高一数学必修一均值不等式题型归纳
(均值不等式)总结整理及典例
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧 技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+abb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1。
（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2）若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. （1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3。
若0x >，则12x x+≥ （当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则12x x+≤- （当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 （当且仅当b a =时取“=") 4。
若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,,则2)2(222b ab a +≤+(当且仅当b a =时取“=”）『ps 。
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小,和定积最大"．(2)求最值的条件“一正，二定,三取等"（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一:求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋错误! (2）y＝x＋错误!解：（1）y＝3x 2＋错误!≥2错误!＝错误!∴值域为[错误!，+∞）(2)当x＞0时，y＝x＋错误!≥2错误!＝2;当x＜0时， y＝x＋1x= －（－ x－错误!）≤－2错误!=－2∴值域为(－∞，－2］∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学均值不等式知识点
高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。
1. 基本形式。
- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。
- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。
2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。
- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。
二、均值不等式的证明。
1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。
- 方法一：作差法。
- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。
- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 方法二：分析法。
- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。
三、均值不等式的应用。
1. 求最值。
- 类型一：和定积最大。
- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。
均值不等式常见题型整理
均值不等式 【2 】一、 根本常识梳理1.算术平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的算术平均值.2.几何平均值：假如a ﹑b ∈R +,那么叫做这两个正数的几何平均值3.主要不等式：假如a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理：假如a ﹑b ∈R +,那么2a b+≥(当且仅当a=b 时,取“=”)均值定理可论述为：4．变式变形：()()()()()()22221;22;230;425a b ab a b b a ab a ba b +≤+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭+≥>+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭≤；5.应用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.留意三个前提：“一正,二定,三相等”即：（1）各项或各因式非负;（2）和或积为定值;（3）各项或各因式都能取得相等的值.6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性.有时为了达到应用均值不等式的前提,须要经由配凑﹑裂项﹑转化﹑分别常数等变形手腕,创设一个应用均值不等式的情景.二、 常见题型：1.分式函数求最值,假如)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)()(的情势,且)(x g 在界说域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可应用均值不等式来求最值. 例：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y2.题在给出和为定值,乞降的最值时,一般情形都要对所求式子进行变形,用已知前提进行代换,变形之后再应用均值不等式进行求最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且,求b a +的最小值. 解法一：169210991=+≥+++=+b a a b b a 思绪二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 然后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证：两种解法的等号成立的前提均为12,4==b a .此类题型可扩大为：设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求321111a a a S ++=的最小值.)111)((1321321a a a a a a m S ++++=)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=m m 9)2223(1=+++≥,等号成立的前提是321a a a ==.3.题中所求的式子中带有根式,并且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情形都给出来x 的取值规模,依据取值规模来进行逆向转换. 例：求函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思绪：因为所给函数的情势为无理式,直接求解较艰苦,从所给区间]3,21[∈x 入手,可得一个不等式0)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或3=x 时取等号）,睁开此式评论辩论即可. 解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2m in =y4.不等式的变形在证实进程中或求最值时,有普遍应用,如：当0>ab 时,ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或b a ab -≥-11. 例：已知a,b,c 均为,求证：c b a a c c b b a ++≥++222.证实：c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222,c b a a c c b b a a c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(222总之,均值不等式是高中数学的主要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用办法.在应用均值不等式时,不论如何变形,均需知足“一正二定三相等”的前提.【巩固演习】1.若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=2最值. 答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2.求函数)0(132<++=x x x x y 的值域. 答案：[-3,0]3.已知正数y x ,知足,12=+y x 求y x 11+的最小值.答案：223+4.已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=y x S 的最小值.答案：295.若)0](,1[>∈a b a x ,求x b x ab y -+=)1(的最小值.答案：a6.设c b a ,,为整数,求证：2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++.三.应用不等式解题的典范例题解析：题型一：应用均值不等式求最值（值域）例1.（1）已知0>x ,求x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ,求x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1.若R x ∈,求x x x f +-=34)(的值域2.函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1.已知0,0>>y x 且191=+y x ,求y x +的最小值2.R x ∈,求1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3.当b a x ,,10<<为正常数时,求x b x a y -+=122的最小值 变式3：1.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点,若点A 在直线01=++ny mx 上,个中0>mn ,则n m 21+的最小值为2.求2)3(222++=x x y 的最小值为3.已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1.已知y x ,都是正实数,且053=+-+xy y x（1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值题型二：应用均值不等式证实不等式例2.已知R c b a ∈,,,求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222 （3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1.已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 不全相等,求证：c b a c ab b ac a bc ++>++2.已知R c b a ∈,,,且1=++c b a ,求证：31222≥++c b a3.已知1,0,0=+>>b a b a ,求证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
均值不等式的题型和方法
均值不等式的题型和方法
- 题型一：配凑定和。
通过因式分解、纳入根号内、升幂等于段等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，配凑定和，求积的最大值。
- 题型二：配凑定积。
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件。
- 题型三：配凑常数降幂。
- 题型四：配凑常数升幂。
- 题型五：约分配凑。
通过“1”变换或添项进行配凑，使分母能约去或分子能降次。
- 题型六：引入参数配凑。
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”和“定”的条件，建立方程组，解得待定系数，可开辟解题捷径。
- 题型七：引入对偶式配凑。
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
- 题型八：确立主元配凑。
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当配凑，可创造性地使用均值不等式。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一.均值不等式2 21. （1）若a,b € R ，则 a 2+b 2>2ab （2）若a,b 亡 R ，则 a^a b（当且仅当 a = b 时取“二”）2（2） 若a,b 壬R *，则a + b > 2（当且仅当a = b 时取“=”）x=1时取“=”）;若X c 0，则X + —仝2 （当且仅当x = —1时取“=”）x若XHO ，则x +- >2即x +->2或x +-<-2 （当且仅当a = b 时取“=”3.若ab >0，贝y >2 （当且仅当a =b 时取“=”）b aa b a b a b —+ — >2即一+— >2或一+— <-2 (当且仅当a=b 时取“=”b a b a4.若a,b 忘R ，则（王^）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2） 求最值的条件“一正，二定，三相等”（3） 均值定理在求最值、应用一：求最值 例1 :求下列函数的值域2步=V 6 •••值域为［76 ,+ m(2)当 x >0 时，y = X +1>2p x - X1当 X <0 时，y = x +- = —（— X —•••值域为（一s,— 2] U [2 ,2.（1）若a,^R*，则宁鼻"£ a⑶若a,b 壬R ，则ab 兰丨a +b i （当且仅当a = b 时取“=”）1 3.若X A O ，则X +— >2 （当且仅当 x2 2 <a b(当且仅当a=b 时取“=”) 221(1) y = 3x 2+ 21(2) y =x + x比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.例1 :已知x 解：因4X-5V0，所以首先要“调整”符号,不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项,4x —5=—5-4x+^^ ]+3 兰—2 + 3 = 1I 5-4x 丿 又(4x-2)U 申 51 :X < — 5-4x A0，”■. y=4x-2+ ------ 4 4x —o 1解：(1) y = 3x + 2~T >1 x)—1 -=—2+s）解题技巧：技巧一：凑项5 4< —，求函数y =4x —2+---- 的最大值。
均值不等式题型汇总
均值不等式题型汇总均值不等式是每年高考必考内容，它以形式灵活多变而备受出题人的青睐，下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。
类型一：证明题1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证：1125()()4a b a b ++≥2. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：2222222()a b b c a c a b c +++++≥++3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222b c a a b c a b c++≥++4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证：222a b c ab bc ac ++≥++5. 已知实数,,x y z 满足：2221x y z ++=，求xy yz +得最大值。
6. 已知正实数,,a b c ，且1abc =求证：1818189a b c +++++≥7. （2010辽宁）已知,,a b c 均为正实数，证明：2222111()63a b c a b c+++++≥，并确定,,a b c 为何值时，等号成立。
类型二：求最值： 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。
使用均值不等式的核心在于配凑，配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。
1. 设11,(0,)1x y x y∈+∞+=且，求x y +的最小值。
2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且，求112x y +的最小值。
3. 已知,a b 为正实数，且1a b +=求1ab ab+的最小值。
4. 求函数11(01)1y x x x=+<<-的最小值。
变式：求函数291(0)122y x x x =+<<-的最小值。
5. 设,(0,)x y ∈+∞，35x y xy +=，求34x y +的最小值。
6. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求x y +的最小值。
7. 设,(0,)x y ∈+∞，6x y xy ++=求xy 的最大值。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册 均值不等式—常见题型归纳讲义
均值不等式常规题型题型一、利用不等式求函数值域例：求下列函数的值域（1）)0(1>+=x x x y （2）)0(1<+=x xx y题型二：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型三：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
2、若02<<x ，求y x x =-()63的最大值；变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；2、求函数)2521(2512<<-+-=x x x y 的最大值； （提示：平方，利用基本不等式）变式：求函数)41143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；题型四：巧用“1”的代换求最值问题1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b=+11的最小值； 法一：法二：变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b =+11的最小值；变式2：已知28,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值；变式3：已知0,>y x ，且119x y+=，求x y +的最小值。
变式4：设0,0>>b a ，且12=+b a ，则ba a a ++21（ ）针对训练：变式5：已知实数,211111,0,0=+++>>b a b a 则b a 2+的最小值为_______针对训练：变式6：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________；针对训练：已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( )A.8B.4C.2D.0变式7：已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；针对练习：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；变式8：已知0,>y x ，122=++xy y x ，求xy 最大值；针对练习：设实数y x ,为实数，若,5422=++xy y x 则y x +2的最大值是_______题型五：分离换元法求最值（了解）1、求函数)1(11072-≠+++=x x x x y 的值域；变式1：求函数)1(182>-+=x x x y 的值域；变式2: 已知)320(2231<<+-=x x x y ，求y 的最小值题型六：恒成立问题若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________.针对训练1. 正数b a ,满足,191=+ba 若不等式m x xb a -++-≥+1842对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是____ 2.3. ,0>∃x 使的01≤-+a x x，则实数a 的取值范围是________拓展：一、单选题 1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）A 332B ．3233C ．332D ．223二、填空题2．若0x y >>，则()412x y x y +-的最小值是________. 3．已知a ，b R ∈，且22a b +=，则22a b +的最小值是________.4．函数()241y x x =+-（1x >）的最小值________ 三、解答题5．已知,a b ∈R ，且02b a >>，求1(2)a a b b +-的最小值.。
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高一上数学必修一第二章《2.2.4 均值不等式及其应用》知识点梳理
2.2.4 均值不等式及其应用
【学习目标】 1、学会推导并掌握均值不等式定理. 2、能够简单应用定理求最值. 重点： 对均值不等式的推导、理解及初步应用。 难点： 对均值不等式的理解。
一、新课讲解： （一）相关概念： 1.给定两个正数 a， b，数 a b 称为 a， b 的算术平均数，数 ab 称为 a，b 的几何平均数。
三、归纳总结：
1.算术平均值和几何平均值
2.均值不等式（又称基本不等式）以及均值不等式的几何意义
3.用均值不等式解题的格式要求
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2 证明：教材 P73 页。 （四）深度分析： 【均值不等式】——又称基本不等式 1.基本不等式中的 还可以是零，其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值。 2.均值不等式有什么几何意义呢？
研究: 将均值不等式两边平方得， a b 2 ab ,可以得出:均值不等式的一个几何意义: 2
2 2.多个正数的算术平均值和几何平均值的定义。 （二）学生活动 1： 完成教材 P72“尝试与发现” ，解决下列问题： 1.算术平均数的几何意义？几何平均值的几何意义？ 2.它们的大小关系如何呢？ （三）均值不等式：
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1.语言表述:两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。 2.数学表达:如果 a,b 都是正数，那么 a b ab ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大。
二、典型例题： 例 1 已知 x >0，求 y = x+ 1 的最小值，并说明 x 为何值时 y 取得最小值。
x
解:因为 x >0，所以根据均值不等式有 x 1 2 x 1 2 ，其中等号成立当且仅当 x 1 ,
均值不等式常见题型整理
均值没有等式之阳早格格创做一、基原知识梳理1.算术仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的算术仄衡值.2.几许仄衡值：如果a ﹑b ∈R +，那么喊干那二个正数的几许仄衡值3.要害没有等式：如果a ﹑b ∈R ，那么a 2+b 2≥(当且仅当a=b 时，与“=”) 均值定理：如果a ﹑b ∈R +，那么2a b≥(当且仅当a=b 时，与“=”)均值定理可道述为： 4．变式变形：5.利用均值没有等式供最值，“战定，积最大；积定，战最小”，即二个正数的战为定值，则可供其积的最大值；积为定值，则可供其战的最小值.注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或者各果式非背；（2）战或者积为定值； （3）各项或者各果式皆能博得相等的值.6.若多次用均值没有等式供最值，必须脆持屡屡与“=”号的普遍性.偶尔为了达到利用均值没有等式的条件，需要通过配凑﹑裂项﹑转移﹑分散常数等变形脚法，创建一个应用均值没有等式的情景.二、罕睹题型：1、分式函数供最值，如果)(x f y =可表示为B x g Ax mg y ++=)()(的形式，且)(x g 正在定义域内恒正或者恒背，,0,0>>m A 则可使用均值没有等式去供最值.例：供函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值. 解：1)1(11112++-+=++-+=+++=x aa ax x x ax ax x x ax y 当1)1(+=+x ax a 即x=0时等号创造，1min =∴y2、题正在给出战为定值，供战的最值时，普遍情况皆要对于所供式子举止变形，用已知条件举止代换，变形之后再利用均值没有等式举止供最值. 例：已知191,0,0=+>>b a b a 且，供b a +的最小值.解法一：169210991=+≥+++=+b aa b b a思路二：由191=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--b a b a 而后将b a +变形.解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a不妨考证：二种解法的等号创造的条件均为12,4==b a .此类题型可扩展为：设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，供321111a a a S ++=的最小值.m m 9)2223(1=+++≥，等号创造的条件是321a a a ==.3、题中所供的式子中戴有根式，而且没有克没有及曲交用均值没有等式去供解，则可采与顺背思维去供解，对于没有等式顺背变换，原类题型普遍情况皆给出去x 的与值范畴，根据与值范畴去举止顺背变换. 例：供函数]3,21[,37∈-=x x x y 的最小值.思路：由于所给函数的形式为无理式，曲交供解较艰易，从所给区间]3,21[∈x 进脚，可得一个没有等式)3)(21(≤--x x （当且仅当21<x 或者3=x 时与等号），展启此式计划即可.解：,0)3)(21(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x x x -≤∴> 得2min =y4、没有等式的变形正在说明历程中或者供最值时，有广大应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+共时除以ab得2≥+b aa b 或者b a ab -≥-11.例：已知a,b,c 均为，供证：cb a ac c b b a ++≥++222.说明：c b a ,, 均为正数，ac a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222，总之，均值没有等式是下中数教的要害真质之一，它是供多项式的最值以及函数的值域的时常使用要领.正在应用均值没有等式时，没有管何如变形，均需谦脚“一正二定三相等”的条件. 【坚韧训练】1、若,0,0>>b a 供函数bax xy +=2最值. 问案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-=2、供函数)0(132<++=x x x xy 的值域. 问案：[-3，0]3、已知正数y x ,谦脚,12=+y x 供yx 11+的最小值.问案：223+4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，供2111++=y x S 的最小值.问案：295、若)0](,1[>∈a b a x ，供xbx ab y -+=)1(的最小值.问案：a6、设c b a ,,为整数，供证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++.三、利用没有等式解题的典型例题剖析：题型一：利用均值没有等式供最值（值域） 例1、（1）已知0>x ，供x x x f 312)(+=的最小值（2）已知3<x ，供x x x f +-=34)(的最大值 变式1： 1、若R x ∈，供x x x f +-=34)(的值域2、函数()022>-=x x x y 的最大值为 变式2：1、已知0,0>>y x 且191=+y x ，供y x +的最小值2、R x ∈，供1sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值3、当b a x ,,10<<为仄常数时，供x b x a y -+=122的最小值变式3：1、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定面，若面A 正在曲线01=++ny mx 上，其中0>mn ，则n m 21+的最小值为2、供2)3(222++=x x y 的最小值为3、已知x x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π的最小值为变式4：1、已知y x ,皆是正真数，且053=+-+xy y x（1）供xy 的最小值 （2）供y x +的最小值题型二：利用均值没有等式说明没有等式 例2、已知R c b a ∈,,，供证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222（2）()c b a a c c b b a ++≥+++++2222222（3）()c b a abc a c c b b a c b a ++≥++≥++222222444 变式5：1、已知,,,+∈R c b a 且,,,c b a 没有齐相等，供证：c b a c abb ac a bc ++>++2、已知R c b a ∈,,，且1=++c b a ，供证：31222≥++c b a3、已知1,0,0=+>>b a b a ，供证：91111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a。
均值不等式常见题型及解析
均值不等式常见题型及解析一、直接应用均值不等式均值不等式的基本形式是对于正实数a、b，有\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，当且仅当a = b时等号成立。
比如说，已知\(a>0\)，\(b>0\)，\(a + b = 1\)，求\(ab\)的最大值。
这时候就可以直接用均值不等式啦。
由\(\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，把\(a + b = 1\)代入，得到\(\frac{1}{2}\geq\sqrt{ab}\)，那么\(ab\leq\frac{1}{4}\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)的时候取到最大值。
这种直接应用的题型呢，关键就是要识别出是两个正实数的和与积的关系，然后套公式就好啦。
就像看到一道题，告诉你两个正数的和是定值，那你就赶紧想均值不等式求积的最值；要是告诉你积是定值，就想求它们和的最值。
这就像一个小窍门，一看到这种形式，心里就“叮”一下，知道该怎么做啦。
二、凑项应用均值不等式有些题呢，不会直接给你能用均值不等式的形式，需要咱们自己去凑项。
比如说，求\(y = x+\frac{1}{x - 1}(x>1)\)的最小值。
这时候直接用均值不等式可不行，因为\(x\)和\(\frac{1}{x - 1}\)的和不是直接能用均值不等式的形式。
那我们就凑项呀，把式子变成\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\)。
因为\(x>1\)，所以\(x - 1>0\)，\(\frac{1}{x - 1}>0\)。
根据均值不等式\(\frac{(x - 1)+\frac{1}{x - 1}}{2}\geq\sqrt{(x - 1)\times\frac{1}{x - 1}}\)，也就是\((x - 1)+\frac{1}{x - 1}\geq2\)，那么\(y=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geq2 + 1=3\)，当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，也就是\(x = 2\)的时候取到最小值。
高一数学必修一均值不等式题型归纳
均值不等式题型归纳一、拼凑求最值1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________．2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( ) A ．最大值54 B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值13．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]二、“1”的代换1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．6三、实际应用1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v 20)2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？四、公式直接应用1．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )A ．100B ．50C ．20D ．103．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．4．已知正数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116五、二次函数观点1．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．2．若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．二、填空题1．若a <1，则a ＋1a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．2．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．54．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值．5．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是 () A ．3 B.72 C ．4 D.926．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．。
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均值不等式题型归纳
一、拼凑求最值
1．函数y ＝x ·(3－2x ) (0≤x ≤1)的最大值为______________．
2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4
有( ) A ．最大值54 B ．最小值54
C ．最大值1
D ．最小值1
3．当x >1时，不等式x ＋1x －1
≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]
二、“1”的代换
1．若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )
A ．245
B ．285
C ．5
D ．6
三、实际应用
1．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓
储时间为x 8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
2．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．
3．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400km 以外的灾区，为了安全起见，
两列火车的间距不得小于(v 20
)2km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________h.
4．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S 的取值范围是多少？
(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
四、公式直接应用
1．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．
2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( )
A ．100
B ．50
C ．20
D ．10
3．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．
4．已知正数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，则xy 有( )
A ．最小值116
B ．最大值16
C ．最小值16
D ．最大值116
五、二次函数观点
1．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．
2．若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．
二、填空题
1．若a <1，则a ＋1
a －1有最______(填“大”或“小”)值，为________．
2．若对任意x >0，x
x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．
3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是
( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5
4．设0<x <2，求函数y ＝3x (8－3x )的最大值．
5．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋1
2y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋1
2x 2的最小值是 (
) A ．3 B.72 C ．4 D.92
6．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)
x ＋1的最小值是________．。