(广东专用)高考数学总复习 第六章第四节 基本不等式课件 理

A．a＜b＜ ab＜a＋2 b
B．a＜ ab＜a＋2 b＜b
C．a＜ ab＜b＜a＋2 b
D. ab＜a＜a＋2 b＜b
【解析】 ∵0＜a＜b，∴a＜a＋2 b＜b，A、C 错误； ab－a＝ a( b－ a)＞0，即 ab＞a，选 B.
【答案】 B
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3．下列命题中正确的是________(填序号)． ①函数 y＝x＋x1的最小值为 2； ②函数 y＝ x2＋3 的最小值为 2；
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利用基本不等式证明简单的不等式 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： (1)1a＋1b＋a1b≥8；(2)(1＋a1)(1＋1b)≥9. 【思路点拨】 (1)第(1)小题把a1b变形为a1＋b1.(2)第(2)小题把不等 式左边展开，利用第(1)小题的结论．
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3．常用不等式
(1)a2＋b2≥___2_a_b____ (a，b∈R)．
(2)wenku.baidu.comb≤(a＋2 b)2(a，b∈R)．
(3)(a＋2 b)2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
(4)ba＋ab≥2(a，b＞0)．
(5)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
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1．当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，如何 处理？
第四节 基本不等式
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1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b____时等号成立． (3)其中a＋2 b称为正数 a，b 的___算__术___ 平均数 ， ab称为 正数 a，b 的_几__何__ 平均数 ． 2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 xy＝P(定值)． 那么当___x_＝__y_____时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定 和最小”) (2)如果 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋y＝S(定值)． 那么当 x＝y 时，xy 有最大值S42.
∴x＋1＋x＋4 1≥2 x＋1·x＋4 1＝4，
当且仅当 x＋1＝x＋4 1，即 x＝1 时取“＝”，
∴y＝(x＋1)＋x＋4 1＋5≥9，
∴函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小值为 9.
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(2)∵x＞0，y＞0，x3＋4y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3， 当且仅当3xy＝4yx且3x＋4y＝1，即 x＝3＋2 3，y＝4＋2 3时等号成 立， ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.,
【提示】 当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求 解． 2．若x2＋y2＝1，则xy有最大值还是最小值？试求之．
【提示】
xy
有最大值，xy≤x2＋2 y2＝12，当且仅当
x＝y＝±
2时等 2
号成立．
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1．(教材改编题)用20 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形， 则矩形的长和宽分别是( )
A．7 cm,3 cm
x2＋2 ③函数 y＝2－3x－4x(x＞0)的最小值为 2－3 3； ④函数 y＝ex＋e4x－2 的最小值为 2.
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【解析】 对于命题①，x＞0 时，x＋1x≥2；当 x＜0 时，x＋x1≤
－2，故①错．
对于命题②，y＝
x2＋3 ＝x2＋2＋1＝ x2＋2 x2＋2
x2＋2＋
1 x2＋
≥2， 2
B．8 cm,2 cm
C．6 cm,4 cm
D．5 cm,5 cm
【解析】 设矩形的长和宽分别是 x cm，y cm，则 x＋y＝10， ∴xy≤(x＋2 y)2＝(120)2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时等号成立．
【答案】 D
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2．(2011·陕西高考)设 0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
但当 x2＋2＝ x12＋2时，x2＝－1，等号不成立，②错；
对于命题③，因为 x＞0，所以 3x＋x4≥4 3，所以 2－3x－x4≤2
－4 3，故命题③错．
对于命题④，因为 ex＞0，
所以 ex＋e4x≥4，所以 ex＋e4x－2≥2，故命题④正确．
【答案】 ④
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4．若x>0，y>0且x＋8y＝1，则xy的最大值为________．
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(1)本例(1)改为“若 x＞－1，试求函数 y＝x＋x5＋x1＋2的最小 值．”
(2)本例(2)中的条件改为 x＞0，y＞0，且x3＋4y＝1，试求 x＋y 的 最小值．【解】 (1)函数 y＝x＋x5＋x1＋2＝x＋12＋x＋5x1＋1＋4
＝(x＋1)＋x＋4 1＋5， ∵x>－1，∴x＋1>0，
【解析】 ∵x>0，y>0，∴x＋8y≥2 8xy＝4 2xy， ∴xy≤312(当且仅当 x＝8y＝12时取“＝”)． 【答案】 1
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利用基本不等式求最值
(1)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，则3x＋4y的最小值是________． (2)(2011·浙江高考)设 x，y 为实数，若 4x2＋y2＋xy＝1，则 2x＋y 的最大值是________． 【思路点拨】 (1)“1”的妙用，把3x＋4y化为(x＋y)(x3＋4y)． (2)4x2＋y2＋xy＝(2x＋y)2－3xy，再利用 3xy≤32×2xy≤23(2x＋ 2 y)2 求解．
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解得－2
510≤2x＋y≤2
10， 5
∴2x＋y 的最大值是2 510.
【答案】 (1)7＋4 3 (2)2 510,
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1．本例(2)在求解时，关键是把等式转化为关于2x＋y的不等 式． 2．由基本不等式求最值可分为三步 (1)检验字母是否全正(即求平均值的各个量都是正数)． (2)凑定值，当凑出的和为定值时，对应各个量的积有最大值； 当凑出的积为定值时，其对应各量的和有最小值． (3)“取等号”，即对应各个量能取得等号时，则可取最值；否 则，不能用基本不等式求最值． 以上三步可简称为“一正、二定、三相等”，三步缺一不可．
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【尝试解答】 (1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，
∴x3＋4y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3xy＋4yx＋7≥2 3xy·4yx＋7＝7＋4 3，
当且仅当3y＝4x且 xy
x＋y＝1，即
x＝－3＋2
3，y＝4－2
3时等
号成立，
即x3＋4y的最小值是 7＋4 3. (2)由 4x2＋y2＋xy＝1 得(2x＋y)2－3xy＝1， ∴(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋23×2xy≤1＋32×(2x＋ 2 y)2， ∴(2x＋y)2≤85，