方程与不等式习题课

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一元二次不等式及其解法(习题课)

∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问题(此时Δ＝b2－4ac)．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立，即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方程 f(x) ＝ 0 在区间 (k1 ， k2) 内有两个实根的条件是

习题课4 二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用

令 y0=x2+ax+3-a,
> 0,
> 0,

<
-2,
则有①Δ≤0 或② 2
或③ - 2 > 2,
7 + ≥ 0,
7-3 ≥ 0
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解①得-6≤a≤2,解②得 a 无解,解③得-7≤a<-6.综上可知,实数 a 的取值范围为-7≤a≤2.
(3)令关于 a 的函数 s=xa+x2+3.当 4≤a≤6 时,s≥0 恒成立,
2

<<2 ;
2
当 a=0 时,原不等式的解集为{x|x<2};当 0<a<1 时,原不等式的解集为 > 或 x < 2 ;

当 a=1 时,原不等式的解集为{x|x≠2};
当 a>1 时,原不等式的解集为 > 2 或 <
2

.
课前预学
方法总结
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解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑对应函数图象的开
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1.不等式 6x2+x-2≤0 的解集为( A ).
2
1
3
2
A. - ≤ ≤
解析
2
1
3
2
B. ≤ - 或 ≥
C. ≥
1
D. ≤ -
2
2
1
3
2
由 6x +x-2≤0,得(2x-1)(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为 - ≤ ≤
2
2
3
.
2.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax 2+bx+c≥0 的解集为( D ).

高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时，函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <，则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立；反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<，此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-，故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________．【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=．故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+，（2）1m =-恒成立，符合题意；（3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=，其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限，综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-；当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤，所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=，因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-；当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+；由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2．【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+，令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈．（1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值．【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭，设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出，（Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2．当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9；当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1；故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54．令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=．（1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞．【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式；（2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；【答案】（1）()2h x x =；【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式；（2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】（1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++，由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式习题课课件(人教版)

当a＝3时，不等式解集为{x|x≠3}．当a＞3时，不等式解集为{x|x＜3或x＞a}．
思考：当a∈R时，变式1的解集又如何求解？
典例分析
变式1：求不等式（ax－2）（x－3）＞0（a＞0）的解集．
解：当
a
2 3
，即
2 a
3 时，不等式解集为
x
|
x
3或x
2
a
．
当a 2 ，即 2 3 时，不等式解集为x | x 3 ．
4
目标检测
4 已知关于x的不等式 a2 4x2 a 2x 1≥ 0的解集为空集，则实数
a的取值范围是_________．
解析：②当a2－4≠0，即a≠±2．因为关于x的不等式(a2－4)x2＋(a－2)x－1≥0解集为空集，
所以
a2
4 0
0，
解得
5 6
＜a＜2．
综上可得：a的取值范围是
3a
当a
2 3
，即
2 a
3
时，不等式解集为 x
|
x
2 a
或x
3
．
典例分析
思考：当a∈R时，变式1的解集又如何求解？
解：当a＝0时，不等式可化为x－3＜0，解得x＜3．
当a≠0时，方程（ax－2）（x－3）＝0的根为 2 ，3． a
若a＜0，则 2 3 ，不等式解为 2 x 3．
a
a
若a＞0，则
之后与例2相同，略．
②对于x2－ax＋1＜0，Δ＝a2－4，所以当－2≤a≤2，
即Δ≤0时，不等式的解集为φ．
当a＞2或a＜－2，即Δ＞0时，
不等式的解集为{x | a
a2 4 x a
a2 4 }

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式3第二课时二次函数与一元二次方程不等式的应用习题课学案新人教A

第二课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课) 简单的分式不等式的解法[例1] 解下列不等式： (1)x ＋12x －1＜0；(2)1－x 3x ＋5≥0；(3)x －1x ＋2＞1. [解] (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)＜0，∴－1＜x ＜12，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12. (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（3x ＋5）≤0，3x ＋5≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53＜x ≤1. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1＞0， ∴x －1－（x ＋2）x ＋2＞0， ∴－3x ＋2＞0，则x ＜－2. 故原不等式的解集为{x |x ＜－2}．简单分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零；(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[跟踪训练]解下列不等式：(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3＞1. 解：(1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）（3x ＋1）≥0，3x ＋1≠0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13.∴x ＜－13或x ≥12， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－13或x ≥12. (2)原不等式可化为（2－x ）－（x ＋3）x ＋3＞0，化简得－2x －1x ＋3＞0，即2x ＋1x ＋3＜0， ∴(2x ＋1)(x ＋3)＜0，解得－3＜x ＜－12. ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－3＜x ＜－12.不等式恒成立问题[例2] 已知函数y ＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，不等式y ＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于一切实数x ，不等式y ≥－2恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0恒成立．若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ，m 的取值范围是－4＜m ≤0. (2)不等式y ≥－2，即为mx 2－mxm ＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立；若m ≠0，则应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m 2－4m ≤0，解得0＜m ，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)的解集为R(恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c ＞0ax 2＋bx ＋c ＜0 a ＝0b ＝0，c ＞0 b ＝0，c ＜0a ≠0 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0 [跟踪训练]已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |a ≤－2或a ≥5}C ．{a |a ≤－1或a ≥4}D ．{a |－2≤a ≤5} 解析：选A 法一：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.法二：不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立等价于不等式x 2－2x ＋5－a 2＋3a ≥0对任意实数x 恒成立，所以关于x 的方程x 2－2x ＋5－a 2＋3a ＝0的判别式Δ＝(－2)2－4×(5－a 2＋3a )≤0，解得－1≤a ≤4，故选A.一元二次不等式的实际应用 [例3] (链接教科书第53页例4)某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，x ，同时预计年销售量增加的比例为x .已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？[解] (1)由题意，得yx )－1×(1＋xx )(0<x <1)，整理得y ＝－60x 2＋20x ＋200(0<x <1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y －（1.2－1）×1 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－60x 2＋20x >0，0<x <1，解不等式组，得0<x <13，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 的范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <13.解不等式应用题的步骤[跟踪训练]如图所示，某小区内有一个矩形花坛ABCD ，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3 m ，AD ＝2 m ．要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则DN 的长应在什么范围内？解：设DN 的长为x (x >0)m ，则AN 的长为(x ＋2)m. 因为DN AN ＝DC AM ，所以AM ＝3（x ＋2）x ，所以S 矩形AMPN ＝AN ·AM ＝3（x ＋2）2x. 由S 矩形AMPN >32，得3（x ＋2）2x>32. 又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得0<x <23或x >6. 即DN 的长的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0<x <23或x >6.1．不等式2－x x≥0的解集为( ) A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |0＜x ≤2}C ．{x |x ＜0或x ≥2}D ．{x |x ＜0或x ＞2}解析：选B 由原式得x (x －2)≤0且x ≠0，解得0＜x ≤2，故选B.2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－4≤a ≤4}B ．{a |－4＜a ＜4}C ．{a |a ≤－4或a ≥4}D ．{a |a ＜－4或a ＞4} 解析：选A 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4.3.某施工单位在对一个长800 m ，宽600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．解：设花坛的宽度为x m ，则草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m ，根据题意得(800－2x )·(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋60 000≥0，解不等式得x ≥600(舍去)或x ≤100，由题意知x ＞0，所以0＜x ≤100.当x 在{x |0<x ≤100}取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．。

习题课(二) 一元二次函数、方程和不等式

习题课（二）一元二次函数、方程和不等式一、选择题1．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A －B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B . 2．设集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2}D ．{x |2<x <3}解析：选A ∵A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <3}，选A. 3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <Q B ．P ＝Q C ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选C 因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2(m －1)·4m －1＋1＝5＝Q .当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立，故选C.4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14，则a ＋b 等于( ) A ．－18 B ．8 C ．－13D ．1解析：选C ∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝⎛⎭⎫－14＝－b a，(－2)×⎝⎛⎭⎫－14＝－2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9.∴a ＋b ＝－13. 5．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤2 B ．a ≥2 C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选D 因为x >1，所以x －1>0，则x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，由x＋1x －1≥a 恒成立得a ≤3.6.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 解析：选D 由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b 2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 7．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．{a |－2<a ≤2} B ．{a |－2≤a ≤2} C ．{a |a <－2或a >2} D ．{a |a ≤－2或a >2}解析：选A 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[2(a －2)]2－4(a －2)×(－4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，解得－2<a <2. 又当a ＝2时，原不等式可化为－4<0，显然恒成立，故a 的取值范围是{a |－2<a ≤2}． 8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：选B 设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b ，∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B.二、填空题 9．若a ＜b ＜0，则1a －b 与1a的大小关系为________．解析：∵1a －b －1a ＝b (a －b )a ，a ＜b ＜0.∴a －b ＜0，∴1a －b －1a ＜0.∴1a －b ＜1a .答案：1a －b ＜1a10．已知x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴x ＋m x －2＝x －2＋mx －2＋2≥2(x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4.答案：411．关于x 的不等式ax －b >0的解集是{x |x >1}，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集是________．解析：∵关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，ba ＝1，则关于x 的不等式(ax＋b )(x －2)>0可化为(x ＋1)(x －2)>0，解得x >2或x <－1.∴所求不等式的解集为{x |x <－1或x >2}．答案：{x |x <－1或x >2}12．若m 2x －1mx ＋1＜0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依题意，对任意的x ≥4，有y ＝(mx ＋1)·(m 2x －1)＜0恒成立，结合图象分析可知⎩⎨⎧m ＜0，－1m ＜4，1m 2＜4，由此解得m ＜－12，即实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <－12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <－12 三、解答题13. 当x >3时，求2x 2x －3的取值范围．解：∵x >3，∴x －3>0.∴2x 2x －3＝2(x －3)2＋12(x －3)＋18x －3＝2(x －3)＋18x －3＋12≥22(x －3)·18x －3＋12＝24.当且仅当2(x －3)＝18x －3，即x ＝6时，上式等号成立．14．解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2<0. 解：原不等式可化为(7x ＋a )(8x －a )<0，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 7⎝⎛⎭⎫x －a8<0. ①当－a 7<a 8，即a >0时，－a 7<x <a 8；②当－a 7＝a8，即a ＝0时，原不等式解集为∅；③当－a 7>a 8，即a <0时，a 8<x <－a 7.综上知，当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－a 7<x <a 8；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a 8<x <－a 7. 15．已知a >0，b >0，1a ＋1b ＝1，求1a －1＋9b －1的最小值．解：∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a >1，且b >1，1a ＋1b ＝1变形为a ＋b ab ＝1， ∴ab ＝a ＋b ，∴ab －a －b ＝0， ∴(a －1)(b －1)＝1，∴a －1＝1b －1，∵a －1>0，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝1±13时取“＝”，由于a >1，故取a ＝43，∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．(1)写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的关系式；(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．(注：价值损失的百分率＝原有价值－现有价值原有价值×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y ＝kx 2， ∵3克拉的价值是54 000美元， ∴54 000＝k ·32，解得k ＝6 000， ∴y ＝6 000x 2，∴此钻石的价值与重量的关系式为y ＝6 000x 2.(2)证明：若两颗钻石的重量为m ，n 克拉，则原有价值是6 000(m ＋n )2，现有价值是6 000m 2＋6 000n 2，价值损失的百分率：6 000(m ＋n )2－6 000m 2－6 000n 26 000(m ＋n )2×100%＝2mn (m ＋n )2×100%≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22(m ＋n )2＝12，当且仅当m ＝n 时取等号．∴当m ＝n 时，价值损失的百分率最大．。

初中数学-不等式、不等式组习题课

x2 0 3 (2) 4 1 x 1 x. 3 4
无解
例6：仔细选一选 1．下列说法中，正确的是( A ) A．x＝2是不等式3x＞5的一个解 B．x＝2是不等式3x＞5的唯一解 C．x＝2是不等式3x＞5的解集 D．x＝2不是不等式3x＞5的解 2．不等式-4≤x＜2的所有整数解的和是( D ) A．-4 B．-6 C．-8 D．-9 3．不等式(a＋1)x＜a＋1的解集为x＜1，则a满足( C ) A ．a ＜0 B．a≤-1 C．a＞-1 D．a＜-1 4．若ax＜2a(a≠0)是关于x的不等式，则其解集是( D ) A ．x ＜2 B．x＞-2 C．当a＞0时，x＜2 D．当a＞0时，x＜2;当a＜0时，x＞2
B
用基本性质对条件灵活变形．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
灵活运用不等式的基本性质．
例2：若x-y<x, x+y<y, 则 x+y, x-y, xy, x/y 这四个式子中，你能确定个式子的 4 符号。
由条件可推得：-y<x<0<y x 则x+y>0,x-y<0,xy<0, <0。 y
k2 k 解：由方程组得 x y 1 2 2 又因 2 k 4 k k 巧求x-y，不等式则 1 2，故 0 1 1 2 2 变形注意基本性所以 0 x y 1 。质的正确运用。
与平面直角坐标系综合:符号、象限、字母的值
例9: P(2a-1，5+a)在第二象限，求a的取值范围。
５ x 5 系数化“1”得 5 5 即 x 1
坚持按照解不等式的步骤进行, 注意“去分母后添括号”、注意 “系数化1时不等号的方向”。

人教版七年级下册数学第8章二元一次方程组集训课堂练素养一元一次不等式的解法的应用

解：根据题意，得2×3－x＝－2023，解得x＝2029.
(2)若x⊗3<5，求x的取值范围．
解：根据题意，得2x－3<5，解得x<4.
7 已知关于x的不等式3x－m≤0的正整数解有四个，求 m的取值范围．
解：解不等式得 x≤m3 ，由题意得 4≤m3 ＜5，解得 12≤m＜15.
【点拨】已知一个含字母参数的不等式的解集满足特定要求，求字母参数的取值范围时，我们可以先求出这个含字母参数的不等式的解集，然后根据题意列出一个(或几个)关于字母参数的不等式，从而可以求出字母参数的取值范围．
(2)探究问题：如图①，点A，B，P分别表示数－1，2，x， AB＝3.
∵|x＋1|＋|x－2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧
或点B的右侧时，PA＋PB＞3. ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值是3.
(2)解决问题： ①|x－4|＋|x＋2|的最小值是_______6_； ②如图②，利用上述思想方法解不等式： |x＋3|＋|x－1|＞4；
解：由题意得2x－2 3≥x＋3 2， 3(2x－3)≥2(x＋2)，
6x－9≥2x＋4，4x≥13，x Nhomakorabea143，
∴x
的取值范围为
13 x≥ 4 .
6 【中考·湖州】对于任意实数a，b，定义关于“⊗” 的一种运算如下：a⊗b＝2a－b.例如：5⊗2＝2×5－ 2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10. (1)若3⊗x＝－2023，求x的值；
解：如图，可知不等式|x＋3|＋|x－1|＞4的解集为 x＜－3或x＞1.
③当a为何值时，式子|x＋a|＋|x－3|的最小值是2.

数学课程方程与不等式练习题及答案

数学课程方程与不等式练习题及答案在数学学科中，方程和不等式是两个重要的概念。

通过解方程和不等式，我们可以解决各种各样的实际问题。

本文将提供一些方程与不等式的练习题及其答案，以帮助读者加深对这些概念的理解和应用。

1. 方程练习题题目1：求解方程5x - 3 = 7。

解答：首先，将方程中的常数项移到等号的右边，得到5x = 10。

然后，将系数为5的项除以方程两边，得到x = 2。

因此，方程的解为x = 2。

题目2：求解方程2(x + 3) = 10。

解答：首先，将方程中的括号展开，得到2x + 6 = 10。

然后，将方程中的常数项移到等号的右边，得到2x = 4。

最后，将系数为2的项除以方程两边，得到x = 2。

因此，方程的解为x = 2。

题目3：求解方程x^2 - 9 = 0。

解答：首先，将方程移项，得到x^2 = 9。

然后，对方程两边开方，得到x = ±3。

因此，方程的解为x = 3或x = -3。

2. 不等式练习题题目1：求解不等式2x - 5 < 7。

解答：首先，将不等式中的常数项移到不等号的右边，得到2x < 12。

然后，将系数为2的项除以不等式两边，得到x < 6。

因此，不等式的解为x < 6。

题目2：求解不等式3(x + 2) > 12。

解答：首先，将不等式中的括号展开，得到3x + 6 > 12。

然后，将不等式中的常数项移到不等号的右边，得到3x > 6。

最后，将系数为3的项除以不等式两边，得到x > 2。

因此，不等式的解为x > 2。

题目3：求解不等式x^2 + 4x + 3 < 0。

解答：首先，将不等式移项，得到x^2 + 4x + 3 > 0。

然后，通过使用二次函数的图像或因式分解的方法，可以得到方程 (x + 1)(x + 3) < 0。

接下来，我们需要考虑函数在不同区域的正负性。

由于 (x + 1)(x + 3)是一个二次项，其图像是一个开口向上的抛物线，因此可以得到不等式的解为 -3 < x < -1。

第2课时一元二次不等式的综合应用(习题课)

[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，若 m＝0，显然－1<0. 若 m≠0，Δm＝<0பைடு நூலகம்，2＋4m<0 ⇒－4<m<0. ∴－4<m≤0，即 m 的取值范围是－4<m≤0.
(2)解法一要使 y<－m＋5 在 x∈[1,3]上恒成立，
就要使 mx－122＋34m－6<0 在 1≤x≤3 上恒成立．
解析设产销量为每年 x 万瓶，则销售收入为每年 70x 万元，从中征收税金为 70x·R% 万元，并且 x＝100－10R.
由题意可知 70(100－10R)·R%≥112，即 R2－10R＋16≤0. ∴2≤R≤8，∴税率定在 2%～8%之间，年收附加税不少于 112 万元．
02
课后案学业评价
6 m<7.
解法二当 x∈[1,3]时，f(x)<－m＋5 恒成立，即当 1≤x≤3 时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立． ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0，又 m(x2－x＋1)－6<0，∴m<x2－6x＋1. ∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在 1≤x≤3 上的最小值为67， ∴只需 m<67即可．∴m 的取值范围是 m<67.
题型三一元二次不等式的实际应用某物流公司购买了一块长 AM＝30 米，宽 AN＝20 米的矩形地块，计划将图
中矩形 ABCD 建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C 在地块对角线 MN 上，B，D 分别在边 AM，AN 上，假设 AB 的长度为 x 米．
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式； (2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则 AB 的长度应在什么范围内？

人教B版高中数学必修第一册课后习题第二章等式与不等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集

第二章等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集必备知识基础练1.(多选题)下列说法不正确的是( )A.在等式ab=ac两边都除以a,可得b=cB.在等式a=b两边都除以c2+1,可得ac2+1=bc2+1C.在等式ba =ca两边都除以a,可得b=cD.在等式2x=2a-b两边同除以2,可得x=a-b2.多项式a+5与2a-8互为相反数,则a= ( )A.-1B.0C.1D.23.关于-2)x2+的值应为( )A.2B.-2C.2或-2D.14.方程x2-8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长,则直角三角形的第三条边长是.5.已知y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,则关于x的方程m((2x-5)的解集为.6.若实数a,b满足(4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a+b= .7.把下列各式因式分解:(1)4x 2-8x+4;(2)(x+y)2-4y(x+y).8.求关于x 的方程ax=2x-1的解集,其中a 是常数.关键能力提升练9.(多选题)下列解方程过程中,错误的是( ) A.将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+1=8x+5 B.由x 0.7+0.17+0.4x 0.03=1,得10x 7+17+40x3=100C.由-23x=3,得x=-92D.将3-5x -12=x+23去分母,得3-3(5x-1)=2(x+2)10.若多项式x 2+kx-24可以因式分解为(x-3)(x+8),则实数k 的值为( )A.5B.-5C.11D.-1111.若关于x的一元一次方程2x-k3−x-3k3=1的解集是{-1},则k的值是.12.要在二次三项式x2+( )x-6的括号中填上一个整数,使它能按公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)分解因式,那么括号中的数可以是.13.已知关于x的方程4a+43+2x=3x-1的解集为A,关于x的方程3x-a-4=0的解集为B,若A=B,求a的值.14.解下列一元二次方程:(1))x+m3=0;(2)x2-x+4=3,n为何值时,原方程的解集为:(1)单元素集;(2)R;(3)⌀.参考答案第二章等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集1.ACD 对于A,当a=0时不正确;对于B,∵c2+1≠0,∴B正确;对于C,等式b a =ca两边都除以a可得ba2=ca2,∴C不正确;对于D,在等式2x=2a-b两边同除以2,得x=a-b2,∴D不正确.2.C 根据题意得a+5+2a-8=0,移项合并得3a=3,解得a=1.3.B ∵关于-2)=-2.故选B.4.4或√34方程x2-8x+15=0因式分解得(x-3)·(x-5)=0,所以x-3=0或x-5=0,解得x1=3,x2=5,即直角三角形的两条边长分别为3,5.当5为直角边长时,则第三条边长为√32+52=√34;当5为斜边长时,第三条边长为√52-32=4.5.{0} 因为y=1是方程2-13(m-y)=2y的解,所以2-13(m-1)=2,即m=1.所以方程m((2x-5)变为(x-3)-2=2x-5,解得x=0.所以方程的解集为{0}.6.-12或1 设a+b=x,则原方程可化为4x(4x-2)-8=0,整理得(2x+1)(x-1)=0,解得x=-12或x=1.则a+b=-12或1.7.解(1)原式=4(x 2-2x+1)=4(x-1)2. (2)原式=(x+y)(x+y-4y)=(x+y)(x-3y).8.解原方程可化为(2-a)x=1,当a=2时,解集为⌀; 当a≠2时,解集为{12-a}.综上,当a=2时,解集为⌀;当a≠2时,解集为{12-a}.9.ABD A 选项,将10-2(3x-1)=8x+5去括号,得10-6x+2=8x+5,故A 错误;B 选项,由x 0.7+0.17+0.4x0.03=1,得10x 7+17+40x3=1,故B 错误;C 选项,由-23x=3,得x=-92,故C 正确;D 选项,将3-5x -12=x+23去分母,得18-3(5x-1)=2(x+2),故D 错误.10.A 由题意得(x-3)(x+8)=x 2+5x-24. 因为多项式x 2+kx-24=x 2+5x-24,则k=5. 故选A. 11.2 由2x -k 3−x -3k 3=1得x=3-2k.又-1是方程的解,∴k=3-x 2=2.12.1,-1,5,-5 -6可以分成-2×3,2×(-3),-1×6,1×(-6),括号中填上的整数应该是-6的两个因数的和,即1,-1,5,-5.13.解由方程4a+43+2x=3x-1,解得x=4a+73,即A={4a+73},由方程3x-a-4=0,解得x=a+43,即B={a+43}.又A=B,所以4a+73=a+43,解得a=-1.14.解(1)因为)2)(=0或1时,m 2=m,此时原方程的解集为{0}或{1}; 当m≠0且m≠1时,m 2≠m,此时原方程的解集为{m,m 2}.(2)因为x 2-x-a 2+a=x 2-x-a(a-1)=(x-a)[x+(a-1)],所以原方程化为(x-a)[x+(a-1)]=0,解得x=a 或x=1-a. 当a=12时,a=1-a,此时原方程的解集为{12};当a≠12时,此时原方程的解集为{a,1-a}.15.解由题意知(m-3)-3≠0,即m≠3,n 为任意实数时,x=-n -4m -3,方程的解集为单元素集,即{-n -4m -3}.(2)当m-3=0且-n-4=0,即m=3且n=-4时,方程的解集为R. (3)当m-3=0且-n-4≠0,即m=3且n≠-4时,方程的解集为⌀.。

二次函数与一元二次方程、不等式(2)-课后练习

（2） ( + 2) > (3 − ) + 1.
2.是什么实数时，下列各式有意义？
（1）√ 2 − 4 + 9；
（2）√−2 2 + 12 − 18.
【综合运用】
1.已知M = { |4 2 − 4 − 15 > 0} ，N = { | 2 − 5 − 6 > 0} ，求M ∩ N，M ∪ N.
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA013
学科
数学
年级
课题
二次函数与一元二次方程、不等式（2）
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册 A 版
高一
学期
第一学期
出版社：人民教育出版社出版日期：2019 年 6 月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
课后练习
【复习巩固】
1.求下列不等式的解集：
（1）14 − 4 2 ≥ ；
2.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为 15 元.若按最低售价销售，每天能
卖出 30 个；若一个削笔器的售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 个.为了使这批削笔器每天
获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？
【拓展提高】
3
8
1.当取什么值时，一元二次不等式2 2 + − < 0对一切实数都成立？
每个削笔器的销售价格应大于等于 15 元且小于 20 元.
【拓展提高】
3
1.由已知得，当二次函数y = 2 2 + − 的图象开口向下并且与轴相离时，一元二次不
8
3
等式2 2 + − < 0对一切实数都成立，所以{

高中数学新教材同步必修第一册第2章习题课不等式恒成立、能成立问题

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3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是
√A.{a|－4≤a≤4}
C.{a|a≤－4或a≥4}
B.{a|－4<a<4} D.{a|a<－4或a>4}
解析由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
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4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为
√A.{a|－1≤a≤4}
C.{a|a≥4或a≤－1}
B.{a|－1<a<4} D.{a|－4≤a≤1}
解析由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.
解由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>;x2－1 x，
1234
4.定义运算ac
db＝ad－bc，则不等式a1x
1 x＋1<0
对任意
x∈R
恒成立，
则实数 a 的取值范围是_－__4_<_a_≤__0__.
解析原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，a＝0时，不等式为－1<0，符合题意，当 a≠0 时，有aΔ<＝0，a2＋4a<0 ⇒－4<a<0，综上所述，a的取值范围是－4<a≤0.

19.2.3 一次函数与方程、不等式人教版八年级数学下册课时练习(含答案)

19.2.3一次函数与方程、不等式1.如图，直线y=ax＋b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax＋b=0的解是( )A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-32.下列图象中，以方程-2x+y-2=0的解为坐标的点组成的图象是( )3.一次函数y=kx＋b的图像如图所示，则方程kx＋b=0的解为( ).A.x=2B.y=2C.x=－1D.y=－14.如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(﹣2，0)、B(0，3)两点，则不等式kx+b＞0的解集是( )A.x＞﹣2B.x＞3C.x＜﹣2D.x＜35.如图，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3）、与x轴交于点（a，0），当a满足﹣3≤a＜0时，k的取值范围是（）A.﹣1≤k＜0B.1≤k≤3C.k≥1D.k≥36.如图，直线y=kx+b经过点A(3，1)和点B(6，0)，则不等式0＜kx+b＜1解集为( )A.x＜0B.0＜x＜3C.x＞6D.3＜x＜67.如图，是在同一坐标系内作出的一次函数l1.l2的图象，设l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则方程组的解是（）A. B. C. D.8.当自变量x_______时，函数y=5x＋4的值大于0；当x_______时，函数的值小于0.9.如图，已知函数y=x＋b和y=ax＋3图像交点为P，则不等式x＋b>ax＋3解集为_____.10.已知点A（0，m）和点B（1，n）都在函数y=﹣3x+b的图象上，则m n．（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）11.已知两条直线y=kx－2和y=2x＋b相交于点（－2，4），则这两条直线与y轴所围成的三角形的面积为_______.12.如图，平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A坐标为（6，0），C点坐标为（2，2），若直线y=mx+2平分▱OABC的周长，则m的值为．13.某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积x(m2)满足函数关系式为y乙=kx.(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积x(m2)的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600 m2，那么公园选择哪个工程队施工更合算？14.已知一次函数y=-2x+4，完成下列问题：(1)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标；(2)画出此函数的图像；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是；(3)平移一次函数y=-2x+4的图像后经过点(-3，1)，求平移后的函数表达式.15.如图，直线l1：y=x＋1与直线l2：y=mx＋n相交于点P(1，b).(1)求b的值；(2)不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；(3)直线l3：y=nx＋m是否也经过点P？请说明理由.参考答案1.D2.B3.C4.A.5.C6.D7.B8.答案为：＞－0.8，＜－0.89.答案为：x>110.答案为：＞．11.答案为：1012.答案为：﹣0.25．13.解：(1)y甲=(2)当k>45时，选择甲工程队更合算；当0<k<45时，选择乙工程队更合算；当k=45时，选择两个工程队的花费一样.14.解：(1)当x=0时y=4，∴函数y=-2x+4的图像与y轴的交点坐标为(0，4)；当y=0时，-2x+4=0，解得：x=2，∴函数y=-2x+4的图像与x轴的交点坐标(2，0).(2)图像略；观察图像，当0≤y≤4时，x的取值范围是0≤x≤2.(3)设平移后的函数表达式为y=-2x+b，将(-3，1)代入得：b+6=1，∴b=-5，∴y=-2x-5.答：平移后的直线函数表达式为：y=-2x-5.15.解：(1)2 (2)x=1，y=2; (3)经过点P。

七年级数学下册第8章一元一次不等式专题技能训练五训练方程与不等式习题课件新版华东师大版

(2)该不等式的所有负整数解的和是关于 y 的方程 2y－3a＝6 的解，求 a 的值．
解：因为不等式的解集为 x≥－2，所以不等式的所有负整数解为－2，－1，－2＋(－1)＝－3，由题意得，－3 是关于 y 的方程 2y－3a＝6 的解，把 y＝－3 代入 2y－3a＝6，得－6－3a＝6，解得 a＝－4.
17．已知关于 x，y 的二元一次方程组3xx＋－24y＝y＝2mm，＋3的解都大于 1，试求 m 的取值范围．
解：x3＋x－2y4＝y＝2mm＋，① 3，② ①＋②×2，得 5x＝5m＋6，解得 x＝m＋65，把 x＝m＋65代入②，得 m＋65＋2y＝2m＋3，解得 y＝12m＋190，
13.已知关于 x，y 的方程组32xx＋＋yy＝＝3k，的解满足 x－2y≥1，求满足条件的 k 的最大整数值．
解：解关于 x，y 的方程组23xx＋＋yy＝＝k3，，得xy＝＝33k－－k， 6. 把yx＝＝33k－－k6，代入 x－2y≥1，得 3－k－2(3k－6)≥1，解得 k≤2，所以满足条件的 k 的最大整数值为 2.
【答案】C
10．若关于 x，y 的二元一次方程组3xx＋＋2yy＝＝－4 3m＋2，的解满
足 x＋y＞－32，则满足条件的 m 的所有正整数值为( )
A．1，2，3，4，5
B．0，1，2，3，4
C．1，2，3，4
D．1，2，3
【点拨】解方程组3xx＋＋2yy＝＝－4，3m＋2，得xy＝＝3－m65＋5m1，0. 因为 x＋y＞－32，所以－65m＋3m＋5 10＞－32，解得 m＜365，则满足条件的 m 的所有正整数值为 1，2，3，4，5.
14．若关于 x，y 的方程组2xx＋＋2yy＝＝－4k＋k 3，的解满足 1＜x＋

【同步测试】课后习题——二次函数与一元二次方程、不等式

《二次函数与一元二次方程、不等式》课后习题复习巩固1．求下列不等式的解集：（1）13－4x 2＞0；（2）（x －3）（x －7）＜0；（3）x 2－3x －10＞0；（4）－3x 2＋5x －4＞0．2．x 是什么实数时，下列各式有意义？（1）942+-x x ；（2）181222-+-x x ．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间t 满足关系 h ＝v 0t －21gt 2，其中g ≈10 m/s 2．综合运用3．已知M ＝｛x ｜4x 2－4x －15＞0｝，N ＝｛x ｜x 2－5x －6＞0｝，求M ∩N ，M ∪N ．4．一名同学以初速度v 0＝12 m/s 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2 m 以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01 s ）？5．已知集合A ＝｛x ｜x 2－16＜0｝，B ＝｛x ｜x 2－4x ＋3＞0｝，求A ∪B ．拓广探索6．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响．据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1 h ）？1．（1）x x ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭-．（2）｛x ｜3＜x ＜7｝．（3）｛x ｜x ＜－2或x ＞5｝．（4）∅．2．（1）R ．（2）｛x ｜x ＝3｝．3．因为M ＝3522x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭＜或＞，N ＝｛x ｜x ＜－1或x ＞6｝，所以M ∩N ＝362x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭＜或＞，M ∪N ＝512x x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭＜或＞． 4．设这名同学抛出排球t s 后球的高度为h m ，则由题意得12t －5t 2＞2，解得＜t ．所以，排球在抛出点2 m 以上的位置停留的时间约为-≈2.04（s ）． 5．R ．6．设风暴中心坐标为（a ，b ），则此时a ＝b ＝-．由距风暴中心450 km 以内，得（）2＋b 2＜4502，解得－150＜b ＜150，所以当风暴中心的纵坐标b 满足－150＜b ＜150≈13.7（h ）码头将受到风暴的影响，影响时间为15020-（-150）＝15（h ）．。

（完整word版）一元一次不等式习题课

（完整word版）一元一次不等式习题课一元一次不等式习题课【学习目标】1.会整理易错点，并能找到错误原因2.能灵活应用不等式的性质解决相关问题，会熟练准确地解一元一次不等式【错误展示】1.去括号时，错用乘法分配律解不等式3x+2（2-4x）＜19.错解：去括号，得3x+4-4x＜19，解得x＞-15.诊断: 诊断: 错解在去括号时，括号前面的数 2 没有乘以括号内的每一项.正解: 正解: 去括号，得3x+4-8x＜19，-5x＜15，所以x＞-3. 2.去括号时，2.去括号时，忽视括号前的负号解不等式5x-3（2x-1）＞-6.错解：去括号，得5x-6x-3＞-6，解得x＜3.诊断：诊断：去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.正解: 去括号，得5x-6x+3＞-6，所以-x＞-9，所以x＜9.3.移项时，不改变符号解不等式4x-5＜2x-9.错解：移项，得4x+2x<-9-5，即6x<-14，所以x<-7/3诊断: 诊断: 一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号，错解忽略了这一点.正解: 移项，得4x-2x<-9+5，解得2x<-4，所以x<-2.4.去分母时，忽视分数线的括号作用解不等式3x-(2x-5)/2>7错解：去分母，得6x-2x-5>15 ，解得：x>19/4诊断:去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.正解: 去分母，得6x-（2x-5）＞14，去括号，得6x-2x+5>14,x>9/45.不等式两边同除以负数，不改变方向解不等式3x－6＜1+7x. 错解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x ＜7，所以x<-7/4诊断：将不等式－4x＜7 的系数化为1 时，不等式两边同除以－4 后，根据不等式的诊断基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.正解：移项，得3x－7x＜1+6，即－4x＜7，所以所以x＞-7/46.去分母时，漏乘不含分母的项解不等式x-(x-1)/3>x/2+1 错解：去分母，得x-2（x-1）＞3x+1，去括号，解得x<1/4诊断:去分母时，要用最简公分母去乘不等式两边的每一项.而错解只乘了含有分母的项，漏乘了不含有分母的项.正解: 去分母，得6x-2（x-1）＞3x+6，去括号，得6x-2x+2＞3x+6，解得x＞4.7.忽视对有关概念的理解求不等式(3x+4)/2-3≤7的非负整数解错解：整理，得3x≤16，的非负整数解. 所以x≤16/3 故其非负整数的解是1，2，3，4正解：非负整数的解是0，1，2，3，4,58.在数轴上表示解集时出现错误解不等式：3（1－x）≥2（x+9），并把它的解集在数轴上表示出来.错解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图1 所示.诊断：本题求得的解集并没错，问题出在将解集在数轴上表示出来时出现了错误，即有两处错误：一是方向表示错误，不应该向右，而应该向左；二是不应用空心圆圈表示，而应用实心圆圈表示.正解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图2 所示.上述三例告诉我们解一元一次不等式时一定要认真分析题目的结构特征，灵活运用注：解一元一次不等式的步骤，正确理解有关概念，才能及时避开陷阱，准确、快速的求解. 【典型例题】例1.不等式基本性质的应用（比较大小）已知：a<b< p="">(1)a+1<b-c;<="" p="">(3)2a<2b: (4)-a/2 >-a/b;(5)3a-2<3b-2; (6)-a+c>-b+c例题2.求不等式2x-3≤5的正整数解例3.已知方程3x+y=2，当y取何值时，x＜5？例4.解不等式：(x-2)/2 –(x-1)/3<1【巩固练习】一、不等式的解集1.不等式-3≤x<2的整数解是二、不等式的性质1、已知a>b 用”>”或”<”连接下列各式；（1）a-3 ---- b-3,(2)2a ----- 2b,( 3 )- a /3 ----- －b /3 (4)4a-3---- 4b-3 (5)a-b --- 02、不等式ax＞a 的解集为x＞1，则a 的取值范围是（）A. a＞0B.a≥0C.a＜0D.a≤03、不等式( a -3) x > 1 的解集是x < 3/a-1,则a的取值范围是4、若a > b ，则ac2 ____ bc2．（本组题独立完成后小组内正）三、解不等式，并把解集在数轴上表示出来(1)-3x/4<-2 (2)3x-1<5x+5(3)(2x-1)/3≤(1+x)/2 (4)（x-3）/4<6-(3-4x)/2(5) 2(x-1)/3≤(x+1/3)/5（由5 名同学板演，然后集体订正）四、列不等式并求出x的范围1、x 的1 与5 的差不小于32、代数式3x－5 的值大于5x+33、代数式(x+3)/2 –(x-1)/5<1的解是非负数（独立完成后，小组派代表讲解订正）五、不等式的综合应用1、求不等式x+1 < 3 的正整数解2、若不等式2x3、关于x 的方程3 x +k= 2 的解是非负数，求k 的取值范围4.3x+y= m+1,2x+y=m-1当m 为何值时，x>y?5.已知关于x,y的方程组x+2y=1,x-2y=m（1）求这个方程组的解；（2）当m取何值时，这个方程组的解x大于1，y不小于-1</b<>。