大学物理实验教程课件

直接测量：从仪器直接读出测量结果。如用温度 计测温度。 间接测量：由直接测量值按一定的物理公式计算 得到。如测密度： 4m 2
二.误差定义和表示
d
1.误差定义 测量值和真值的差值就叫做测量误差。 2、误差表示 绝对误差=测量值-真值
相对误差=
绝对误差 真值
×100%
这里需要指出：
①一个量的真值是客观存在的，但它只是一个理 想的概念。
ux：一般取一位（特殊情况可以取2位）有效数字 Ex：取一位或两位有效数字。
x ：最后一位与不确定度的最后一位对齐
例．用螺旋测微计测一铁球的直径d，数据记录 于下表，请报道测量结果。 螺旋测微计（No.5310，允差：0.004mm），零点读 数为-0.004mm，表格内数据单位：mm。/d=13.217mm.
粗略判断其误差不小于0.1o。若要改用弧度为 单位，则先换算其误差约为：

180
故
0.1 0.002rad


180
93.5 1.632rad
3.测量结果的科学表示方法
测量结果的表示，一般应采用科学表示法，即用有 效数字乘以10的幂指数的形式来表示。一般小数点前 只取一位数字，幂指数不是有效数字。
（4）计算不确定度
u A Sd

( xi x )2
n( n 1)
(0.004) 2 ( 0.005) 2 (0.002) 2 8 (8 1) 0.0015 mm
uB
仪

0.004
3 3 0.0023( mm )
2 uA 2 uB 2
uc
y 2 2 y 2 2 y 2 2 uc ( ) u1 ( ) u2 ( ) un x1 x2 xn
当间接测量的函数式为积商（或含和差的积商） 形式时，为使运算简便起见，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uc ln y 2 2 ln y 2 2 ln y 2 2 ( ) u1 ( ) u2 ( ) un y x1 x2 xn
常用函数的不确定度传递公式
函数的表达式
不确定度的传递公式
uc u2 u2 x x
1 2
y x1 x2
y x1 x2
或 y x1 x2
k m x1 x2 n x3
uc y
u x1 2 ux2 2 ( ) ( ) x1 x2
y
uc 2 u x1 2 2 ux2 2 2 ux3 2 k ( ) m ( ) n ( ) y x1 x2 x3
uy u x3 2 u x1 2 u x2 2 2 2 k ( ) m ( ) n ( ) y x1 x2 x3
2
三．测量结果报道 为了既能反映测量结果又能反映测量结果的 可靠程度，对物理量x测量的最终结果应按如 下形式表达：
x x U x （单位）（P=0.683）
Ux Ex 100% x
②测量结果都有误差，误差自始至终存在于一切 测量过程之中，这就是误差公理。
三、测量误差分类
1.系统误差 在相同条件下（即测量仪器、环境等条件 和人员都相同）多次测量同一被测量，其误 差的大小和符号保持不变或按某个确定规律 变化，这类误差称为系统误差。
系统误差的特点：确定性和可修正性。 就对它的确定性的掌握程度，系统误差又 可分为已定系统误差和未定系统误差。
图1-1-1 正态分布
2
δ =x-X随机误差，X-总体平均值（真值）, x-测 量值，σ -标准误差. 是决定x的离散程度的参数， 它的数学计算式是： n
1 lim ( xi X )2 n n i 1

（2）标准误差σ 的意义 ① σ 反映了测量的离散性 σ 越小，离散度就越小，测量精密度越高。 ② σ 具有明确的概率意义
例如：1.5kg可写成1.5×103g，不能写成1500g。 （5234±1）km应写成（5.234±0.001）×106m。 （0.000456±0.000003）s应写成（4.56±0.03） ×10-4s。
二.有效数字的运算规则
1.加、减法运算：以参与运算各量中有效数字最 后一位位数最高的为准，并与之取齐。 例：3.86-1.801+5.7=7.8，结果是两位有效数字 。因为小数点后的第一位已经有误差（可疑）了 ，保留小数点后两位数字无意义。有效数字只取 一位可疑数字。 2.乘、除法运算 以参加运算各量中有效数字最少的为准，结 果原则上与有效数字最少的相同，但当结果第 一位数是1、2、3时，可多取一位。
第一章 误差、数据处理基本知识
§1 测量与误差 §1
§2 测量不确定度和测量结果报 道 §2
§3 有效数字及其运算
§4 常用数据处理方法
§3
§4
§1 测量与误差
一、测量及其分类
1.测量
测量就是将预定的标准与未知量进行定量比 较的过程和结果。 测量值单位：一般用SI制。 2、测量分类
按测量形式分：直接测量和间接测量。
A）十进制单位的变换，有效数字位数保持不变。
V 2.50cm 0.00000250 m 6 3 6 3 2.50 10 m 2.5 10 m
3 3
l 13.00cm 130.0mm 5 1.300 10 m 130000 m
B）非十进制单位变换：保持误差所在位在单位 变换后还是有效数字的末位。 例如： 93.5o 用弧度表示。
13.2 15
13.2 19 0.00 2
13.21 13.2 1 17 0.00 6 0.00 0
解：（1）修正螺旋测微计的零点误差：
di=Di-（-0.004）mm，填入上表：
（2）计算平均值：
13.221 13.212 13.219 d 8 13.217mm
（3）计算测量值的偏差，填入上表。
p() ()d 0.6827


在置信区间[-2σ ，+2σ ] 和[-3σ ，+3σ ]内 的置信概率分别为95.4%和99.7%。 所以把Δ =3σ称为极限误差。
X
x
（3）随机误差的估算 ① 有限次测量的标准偏差 算术平均值为： 1
x
n i 1
xi
n
在有限次次测量时，用算术平均值表示测量结果。 而标准误差则由标准偏差Sx作为最佳估算值。 n 单次测量： 2
0.0015 0.0023 0.0027( mm )
2
d=（13.217±0.003）mm （P=0.683）
Ed=0.003/13.217=0.022%
是否有错？
d，Ed。
§3 有效数字及其运算
一．有效数字的概念 1．有效数字定义及其意义
先看一个例子：用米尺（最小刻度是1mm）测量 钢棒的长度:4.26cm，4.27cm，或4.28cm？ “4.2” -确切数字 6、7、8（第三位数） ——可疑数字
一．测量不确定度的概念 （1）定义 设某被测量X的测量结果为，误差限为u，则
xX u x u X x u
u越大，表示真值可能出现的范围越大，真值
不确定程度也越大。 u：测量不确定度，表示由于测量误差的存在 而对被测量值的真值不能确定的程度。
（2）不确定度的分类 A类分量uA：可以用统计方法计算的误差。 B类分量uB：用非统计其他方法估算的误差（如仪 器误差）. 应当注意，不确定度和误差是两个不同的概 念。误差是指测量值与真值之差。不确定度是 表示误差可能存在的范围。 二.测量不确定度的评定 对测量不确定度的评定，常以估计标准偏差去 表示大小，称其为标准不确定度。 1.A类标准不确定度的评定
随机误差:在相同条件下多次测量同一被测 量时，误差时大时小、时正时负，五无 规则地涨落，但对大量测量数据而言， 其误差遵循统计规律。 产生原因:随机因素。如观察者视觉、听觉 的分辨能力及外界环境因素的扰动等。
随机误差的特点:不确定性和统计性.
（1）随机误差的正态分布 德国数学家高斯于1895年 求出正态分布的数学表达式 （正态分布概率密度函数）为: 1 2 ( ) 1 ( ) e 2
2
对于受多个（如k个）误差来源影响的直接测量，如果 不确定度的各个分量彼此独立，则测量结果的合成不确定 度uC，用广义方和根法计算评定：
UC

i 1 i 1 n
k
2 uci k n
u2 Ai

i 1
2 u Bi
4.标准不确定度的传递合成公式 对于间接测量量y=f（x1、x2、…、xn），设直 接测量量x1、x2、…、xn互相独立， 且相应的标准不确定度分别为u1、u2、，…un。
大学物理实验
(陈国杰）
• 教材： 《大学物理实验教程》 （湖北科技出版社） • 学习网站： 实验http://202.192.168.54/dxwlsy 理论http://202.192.168.54/dxwl网址
《大学物理实验》是全国各高校开设的一门公共基础课，不管是 清华，还是北大，不管是中大，还是华工。当然我们学校 也不例外。 在做实验之前，我们先要学习一些必要的基础知识。 今天，我们学习三个方面的内容。
2、测量结果有效数字位数的确定
（1）不确定度位数 一般只取一位，若首位是1时可取两位。不确定 度的尾数只进不舍。相对不确定度为百分之几， 一般只取一、两位。 （2）测量结果（平均值）位数 由不确定度决定测量结果的有效位数，即测 量结果有效数字最后一位应与不确定度所在位 末位对齐。 例如：U=（6.040±0.005）（V）. g=（981.2±1.8）cm·-2. s
未定系统误差：误差的大小、方向和变化 规律未能确定或无法确定，但一般情况下可以 估计出它的最大变化范围. 仪器铭牌上标出的仪器允差就属于未定系 统误差。给出仪器允许的最大误差或准确度等 级。 如果量具和仪器没有标出允差或准确度等 级，我们可以取其最小分度值或其1/2作为该 仪器的仪器误差。
2．随机误差
Sx uA S x n

i 1
n
( xi x )2
n( n 1)
2．B类标准不确定度的评定
uB 仪 仪
3
仪转换为标准误差
其中系数 3是把仪器误差Δ σ 仪时的变换系数。
三.合成标准不确定度uC
uC
2 u2 uB A
仪 2 (Sx ) ( ) 3
L=4.2 ？cm
有效数字:测量结果的第一位非零数字起到最末1 位可疑数字（误差所在位）止的全部数字。 有效数字的意义：其位数反映所使用仪器的测量 精度和测量结果的准确度。 如：某物体长度的两个测量结果分别为： 1.3500（cm）—5位有效数字，可靠数字：1.350 ，可疑数字：0；可能是螺旋测微计测的，精 度高。 1.35（cm）—3位有效数字，可靠数字：1.3，可 疑数字：5；可能是米尺测的，精度低。 注意：小数点后的“0”代表有效数字，不可随意 取舍。
sx
i 1
( xi x ) n 1
Sx具有与σ 相同的概率含义，即测量列中任一次测量值 的偏差落在区间±Sx内的概率为68.3%。
n次测量的标准偏差： S
x

Sx n

i 1
2 ( xi x )
n
n(n 1)
实际测量一般取n=6～10即可 。
§2 测量不确定度和测量结果的报道
（3）有效数字尾数舍入规则 “小于5则舍，大于5则入，等于5凑偶”。
例3-1：将下列数值取四位有效数字。 3.14159→3.142（入）
2.71729→2.717（舍） 4.510500→4.510。（凑偶） 4.511500→4.512。（凑偶）
（4）同一个测量值，其精度不应随单位变换而 改变。
• 例：函数
y
k m x1 x 2 n x3
的不确定度传递公式。
解：先对函数式取对数，得
ln y k ln x1 m ln x2 n ln x3
对各自变量求偏导数得：
y k , x1 x1
y m , x2 x2
y n x3 x3
代入不确定度传递公式，得：
n 1 2 3 4 5 6 7 8
直径 13.21 13.2 Di 7 08
修正 13.22 13.2 12 值di 1 偏差 0.004 0.00 5
13.2 18
13.2 22 0.00 50
13.2 09
13.2 13 0.00 4
13.2 15
13.2 19 0.00 20
13.2 07
13.2 13