3-7 一阶电路的三要素法

X
解（续）
a
（2）画0 等效电路，求出uab (0 )
i L (0 ) i L (0 ) 12A

16 V

i 2
1
5i
1
S (t 0)
b
a
5H
2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) i L (0 ) 16
i (0 ) 3.5A

a
i 2
16 V
1
5i
1
S (t 0)

5H
b
KVL： 2i (0 ) 1 i L (0 ) 16


i (0 )
16 V
i L (0 ) 2 i L (0 ) 16 6 i L (0 ) 12 A

2
5i (0 )
1
i L (0 )
与电容连接的等效电阻为：
24 uC ( ) 60 40V 12 24
12 24 Req 12 20k 12 24


60 V 24k uR uC 0.5 F
Req C 20 103 0.5 106 0.01s
1 1 1 ) Us ( ) Us 2 4 4
X
uab (0 )
1 i (0 ) 5i (0 ) i L (0 ) 9V

i (0 )
2 5i (0 ) 1 uab (0 ) 16 V 1 i L (0 ) b
X
解（续）
（3）画 等效电路，求出uab ()
a i 2
uab ( ) 1
b
X
解（续）
（4）求等效内阻Req 和时间常数
a i 2
uab 1 (i 5i iab ) uab 2i uab 4uab iab Rab 0.25 iab
Req 1 0.25 1.25
16 V
1
5i
1
S (t 0)
b
5H
与电感相连的等效内阻为：
i
2
1 i1
iab
5i

电路的时间常数为： 5 L = 4s Req 1.25
uab

X
解（续）
（5）写出uab (t ) 函数表达式。
uab (t ) uab ( ) [uab (0 ) uab ( )]e
9.6 (9 9.6)e
2）方法一：根据电路结构和元件的VCR
uR (t ) 12 103 iC (t ) uC (t ) duC (t ) 12 10 C uC (t ) dt 40 13.6e 100 t V, t 0
3
X
解（续） 2) 求24k 电阻上的电压uR (t )。
R1 R2
L
i2 i 1
R1
e
2L C

1 t R1C
2e

R2 取对数 t L
R2 1 t ln 2 ( t ) L R1C
X
解（续）
求：2）电压表读数达到最大值的时间； 3）电压表的最大读数。
R1 R2 2L C
R2 R1C L ln 2 t LR1C
y (t ) y ( ) [ y (0 ) y ( )]e

t

t 0
三要素法不仅适用于状态变量，也适用于非状态变 量。
X
一阶电路的三要素法解题步骤
1. 求初值 y (0)
(1) 画0等效电路，求出uC (0 ) 或i L (0 )。 注意：此时电容开路，电感短路。 (2) 画0 等效电路，求出y (0 )。 此时电容用电压值为uC (0 ) uC (0 )的电压源置换， 电感用电流值为i L (0 ) i L (0 ) 的电流源置换。
R 2t L
i (t )
)
S (t 0)
R2
u (t )
V
C
1 t R1C
)
1 t R1C
Us
L
i2 i 1
R1
duC (t ) U s i1 (t ) C e dt R1
Us i (t ) i1 (t ) i2 (t ) e R1

1 t R1C
Us (1 e R2
0
0
),
1 e t0
2
i (t ) / A
2(1 e
t0
)e
( t t0 )
A t0
0
t0
t/s
（只有z.i.r )
X
例题2 已知t 0 时电路处于稳态，求t 0 时的uab (t ).
解: （1）画0 等效电路，求出i L (0 )
KCL:i L (0 ) i (0 ) 5i (0 ) 6i (0 )
9.6 0.6 e V
t 4

t


t 4
X
例题3 1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、
零输入响应、零状态响应，并画其波形图。 2) 24k 电阻上的电压uR (t )。
已知uC (0 ) 6V，求开关闭合后：
解: 1）uC (0 ) uC (0 ) 6V


S (t 0) 12k 12k

1 t ln 2 R1C
R1C ln 2 R1C R2 R1C ln 2 L
t R1C ln 2时电压表读数达到最大值。
3）u(t ) U s (e U s (e
1 t R1C
e

R2 t L
)
t R1C ln 2
U s (e
e

)
ln 2
e
2 ln 2
§3-7 一阶电路的三要素法
北京邮电大学电子工程学院 2011.2
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§3-7 一阶电路的三要素法
零输入、零状态法：
uC (t ) uCz .i .r (t ) uCz .s.r (t ) U 0e
1 t

U s (1 e
1 t

) t0

经典法：uC (t ) uCh (t ) uCp (t )
X
解（续）
uC (t ) uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e 40 （ ）e 6 40 40 34e
100 t 100 t t


V, t 0 40

uC (t ) / V
V, t 0
100 t
稳态响应为： 40V, t 0 暂态响应为： 34e
解:
电压表内阻无限大 电压表连接的两节点间相当于开路 R2 和L,R1 和C 支路与电压源都构成充电回路。
i (t )
1）当电路达到稳态时，有 i2 () U s / R2 uC () U s
S (t 0)
R2
u (t )
V
C
Us
L
i2 i 1
R1
X
解（续）
Us i2 ( t ) (1 e R2 uC (t ) U s (1 e
1 i (t ) us (t ) 1H
2(1 e )A t 0 (只有z.s.r )
t

2
0
us (t ) / V
t0 t / s
X
解（续）
t t0： us (t ) 0 i ( ) 0


t0
1 i (t ) us (t ) 1H
i (t ) i (t ) 2(1 e L 1s R t t0 i ( t ) i ( t 0 )e
S (t 0) 12k 12k


60 V 24k uR uC 0.5 F
12k 12k 60 V 24k uR (0 )
6V
2）方法一：直接应用三要素法 12 / /24 12 / /24 由叠加定理：uR (0 ) 60 6 26.4V 12 12 / /24 12 12 / /24

R2 t L
), t 0
X
解（续） 求：2）电压表读数达到最大值的时间；
di2 (t ) u(t ) R1i1 (t ) L dt
1 t R1C R 2t L
i (t )
S (t 0)
R2
u (t )
V
s
C
), t 0 U s (e e U du(t ) 当 0 时u(t ) 达到最大值，此时有 dt 1 1 R2 R t t t 2t R L 1 e R1C 2 e L e R1C R1 R2 e L R1C L C
(U 0 U s )e
全响应为：
1 t

Us
t0


uC (t ) uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e
1 t
t 0
X
§3-7 一阶电路的三要素法
在直流激励下，需要求一阶动态电路中任一支路的 电压、电流时，只需知道待求量的初始值、稳态值 和电路的时间常数三个量就能够求得该量的解，这 种方法就成为三要素法。
uab ( ) (1/ /1) 6i ( ) 3i ( )
2i ( ) uab ( ) 16
16 V
1
5i
1
S (t 0)
b
5H
5i ( ) 16 i ( ) 3.2A
uab ( ) 9.6V


i ( )
2
5i()
a
16 V 1
2. 求稳态值 y
画 等效电路，求出y ()。 注意：此时电容开路，电感短路。
X
一阶电路的三要素法解题步骤
3. 求时间常数
求 t 0时含源单口网络 N 1的戴维南等效电阻 或诺顿等效电阻 R0。
L R0C 或 R0 4. 写出所求变量的函数表达式
y (t ) [ y (0) y ()] e
24 0.01s uR ( ) 60 40V 12 24 t uR (t ) uR ( ) [uR (0 ) uR ( )]e
40 13.6e 100 t V, t 0
X
已知桥型电路中的电容电压和电感电流的初始值均为零， 例题4 t 0 时合上开关，设R R 2 L ，电压表的内阻无限大， 1 2 C 求开关闭合后：1）流过开关的电流i (t ) ；2）电压表读数 达到最大值的时间；3）电压表的最大读数。
6

V, t 0
0
t/s
零输入响应为： 6e 100 t V, t 0
34
零状态响应为： 40(1 e 100 t )V, t 0
X
解（续） 2) 求24k 电阻上的电压uR (t )。
S (t 0) 12k 12k


60 V 24k uR uC 0.5 F
暂态分量

t

y ( )
稳来自百度文库分量
X
例题1
已知RL电路中的电压源电压如图所示，且i L (0 ) 0, 求t 0时的i (t ) ，并绘出变化曲线。
解: 激励只作用于(0, t0 ) 区间，所以需要分段求响应。
0 t t0：

i (0 ) i L (0 ) 0


L 2 i ( ) 2A 1s R 1 t i (t ) i ( )(1 e )