第四章 电子的自旋

在原子内部，有两种角动量 L 和 S


必然存在一个总角动量以及相 应的磁矩。

s 与s



l 与 l

分别共线，合成后

j ls

l s


三、 总角动量
电子的运动=轨道运动+自旋运动
电子有轨道角动量l，又有自旋角动量s，所以电子的 总角动量是
总自旋角动量： S Si
i e e Li L 总轨道磁矩： l li 2m i 2m i
i
总自旋磁矩：
e e s si S i S m i m i
总角动量： J L S
总磁量子数 m j j, j 1,, j 1, j.共2j1个值
对于单电子s＝1/2,所以
1 1 1 l 0, j ; l 0, j l , l 取两个值 2 2 2
例如：当
1 3 l 1 时， j 1 2 2
1 1 j 1 2 2
h h L l (l 1) 2 2 2
h 3 h S s( s 1) 2 2 2
J
h 15 h 3 h j ( j 1) , 2 2 2 2 2
J 2 L2 S 2 2LS cos
J 2 L2 S 2 j ( j 1) l (l 1) s( s 1) cos 2 LS 2 l (l 1) s( s 1)
e L l (l 1) B 2m
外场方向投影：
共
z cos ml B
2l 1 个奇数，但实验结果是偶数。
施特恩和盖拉赫实验证明了原子具有磁矩，
的数值 和取向是量子化的，同时也证明了 L 的空间取向也是量 子化的。
史特恩-盖拉赫实验中出现偶数分裂的事实启示人们，
：与 J 垂直，一个周期内的平均值为0。

e e L cos( L, J ) S cos( S , J ) J l cos(L, J ) s cos(S , J ) 2m m 2 2 2 余弦定理： L J S 2JS cos(S , J ) 2 2 2 S J L 2JL cos(L, J )
Z 2 v 2t2 az t1t2
z B d l
m z v o v o
原子沿Z总位移
B d 1 Z Z1 Z 2 B d ( l2 ) 2 z 2 mv o z B dD B l1 D ＝ z 2 z mv o z 3kT
实验发现 原子蒸气被送入不均匀磁场后，发射的原子束将分裂为多束。这证明了原 子磁矩 μz 的空间量子化行为。但实验发现H（基态）原子 （T=7×104K,kT=9.0eV<10.2eV）进入史特恩－盖拉赫装置后分裂为两束；基 态氧原子分裂为五束，汞原子束不分裂。
i
附：
U U U F U ( i j k ) B x Bx y By z Bz x y z
By Bx U Bz Fz x y z z z z z
θ 是磁矩与磁场方向的夹角， μz 是磁矩在磁场方向的分量。当
引入了自旋假设以后，人们成功地解释了碱金属
的精细结构，塞曼效应以及史特恩-盖拉赫实验等。
一、电子自旋
1925年，年龄不到25岁的两位荷兰学生乌仑贝克和古兹米特 根据大量的实验事实，提出一个极大胆的假设，电子不仅有轨道 运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角动量 S ，具体内容是：
电子自旋运动的量子化角动量为
L iA e 2m h L l (l 1) 2
e L 2m
是量子化的
e he L l (l 1) l (l 1) B 量子化的。 2m 4m
he B 9.2740 10 23 A m 2 玻尔磁子 4m
按照H原子理论，基态H是1s，l＝0，m＝0, μz ＝0,不受力，不会分裂为 二。
如何解释这一矛盾 呢？
量子力学与实验的比较 轨道角动量： 外场方向投影： 轨道磁矩：
h L l (l 1) 2
h Lz ml 2
l 0,1,2, n 1
ml 0,1,2,,l 共 2l 1个
q
F qE
p ql
l
E
F
q
dE z (2) 非均匀电场中：电场强度沿 z 轴，随 的变化为 dz
q
q( E dE l cos ) dz
)
z
qE
q
合力
dE dE Fz q l cos pz dz dz
pz p cos ：
p 在外场方向的投影
• 重点
• • • • • 电子自旋 单电子角动量的合成 四个量子数、 单电子跃迁选择定则 原子光谱的精细结构
难点
• • • • 单电子角动量的合成 电子自旋与轨道运动的相互作用 碱金属原子光谱精细结构分析 氢原子光谱精细结构分析
§4.1原子中电子轨道运动的磁矩
一、电磁学知识 1．电偶极矩
(1) 均匀电场中： F 0 M l F l (qE) p E
第四章 碱金属原子
§4.1 原子中电子轨道运动的磁矩
§4.2斯特恩—盖拉赫实验
§4.3电子的自旋假设 §4.4碱金属双线 §4.5 塞曼效应
教学要求
（1）掌握电子自旋、单价电子总角动量的合成方法和描述电
子量子态的四个量子数。 （2）掌握造成碱金属原子能级精细结构的原因，能写出电子 自旋与轨道的相互作用能的表达式。 （3）掌握单电子跃迁选择定则，并能画出碱金属原子精细能 级跃迁图，解释碱金属原子精细光谱的形成，写出用光谱项 符号表示的谱线的公式。 （4） 掌握氢原子能级的狄拉克公式和光谱的精细结构；了解 氢原子能谱即力是沿着磁场方向的；当 θ>90°，F<0，即力 是逆着磁场方向的
3．力和力矩
d (m ) dL 力矩是引起角动量变化的原因：M r F r dt dt
d 力是引起动量变化的原因： F (m ) dt
二、电子轨道运动的磁矩 电子轨道运动的闭合电流为：
e 1 e 1 2 2 2 J (J L S ) ( J 2 S 2 L2 ) 2m 2 J m 2J e e J 2 L2 S 2 g J J (1 ) 2 2m 2m 2J
e i T
z

“-”表示电流方向与电子运动方向相反
面积：
1 1 2 dt 1 r 2 dt dA r rd r 2 2 2
T
i
一个周期扫过的面积：
A dA 0 1 2 1 T 2 1 T L dt dt r mr Ldt T 0 0 2 2m 2m 2m
90 时，f与B方向相反。

N
S
无磁场
有磁场
p
o
s1 s2
s
A´
c
N a) A
s
p
N b) c）
史特恩—盖拉赫实验的仪器示意图
•
史特恩—盖拉赫实验演示图
磁矩在非均匀磁场B中如同电偶极子在非均匀电场中一样，质心会受力 作用产生运动，如沿z方向磁场不均匀，则有
B e F (μ B) ; Fz ( z B) z , (z m m B ) z z 2me
h Lz ml 2
空间取向量子化
e z Lz ml B 2m
§4.2
斯特恩---盖拉赫实验
目的：证明原子在外磁场中具有空间量子化 特征。 原理：磁矩为的小磁体（或线圈），在非 均匀磁场中受到的合力不为零：
dB dB f cos Z dZ dZ 90 时，f与B方向相反。
s s(s 1 ) 1 S z ms 2
e μs s m
1 自旋量子数s 2 1 所以ms 2
自旋角动量s必然伴随有自旋磁矩
s 2 s (s 1) B 3 B sz 2 B B
1 2
二、朗德g因子
原子进入非均匀磁场l中，沿x方向不受力,作匀速运动。x＝v0t。沿Z方向 作匀加速运动：
1 Z azt 2 2
在x＝l1处
2 1 1 Fz l1 1 B l1 Z1 a z t1 z 2 2 2 m vo 2 z mv o 2
在l段
原子不受力，作自由运动。经l后沿Z偏移为
电子的轨道运动似乎不是全部的运动。换句话说，
轨道磁矩应该只是原子总磁矩的一部分，那另一部分
的运动是什么呢？
相应的磁矩又是什么呢？
§4.3
电子自旋的假设
1925年，两位荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据 史特恩-盖拉赫实验、碱金属光谱的精细结构等许多 实验事实，发展了原子的行星模型，提出电子不仅 有轨道运动，还有自旋运动，它具有固有的自旋角 动量S。
其中 gl 和 gs 分别是轨道和自旋 g 因子 电子的自旋运动绝不是机械的自转，它是相对论效应。
引入 g 因子之后，任意角动量对应的磁矩 j 可以统一 表示为：

j j ( j 1) g j B
jz m j g j B
量子数 j 取定后 mj=j,j-1,……，-j， 共2j+1个值.取j=l ,s 就可以分别得到轨道和自旋磁矩。
L 和 S 是有一定的夹角
当
l cos l (l 1)
j l s时
s 0 s( s 1)