课程又是许多后续课程如泛函分析，概率论，微分几何等的基础，泛函分析是数学与信息科学学院高年级学生分析专业方向的选修课程。
本课程是一门重要的数学选修课程，作为数学分析和实变函数课程的深化，具有承上启下的作用，是现代数学最重要的入门课程。
通过这一课程，使学生了解许多数学问题可以通过赋范线性空间的理论而一般地解决。
它一方面为后继课程提供所需的理论基础，同时还为培养学生的抽象思维能力和独立工作能力提供必要的训练。
因而该课程是学习其他数学分支与进一步地科研工作的重要基础和工具。
设置本课程的目的是：通过本学科的学习，培养学生逻辑思维能力及论证能力，并用所学的知识解决某些数学分析中遗留下的问题，为日后更高阶段的学习，特别是研究生阶段的实分析学习打下坚实的基础。
本课程的学习要求是：使学生掌握实变函数与泛函分析的基本概念，基本知识，诸如集合，欧氏空间，Lebesgue测度，Lebesgue可测函数，Lebesgue积分，测度空间，测度空间上的可测函数和积分，空间，空间，Hilbert空间理论，Hilbert空间，Banach空间，Banach空间上的连续线性泛函、共轭空间与共轭算子，Banach空间的收敛性与紧致性。
先修课程要求：学生修完《数学分析》、《高等代数》等基础课本课程计划：90学时，5学分，选用教材：王声望，郑维行著，《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，1998年教学手段：课堂讲授考核方法：闭卷考试教学进程安排表第一章集合一、学习目的熟练掌握集合的代数运算和极限运算，能应用Bernstein定理确定一些集合的势，熟悉R n的点集拓扑中关于开集、闭集、稠密与疏朗等基本概念。
二、课程内容§1集合及其运算集合的表示法；集合的基本运算；一些常用集合的符号；集合序列的上、下限集。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则开区间 ( ( x0 ), ( x0 ))或( ( x0 ), ( x0 )) 非空，
此区间中的每个数都不属于 ( x) 的值域，
这与 (G) [0,1] 矛盾。
（端点情形类似说明） 注：Cantor函数把长度为零的集合 连续拉长成长度为1的集合
第六章 微分与不定积分
第二节 不定积分与绝对连续函数
注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集， 从而有界变差函数的不连续点为一可数集， 故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数
Cantor函数
（Cantor集为三等分去掉中间一个开区间，如此过程一直下去）
7/8
3/4
5/8
1/2 3/8 1/4 1/8 如此类似取值一直定义下去
( ) ( 0 1/9
称 ( x) 为[0,1] 上的Cantor函数。
显然在[0,1]上单调不减，从而为有界变差函数， 并且导函数几乎处处为0， ' ( x)dx 0 1 (1) (0)
[ 0,1]
Cantor函数在[0,1]上连续
否则，若 ( x) 在x0∈ (0,1)处不连续，
[ a ,b ]
f ' ( x)dx f (b) f (a)
Koch曲线
注：等号不一定成立， 即使f(x)是[a,b]上的 连续单调不减函数， 例如Cantor函数。
引入 曲线的求长
参数曲线L：
x ( t ) y ( t )
t [ a, b]
分划T：a t0 t1 tn b
2 Lebesgue不定积分与微分的关系
定理
( L) F ' (t )dt F ( x) F (a)
a
x
若F(x)在[a,b]上绝对连续，则
定理
若f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，则
x d (( L) f (t )dt ) f ( x) a.e.于[a, b] a dx
1 单调函数的可微性
Weierstrass在1772构造出一 处处连续但无处可导的函数
f (x) b n cos (a n π x ) （其中 0 <b< 1
n 0
且 a为正奇数）
定理 设f(x)是[a,b]上的单调不减函数，则f `(x)在 [a,b]上几乎处处存在有限导数，且
0
1
3 Jordan分解定理
定理 f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个非负单调不减函数的差
即f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x ) 1 x 其中f1 ( x ) （V ( f ) f ( x ) | f ( a ) | ） 2 a 1 x f 2 ( x ) （V ( f ) f ( x ) | f ( a ) | ） 2 a
a i 1
为f(x)对分点组P的变差，称
b b a a
V ( f ) sup{V ( f , P) : P为[a, b]的分点组 }为f ( x)在[a, b]的全变差
b
若V ( f ) ，则称f ( x)为 [a, b]上的有界变差函数
a
例
闭区间上的单调函数一定是有界变差函数
[
b n
i 1
| (ti ) (ti 1 ) | | (ti ) (ti 1 ) |
i 1 i 1
n
n
2 有界变差函数
设f(x)是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组 P
a x0 x1 xn b,
b n
称V ( f , P) | f ( xi ) f ( xi 1 ) |
1 绝对连续函数
设F(x)是[a,b]上的有限函数，若 0, 0,
使对[a,b]中的任意有限个互不相交的开区间 (ai , bi ) (i 1,2,, n) 当 (b a ) 时，
n i 1 i i
有 | F (bi ) F (ai ) |
i 1
第六章 微分与不定积分
第一节 单调函数与有界变差函数
引入 微积分基本定理
若f(x)在[a,b]上连续，则
x d (( R) f (t )dt ) f ( x) a dx
若F `(x)
x a
在[a,b]上连续，则
( R) F ' (t )dt F ( x) F (a)
本章的主要目的是要 在Lebesgue积分理论中推广这一结果
n
则称F(x)是[a,b]上的绝对连续函数
注： 绝对连续函数一定是一致连续函数，当然是连续函 数，也一定是有界变差函数，从而几乎处处有有限导数。
例
1 若f ( x)是[a, b]上的可积函数，
x a
则F ( x) f (t )dt c为绝对连续函数
利用积分的绝对连续性即可
2 Cantor函数为单调连续函数， 故为有界变差函数， 但不是绝对连续函数， 从而绝对连续函数是有 界变差 函数的一真子类
有界变差函Leabharlann 与不定积分F ( x) ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt
a a a
x
x
x
定理 f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个非负单调不减函数的差
不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数 （是有界变差函数）知道，先取导数再取积分 并不能返回，问什么函数满足此性质？
) ( ) ( 1/3
) ( ) ( 2/3
) ( )
1
Cantor函数
( x)
a.在G=[0,1]-P的各构成区间上，
如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为
1 2n
,
3 2n
,
5 2n
, ,
2 n 1 2n
;
b.规定 ( 0 ) 0 ( 1 ) 1
c.当 x P {0,1} 时,规定 ( x) sup{ (t ) : t G且t x}
主要内容
F ( x) ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt ( L) f (t )dt
a a a
x
x
x
为两个单调不减函数的差
单调函数的可微性：单调函数几乎处处有有限导数 有界变差函数（即两个单调不减函数的差） 绝对连续函数（即能写成不定积分形式的函数）
推论 F(x)在[a,b]上绝对连续当且仅当
存在[a, b]上的可积函数 f ( x)，使F ( x) f (t )dt c
a x
0.2
1/4
0.2 0.4 0.6 0.8
对[0,1]取分划
T :1
1
1 2n
-0.2
1 2 n 1
1 1 3 2 1,
1/6 1/2
-0.4
则V ( f , T ) | f ( xi ) f ( xi 1 ) | 1 i
0 i 1 i 1
n
n
从而V ( f ) ，故f ( x)不为 [0,1]上的有界变差函数
]
分划P， V ( f , P) | f ( xi ) f ( xi 1 ) || f (b) f (a) |
a i 1
V ( f ) | f (b) f (a) |
0
1
例
连续函数不一定是有界变差函数
f ( x)
x cos 2 x 0
x( 0 ,1] x 0
折线长 L(T ) {( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }
2 2 i 1 i 1
n
1 2
| (ti ) (ti 1 ) |和 | (ti ) (ti 1 ) | 都
i 1
n 2 2
1 2
n
n
{( (ti ) (ti 1 ) ( (ti ) (ti 1 ) }