近世代数习题与答案

近世代数习题与答案 Prepared on 22 November 2020

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)

(从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（ ）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝

2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（ ）。

(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H

3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。

(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）

4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 2

5、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环 二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分） （请将正确答案填入空格内）

1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ） （a ）。

2、F 是域，则[](())

F x f x 是域当且仅当 。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:

A ～

B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分） （请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）

1、设G 是群，∅≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G ..

（ ）

2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( )

3、商环6Z Z 是一个域。 （ ）

4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -， 则H G 。 （ ）

5、任意群都同构于一个变换群。 （ ） 四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分） （要求写出主要计算步骤及结果）

1、找出6Z 的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想K ,写出

6Z K 的全部元。

2、确定3次对称群S 3的所有子群及所有正规子群。

五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）

1、 设f 是群G 到群-G 的满同态，N 是G 的正规子群，证明：

G Kerf N G N f =⋅⇔=-)(。

2、设N G, [G:N]=2008, 证明：对G x ∈∀, 恒有2008x N ∈。

3、设R 为交换环，若R 的理想P ≠R ,则R ／P 是整环当且仅当P 是素理想。

4、设R [x ]是实数域R 上的一元多项式环，取21[]x R x +∈，证明：2[]

(1)R x C x ≅+，

C

为复数域。

《近世代数》测试题（一）

一、 选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分)

(从下列备选答案中选择正确答案)

1、设G ＝Z ，对G 规定运算o ，下列规定中只有（ ）构成群。

(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2 a+3 b （“”为数的乘法）

2、设H ≤G ，a ，b ∈G ，则Ha = Hb 的充要条件是（ ）.

(A) ab ∈H (B) ab －1∈H (C) a －1b ∈H

3、在整数环Z 中，包含（15）的极大理想是（ ）。

(A) （3） (B) （5） (C) （3）或（5）

4、若Q 是有理数域,则

是( )

(A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下面不成立．．．

的命题是（ ）

(A) 域是整环 (B) 除环是域 (C) 整数环是整环

二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）

（请将正确答案填入空格内）

1、环Z (i )={a +bi |a,b ∈Z }的单位是________________。

2、若a 是群G 中的一个8阶元,则a 6的阶为________ 。

3、设M 100 (F )是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F )中规定等价关系～下：

A ～

B ⇔秩(A )=秩(B )，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。 4、6次对称群S 6中,(1245)-1(46)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的零因子是 。

三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）

（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”）

1、若H N ，H G ,那么NH G 。 （ ）

2、设I 是一主理想环，则I 是一欧氏环。 （ ）

3、商环(9)Z 是一个域。 （ ）

4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，H G ，则 f (H )

-

G 。 （ ） 5、素数阶的群G 一定是循环群。 （ ）

四、计算题（本题共2小题,每小题10分，共20分）（要求写出主要计算步骤及结

果）

1、在10次对称群S 10中，σ=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1968752431010987654321.

将σ表成一些不相交轮换之积，并求1σ-及()σ。

2、在整数环Z 中，试求出所有包含30的极大理想。

五、证明题（本题共4小题,每小题10分，共40分）

1、设f 是环R 到环R '的满同态，A 为R 的理想，证明：R Kerf A R A f =+⇔'=)(。

2、设N G, [G:N]=2009, 证明：对G x ∈∀, 恒有2009x N ∈。

3、设R 为交换环，则R 的每个极大理想都是素理想。