线性代数第 六章二次型试题及答案

Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则 若，则 ， ，不符题意 若 ，即，则，，符合 若 ，即，则 ，，不符题意 综上所述，故 5. 已知向量是二次型的矩阵A的特征向量，求正交变换化该二次型为标 准型。
解:，又因为是A的特征向量， ∴设所对应的特征值为，有。
即，， 即 。 ，则。 计算A的特征多项式，则A的特征值为，，，其基础解系为。 因为已经正交，所以只需要把它们单位化。 令， 则P为正交矩阵，作正交变换，得 =。 6.
四、配方法(略,见例). 五、惯性定理和惯性指数
定理4：若二次型经过可逆线性变换化为标准形，则标准型中所
含平方项的个数等于二次型的秩。
定理5：一个二次型所化得的标准二次型虽然不是唯一的,但是它
们的平方项的系数中,正的个数和负的个数是确定的,把这两个数分别称
为原二次型的正惯性指数和负惯性指数，这个定理称为惯性定理
六、正定二次型和正定矩阵
定义1：如果当x1,x2,…,xn不全为0时,有f(x1,x2,…,xn)>0，称二次型 f(x1,x2,…,xn)称为正定二次型
如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为正定矩阵, 于是A为 正定矩阵也就是满足性质:当X0时,一定有X TAX>0，且A一定是是对称矩 阵。
称为二次型的标准型。
规范二次型 形如的二次型，即平方项的系数只
1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系
对二次型f(x1,x2,…,xn)引进新的变量y1,y2,…,yn,并且把x1,x2,…,xn表示 为它们的齐一次线性函数
代入f(x1,x2,…,xn)得到y1,y2,…,yn的二次型g(y1,y2,…,yn). 把上述过程称为 对二次型f(x1,x2,…,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵
矩阵的合同、相似、等价都有自反性，对称性，传递性。
矩阵与等价记作：
经过有限次初等变换化为，即A与B是同型矩阵 存在可逆矩阵P与Q，使得
A与B合同 ，记为A≌B
存在n阶可逆阵P使得，即A与B都是方阵
与的正、负惯性指数相等.
合同的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定合同
矩阵A与B相似，记作A∽B，
存在n阶可逆矩阵P 使P1APB，即A与B都是方阵 相似的矩阵一定等价，但等价的矩阵不一定相似。 相似的实对称矩阵一定合同，但合同的对称矩阵不一定相似。 因为实对称矩阵的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数， 相似的矩阵有相同的特征值，所以相似的实对称矩阵有相同的正,负惯 性指数，所以相似的实对称矩阵一定合同。 对任意实对称矩阵A都存在正交矩阵P，使，即任意实对称矩阵都 和对角阵即相似又合同。 若矩阵不是实对称矩阵，相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵也不 一定相似。
这里， 可求出其特征值为
解 ，得特征向量为： 解 ，得特征向量为： 由于已经正交，直接将，单位化，得： 令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy， 可化原二次型为标准形：= （III） 由=0，得（k为任意常数）. 从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数。 4. 设二次型 （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。
8.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为实矩阵，为B的转置矩阵， 试证：为正定矩阵的充分必要条件是。 证明：必要性，设为正定矩阵，对任意的实n维列向量，
，即只有0解，
充分性，，为实对称矩阵，，所以
只有0解，对任意，，又因为A为正对称矩阵，所以 ，，，， 所以为正定矩阵。 9.设A为实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵， 试证：当时，矩阵B为正定矩阵。 证明：，所以A为n阶实对称矩阵 对于任意的实n维向量x， ，当时，，， 当时，任意的，有， 所以B为正定矩阵。
顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r个(或称r阶)顺序主
子式即A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|Ar|. 判断正定性的常用方法: 顺序主子式法,特征值法,定义法. A不可逆 Ax=0有非零解 0是A的特征值 A的列（行）向量组线性相关
是阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）； （是满秩矩阵） 的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组只有零解； ，总有唯一解； 与等价； 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 的特征值全不为0； 是正定矩阵；
A和B有相同的特征值，A能对角化，B不能对角化，所以A和B不相似。
A和B有相同的特征值，都不能相似对角化，但是A和B相似。
1.设，B=，判断A与B是否等价、相似、合同。
2.
1111
4000
A= 1 1 1 1 , B= 0 0 0 0 ,
1111
0000
1111
0000
判断A与B是否等价、相似、合同。
第六章 二次型
一、基本概念
n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为
1,x2,…,xn)=
a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1xn+
a22x22+2a23x1x3+
…+2a1nx1xn+ …+annxn2 =.
它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A
记，则f(x1,x2,…,xn)= X TAX 称对称阵A为二次型的矩阵, 称对称阵A的秩为二次型的秩.
定理2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要
条件为它们的矩阵合同.
三、正交变换化二次型为标准型 定理3：对实二次型，其中，总有正交变换，使 其中 ，为f的矩阵A的特征值。 因为Q是正交矩阵，则，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而 且相似。 将二次型用正交变换化为标准形的一般步骤为： （1）写出二次型的矩阵A （2）求出A的全部相异特征值，对每一个特征值求出其线性无关的 特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面两两正交 的单位向量作为列向量，排成一个n阶方阵Q，则Q为正交阵且为对角 阵。（3）作正交变换，即可将二次型化为只含平方项的标准型
c11 c12 … c1n
C= c21 c22 … c2n ………
cn1 cn2 … cnn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都 是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:
记，则，从而。
由知，两个n阶对称矩阵A与B合同且r(A)=r(B)
定理1：二次型经可逆线性变换后，变成新的二次型，它的矩阵且
解：由已知可得，对于任意的，有，其中等号仅当以下等式同时为0时 成立， 此方程组仅有0解的充要条件是其系数行列式不为0，
7.已知A是n阶可逆矩阵，证明是对称、正定矩阵。 证明：，所以是对称矩阵。 若正定，则=，所以与合同 合同矩阵有相同的正负惯性指数，所以是正定矩阵。
（2）因为A是可逆矩阵，所以，，当时，只有0解。 所以， 所以正定。
β可由α1，α2,…，αn惟一线性表示
β=x1a1+x2α2+…+xnαn Ax=β有惟一解x=(x1,x2,…,xn)T, A=(α1, α2,…, αn) r(A)=r(Aβ)=n |A|≠0 Ax=0只有零解
λ=0不是A的特征值
AB=0A(b1,b2,…, bs)=0, B=( b1, b2,…, bs)
解：的特征值为. 若是正定的, 则 4.设A是3阶实对称矩阵，满足，并且r(A)=2.
(1) 求A的特征值.（2）当实数k满足什么条件时正定? 解：
因为所以特征值为0，-2，-2
(2) 的特征值为1,1-2k, 5.
已知上述二次型正定，则a的取值为 解：当不全为0时，二次型正定。 ，， 若同时全为0，即齐次线性方程组只有0解，此时 即时，三个平方项不全为0，二次型正定。 6.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）
解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
因为它们已经两两正交，所以只需要单位化。
3.已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2. (1)求a.(2)求作正交变换X=QY,把f(x1,x2,x3)化为标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
解：本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组 求解等多个知识点，特别是第三部分比较新颖。 二次型的矩阵A为：， 得a=0
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的. 即实对称矩
阵的正定性在合同变换时保持不变. (2)性质与判断
实对称矩阵A正定合同于单位矩阵. 即存在可逆矩阵使，或者存在可逆矩阵， 使得
对任意可逆矩阵C，正定（即合同的矩阵，有相同的正定性）。 A的正惯性指数等于其阶数n. A的特征值都是正数. A的顺序主子式全大于0.
注意:一个二次型的矩阵A必须是对称矩阵且满足，此时二次型的矩
阵是唯一的，即二次型和它的矩阵A（A为对称阵）是一一对应的，因
此，也把二次型称为对称阵A的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x1,x2,…,xn的变化 范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.
标准二次型 只含平方项的二次型，即形如
一个二次型所化得的规范二次型在形式上是唯一的,称为其规范形， 其中的自然数p,q就是原二次型的正,负惯性指数。
性质1：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条 件为它们的正,负惯性指数都相等.(即两个实对称矩阵合同的充分必要条 件为它们的正,负惯性指数都相等.)
性质2：由正交变换法看出, 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的 正(负)特征值的个数.
[r(C)=r(AB)≤r(A)或r(B)] C的行向量组可由B的行向量组线性表示。
例题
一Leabharlann Baidu概念型题
1.写出二次型的矩阵 2题答案： 2.二次型的矩阵是______。 3.矩阵对应的二次型是______。
答案：. 4.已知二次型经正交变换x=Py可化成标准型，则a =
解： 5.已知二次型的秩为2，
（2，1，2）T是A的特征向量，那么经正交变换后二次型的标准型是 解：二次型对应的矩阵A为：
相似的矩阵一定有相等的特征值，但是特征值相等的矩阵不 一定等价。
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
解：
，
因为3个向量已经正交，只需要将其单位化
三、关于正定的判断
1.判断3元二次型的正定性 解：，用顺序主子式判断大于0，所以是正定的。
2.当____时, 实二次型是正定的. 解： , , 所以 且, 所以, 当 时, 二次型是正定的. 3.设n阶实对称矩阵A特征值分别为1, 2, …, n, 则当t ___时, 是正定的.