构建不定方程模型解决计数问题

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构建不定方程模型解决计数问题

许多组合问题看似与方程无关,若能去伪存真,转换思维角度,转化为不定方程整数解的模型,则往往能化繁为简、柳暗花明.1不定方程整数解的有关结论

定理1不定方程x1+x2+…+xk=n(k,n∈N+)的非负整数解的个数为Cnn+k-1.

证法1将不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解(x1,x2,…,xk)对应于一个由n个圆圈“○”和k-1

个“+”组成的如图○...○x1个+○...○x2个+...+○ (x)

个所示的排列,每段圆圈“○”的个数即为原方程的一组非负整数解,易证对应关系是一对一的.

所以不定方程x1+x2+…+xk=n的非负整数解的个数就是n个圆圈“○”和k-1个“+”组成的直线排列数,即在n+k-1个位置中选k-1放置“+”(或选n个位置放置圆圈“○”),因此共有不同的排法种数为Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.

证法2对不定方程x1+x2+…+xk=n的任意一组非负整数解(x1,x2,…,xk),令y1=x1+1,y2=x1+x2+2,…,yk=x1+x2+…+xk+k,则1≤y1

(yk=k+n已确定不用选).由于(x1,x2,…,xk)与(y1,

y2,…,yk)对应关系是一对一的,因此不定方程x1+x2+…+xk=n(k,n∈N+)的非负整数解的个数便是从n+k-1个数中取出的k-1个数的组合数,即Ck-1n+k-1=Cnn+k-1.

定理2不定方程x1+x2+…+xk=n(k≥2,n≥2,k≤n)的正整数解的个数为Ck-1n-1.

证法1设想将n个1排成一排,这n个1之间有n-1个空档,从n-1个空档中选k-1个放入k-1个“+”,共有Ck-1n-1种放法,这k-1个“+”把n个1分成k段,各段1的个数即为原方程的一组正整数解,这样“+”的每一种放法就对应着原不定方程的一组正整数解,所以原不定方程共有Ck-1n-1组解.

证法2令yi=xi-1,其中xi≥1,不定方程x1+x2+…+xk=n 的正整数解与不定方程y1+y2+…+yk=n-k非负整数解之间建立了一一对应关系,所以不定方程x1+x2+…+xk=n的正整数解组(x1,x2,…,xk)的组数与不定方程y1+y2+…+yk=n-k 非负整数解组(y1,y2,…,yk)的组数相等,由定理1知,方程y1+y2+…+yk=n-k有Cn-k(n-k)+k-1=Cn-kn-1=Ck-1n-1个非负整数解,所以方程x1+x2+…+xk=n有Ck-1n-1个正整数解.2利用不定方程整数解的结论解有限制条件的不定方程或不定方程组的整数解的个数问题

例1求方程2x1+x2+x3+…+x10=3的非负整数解的个数.

解析由题意,x1=0,1,故分情况讨论如下:

若x1=0,则x2+x3+…+x10=3,该方程非负整数解的个数为:C39+3-1=165;

若x1=1,则x2+x3+…+x10=1,该方程非负整数解的个数为:C19+1-1=9.

综上,非负整数解的个数为:165+9=174个.

例2求方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解x,y,z的个数.

解析首先由定理2知,方程x+y+z=2010的正整数解的个数为C22009=2009×1004.

把x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解分为三类:

1x,y,z均相等的正整数解的个数显然为1;

2x,y,z中有且仅有两个相等的正整数解的个数,易知为1003个;

3x,y,z两两均不相等的正整数解个数为k.

易知1+3×1003+6k=2009×1004,解得k=335671,从而方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解的个数为

1+1003+335671=336675

例3在世界杯足球赛前,F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名队员,准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)中都上场.假设在比赛的任何时刻,这些队员中有且仅有一人在场上,且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均能被7整除,A5,A6,A7每人上场的总时间(以

分钟为单位)均能被13整除.如果每场换人次数不限,那么,按每名队员上场的总时间计算,共有多少种不同的情况.

解析设第i名队员上场的时间为xi分钟(i=1,2,3,…,7),问题即求不定方

程x1+x2+…+x7=270在条件7xi(1≤i≤4)且13xj(5≤j ≤7)下的正整数解的组数.由条件,设x1+x2+x3+x4=7m,x5+x6+x7=13n(m≥4,n≥3).于是m、n即是不定方程

7m+13n=270的一组正整数解.由m=270-13n7≥4,易得3≤n ≤18,(n∈N).进而得到方程的三组正整数解:

m=33,

n=3,m=20,

n=10,m=7,

n=17,设xi=7yi(1≤i≤4),xj=13yj(5≤j≤7).

所以本题转化为求方程组y1+y2+y3+y4=33,

y5+y6+y7=3,y1+y2+y3+y4=20,

y5+y6+y7=10,

y1+y2+y3+y4=7,

y5+y6+y7=17,的正整数解的组数.由分步乘法计数原理和分类加法计数原理及定理2知共有正整数解

C332C22+C319C29+C36C216=42244组.3利用不定方程整数解的结论解排列组合中的计数问题

利用不定方程整数解的结论解决排列组合中的计数问

题,一般用于相同元素的有序分配问题,如指标数、个数、人数等相同的事物的数量分配问题. 3.1投球入盒问

例4把2016个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里,使得第i个盒子里至少有i个球(i=1,2,…,10),问不同放法的总数是多少?

解析先在第i个盒子里放入i个球(i=1,2,…,10),即第1个盒子里放入1个球,第2个盒子里放入2个球,…,这时共放了1+2+3+…+10=55个球.还剩余2016-55=1961个球.故问题转化为把1961个球任意放入10个盒子里(允许有的盒子里不放球),即为不定方程x1+x2+…+x10=1961的非负整数解的个数,由定理1知有C19611961+10-1=C91970种不同放法.

3.2名额分配问题

例5将24个志愿者名额分配给3个学校,则每校至少有一个名额且各校名额互不

相同的分配方法共有多少种?解析设分配给3个学校的名额数分别为x1,x2,x3,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1+x2+x3=24的正整数解的个数,由定理2得不定方程x1+x2+x3=24的正整数解的个数为C223=253.又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种.

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