高等数学：第四节：空间直线及其方程-七版

两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 (1,4, 0),
直线 L2 :
s2 (0,0,1),
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例3：求直线
L1
:
5 x 3 x
y y2 z z2 ,
n2
p2
cos |s1 s2 |
| s1 | | s2 |
s2
s1
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
cos
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
D1 D2
0 .
0
则直线 L 的一个方向向量可以取为
i j k s n1 n2 A1 B1 C1
A2 B2 C2
例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y轴垂直相交，
求其方程.
解
取
s
BA
(2,
0,
4),
所求直线方程
A(2,3, 4) z •
x2 y3 z4. 204
上述方程组应理解为
2
A1x B1 y C1z D1 0
A2
x
B2
y
C2z
D2
0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
例如：z 轴可以看作 yoz 面与 xoz 面的交线
x 0
y
0
也可以看作 yoz 面与 平 面 x – y = 0的交线
x 0
x
y
0
二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
取
x0 1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2 点坐标(1,0,2),
（2）求直线的一个方向向量
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
n1
解： 点坐标 (1,0,2),
1
（2）求直线的一个方向向量
3y 2y
3z 9 0 z 1 0
与直线
L2
:
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角。
i jk
解：取
s1 5
3
3 (3,4,1),
ijk
3 2 1
s2 2
2
1 (10,5,10) 5(2,1,2)
38 1
cos |s1 s2 |
| s1 | | s2 |
| 2 3 4 1 1 2 | 0, 9 16 1 4 1 4
源自文库
2
例 4 求过点(3, 2, 5)且与两平面 x 4z 3和
2 x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解
设所求直线的方向向量为
s
(m,
n,
p),
根据题意知
s n1 ,
sn2 ,
取
i s n1 n2 1
j 0
k 4 (4,3,1),
2 1 5
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
s
L : x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
s (m, n, p),
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C),
方向向量的方向余弦称为直线 L 的方向余弦，
它是与方向向量同方向的单位向量。
cos m , cos n , cos p .
|s|
|s|
|s|
问题：如何化一般方程为对称式和参数方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解：（1）在直线上任求一点 ( x0 , y0 , z0 )
若 0 (s^, n) ,
2
若 (s^, n) ,
2
则 (s^,n)
2
则 (s^,n)
2
| (s^, n) |
2
若 0 (s^, n) , 则
x x0 0
y
y0
0
s (m, n, p), M0( x0 , y0 , z0 ),
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程或 点向式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的一组方向数 直线的参数方程
n2
因所求直线与两平面的法向量都垂直 s
2
L
取
i s n1 n2 1
j 1
k 1 (4,1,3),
对称式 方程
2 1 3
x 1 4t
x1
y0
z
2,
参数方程
y
t
.
4 1 3
z 2 3t
结论：若直线 L 的一般方程为
L
:
A1 x A2 x
B1 y B2 y
C1z C2z
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p
（1）当 m , n , p 中有一个为 0，如 m = 0, 而 n , p 0 时，则上述方程组应理解为
x
x0
0
y y0 n
z
z0 p
（2）当 m , n , p 中有两个为 0，如 m = n = 0, 而
p 0 时，则上述方程组应理解为
第四节 空间直线及其方程
• 一、空间直线的一般方程 • 二、空间直线的对称式方程与参数方程 • 三、两直线的夹角 • 四、直线与平面的夹角 • 五、杂例、小结
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
B(0,3, 0),
•
o
y
x 2 z 4
x
2 4
y 3 0
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（取锐角）
直线 L1 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
^直线
cos( s1, s2
L2
)
: x x2 m 2
s1 s2 , | s1 | | s2 |
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M L,
o
y
M( x, y, z), M0M// s
x
设
s
(m,
n,
p),
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 )
x x0 y y0 z z0
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
s (m, n, p), M0( x0 , y0 , z0 ),