高等数学：第四节：空间直线及其方程-七版

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(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。

高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。

（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。

（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。

2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。

2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。

3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。

4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。

5、掌握极限运算法则。

6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

空间直线及其方程

再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1

y

2t

1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},

B1 B2
y y

C1z C2z

D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
3/28
1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,

M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
4/28
x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程

y

t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
7/28
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相

空间直线及其方程

解上列方程，得t1．将t1代入直线的参数方程，得所求交点的坐标为
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}，从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数：直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}

空间直线及其方程

因此所求直线的方程为
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《高等数学》电子教案
例7.6.3 求过的交点且方向向量为
解：所给直线的参数方程为
与平面2x＋y＋z－6=0
的直线
x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)－6=0. 解得t =－1. 把求得的t值代入直线的参数方程中即，得所求交点的坐标为故所求直线方程为
25 首页上一页下一页结束
(2) 直线 l 的任一方向向量
直线的一组方向数, 而向量
角的余弦称为直线的方向余弦
《高等数学》电子教案
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2. 直线的对称式方程与参数方程
已知直线上一点任取直线上一点和方向向量
则
即向量式参数方程
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《高等数学》电子教案
所以坐标式参数方程
解: 先在直线上找一点.
令 x = 1, 代入直线方程得
解得
是直线上一点 .
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再求直线的方向向量
交已知直线的两平面的法向量为
因为直线与两平面的法向量垂直,所以可取
故所给直线的对称式方程为参数式方程为
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所以投影直线的方程为
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x 5 y z 0, 例 7.6.7 求通过直线且与平面 x z 4 0 π x 4 y 8 z 1 2 成0 角的平面． 4 解：设所求的平面为 ( x 5 y z ) ( x z 4) 0 ，

空间及其直线方程省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

因所求直线与两平面旳法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y z 2 , 4 1 3
x 1
z 2 3t
解题思绪: 先找直线上一点;
再找直线旳方向向量.
三、两直线旳夹角
定义两直线旳方向向量旳夹角.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s1 {1,4, 0}, s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1 L2 .
例2. 求下列两直线旳夹角
L1 :
x 1 y z 3 1 4 1
L2 :
x y2 z 2 2 1
所以对于任何一种值，方程(13)旳系数：
A1 λA2、B1 λB2、C1 λC2 不全为零，从而方程(13)表达一种平面，若一点在直线L上，则点旳坐标必满足方程(a),因而也满足方程(b)，故方程(b)表达经过直线L旳平面，
而且对于不同旳值，方程(b)表达经过直线L
旳不同旳平面.
代入得与所给平面垂直旳平面(称为投影平面)旳方程为
2y 2z 2 0 即 y z 1 0
所以投影直线旳方程为
y z 1 0, x y z 0.
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式 x x0 y y0 z z0
o
y
M L,
M0M // s
x
s {m, n, p}, M0M { x x0 , y y0 , z z0 }

空间直线及其方程

空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。

确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。

二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。

高等数学-空间直线及其方程

的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p

《空间直线方程》课件

谢谢您的聆听
THANKS
在解析几何中的应用
解析表达
空间直线方程是解析几何中描述直线的一种方式，它可以用来表示直线上所有点的坐标满足的关系。
参数方程
通过空间直线方程，我们可以方便地转化为直线的参数方程，这在解决一些
特定问题时非常有用。
计算直线长度和角度
利用空间直线方程，我们可以计算直线的长度（即原点到直线的垂直距离），以及两直线之间的夹角
详细描述
首先，我们需要找到两个平面的法向量，记作$mathbf{a}$和$mathbf{b}$。然后，计算这两个法向量的叉积，得到直线的方向向量$mathbf{d}$。接下来，我们需要找到两个平面的交点，记作$P(x_0, y_0, z_0)$。最后，根据直线的点向式方程$mathbf{d} = (x - x_0)mathbf{i} + (y - y_0)mathbf{j} + (z - z_0)mathbf{k}$，我们可以得到空间直
平行于y轴的空间直线方程
$x = k_3, z = k_4$，其中$k_3$和$k_4$是常数。
平行于z轴的空间直线方程
$x = k_5, y = k_6$，其中$k_5$和$k_6$是常数。
垂直于坐标轴的空间直线方程
垂直于x轴的空间直线方程
01
$x = k_7$，其中$k_7$是常数。
垂直于y轴的空间直线方程
《空间直线方程》ppt课件
CONTENTS
• 空间直线方程的基本概念 • 空间直线方程的推导 • 空间直线方程的应用 • 空间直线方程的性质 • 空间直线方程的特殊情况
01
空间直线方程的基本概念
空间直线的定义
01

第七版高等数学教材目录

第七版高等数学教材目录第一章极限与连续1.1 数列与极限1.1.1 数列的概念及表示方法1.1.2 数列极限的定义与性质1.1.3 常见数列的极限计算1.1.4 数列极限存在准则与夹逼定理1.2 函数与极限1.2.1 函数的概念与表示方法1.2.2 函数极限的定义与性质1.2.3 函数的连续性与间断点1.2.4 导数与微分1.2.5 函数的极值与最值1.3 极限的运算1.3.1 无穷小与无穷大量1.3.2 极限的四则运算1.3.3 极限的复合与反函数1.4 一元函数的连续性1.4.1 一元函数连续的概念1.4.2 连续函数的运算与性质1.4.3 闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分2.1 函数的导数2.1.1 导数的定义与几何意义2.1.2 导数的运算法则2.1.3 高阶导数与导数的应用2.2 微分学基本定理2.2.1 微分的定义与计算2.2.2 微分的几何意义与应用2.3 隐函数与参数方程2.3.1 隐函数及其导数2.3.2 参数方程及其导数2.4 极值与最值2.4.1 极值与最值的概念2.4.2 高阶导数与极值判定2.4.3 边界条件下的最值问题2.5 凹凸性与拐点2.5.1 凹凸性与凹凸函数2.5.2 拐点及其判定条件2.5.3 曲线的凹凸性与拐点的应用第三章微分学的应用3.1 泰勒公式与函数逼近3.1.1 泰勒公式的定理与推论3.1.2 泰勒展开与函数逼近3.2 级数与幂级数3.2.1 级数的概念与性质3.2.2 幂级数的收敛域3.2.3 幂级数的运算与应用3.3 曲线的特性与曲率3.3.1 弧微分与曲线的弧长3.3.2 曲率及其计算3.3.3 曲线的曲率半径与造型设计3.4 微分方程3.4.1 常微分方程与初值问题3.4.2 一阶线性常微分方程3.4.3 可降解与可分离变量的微分方程3.4.4 高阶线性常微分方程第四章不定积分与定积分4.1 不定积分4.1.1 不定积分的概念与性质4.1.2 基本不定积分表4.1.3 牛顿—莱布尼茨公式4.1.4 积分方法与积分应用4.2 定积分4.2.1 定积分的概念与性质4.2.2 定积分的基本定理4.2.3 微积分基本公式4.2.4 定积分的性质与运算4.2.5 定积分的应用第五章微分方程与数值计算5.1 微分方程的基本概念5.1.1 微分方程的类型与表示5.1.2 微分方程的解与通解5.1.3 微分方程的初值问题5.2 一阶微分方程5.2.1 可分离变量的一阶微分方程5.2.2 线性一阶微分方程5.2.3 可降解的一阶微分方程5.2.4 齐次线性一阶微分方程5.3 高阶微分方程5.3.1 常系数线性高阶微分方程5.3.2 常系数齐次线性高阶微分方程5.3.3 变系数线性高阶微分方程第六章向量代数与空间解析几何6.1 向量的基本运算6.1.1 向量的表示与运算6.1.2 向量的数量积与夹角6.1.3 向量的向量积与混合积6.2 空间解析几何6.2.1 点与直线的位置关系6.2.2 空间直线的方程6.2.3 利用向量表示平面6.2.4 空间曲线的方程与几何性质第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与表示7.1.1 多元函数的定义与场域7.1.2 多元函数的极限与连续性7.2 偏导数与全微分7.2.1 偏导数的概念与性质7.2.2 全微分与偏导数的关系7.3 多元函数的微分法7.3.1 隐函数与反函数的求导7.3.2 多元复合函数的求导7.3.3 链式法则与高阶导数7.4 多元函数的极值与最值7.4.1 多元函数的极值与最值的定义7.4.2 条件极值与拉格朗日乘数法7.5 多元函数的积分与曲线积分7.5.1 多元函数的积分定义与性质7.5.2 曲线积分与格林公式7.5.3 曲面积分与高斯公式7.6 多元函数的微分方程7.6.1 一阶常微分方程的几何解释7.6.2 齐次与非齐次的常微分方程7.6.3 二阶常系数线性微分方程以上是第七版高等数学教材的目录，涵盖了数学分析的基础知识与方法，包括极限与连续、导数与微分、微分方程、积分与微分学应用等内容。

高数讲义第四节空间直线及方程

|
2
|s ||n|
sin
|
|s s|
n| |n
|
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 5 设直线 L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2 点坐标(1,0,2),
（2）求直线的一个方向向量
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
n1
解：点坐标 (1,0,2),
1
（2）求直线的一个方向向量
n2
因所求直线与两平面的法向量都垂直 s
| s1 | | s2 |
s2
s1
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 :
s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例3：求直线
L1
:

《空间直线的方程》课件

3
总结
总结不同表达方式，及其转换关系和平面与直线的关系。
参
《线性代数》第二版
《空间直线的方程》PPT 课件
学习空间直线的方程，在三维坐标系中计算直线的参数方程、一般式和对称式等形式。
空间直线的定义与表示
空间直线的定义
描述了空间中无限延申的直线，由无数个点组成。
参数式与点向式的转换
通过转换公式可以互相转换参数式和点向式的表示。
空间直线的表示
可以用点向式、参数式、对称式和一般式等多种形式来表示。
直线的一般式及其性质
一般式是直线及其性质
直线的对称式
对称式是直线的一种表示形式，便于求解直线与平面的关系。
对称式与参数式的相互转化平面与直线的关系
通过转换公式可以互相转换对称式和参数式的表示。
直线可在平面内或平面外，与平面有不同的相交关系。
基础知识回顾
1 三维坐标系
空间直线的表示依赖于三维坐标系的概念与运算。
2 向量的表示和运算
向量在计算空间直线的方程中起到了重要的作用。
3 两点之间的距离公式
计算直线参数方程和一般式时需要用到两点之间的距离公式。
实例解析与练习
1
实例解析
通过具体实例来深入理解空间直线的方程。
2
练习题
进行一些练习题，加深对空间直线方程的掌握。

经济学专业数学第四节空间直线及其方程配套课件

由 (1 ) 1 (1 ) 1 ( 1) 1 ，得 0
于是过已知直线且垂直于已知平面的平面方程为
y z 1 0 y z 1 0 故所求投影直线的方程为 x y z 0
11
三、两直线的夹角
定义：两直线的方向向量所成的锐角叫做两直线的夹角。
第四节空间直线及其方程 Space Beeline and its Equation
（1）确定一条直线需要何条件？（2）空间平面方程的一般形式是什么？（3）两向量平行、垂直的充要条件是什么？
课前准备
一、空间直线的一般方程空间两个相交平面可以确定一条直线。故空间直线的一般形式为：
z
2
L
A1 x B1 y C1 z D1 0 （ 1） A2 x B2 y C2 z D2 0
x t 所以直线的参数方程为 y 2t z 1 3t
5
x 4z 3 例2 求过点 3, 2,5，且平行于直线 2 x y 5 z 1 的直线方程。解设直线的方向向量为 s m, n, p 则 s 1， 0 4， s 2， 1， 5
另解在直线上取一点
令 x 0, 解方程组得 y 0, z 1 即直线过点 0， 0， 1 设直线的方向向量为s，则应有 s n1，且s n2 i j k 2 1 1 1 1 2 故 s n1 n2 1 2 1 i j k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i 2 j 3k x y z 1 所以直线的对称式方程为 1 2 3
已知直线的方向向量为 i j k 0 4 1 4 1 0 s 1 0 4 i j k 4, 3, 1 1 5 2 5 2 1 2 1 5 x 4z 3 17 23 14 解得 x , y , z 则应有 2 x y 5 z 1 13 13 13 4 x 3 3 y 2 z 5 0 x 3 y 2 z 5 x 3 y 2 z 5 故所求直线方程为 ,即 22 3 79 22 3 79 13 13 26

高等数学同济第七版上册

高等数学同济第七版上册简介《高等数学同济第七版上册》是中国著名的高等教育教材之一，广泛应用于大学高等数学课程中。

本书由来自同济大学的杨传辉等人编写，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念和方法。

目录1.函数与极限2.导数及其应用3.微分中值定理与导数的应用4.不定积分5.定积分及其应用6.微分方程与其应用7.空间解析几何8.多元函数微分学9.重积分10.曲线积分与曲面积分11.空间向量与空间直线12.平面及其方程13.空间曲面及其方程内容概要1. 函数与极限本章介绍了函数的概念以及一些常见的函数类型，如多项式函数、指数函数和对数函数。

同时，重点介绍了极限的定义和相关性质，帮助学生理解极限的概念和运算法则。

2. 导数及其应用本章主要讲述了导数的概念和性质，以及如何利用导数解决实际问题。

具体内容包括导数的定义、导数的计算方法、高阶导数、隐函数求导、相关变化率与极值问题等。

3. 微分中值定理与导数的应用本章介绍了微分中值定理及其应用。

主要内容包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等内容。

同时，通过实际问题的例子，帮助学生理解微分中值定理的意义和应用。

4. 不定积分本章主要介绍了不定积分的概念、性质和计算方法。

包括基本不定积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分等。

同时，引入了定积分的概念，并简要介绍了与不定积分的关系。

5. 定积分及其应用本章深入讲解了定积分的概念和性质。

主要内容包括定积分的定义、计算方法、定积分的几何意义、平均值定理、牛顿-莱布尼茨公式等。

同时，介绍了定积分在物理学、经济学等领域的应用。

6. 微分方程与其应用本章介绍了常微分方程的基本概念和求解方法。

主要内容包括一阶常微分方程、高阶常微分方程、常系数线性齐次微分方程等。

同时，通过一些实际问题的例子，帮助学生理解微分方程的意义和应用。

7. 空间解析几何本章介绍了空间直角坐标系和空间直线的相关知识。

具体内容包括空间直线方程的标准式和一般式、空间直线的位置关系、平面方程等。

高等数学直线及其方程

取 x0 1

y0 y0

z0 2 0 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标 (1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s

n1

n2

{4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
即为所求的投影直线的方程。
六、小结
空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系）直线与平面的夹角.
（注意直线与平面的位置关系）
作业 P335 3，4，5，7，9
t + t + 22t 6 = 0. t =1,
得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).
直线方向： s M0M1 (1 3,1 3,2 0) (2,2,2).
故直线方程为 x 3 y 3 z . 2 2 2
四、直线与平面的夹角
定义直线和它在平面上的投影直线的夹
x 1 4t
参数方程

y

t
.
z 2 3t
解三
由
x y 2x
z y
1 0 3z 4
. 0
两式相加得 3x 4z 5 0 代入方程组得 y 1 (z 2) 3
x 1 (4z 5) 3
x 1 (4z 5)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4