面板数据的单位根检验

;.面板数据的单位根检验1 LLC （Levin-Lin-Chu ，2002）检验（适用于相同根（common root ）情形）LLC 检验原理是仍采用ADF 检验式形式。

但使用的却是it y ∆和it y 的剔出自相关和确定项影响的、标准的代理变量。

具体做法是（1）先从∆ y it 和y it 中剔出自相关和确定项的影响，并使其标准化，成为代理变量。

（2）用代理变量做ADF 回归，*ˆij ε=ρ*ij ε% + v it 。

LLC 修正的ˆ()t ρ渐近服从N(0,1)分布。

详细步骤如下：H 0: ρ = 0（有单位根）； H 1: ρ < 0。

LLC 检验为左单端检验。

LLC 检验以如下ADF 检验式为基础：∆ y it = ρ y i t -1 +∑=ik j j i 1γ∆ y i t -j + Z it 'φ + εit , i = 1, 2, …, N ; t = 1, 2, …, T （38）其中Z it 表示外生变量（确定性变量）列向量，φ 表示回归系数列向量。

（1）估计代理变量。

首先确定附加项个数k i ，然后作如下两个回归式，∆ y it =∑=ik j ji ˆ1γ∆ y i t -j + Z it 'ˆφ+t i εˆ;.y i t -1 = ∑=ik j ji ~1γ∆ y i t -j + Z it 'φ%+1~-it ε 移项得t i εˆ= ∆ y it -∑=ik j j i ˆ1γ∆ y i t -j - Z it 'ˆφ 1~-it ε= y it -∑=ik j j i ~1γ∆ y i t -j - Z it 'φ% 把t i εˆ和1~-it ε标准化， *ˆij ε= t i εˆ/s i *ij ε%= 1~-it ε/s i其中s i , i = 1, 2, …, N 是用（38）式对每个个体回归时得到的残差的标准差，从而得到∆ y it 和y it -1的代理变量*ˆij ε和*ij ε%。

;.（2）用代理变量*ˆij ε和*ij ε%作如下回归，*ˆij ε=ρ*ij ε%+ v itLLC 证明，上式中估计量ρˆ的如下修正的ρˆt ~统计量渐近地服从标准正态分布。

ρˆt ~=**)ˆ(ˆ)~(~~2ˆTm T m N s S T N t σμρσρ-→ N (0, 1)其中ρˆt 表示标准的t 统计量；N 是截面容量；T ~=T -⎪⎭⎫ ⎝⎛∑i i N k /-1，（T 为个体容量）；S N 是每个个体长期标准差与新息标准差之比的平均数；2ˆσ是误差项v it 的方差；)ˆ(ρs 是ρˆ标准误差；T m ~μ和Tm ~σ分别是均值和标准差的调整项。

见图21输出结果，LLC = 9.7 > -1.65，所以存在单位根。

图21 LLC检验的EViews 5.0输出结果（部分）EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。

在Test Type中选Common root –Levin, Lin, Chu。

;.;.2 Breitung 检验（2002）（适用于相同根（common root ）情形）Breitung 检验法与LLC 检验法类似。

先从it y ∆和it y 中剔出动态项it j y -∆，然后标准化，再退势，最后用ADF 回归t i εˆ*=ρ1~-it ε* + v it 。

检验单位根。

用每个个体建立的单位根检验式的误差项之间若存在同期相关，上述面板数据的单位根检验方法都不再适用。

主要是统计量的分布发生变化，检验功效降低。

为此提出一些个体同期相关面板数据的单位根检验方法。

3 Hadri 检验（适用于相同根（common root ）情形）Hadri 检验与KPSS 检验相类似。

原假设是面板中的所有序列都不含有单位根。

计算步骤是用原面板数据的退势序列（残差）建立LM 统计量。

退势回归是y it = α1 +α2 t + u it;.利用上式中的残差it uˆ计算如下LM 统计量， 22011()N i i t LM S t T f N =⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑ (39) 其中1ˆ()ti it s S t u==∑是残差累积函数，0f 是频率为零时的残差谱密度。

Hadri 给出，在一般假定条件下Z =ba LM N )(-→N (0, 1) (40) 其中a=1/6，b=1/45，LM 由（39）式计算。

Hadri 检验的原假设是没有单位根。

以案例1为例，图22给出检验结果。

EViews 给出假定同方差和克服异方差两种情形下的Z 统计量。

因为Z 渐近服从正态分布，Z = 7.5和7.6落在拒绝域，结论是存在共同单位根。

图22 Hadri检验的EViews 5.0输出结果（部分）EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。

在Test Type中选Common root – Hadri。

;.;.不同根（individual unit root ）情形的面板数据单位根检验方法 4 IPS （Im-Pesaran-Shin ）检验（1997,2002）IPS 检验克服了LL 检验的缺陷，允许面板中不同个体（序列）的ρi 不同。

IPS 检验式是∆ y it = ρi y i t -1 +∑=ik j j i 1γ∆ y i t -j + X it 'α + εit , i = 1, 2, …, N ; t = 1, 2, …, T , εit ~IID(0,σ2) （43）H 0: ρi = 0, i = 1, 2, …, N ; （存在单位根）H 1: 1110,1,..., 0,1,2,...,i ii n i n n N ρρ==⎧⎨<=++⎩。

利用（41）式对N 个个体估计N 个ρi 及相应的ρˆt 。

计算平均值∑==Ni t Nt 1)ˆ()ˆ(1ρρ。

再用)ˆ(ρt 构造面板IPS 检验用统计量Nt Var t E t Z t /)()]([)ˆ()ˆ()ˆ(ρρρ-=。

t Z 渐近服从N(0,1)分布。

临界值与N 、T 以及检验式中是否含有确定项有关系。

IPS 检验为左单端检验。

;.图23 IPS检验的EViews 5.0输出结果EViews 5.0操作步骤：在面板数据窗口点击View选Unit Root Test功能。

在Test Type中选Individual root ;.;.– Im, Pesaran 。

5 崔仁（In Choi ）检验（2001），又称Fisher-ADF 检验。

崔仁（2001）提出了两种组合p i 值检验统计量。

这两种检验方法都是从Fisher 原理出发，首先对每个个体进行ADF 检验，用ADF 统计量所对应的概率p i 的和构造ADF-Fisher χ2和ADF-Choi Z 统计量。

原假设H 0是存在单位根。

在原假设成立条件下，ADF-Fisher χ2 = -2∑=Ni ip 1)log(→χ2(2N )ADF-Choi Z =∑=-Ni i p N11)(1Φ→N (0, 1)其中Φ-1(·)表示标准正态分布累计函数的倒数。

如果概率p i 是通过PP 检验计算出来的，还可以得到PP-Fisher χ2，PP-Choi Z 两个统计量。

EViews 5.0对这4个统计量都有报告。

因为这4个统计量计算的都是每个个体单位根检验尾部概率的和，所以如果这个值很小，应该落在Fisher χ2和Choi Z统计量的拒绝域，如果这个值很大，则落在Fisher χ2和Choi Z统计量的接受域。

;.图24 ADF-Fisher，ADF-Choi检验的EViews 5.0输出结果（部分）图25 PP-Fisher，PP-Choi检验的EViews 5.0输出结果（部分）;.;.第一代面板数据单位根检验 检验的基本思路检验党基本做法：考虑在T 个时间段上N 个截面样本的观测值，假设随机过程由如下一阶自回归过程产生：,11,,(1), 1,,it i i i i t it i Ny y t Tφμφε-==-++=L L （1）单位根检验0:1i H φ= 对所有的i 。

等价的有：,11,, 1,,it i i i t it i Ny y t Tαβε-=∆=++=L L （2）;.其中：,1(1), (1),, 1,,,1,,i i i i i it it i t y y y i N t Tαφμβφ-=-=--∆=-==L L （3）IPS 方法（2003）首先假定（2）式中{},1,,,1,,it i N t T ε==L L 为独立的同为正态分布的变量，()20, it it i E Var εεσ==。

The standard DF statistic for the i th group is given by the t-ratio of i β in the regression of 12(,,)Ti i i iT y y y ∆=∆∆∆y L on ()1,1,,1TT τ=K and(),101,1,,,Ti i i i T y y y y --=K .With OLS, we have;.()()()()()11,1,1,11,1,1,1,1,1 TTTTi i i i iOLS TTTi i TTT i i i i i β-----------==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X X Y τ,y τ,y τ,y Δy τττy τΔy y τy y y Δy )1111121001T T it it t t T T T it it it it t t t Ny y y y y y --==---===⎛⎫⎛⎫∆ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑;.11112210001011111010121121100T T T T T Tit it it it it it it t t t t t t T T T T Tit itit it it it t t t t t T T T it it it it t t t y y y y y y y y y N N y y y y y y N y y -----======---=====---===⎛⎫⎛⎫-∆-∆ ⎪ ⎪ ⎛⎫ ⎪ ∆-∆-∆ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ⎪== ⎪⎛⎫∆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑211200T T it it t t N y y --==⎪⎪⎪⎪⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑1111211200i T T Tit it it itt t t i T T it it t t N y y y y N y y t ββ--===--==∆-∆⇒=⎛⎫- ⎪⎝⎭==∑∑∑∑∑))));.换个思路，双残差的思路。