(广东专用)高考数学总复习 第六章第四节 基本不等式课件 理
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第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 6.4 基本不等式课件 理 高三全册数学课件
②当 x<0 时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2 a＋2， 当且仅当 x＝－ a时取等号， 所以22－a2＋a2＝ ＝04， ， 解得 a＝1，故选 C.
2021/12/8
第三十一页，共四十六页。
(2)因为函数 g(x)＝logax＋1(a>0 且 a≠1)的定点为(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，所以m1 ＋1n＝ m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 2nm·2mn＝2，当且仅当2nm＝ 2mn，即 m2＝n2 时取等号，所以m1 ＋1n的最小值为 2.
解析：f(x)≤－2 时，f(x)max＝－4.
－x·－1x－2＝－4，当且仅当 x＝－1
2021/12/8
第十一页，共四十六页。
4．(2018·天津卷)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋81b的最
1 小值为 4 .
解析：由 a－3b＋6＝0，得 a＝3b－6，所以 2a＋81b＝23b－6＋213b ≥2 23b－6×213b＝2×2－3＝14，当且仅当 23b－6＝213b，即 b＝1 时等 号成立．
2021/12/8
第二十六页，共四十六页。
2021/12/8
第二十七页，共四十六页。
9 (2)f(x)＝8cos29x＋16＋cos22x－1＝cos28x＋2＋cos22x＋2－32，因
9 为 cos2x＋2>0，所以 f(x)≥2×34－32＝0，当且仅当cos28x＋2＝
cos22x＋2，即 cos2x＝－12时等号成立，所以 x 的最小正值为 n＝π3，
2021/12/8
第三十二页，共四十六页。
课外拓展
拓视野 提能力 冲刺名校
2021/12/8
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(2)因为函数 g(x)＝logax＋1(a>0 且 a≠1)的定点为(1,1)在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，所以m1 ＋1n＝ m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 2nm·2mn＝2，当且仅当2nm＝ 2mn，即 m2＝n2 时取等号，所以m1 ＋1n的最小值为 2.
解析：f(x)≤－2 时，f(x)max＝－4.
－x·－1x－2＝－4，当且仅当 x＝－1
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4．(2018·天津卷)已知 a，b∈R，且 a－3b＋6＝0，则 2a＋81b的最
1 小值为 4 .
解析：由 a－3b＋6＝0，得 a＝3b－6，所以 2a＋81b＝23b－6＋213b ≥2 23b－6×213b＝2×2－3＝14，当且仅当 23b－6＝213b，即 b＝1 时等 号成立．
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9 (2)f(x)＝8cos29x＋16＋cos22x－1＝cos28x＋2＋cos22x＋2－32，因
9 为 cos2x＋2>0，所以 f(x)≥2×34－32＝0，当且仅当cos28x＋2＝
cos22x＋2，即 cos2x＝－12时等号成立，所以 x 的最小正值为 n＝π3，
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高考数学(理)总复习备考指导课件：第六章 不等式、推理与证明 第4节 基本不等式
ห้องสมุดไป่ตู้
x＋y＝18，
高 考
落
体
实 ·
则 xy 的最大值为(
)
验 ·
固
基
A．80
B．77
C．81
D．82
明 考
础
情
典
【解析】 xy≤x＋2 y2＝1282＝81，当且仅当 x＝y＝9 时
例
探 等号成立，故选 C.
究
课
· 提
【答案】 C
时 作
知
业
能
菜单
高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.
究
课
· 提 知 能
∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
时 作 业
菜单
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自
高
主
考
落
体
实
验
· 固 基 础
法二 1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b，
课 时 作 业
能
菜单
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自
高
主 落
3．常用不等式
考 体
实
验
· 固
(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．
· 明
基
考
础
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
情
典 例 探
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
究
课
· 提 知
(4)ba＋ab≥2(a，b 同号)．
考
落
体
实 ·
【例 2】 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
x＋y＝18，
高 考
落
体
实 ·
则 xy 的最大值为(
)
验 ·
固
基
A．80
B．77
C．81
D．82
明 考
础
情
典
【解析】 xy≤x＋2 y2＝1282＝81，当且仅当 x＝y＝9 时
例
探 等号成立，故选 C.
究
课
· 提
【答案】 C
时 作
知
业
能
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＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.
究
课
· 提 知 能
∴1＋1a1＋1b≥9(当且仅当 a＝b＝12时等号成立)．
时 作 业
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自
高
主
考
落
体
实
验
· 固 基 础
法二 1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b，
课 时 作 业
能
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自
高
主 落
3．常用不等式
考 体
实
验
· 固
(1)a2＋b2≥2ab (a，b∈R)．
· 明
基
考
础
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
情
典 例 探
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
究
课
· 提 知
(4)ba＋ab≥2(a，b 同号)．
考
落
体
实 ·
【例 2】 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
高三理科数学一轮复习 第六章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件
第四节 基本不等式及其应用
1
考
考纲概述
查 热
考查频次
备考指导
点
基本不等式: ab ≤ a+2b(a≥0,b≥0). (1)了解基本不等式 的证明过程;
(2)会用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
求 最 值
综 合 应 用
★★★★★ 基本不等式是重要考点,常见题型是 利用基本不等式求函数最值,注意三 个条件“一正二定三相等”,且经常考查 三个条件中有一个条件不满足时,如
D.4
【解题思路】先利用线性规划得到 a,b 的关系,再利用基本不等式求解.不等式组对应
的平面区域是一个四边形区域(包含边界),当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)经过点(1,4)
时取得最大值 8,则 a+4b=8,又 a>0,b>0,所以 a+4b=8≥2 4������������ = 4 ������������,解得 ab≤4,当
A.1������
+
1有最大值
������
4
C. ������ + ������有最大值 2
C
【解析】因为1
������
+
1 ������
=
B. ������������有最小值14
D.a2+b2
有最小值
2 2
1 ������
+
1 ������
(������
+
������)
=
2
+
������ ������
4
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
1
考
考纲概述
查 热
考查频次
备考指导
点
基本不等式: ab ≤ a+2b(a≥0,b≥0). (1)了解基本不等式 的证明过程;
(2)会用基本不等式 解决简单的最大(小) 值问题.
求 最 值
综 合 应 用
★★★★★ 基本不等式是重要考点,常见题型是 利用基本不等式求函数最值,注意三 个条件“一正二定三相等”,且经常考查 三个条件中有一个条件不满足时,如
D.4
【解题思路】先利用线性规划得到 a,b 的关系,再利用基本不等式求解.不等式组对应
的平面区域是一个四边形区域(包含边界),当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)经过点(1,4)
时取得最大值 8,则 a+4b=8,又 a>0,b>0,所以 a+4b=8≥2 4������������ = 4 ������������,解得 ab≤4,当
A.1������
+
1有最大值
������
4
C. ������ + ������有最大值 2
C
【解析】因为1
������
+
1 ������
=
B. ������������有最小值14
D.a2+b2
有最小值
2 2
1 ������
+
1 ������
(������
+
������)
=
2
+
������ ������
4
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
高考数学一轮复习 第六篇 不等式 第4节 基本不等式课件 理
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第三页，共三十九页。
2．函数 y＝x＋1x的值域，以及函数 y＝x＋1x(x≥2)的值域均能利用基 本不等式求解吗？若能，请求出其值域．若不能请说明理由？
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第四页，共三十九页。
提示：对于函数 y＝x＋1x可以利用基本不等式求解． 当 x>0 时，y＝x＋1x≥2(当且仅当 x＝1 时取“＝”)； 当 x<0 时，y＝x＋1x＝－－x＋－1x≤－2(当且仅当 x＝－1 时取“＝”)； 故其值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． 而函数 y＝x＋1x(x≥2)不能直接利用基本不等式求值域，因为取“＝” 号的条件不成立，可利用函数的单调性求解，函数 y＝x＋1x(x≥2)在[2，＋ ∞)上单调递增，故其值域为52，＋∞.
1y－1＝1－y y＝x＋y z＞2 yxz，② 1z－1＝1－z z＝x＋z y＞2 zxy，③ 又 x，y，z 为正数，由①×②×③， 得1x－11y－11z－1＞8.
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第二十五页，共三十九页。
【反思归纳】 利用基本不等式证明不等式的策略 (1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、 配凑等方法对要证不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件． (2)若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和要证不等式之间 的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换． (3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立．
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第二十三页，共三十九页。
考点二 利用基本不等式证明不等式 已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 x＋y＋z＝1，求证：
(1x－1)(1y－1)(1z－1)＞8.
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高考数学总复习 第6章 第4讲 基本不等式课件 理 新人教A版
第二十页，共53页。
[变式探究(tànjiū)] 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 解：(1)∵2x＋8y＝xy≥2 16xy， ∴xy－8 xy≥0，∴解得 xy≥64. 当 x＝16，y＝4 时，xy 最小值为 64. (2)∵2x＋8y＝xy，∴8x＋2y＝1， 则 x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝10＋8xy＋2yx≥18， 当 x＝12，y＝6 时，x＋y 的最小值为 18.
由 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 得 a≤6，此时，k＝ 20a＋ －20a2a22－4a2a2＋64>0(不考虑另一根)．当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标．
第三十一页，共53页。
解实际应用题要注意以下几点： (1) 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析(jiě xī)式后，只需利用 基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义 的自变量的取值范围)内求解．
故 x＝12＋0kk2＝k＋201k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 km.
第三十页，共53页。
(2)因为 a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在 k>0， 使 ka－210(1＋k2)a2＝3.2 成立，即关于 k 的方程 a2k2－20ak ＋a2＋64＝0 有正根．
奇思妙想：本例(1)改为“若a>0，b>0，且a＋b＝2ab，求y ＝4a＋b的最小值”，则结果(jiē guǒ)如何？
解：由 a＋b＝2ab 得1a＋1b＝2， ∴4a＋b＝12(1a＋1b)(4a＋b) ＝12(5＋4ba＋ba)≥92，∴4a＋b 的最小值为92.
[变式探究(tànjiū)] 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， 求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值． 解：(1)∵2x＋8y＝xy≥2 16xy， ∴xy－8 xy≥0，∴解得 xy≥64. 当 x＝16，y＝4 时，xy 最小值为 64. (2)∵2x＋8y＝xy，∴8x＋2y＝1， 则 x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝10＋8xy＋2yx≥18， 当 x＝12，y＝6 时，x＋y 的最小值为 18.
由 Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 得 a≤6，此时，k＝ 20a＋ －20a2a22－4a2a2＋64>0(不考虑另一根)．当 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标．
第三十一页，共53页。
解实际应用题要注意以下几点： (1) 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数； (2)根据实际问题抽象出函数的解析(jiě xī)式后，只需利用 基本不等式求得函数的最值； (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义 的自变量的取值范围)内求解．
故 x＝12＋0kk2＝k＋201k≤220＝10，当且仅当 k＝1 时取等号． 所以炮的最大射程为 10 km.
第三十页，共53页。
(2)因为 a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在 k>0， 使 ka－210(1＋k2)a2＝3.2 成立，即关于 k 的方程 a2k2－20ak ＋a2＋64＝0 有正根．
奇思妙想：本例(1)改为“若a>0，b>0，且a＋b＝2ab，求y ＝4a＋b的最小值”，则结果(jiē guǒ)如何？
解：由 a＋b＝2ab 得1a＋1b＝2， ∴4a＋b＝12(1a＋1b)(4a＋b) ＝12(5＋4ba＋ba)≥92，∴4a＋b 的最小值为92.
高考数学一轮总复习第6章6.4基本不等式课件理165.ppt
(2)因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
考向 利用基本不等式解决实际问题 例 3 [2017·湖南模拟]某项研究表明：在考虑行车安全 的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆 数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行 驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式 为 F＝v2＋761080v0＋v20l.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为_1_9_0_0__ 辆/小时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车 流量增加__1_0_0____辆/小时．
[解析] (1)当 l＝6.05 时，F＝v2＋187v6＋ 00200v×6.05，
∴
F
＝
76000v v2＋18v＋121
2．若 0≤x≤6，则 f(x)＝ x8－x的最大值为(
)
16 A. 3
B．4
43 C. 3
D. 5
解 析 ∵ 0≤x≤6 ， ∴ 8 － x>0 ， ∴ f(x) ＝ x8－x ≤x＋28－x＝4，当且仅当 x＝8－x，即 x＝4 时，等号成立．
故 f(x)的最大值为 4.
3．[课本改编]若 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝n 处取得最小
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值 范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到， 可利用函数的单调性求解．
【变式训练 3】 某厂家拟在 2018 年举行促销活动， 经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与 年促销费用 m 万元(m≥0)满足 x＝3－m＋ k 1(k 为常数)，如果 不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投入为 8 万元．每生产一万件该 产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为 每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再 投入两部分资金)．
高考数学 第六章 第四节 基本不等式课件 理 新人教A版
，因为
a2
2 a ，3 a1但2 不2能a说 就是 2 a 的2 值a 与a有关，不是一个定值.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
1.下列不等式中正确的是( )
(A)若a∈R，则a2+9>6a
(B)若a,b∈R，则 a b 2
ab
(C)若a,b>0，则 2lgablgalgb
(1)函数y=x+ 1 的最小值是2.( )
x
(2)ab≤ ( a b ) 2 成立的条件是ab>0.( )
2
(3)函数f(x)=cos x 4 ，x∈(0, )的最小值等于4.( )
cos x
2
(4)x>0且y>0是 x y 2 的充要条件.( )
yx
(5)若a>0，则 a 3
1 a2
的最小值为2
考向1 利用基本不等式判断命题真假 【典例1】(1)(2013·东莞模拟)若a≥0,b≥0，且a+b=2，则下 列不等式中正确的是( ) (A)ab≤1 (B)ab≥1 (C)a2+b2≥4 (D)a2+b2≤4
(2)(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) (A)lg(x2+ 1 )>lg x(x>0)
(4)语言叙述：两个正数的_算__术__平__均__数__不小于它们的几__何__平__均__
__数__.
2.基本不等式的变形
(1)a+b≥2 a b (a,b>0).
(2)a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R).
(3) a2b2(ab)2aba,b R .
22
3．利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
a2
2 a ，3 a1但2 不2能a说 就是 2 a 的2 值a 与a有关，不是一个定值.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
1.下列不等式中正确的是( )
(A)若a∈R，则a2+9>6a
(B)若a,b∈R，则 a b 2
ab
(C)若a,b>0，则 2lgablgalgb
(1)函数y=x+ 1 的最小值是2.( )
x
(2)ab≤ ( a b ) 2 成立的条件是ab>0.( )
2
(3)函数f(x)=cos x 4 ，x∈(0, )的最小值等于4.( )
cos x
2
(4)x>0且y>0是 x y 2 的充要条件.( )
yx
(5)若a>0，则 a 3
1 a2
的最小值为2
考向1 利用基本不等式判断命题真假 【典例1】(1)(2013·东莞模拟)若a≥0,b≥0，且a+b=2，则下 列不等式中正确的是( ) (A)ab≤1 (B)ab≥1 (C)a2+b2≥4 (D)a2+b2≤4
(2)(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是( ) (A)lg(x2+ 1 )>lg x(x>0)
(4)语言叙述：两个正数的_算__术__平__均__数__不小于它们的几__何__平__均__
__数__.
2.基本不等式的变形
(1)a+b≥2 a b (a,b>0).
(2)a2+b2≥_2_a_b_(a,b∈R).
(3) a2b2(ab)2aba,b R .
22
3．利用基本不等式求最值
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为
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一、基本不等式 ab≤a＋2 b 1．基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . 2．等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
二、几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab (a，b∈R)；ba＋ab≥ 2 (a，b同号)．
ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)；(a＋2 b)2≤ a2＋2 b2(a，b∈R)．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥 上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以 达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
第
六
第
章
四
不
节
等
式、 基
推
本
理
不
与
等
证
式
明
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
怎么考 1.利用基本不等式求最值是命题热点． 2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算
能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的 应用． 3.各种题型都有，难度中、低档.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·济南模拟)若x>0，则x＋4x的最小值为
A．2
B．3
()
C．2 2
D．4
解析：据基本不等式可得x＋4x≥2 时取得最小值为4.
x×4x＝4，当且仅当x＝4x，即x＝2
答案： D
解析：∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝xx2－＋12＝x2－2xx－＋12x＋2＝x2－2x＋1x＋－21x－1＋3 ＝x－12＋x－2x1－1＋3＝x－1＋x－3 1＋2 ≥2 x－1x－3 1＋2＝2 3＋2. 当且仅当x－1＝x－3 1，即x＝1＋ 3时，取等号．
艺术生高考数学总复习第六章不等式推理与证明第4节基本不等式课件
解析：D [选项 A 中，x>0 时，y≥2，x<0 时，y≤－2； 选项 B 中，cos x≠1，故最小值不等于 2； 选项 C 中， xx2＋2＋32＝x2＋x22＋＋21＝ x2＋2＋ x21＋2， 当 x＝0 时，ymin＝322，只有选项 D 符合题意．故选 D.]
4．(教材改编)设 x，y∈R*，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为 ________ .
2≥2 x－2×x－1 2＋2＝4，当且仅当 x－2＝x－1 2(x>2)，即 x＝3 时
取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a＝3，选 C.]
3．在下列函数中，最小值是 2 的函数是(
)
A．y＝x＋1x
B．y＝cos
x＋co1s
π x0<x<2
C．y＝
x2＋3 x2＋2
D．y＝ex＋e4x－2
ab<(a＋2 b)2，选项 A、B 正确.a2＋abb<22aabb＝ ab，选项 D 正确．故选
C.]
2．若函数 f(x)＝x＋x－1 2(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a 等于
()
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3 解析：C
D．4
[当
x>2
时
，
x
－
2>0
，
f(x)
＝
(x
－
2)
＋
1 x－2
＋
综合应用基本不等式的重点题型与求解策略
题型
求解策略
判断或证明不等式或比较 对所给不等式(或式子)变形，然后利用基
大小
本不等式求解
求参数的值或范围
观察题目特点，利用基本不等式确定相关 成立条件，从而得参数的值或范围
高考数学大一轮复习 第六章 第四节 基本不等式课件
(×) (√ ) (√ )
基础盘查二 利用基本不等式求最值问题 (一)循纲忆知
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(二)小题查验 1．判断正误
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2 (2)x＞0且y＞0是xy＋xy≥2的充分不必要条件 (3)若a≠0，则a2＋a12的最小值为2
( ×) ( √) (√ )
＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为__9__．
解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．
[题点发散 5] 若本例变为：已知各项为正数的等比数列{an}满足 a7＝
a6＋2a5，若存在两项 am，an，使得
9
am·an＝2
2a1，则m1 ＋n4的最小
值为__5___．
解析：设公比为 q(q＞0)，由 a7＝a6＋2a5⇒a5q2＝a5q＋2a5⇒q2－q－2 ＝0(q＞0)⇒q＝2.
am·an＝2 2a1⇒a12m－1·a12n－1＝8a21⇒2m－1·2n－1＝8⇒m＋n－2＝3⇒m ＋n＝5，则m1 ＋n4＝15m1 ＋n4(m＋n)＝155＋mn ＋4nm≥15(5＋2 4)＝95， 当且仅当 n＝2m＝130时等号成立．
[题点发散 1] 本例的条件已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1 不变，则1＋1a
1＋1b的最小值为__9___．
解析： 1＋1a 1＋1b ＝ 1＋a＋a b 1＋a＋b b ＝ 2＋ba ·2＋ab ＝5＋ 2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．
广东专用2024版高考数学总复习：基本不等式课件
×
（5） “ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.( )
√
2.（教材题改编）已知 , 且 ，下列各式中最大的是( )
A. B. C. D.
解：因为 , ，所以 , ， , ，所以 ， ，当 时，由均值不等式可知 ，所以 ，由上可知, , ，所以四个式子中 最大.故选D.
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
掌握基本不等式 .结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【教材梳理】
1.基本不等式 如果 , ,那么_ __________，当且仅当 时，等号成立.该式叫基本不等式，其中，_ ___叫做正数 ， 的算术平均数，_____叫做正数 , 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.
【常用结论】
4.常用推论
（1） .
（2） .
（3） .
（4） . 即有：正数 , 的调和平均数≤几何平均数 算术平均数≤平方平均数.
5.三元均值不等式
（1） .
（2） . 以上两个不等式中 , , ,当且仅当 时等号成立.
不小于
2.几个重要不等式
重要不等式
使用前提
等号成立条件
_______
________
2
-2
3.基本不等式求最值
（1）设 , 为正数，若积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值_____（简记为:积定和最小）.
（2）设 , 为正数，若和 等于定值 ,那么当 时，积 有最大值_____（简记为：和定积最大）.
（5） “ 且 ”是“ ”的充分不必要条件.( )
√
2.（教材题改编）已知 , 且 ，下列各式中最大的是( )
A. B. C. D.
解：因为 , ，所以 , ， , ，所以 ， ，当 时，由均值不等式可知 ，所以 ，由上可知, , ，所以四个式子中 最大.故选D.
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.5 基本不等式
课程标准 有的放矢
必备知识 温故知新
自主评价 牛刀小试
核心考点 精准突破
课时作业 知能提升
掌握基本不等式 .结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
【教材梳理】
1.基本不等式 如果 , ,那么_ __________，当且仅当 时，等号成立.该式叫基本不等式，其中，_ ___叫做正数 ， 的算术平均数，_____叫做正数 , 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数________它们的几何平均数.
【常用结论】
4.常用推论
（1） .
（2） .
（3） .
（4） . 即有：正数 , 的调和平均数≤几何平均数 算术平均数≤平方平均数.
5.三元均值不等式
（1） .
（2） . 以上两个不等式中 , , ,当且仅当 时等号成立.
不小于
2.几个重要不等式
重要不等式
使用前提
等号成立条件
_______
________
2
-2
3.基本不等式求最值
（1）设 , 为正数，若积 等于定值 ，那么当 时，和 有最小值_____（简记为:积定和最小）.
（2）设 , 为正数，若和 等于定值 ,那么当 时，积 有最大值_____（简记为：和定积最大）.
(广东专用)高考数学总复习 第六章第四节 基本不等式 文 课件 人教
( b－ a)＞0，即 ab＞a，故选 B.
【答案】 B
3．下列命题中正确的是________(填序号)． ①函数 y＝x＋1x的最小值为 2； ②函数 y＝ xx2＋2＋32的最小值为 2； ③函数 y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为 2－3 3； ④函数 y＝ex＋e4x－2 的最小值为 2.
所以该厂家 2012 年的促销费用投入为 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21
万元
思想方法之八 转化思想在用基本不等式求 最值中的应用
(2012·杭州模拟)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最 小值是________．
【解析】 法一 ∵x>0，y>0，且 2x＋y＋6＝xy，
∴xy＝6＋2x＋y≥6＋2 2xy(当且仅当“2x＝y”时取等号)．令 t
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 新课标 · 数学（文）(广东专用)
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
【答案】 B
3．下列命题中正确的是________(填序号)． ①函数 y＝x＋1x的最小值为 2； ②函数 y＝ xx2＋2＋32的最小值为 2； ③函数 y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为 2－3 3； ④函数 y＝ex＋e4x－2 的最小值为 2.
所以该厂家 2012 年的促销费用投入为 3 万元时，厂家的利润最大，最大为 21
万元
思想方法之八 转化思想在用基本不等式求 最值中的应用
(2012·杭州模拟)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最 小值是________．
【解析】 法一 ∵x>0，y>0，且 2x＋y＋6＝xy，
∴xy＝6＋2x＋y≥6＋2 2xy(当且仅当“2x＝y”时取等号)．令 t
11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。
12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 新课标 · 数学（文）(广东专用)
13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/302022/1/30
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【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋8y≥2 8xy＝4 2xy， ∴xy≤312(当且仅当 x＝8y＝12时取“＝”)． 【答案】 1
32
9
利用基本不等式求最值
(1)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，则3x＋4y的最小值是________． (2)(2011·浙江高考)设 x，y 为实数，若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________． 【思路点拨】 (1)“1”的妙用，把3x＋4y化为(x＋y)(x3＋4y)． (2)4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy，再利用 3xy≤32×2xy≤23(2x＋ 2 y)2 求解．
【提示】 当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求 解． 2．若x2＋y2＝1，则xy有最大值还是最小值？试求之．
【提示】
xy
有最大值，xy≤x2＋2 y2＝12，当且仅当
x＝y＝±
2时等 2
号成立．
4
1．(教材改编题)用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 则矩形的长和宽分别是( )
A．7 cm,3 cm
∴x＋1＋x＋4 1≥2 x＋1·x＋4 1＝4，
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时取“＝”，
∴y＝(x＋1)＋x＋4 1＋5≥9，
∴函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为 9.
14
(2)∵x＞0，y＞0，x3＋4y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3， 当且仅当3xy＝4yx且3x＋4y＝1，即 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3时等号成 立， ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.,
13
(1)本例(1)改为“若 x＞－1，试求函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小 值．”
(2)本例(2)中的条件改为 x＞0，y＞0，且x3＋4y＝1，试求 x＋y 的 最小值．【解】 (1)函数 y＝x＋x5＋x1＋2＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4
＝(x＋1)＋x＋4 1＋5， ∵x>－1，∴x＋1>0，
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
【解析】 ∵0＜a＜b，∴a＜a＋2 b＜b，A、C 错误； ab－a＝ a( b－ a)＞0，即 ab＞a，选 B.
【答案】 B
6
3．下列命题中正确的是________(填序号)． ①函数 y＝x＋x1的最小值为 2； ②函数 y＝ x2＋3 的最小值为 2；
x2＋2 ③函数 y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为 2－3 3； ④函数 y＝ex＋e4x－2 的最小值为 2.
7
【解析】 对于命题①，x＞0 时，x＋1x≥2；当 x＜0 时，x＋x1≤
－2，故①错．
对于命题②，y＝
x2＋3 ＝x2＋2＋1＝ x2＋2 x2＋2
x2＋2＋
1 x2＋
≥2， 2
2
3．常用不等式
(1)a2＋b2≥___2_a_b____ (a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a，b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
3
1．当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，如何 处理？
10
【尝试解答】 (1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，
∴x3＋4y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3，
当且仅当3y＝4x且 xy
x＋y＝1，即
x＝－3＋2
3，y＝4－2
3时等
号成立，
即x3＋4y的最小值是 7＋4 3. (2)由 4x2＋y2＋xy＝1 得(2x＋y)2－3xy＝1， ∴(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋23×2xy≤1＋32×(2x＋ 2 y)2， ∴(2x＋y)2≤85，
B．8 cm,2 cm
C．6 cm,4 cm
D．5 cm,5 cm
【解析】 设矩形的长和宽分别是 x cm，y cm，则 x＋y＝10， ∴xy≤(x＋2 y)2＝(120)2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时等号成立．
【答案】 D
5
2．(2011·陕西高考)设 0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
15
利用基本不等式证明简单的不等式 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)1a＋1b＋a1b≥8；(2)(1＋a1)(1＋1b)≥9. 【思路点拨】 (1)第(1)小题把a1b变形为a1＋b1.(2)第(2)小题把不等 式左边展开，利用第(1)小题的结论．
但当 x2＋2＝ x12＋2时，x2＝－1，等号不成立，②错；
对于命题③，因为 x＞0，所以 3x＋x4≥4 3，所以 2－3x－x4≤2
－4 3，故命题③错．
对于命题④，因为 ex＞0，
所以 ex＋e4x≥4，所以 ex＋e4x－2≥2，故命题④正确．
【答案】 ④
8
4．若x>0，y>0且x＋8y＝1，则xy的最大值为________．
第四节 基本不等式
1
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立． (3)其中a＋2 b称为正数 a，b 的___算__术___ 平均数 ， ab称为 正数 a，b 的_几__何__ 平均数 ． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)． 那么当___x_＝__y_____时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)． 那么当 x＝y 时，xy 2
10， 5
∴2x＋y 的最大值是2 510.
【答案】 (1)7＋4 3 (2)2 510,
12
1．本例(2)在求解时，关键是把等式转化为关于2x＋y的不等 式． 2．由基本不等式求最值可分为三步 (1)检验字母是否全正(即求平均值的各个量都是正数)． (2)凑定值，当凑出的和为定值时，对应各个量的积有最大值； 当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值． (3)“取等号”，即对应各个量能取得等号时，则可取最值；否 则，不能用基本不等式求最值． 以上三步可简称为“一正、二定、三相等”，三步缺一不可．
32
9
利用基本不等式求最值
(1)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，则3x＋4y的最小值是________． (2)(2011·浙江高考)设 x，y 为实数，若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________． 【思路点拨】 (1)“1”的妙用，把3x＋4y化为(x＋y)(x3＋4y)． (2)4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy，再利用 3xy≤32×2xy≤23(2x＋ 2 y)2 求解．
【提示】 当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求 解． 2．若x2＋y2＝1，则xy有最大值还是最小值？试求之．
【提示】
xy
有最大值，xy≤x2＋2 y2＝12，当且仅当
x＝y＝±
2时等 2
号成立．
4
1．(教材改编题)用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 则矩形的长和宽分别是( )
A．7 cm,3 cm
∴x＋1＋x＋4 1≥2 x＋1·x＋4 1＝4，
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时取“＝”，
∴y＝(x＋1)＋x＋4 1＋5≥9，
∴函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为 9.
14
(2)∵x＞0，y＞0，x3＋4y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3， 当且仅当3xy＝4yx且3x＋4y＝1，即 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3时等号成 立， ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.,
13
(1)本例(1)改为“若 x＞－1，试求函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小 值．”
(2)本例(2)中的条件改为 x＞0，y＞0，且x3＋4y＝1，试求 x＋y 的 最小值．【解】 (1)函数 y＝x＋x5＋x1＋2＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4
＝(x＋1)＋x＋4 1＋5， ∵x>－1，∴x＋1>0，
A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
【解析】 ∵0＜a＜b，∴a＜a＋2 b＜b，A、C 错误； ab－a＝ a( b－ a)＞0，即 ab＞a，选 B.
【答案】 B
6
3．下列命题中正确的是________(填序号)． ①函数 y＝x＋x1的最小值为 2； ②函数 y＝ x2＋3 的最小值为 2；
x2＋2 ③函数 y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为 2－3 3； ④函数 y＝ex＋e4x－2 的最小值为 2.
7
【解析】 对于命题①，x＞0 时，x＋1x≥2；当 x＜0 时，x＋x1≤
－2，故①错．
对于命题②，y＝
x2＋3 ＝x2＋2＋1＝ x2＋2 x2＋2
x2＋2＋
1 x2＋
≥2， 2
2
3．常用不等式
(1)a2＋b2≥___2_a_b____ (a，b∈R)．
(2)ab≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a，b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
3
1．当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，如何 处理？
10
【尝试解答】 (1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，
∴x3＋4y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3，
当且仅当3y＝4x且 xy
x＋y＝1，即
x＝－3＋2
3，y＝4－2
3时等
号成立，
即x3＋4y的最小值是 7＋4 3. (2)由 4x2＋y2＋xy＝1 得(2x＋y)2－3xy＝1， ∴(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋23×2xy≤1＋32×(2x＋ 2 y)2， ∴(2x＋y)2≤85，
B．8 cm,2 cm
C．6 cm,4 cm
D．5 cm,5 cm
【解析】 设矩形的长和宽分别是 x cm，y cm，则 x＋y＝10， ∴xy≤(x＋2 y)2＝(120)2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时等号成立．
【答案】 D
5
2．(2011·陕西高考)设 0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
15
利用基本不等式证明简单的不等式 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)1a＋1b＋a1b≥8；(2)(1＋a1)(1＋1b)≥9. 【思路点拨】 (1)第(1)小题把a1b变形为a1＋b1.(2)第(2)小题把不等 式左边展开，利用第(1)小题的结论．
但当 x2＋2＝ x12＋2时，x2＝－1，等号不成立，②错；
对于命题③，因为 x＞0，所以 3x＋x4≥4 3，所以 2－3x－x4≤2
－4 3，故命题③错．
对于命题④，因为 ex＞0，
所以 ex＋e4x≥4，所以 ex＋e4x－2≥2，故命题④正确．
【答案】 ④
8
4．若x>0，y>0且x＋8y＝1，则xy的最大值为________．
第四节 基本不等式
1
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立． (3)其中a＋2 b称为正数 a，b 的___算__术___ 平均数 ， ab称为 正数 a，b 的_几__何__ 平均数 ． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)． 那么当___x_＝__y_____时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)． 那么当 x＝y 时，xy 2
10， 5
∴2x＋y 的最大值是2 510.
【答案】 (1)7＋4 3 (2)2 510,
12
1．本例(2)在求解时，关键是把等式转化为关于2x＋y的不等 式． 2．由基本不等式求最值可分为三步 (1)检验字母是否全正(即求平均值的各个量都是正数)． (2)凑定值，当凑出的和为定值时，对应各个量的积有最大值； 当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值． (3)“取等号”，即对应各个量能取得等号时，则可取最值；否 则，不能用基本不等式求最值． 以上三步可简称为“一正、二定、三相等”，三步缺一不可．