2021届新高考数学二轮 培优点7 三角函数中的范围、最值问题(原卷版)
2023年新高考数学大一轮复习专题15 三角形中的范围与最值问题(原卷版)
专题15 三角形中的范围与最值问题【方法技巧与总结】1.在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点。
解决这类问题，通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值；(2)利用三角函数求范围或最值；(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值；(4)根据三角形解的个数求范围或最值；(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大.2.解三角形中的范围与最值问题常见题型：(1)求角的最值；(2)求边和周长的最值及范围；(3)求面积的最值和范围.【题型归纳目录】题型一：周长问题题型二：面积问题题型三：长度问题题型四：转化为角范围问题题型五：倍角问题题型六：角平分线问题题型七：中线问题题型八：四心问题题型九：坐标法题型十：隐圆问题题型十一：两边夹问题题型十二：与正切有关的最值问题题型十三：最大角问题题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题题型十五：托勒密定理及旋转相似题型十六：三角形中的平方问题题型十七：等面积法、张角定理【典例例题】 题型一：周长问题例1．（2022·云南·昆明市第三中学高一期中）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设sin cos()6a C c A π=-．(1)求A ；(2)从三个条件：①ABCb =a =ABC 周长的取值范围．例2．（2022·重庆·高一阶段练习）已知向量(3sin ,cos )a x x =，(1,1)b =，函数()f x a b =⋅． (1)求函数()f x 在[]0,π上的值域；(2)若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2f A =，1a =，求ABC 的周长的取值范围．例3．（2022·浙江·高三专题练习）锐角ABC 的内切圆的圆心为O ，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .()222tan b c a A =+-，且ABC 的外接圆半径为1，则BOC 周长的取值范围为___________.例4．（2022·浙江省新昌中学模拟预测）已知函数21()cos sin 2f x x x x ωωω=-+，其中0>ω，若实数12,x x 满足()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π． (1)求ω的值及()f x 的对称中心；(2)在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()1,f A a =-=ABC 周长的取值范围．题型二：面积问题例5．（2022·贵州黔东南·高一期中）在面积为S 的△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()22sin sin 2sin sin sin C A S a b A B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭. (1)求C 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，记2Sm a =，求m 的取值范围.例6．（2022·浙江·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,cos 2a b c A A =． (1)求角A ；(2)若点D 满足34AD AC =，且2BC =，求BCD △面积的取值范围．例7．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）在ABC 中，D 的边BC 的中点，32,2cos cos2()2AD C A B =-+=． (1)求角C ；(2)求ABC 面积的取值范围．例8．（2022·江苏省天一中学高一期中）在ABC 中，角A ､B ､C 所对应的边分别为a ､b ､c ，若2cos 24a cb C ==-，.ABC 是锐角三角形，则ABC 面积的取值范围是___________.题型三：长度问题例9．（2022·辽宁·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin sin 3sin c a b C A B a B +--+=．(1)求角C 的大小；(2)设1m ，若ABC 的外接圆半径为4，且2a mb +有最大值，求m 的取值范围．例10．（2022·河南·模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．22cos 22C C =，4c =，a b +=．(1)求ABCS ；(2)求11a b-的取值范围．例11．（2022·江苏·高三专题练习）已知ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2A+C =B ，ABC的面积S . (1)求边c ；(2)若ABC 为锐角三角形，求a 的取值范围.例12．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知()()cos ,cos ,3sin ,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a =22b c +的取值范围.例13．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；②π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例14．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．例15．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）在①()()222sin 2sin Bc a C b c a b-=+-，②23cos cos cos 24A C A C --=tan tan A B =+这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，问题：在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =_______． (1)求角B ﹔ (2)求2a c -的范围．例16．（2022·浙江·模拟预测）在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin b A C B =，则ac 的最小值为________．例17．（2022·安徽黄山·二模（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是_____．例18．（2022·浙江·高三专题练习）已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，角B 是钝角，则2()a c ab -的取值范围是________.例19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin c b A =，则2()a b ab+的取值范围是（ ）A ．[3,5]B ．[4,6]C ．[4,2D ．[4,2题型四：转化为角范围问题例20．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.例21．（2022·广东茂名·模拟预测）已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()cos cos a b c B A -=-．(1)判断ABC 的形状并给出证明； (2)若a b ，求sin sin sin A B C ++的取值范围．例22．（2022·浙江温州·三模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知1,a b ==. (1)若π4B ∠=，求角A 的大小； (2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.例23．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知函数()223sin 4sin cos cos f x x x x x =+-．(1)求函数()f x 的最大值；(2)已知在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足224B c af a π++⎛⎫=⎪⎝⎭，求sin sin sin A B C ⋅⋅的取值范围．例24．（2022·山西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(cos )c a b C =-. (1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，求22sin sin A C +的取值范围.例25．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边是,,a b c ，且1,cos cos 1a b A B =-=，若,A B 变化时，2sin 2sin B A λ-存在最大值，则正数λ的取值范围是______例26．（2022·江西·南昌十中模拟预测（理））锐角ABC 中，π3A =，角A 的角平分线交BC 于点M ，2AM = ,,则BM CM ⋅ 的取值范围为_________.例27．（2022·辽宁·高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan a b A =，且B 为钝角，则B A -=______，sin sin A C +的取值范围是______．例28．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．例29．（2021·浙江·舟山中学高三阶段练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，2AC CB ==P 是ABC 内一动点，120BPC ∠=︒，则ABC 的外接圆半径r =______，AP 的最小值为____________．例30．（2022·湖北·武汉二中模拟预测）在锐角ABC 中，22a b bc -=，则角B 的范围是________，556sin tan tan A B A-+的取值范围为__________.例31．（2022·新疆喀什·一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2A B =，且A 为锐角，则1cos c b A+的最小值为（ ）A．1 B ．3 C ．2 D ．4例32．（2021·北京·高三专题练习）在锐角ABC 中2A B =，B ，C 的对边长分别是b ，c ，则bb c+的取值范围是（ ） A ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭例33．（2022•石家庄模拟）如图，平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，2BC =，AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为 ．题型五： 倍角问题例34．（2021·安徽·芜湖一中高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2C B =，则c b的取值范围为______.例35．（2021·全国·高三专题练习（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为______.例36．（2020·全国·高二单元测试）已知ABC ∆是锐角三角形，,,a b c 分别是,,A B C 的对边.若2A B =，则ab ba+的取值范围是_________.例37．（2020·陕西·无高一阶段练习）已知ABC ∆是锐角三角形，若2A B =，则ab的取值范围是_____.例38．（2019·四川·成都外国语学校高二开学考试（文））已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围为______例39．（2021·江西鹰潭·一模（理））已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2A B =，则22ac b ab+的取值范围为__________．例40．（2022•芜湖模拟）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则2()b ac b+最小值是 ．例41．（2022•道里区校级一模）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2A B =，则82c bb a+的取值范围为 ．题型六： 角平分线问题例42．（2022·河北保定·高一阶段练习）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=.(1)求A 的大小；(2)若BC A 的角平分线交BC 于点D ，求AD 的最小值.例43．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .且满足（a +2b ）cos C +c cos A =0. (1)求角C 的大小；(2)设AB 边上的角平分线CD 长为2，求△ABC 的面积的最小值.题型七： 中线问题例44．（2022·江苏省天一中学高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足22222sin 2sin sin 2sin sin cos cos2A B C B C C C ---=-.(1)求角A ；(2)若AD 是ABC 的中线，且2AD =，求b c +的最大值.例45．（2022·山西运城·高一阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,cos sin a b c B a B =+.(1)若8,a ABC =的面积为D 为边BC 的中点，求中线AD 的长度； (2)若E 为边BC 上一点，且1,:2:AE BE EC c b ==，求2b c +的最小值.例46．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan .cos aB C c B=+ (1)求角C 的大小；(2)若边2c =，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．例47．（2022·山东滨州·二模）锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2sin cos C a A B =．(1)求A ；(2)若2b =，D 为AB 的中点，求CD 的取值范围．例48．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））在①3(cos )sin b c A C-，②1tan (1)2tan a Cb B =+，③πsin cos()6c B b C =-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________． (1)求C ；(2)若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值．例49．（2022·山东师范大学附中模拟预测）在①2sin cos sin b C B c B =+，②cos cos 2B bC a c=-两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且________. (1)求角B ；(2)若a c +=D 是AC 的中点，求线段BD 的取值范围.例50．（多选题）（2022·甘肃定西·高一阶段练习）ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有：（ ） A ．3AB AC ⋅= B ．2210b c +=C ．3cos 15A ≤<D ．∠BAD 的最大值为60°题型八： 四心问题例51．（2022·山东泰安·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点O 是ABC 的外心，cos 3||||AO AB AO AC a C AB AC π⋅⋅⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的周长为，求ABC 周长的取值范围，例52．（2021·河南南阳·高三期末（理））在 ABC sin sin cos sin B CC C A++=.(1)求A ；(2)若 ABC 的内切圆半径2r =，求+AB AC 的最小值.例53．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知O 是三角形ABC 的外心，若2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=，且2sin sin B C +=m 的最大值为（ ） A ．34B ．35C ．23D ．12例54．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是三角形ABC 的外心，若()22AC ABAB AO AC AO m AO AB AC⋅+⋅=，且sin sin B C +=，则实数m 的最大值为（ ） A ．3 B ．35C ．75D ．32例55．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a （B 4π+），c =5且O 为△ABC 的外心，G 为△ABC 的重心，则OG 的最小值为（ ）A 1BC 1D例56．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的周长为9，若cos 2sin 22A B C-=，则ABC 的内切圆半径的最大值为（ ）A ．12 B ．1 C ．2 D例57．（2022·全国·高三专题练习）在钝角ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．45⎡⎢⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．4,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭例58．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC 中，7cos 25A =，ABC 的内切圆的面积为16π，则边BC 长度的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．25D ．36题型九： 坐标法例59．（2022·全国·模拟预测（文））在Rt ABC △中，2BAC π∠=，2AB AC ==，点M 在ABC 内部，3cos 5AMC ∠=-，则22MB MA -的最小值为______．例60．（2022•南通一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为 ．例61．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为 ．例62．（2022•江苏模拟）已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是 ．例63．（2022秋•新华区校级期末）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y=-++++++-的最小值为()A．2B．3C．23-D．23+例64．（2022•唐山二模）在等边ABC∆中，M为ABC∆内一动点，120BMC∠=︒，则MAMC的最小值是()A．1B．34C．32D．33例65．（2022春•仁寿县校级期末）锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是( ) A ．1(2，6)3B ．1(2，1)C ．4[5，6)3D ．4[5，1)例66．（2022春•博望区校级月考）在等腰ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中B 为钝角，3sin cos2b a A b A -=．点D 与点B 在直线AC 的两侧，且33CD AD ==，则BCD ∆的面积的最大值为( ) A ．334B ．43C ．534D ．3例67．（2022•淮安模拟）拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑⋅波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在ABC ∆中，120A ∠=︒，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O ，若△123O O O 的面积为3，则ABC ∆的周长的取值范围为 ．题型十： 隐圆问题例68．（2022•盐城二模）若点G 为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，则sin C 的最大值为 ．例69．（2022•江苏三模）在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，2AB =，1AD =，若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅，则12CB CD +的最小值为 ．例70．（2022•涪城区校级开学）若ABC ∆满足条件4AB =，2AC BC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．例71．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，42AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是 ．例72．（2022•合肥模拟）锐角ABC ∆中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 所对的边，点G 为ABC ∆的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围为( ) A ．3[2，5]3B ．4[5，6)3C ．6[5，)+∞D ．5[6，5]3例73．（2022•江汉区校级模拟）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( )A ．2233B ．52316C ．354D ．33516例74．（2022•上城区校级模拟）设a ，b 为单位向量，向量c 满足|2|||c a a b +=，则||c b -的最大值为() A ．2 B ．1 C ．3 D ．2例75．（2022春•瑶海区月考）在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为( ) A ．27 B ．16 C ．10 D ．25例76．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，(22C ，)a ，(22D ，2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,2)-∞- B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞ C ．(2,)-+∞ D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞题型十一：两边夹问题例77．（2022•合肥一模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，1cos()cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例78．（2022•静安区二模）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 依次成等比数列，且1cos()cos 2A CB --=，延长边BC 到D ，若4BD =，则ACD ∆面积的最大值为 ．例79．（2022•常德一模）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2c ab =，且3cos()cos 2A B C -+=． （Ⅰ）求角C ；（Ⅰ）延长BC 至D ，使得4BD =，求ACD ∆面积的最大值．例80．在ABC ∆中，若cos cos 2sin sin A B B A +=，且ABC ∆的周长为12． （1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）求ABC ∆面积的最大值．题型十二：与正切有关的最值问题例81．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B C b a B +=．求： (1)A ；(2)a c b-的取值范围．例82．（2022·全国·模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若220c bc a +-=，则()2114sin cos tan tan C C C A ++-的取值范围为（ ）A ．()B ．()8,9C ．4,9⎫⎪⎪⎝⎭D ．()4,9 例83．（2022·山西吕梁·二模（文））锐角ABC 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ，则ac b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．⎝D ．⎝例84．（2022·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.例85．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a c bc -=，则113sin tan tan A C A-+的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．C ．D ． 例86．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则bc 的取值范围为（ ） A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭题型十三：最大角问题例87．（2022春•海淀区校级期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大”．如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点(1,2)M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是( )A．7-B．1或7-C．2或7-D．1例88．（2022秋•青羊区校级期中）（理科）E、F是椭圆22142x y+=的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，EPF∠的最大值是()A．60︒B．30︒C．90︒D．45︒例89．（2022春•辽宁期末）设ABC∆的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3 cos cos5a Bb A c-=，则tan()A B-的最大值为()A．35B．13C．38D．34例90．（2022•滨州二模）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面()c c b<米的C处看此树，离此树的水平距离为米时看A，B的视角最大．例91．如图，足球门框的长AB 为2(1 3.66)dw dw m =，设足球为一点P ，足球与A ，B 连线所成的角为(090)αα︒<<︒．（1）若队员射门训练时，射门角度30α=︒，求足球所在弧线的方程；（2）已知点D 到直线AB 的距离为3dw ，到直线AB 的垂直平分线的距离为2dw ，若教练员要求队员，当足球运至距离点D 为2dw 处的一点时射门，问射门角度α最大可为多少？题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 例92．（2022秋•安徽月考）17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在ABC ∆中，若三个内角均小于120︒，当点P 满足120APB APC BPC ∠=∠=∠=︒时，则点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上性质，已知a 为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的单位向量，则||||||a b a b a c -+++-的最小值是( )A ．23-B ．23+C ．31-D ．31+例93．（2022•深圳模拟）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔⋅德费马(16011665)-于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC ∆的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC ∆的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为 ．例94．（2022秋•全国月考）费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，费马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为120︒．已知ABC ∆的三个内角均小于120︒，P 为ABC ∆的费马点，且3PA PB PC ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ．例95．（2022春•湖北期末）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于半径为6的圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若30ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．例96．（2022春•润州区校级期中）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑⋅波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”已知ABC ∆内接于单位圆，以BC ，AC ，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A '，B '，C '．若90ACB ∠=︒，则△A B C '''的面积最大值为 ．题型十五：托勒密定理及旋转相似例97．（2022春•五华区月考）数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2cos212sin αα=-”所用的几何图形．已知点B ，C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且AE AB =，点F 为EC 的中点．设2AC r =，DAC α∠=，那么下列结论：①2cos DC r α=，②2cos2AB r α=，③(1cos2)FC r α=-，④2(2)DC r r AB =-其中正确的是( )A．②③B．②④C．①③④D．②③④例98．（2022春•扬州期中）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，42BD=，且ACD∆为正三角形，则四边形ABCD的面积为()A．8B．16C．83D．163例99．（2021秋•宝山区校级月考）凸四边形就是没有角度数大于180︒的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB=，31BC=，AC CD∠变化时，对角线BD的最大值为()⊥，AC CD=，当ABCA ．3B ．4C ．61+D ．723+例100．（2022•冀州市校级模拟）在ABC ∆中，2BC =，1AC =，以AB 为边作等腰直角三角形(ABD B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4例101．（2022•日照一模）如图所示，在平面四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，ACD ∆为正三角形，则BCD∆面积的最大值为( )A．232+B．312+C．322+D．31+题型十六：三角形中的平方问题例102．（2021秋•河南期末）在ABC∆中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，23Bπ=，23b=，2223b c a bc+-=．若BAC∠的平分线与BC交于点E，则(AE=) A．6B．7C．22D．3例103．（2022•洛阳二模）已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A ．55B ．255C ．355D ．53例104．（2022春•张家界期末）秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42a b c S a b +-=-，其中a ，b ，c 是ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边，若sin 2sin cos B A C =且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为( )A ．55 B ．235 C ．1 D ．255例105．（2022•晋城一模）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()S A C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为( ) A ．2B ．2C ．1D ．22例106．（2022•秦淮区模拟）在锐角三角形ABC 中，已知2224sin sin 4sin A B C +=，则111tan tan tan A B C ++的最小值为 ．例107．（2022•浙江三模）在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若已知224sin()6b c bc A π+=+，则tan tan tan A B C ++的最小值是 ．例108．（2022春•鼓楼区校级期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2233cos 0a b ab C -+=，则cos cos ()A B c a b +的最小值为 ．例109．（2022·全国·高三专题练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22224121741213b bc c b bc c -+-+的取值范围为（ ）． A ．973,537⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2819,1815⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．732,37⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．281,2181⎛⎤ ⎥⎝⎦例110．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的取值范围是___________.题型十七：等面积法、张角定理例111．（2022秋•厦门校级期中）给定平面上四点A ，B ，C ，D ，满足2AB =，4AC =，6AD =，4AB AC =，则DBC ∆面积的最大值为 ．例112．（2022春•奎屯市校级期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为( )A ．8B ．9C ．10D ．7例113．（2022•云南一模）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，2BD =，则ABC ∆的面积的最小值为( ) A ．33B ．43C ．53D ．63例114．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则23a c +的最小值为( )A ．25B ．526+C ．5D ．342+。
解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】
专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
专题03 解三角形之最值、范围问题(解析版)-2021年新高考数学二轮复习提升微专题
解三角形之最值、范围问题一、单选题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =c sin B ，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．54C ．43D ．32【答案】C2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且,,A B C 成等差数列，2b =，则a c +的取值范围是（ ）A ．(]2,3B ．(]2,4C ．(]0,4 D ．(2,【答案】B3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（ ） A ．(123，） B ．(112，）C ．[45D ．[45，1) 【答案】C4．在ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()3cos sin sin 1cos A B A B -=+，6a c +=，则ABC 的面积的最大值为（ ）A ．BCD ．【答案】D5．已知ABC 三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos sin 0A a C +=，若角A 的平分线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为( )A ．2B ．C ．4D ．【答案】C6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，且()()()3sin sin sin c B C a A c -+=-⋅，则ABC 周长的最大值为（ ）A ．8B ．9C ．12D ．15【答案】B二、解答题7．已知函数()2cos 3cos 1f x x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c .若()1,f C c ==D 为AB 的中点，求CD 的最大值. 【答案】（1）递减区间511[,]1212k k k Z ππππ++∈；（2）32. 8．现有三个条件①sin()sin ()sin c A B b B c a A +=+-，②tan 2sin b aB A=，③(1cos )sin a B A +，请任选一个，填在下面的横线上，并完成解答． 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______．（1）求角B ；（2）若a c +=，求ABC 周长的最小值，并求周长取最小值时ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2）4.9．如图，在四边形ABCD 中，CD =BC =cos 14CBD ∠=-.（1）求BDC ∠； （2）若3A π∠=，求ABD △周长的最大值. 【答案】（1）6π；（2）12 10．已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别是,,,a b c 在以下三个条件中任先一个：①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-；②sin4A =；③sin sin 2B C b a B +=； 并解答以下问题：（1）若选___________(填序号)，求A ∠的值；（2）在（1）的条件下，若(0)a b m m ==>，当ABC 有且只有一解时，求实数m 的范围及ABC 面积S 的最大值.【答案】（1）条件选择见解析；60A =；（2）({}2m ∈⋃，max S =. 11．已知函数()21sin cos cos 62f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）当[],0x π∈-时，求出函数()f x 的最大值，并写出对应的x 的值； （2）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()12f A =，4b c +=，求a 的最小值. 【答案】（1）当56x =-π时，函数()f x 取最大值34；（2）最小值为2.12．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1cos 2a c Bb =+. （1）若1c =，求ABC 面积的最大值；（2）若D 为BC 边上一点，4DB =，5AB =，且12AB BD ⋅=-，求AC .【答案】（1（2.13．在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，1cos 3B =，a b += （1）求,a b 的值；（2）已知,D E 分别在边,BA BC 上，且AD CE +=，求BDE 面积的最大值.【答案】（1）a =b =（214．在ABC 中，角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知1cos 2b a Cc =+. （1）求角A ；（2）若1AB AC ⋅=，求a 的最小值.【答案】（1）3π；（2。
专题11 三角函数-2021年高考数学二轮提升专题攻略(文理通用)(原卷版)
专题11三角函数一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知α为第二象限角，且1sin cos 5αα+=，则cos sin αα-=（ ） A ．75B ．75-C ．75± D ．25252．若3tan 24α=-，则22sin 2cos 12sin ααα+=+（ ） A ．14-或14B ．34或14 C ．34D ．143．将函数()sin f x x =的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()12sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．已知函数())0,||2f x x π⎛⎫=ω+ϕω>ϕ< ⎪⎝⎭，当()()123f x f x =时，12min x x π-=，()302f =，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π.B ．函数()f x 的图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象的一条对称轴方程为3x π=D ．函数()f x 的图象可以由函数y x ω=的图象向右平移12π个单位长度得到 5．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．46．已知函数()1cos 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,2π上的零点的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（0>ω，||2πϕ≤）的最小正周期为π，且过点(，则下列正确的为（ ）①()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ②()f x 的一条对称轴为2x π=.③()fx 的周期为2π.④把函数()f x 的图像向左平移6π个长度单位得到函数()g x 的解析式为()26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④8．若函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，2πϕ<）图象的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为-1，为了得到()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度9．设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A ．()y f x =的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．()y f x =的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．()f x 在,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0 10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ϕπ<）的部分图象如图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图象的一个对称轴可能为( )A ．2x =B ．8x =C ．6x =-D ．2x =-11．设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：①()20f >；②()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++；④()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π.则正确结论的序号为( ) A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①③④12．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中ω>0，||,24ππϕ≤-为f (x )的零点：且()|()|4f x f π≤恒成立，()f x 在(,)1224ππ-区间上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．17二．填空题13．化简1sin 70︒ 14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0．618，这一数值也可表示为2sin18m =︒． 若24m n +=2=__________． 15．若将函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移9π个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数ω的最小值是________. 16．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R ，都有(1)()f x f x +=-，且()f x 在区间,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调，则ω的值为___________.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,βπ∈，cos β=tan(2)3αβ+=. （1）求tan2α的值； （2）求αβ+的值.18．已知函数()2sin(2)(0)6f x x πωω=+>.（1）若点5(,0)8π是函数()f x 图像的一个对称中心，且(0,1)ω∈，求函数()f x 在3[0,]4π上的值域； （2）若函数()f x 在(,)33π2π上单调递增，求实数ω的取值范围.19．已知函数()()sin sin 4242x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称；（1）求函数()g x 的解析式； （2）若存在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使等式()()20g x g x m ⎡⎤-+=⎣⎦成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωθωθπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数221212y fx f x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的单调递增区间.21．已知函数2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β．22．进博会期间，有一个边长80m 的正方形展厅OABC ，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O 为圆心，60m 为半径的扇形ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设∠POA=α5 1212ππα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭．（1）用α表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到21m）；（2）当α取何值时，矩形PGBF的面积S PGBF最大？并求出最大面积（精确到21m）．。
三角函数中的范围与最值问题
三角函数中的范围与最值问题在三角函数中，角度的范围通常用弧度来表示。
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
1. 正弦函数（sin）的取值范围是[-1, 1]，其中最大值为1，最小值为-1。
正弦函数的图像是一个周期性的波形，它在0度、180度、360度等整数倍的角度上取到最大值1，在90度、270度等整数倍的角度上取到最小值-1.
2. 余弦函数（cos）的取值范围也是[-1, 1]，最大值为1，最小值为-1。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但是相位不同，它在90度、270度等整数倍的角度上取到最大值1，在0度、180度、360度等整数倍的角度上取到最小值-1.
3. 正切函数（tan）的取值范围是整个实数集合（无穷），在某些特定角度上可能不存在。
例如，当角度为90度、270度等整数倍时，正切函数不存在。
在其他情况下，正切函数的值在相邻的两个最大值和最小值之间取值。
需要注意的是，在计算机中使用三角函数时，一般使用弧度制而非角度制。
弧度制是以圆的半径为单位来衡量角度的制度，1个弧度等于在半径为1的圆上所对应的弧长。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：
弧度 = 角度×π / 180
以上是三角函数范围和最值的一般规律，但在具体问题中可
能存在特殊情况，需要根据具体的数学模型或方程来求解。
新高考数学一轮二轮复习专题-专题七 三角函数的概念(原卷版)-2月真题汇编
专题七 三角函数的概念、图像和性质一、多选题1．（2020·湖南永州市·高三月考）已知函数()sin f x x x ωω=(0>ω)相邻的最高点的距离为2π，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线12x π=对称C ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1，2] D ．将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移4π个单位得72sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2020·湖北黄石市·黄石二中高三月考）设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π3．（2020·重庆高一月考）已知函数()(sin cos )sin cos f x x x x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．若()()122f x f x +=，则12k 2x x π+=()k ∈Z C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()()1g x f x =+在区间[0,2]π上有且仅有1个零点4．（2020·江苏省黄桥中学高三月考）关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B ．函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象与函数216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D ．函数()f x 的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到 二、单选题5．（2020·浙江高一期末）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+()R ϕ∈，若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭且()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，则函()f x 数取得最大值时x 的可能值为（ ） A ．23π B ．6π C ．3π D ．2π 6．（2020·四川攀枝花市·（文））关于函数()cos |||sin |f x x x =+的下述四个结论中，正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在[,]-ππ有3个零点 D ．()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 7．（2020·全国高三其他模拟（理））已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点(A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ） A ．直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图象可由2sin 2g xx 向左平移3π个单位而得到8．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 即是奇函数也是周期函数B ．()f x 的最大值为3C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的图象关于点(),0π中心对称9．（2020·浙江高一单元测试）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4π，将其向右平移6π后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象在区间3[,]4ππ上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．（2020·安徽宣城市·高三其他模拟（文））如图，O 与x 轴的正半轴交点为A ，点B ，C 在O 上，且43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在第一象限，,1AOC BC α∠==，则5cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．4511．（2020·广东中山市·高一期末）已知函数()2cos f x x = ([0,]x π∈) 的图象与函数()3tan g x x =的图象交于A ，B 两点，则OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．4π B ．4C ．2π D ．212．（2020·全国高三其他模拟（文））已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭图象关于直线0x =对称，由此条件给出5个结论：①()f x 的值域为[]2,2-；②()f x 图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 的图像向右平移6π后可得到()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭；④()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；⑤0ϕ=且4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．②③⑤D ．③④⑤13．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()sin (,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭）的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移φ(φ0)>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 A ．23πB ．3π C ．4π D ．8π 14．（2020·全国高一课时练习）将函数()2cos2f x x =的图象向右平移个6π单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[,]32ππB ．[,]62ππC ．[,]63ππD ．3[,]48ππ15．（2020·江苏高一课时练习）已知函数()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5(,0)12π为()f x 图象的一个对称中心；③1()42f π=；④()f x 在区间[0,]6π上单调递增．其中正确的结论为（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④16．（2020·全国高三专题练习）已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则()1222x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为2-17．（2020·江西赣州市·高三月考（理））已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的是（ ）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m 的取值范围是⎣； ②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数； ③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π； ④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④18．（2020·湖南长沙市·长沙一中高三月考（理））已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的取值个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1019．（2020·广西柳州市·高三三模（文））若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻两条对称轴间的距离为2π，且在6x π=取得最大值2，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．2D20．（2020·全国高三专题练习）已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．（2020·全国高三月考（理））已知向量(22cos m x =，()1,sin 2n x =，设函数()1f x m n =⋅-，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数22．（2019·四川成都市·双流中学高三月考（理））已知函数()g x 的图象是由()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的，若函数()g x 在区间,2a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．83πB ．52πC ．3πD ．73π 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、解答题23．（2021·山西太原市·高一期末）已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 24．（2020·深圳实验学校高三月考）已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）当[,]24ππx ∈-时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （3）（*）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.25．（2020·新绛县第二中学高一月考）已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.26．（2019·湖北黄石市·高二月考）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形EFGH 内种植经红色郁金香，在正方形ABCD 的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在以AB 为边长的矩形ABMN 内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设GFB θ∠=，AN y =米．（1）求y 与θ之间的函数关系式；（2）求AN 的最大值．27．（2020·全国高三专题练习（理））已知0a >，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，()51f x -≤≤. （1）求常数,a b 的值； （2）设()()2g x f x π=+且()lg 0g x >，求()g x 的单调区间.28．（2020·安徽高二月考）若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且当2π3x =时，()f x 取得最小值.（1）求()f x 的解析式；（2）若π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 29．（2020·陕西高一期末）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有三个不同的实数根，求m 的取值范围．30．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）如图，矩形ABCD 的长AD =宽1AB =，,A D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，, B C 两点在第一象限.求2OB 的最大值.31．（2020·江苏高三二模）已知函数()()()sin f x A x x R ωϕ=+∈（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值及相应的x 的值. 32．（2017·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中（理））已知函数()221468x x f x sin cos πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求当04x ≤≤时，()f x 的值域. 四、填空题33．（2019·台州市黄岩中学高一月考）函数()()()1sin 1(13)f x x x x π=---<<的所有零点之和为________.34．（2020·全国高三专题练习）已知函数2sin 3y x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0>ω)在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为______. 35．（2020·全国）函数()13sin cos cos 222f x x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭的最小值为___________________．36．（2020·全国）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，对任意x ∈R ,()()2f x f x +=-，将函数()f x 的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数()y f x =在0,1上的值域为_______. 37．（2020·上海市七宝中学高一期中）函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______. ①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； 38．（2020·渭南市尚德中学高一月考）下列命题中，正确命题的序号是______． ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是π,2k k Z αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图像与函数cos y x =图像在[]0,2π内有1个公共点； ④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的对称轴是ππ,122=+∈k x k Z ． 39．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））若将函数()()()()1sin 2cos 2022f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()sin g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为______.五、双空题40．（2020·全国高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知tan(+4Aπ)＝2，则sin A 的值为______，若B ＝4π，a ＝4，则△ABC 的面积等于___．。
押第7题 三角函数(新高考)(原卷版)--2023年新高考数学临考题号押题
押新高考卷7题三角函数考点3年考题考情分析三角函数2022年新高考Ⅰ卷第6题2022年新高考Ⅱ卷第6题2021年新高考Ⅰ卷第4、6题三角函数会以单选题、多选题、填空题、解答题4类题型进行考查，单选题难度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别考查三角函数的图象与性质，三角恒等变换，也是高考冲刺的重点复习内容。
可以预测2023年新高考命题方向将继续以三角函数的图象与性质，三角恒等变换等问题展开命题．1.特殊角的三角函数值2.同角三角函数的基本关系平方关系：1cos sin 22=+αα商数关系：αααcos sin tan =3.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-4.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-5.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-6.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =7.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=8.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．32．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题）若sin()cos()22cos sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-3．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2021·新高考Ⅰ卷高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．651．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17242．（2023·重庆·统考模拟预测）已知角α，β满足1tan 3α=，()sin 2cos sin βαβα=+，则tan β=（）．A ．14B ．12C ．1D ．23．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()sin sin sin2αβαββ++-=，则（）A ．π2αβ+=B ．2παβ+=C ．2αβ=D ．αβ=4．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．（2023·广东广州·统考二模）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，若()π3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤恒成立，且()ππ4f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（）A ．π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）B ．πππ,π63k k 轾犏-+犏臌（k ∈Z ）C ．πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）D ．2πππ,π36k k ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）A ．49.25mC ．56.74m 11．（2023·河北邯郸·统考二模）已知函数个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数A ．()ππZ 6k k +∈。
新高考数学二轮复习三角中的最值、范围问题
易错提醒
求三角函数式的最值范围问题要注意： (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式； (2)根据所给自变量的范围正确地确定ωx＋φ的范围，从而根据三角函数的单调 性求范围.
索引
训练 1 (2022·潍坊质检)在①函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝π3对称，②函数 y＝ f(x) 的图象关于点 Pπ6，0对称，③函数 y＝f(x)的图象经过点 Q23π，－1，这 三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答. 问题：已知函数 f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φω>0，|φ|<π2的最小正周期为 π，且________，判断函数 f(x)在区间π6，π2上是否存在最大值？若存在，求 出最大值及此时的 x 值；若不存在，说明理由. 解 f(x)＝sin ωxcos φ＋cos ωxsin φ＝sin(ωx＋φ)， 由已知函数 f(x)的周期 T＝2ωπ＝π，得 ω＝2， 所以 f(x)＝sin(2x＋φ).
考向 2 由单调性求参数的范围
例 3 已知 f(x)＝sin(2x－φ)0<φ<π2在0，π3上是增函数，且 f(x)在0，78π上有最
小值，那么 φ 的取值范围是( B )
A.π6，π2
B.π6，π4
C.π3，π2
D.π4，π3
解析 由 x∈0，π3，得 2x－φ∈－φ，23π－φ， 又由 0<φ<π2，且 f(x)在0，π3上是增函数， 可得23π－φ≤π2，所以π6≤φ<π2. 当 x∈0，78π时，2x－φ∈－φ，74π－φ，
索引
热点二 与三角函数性质有关的参数范围
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核心归纳
与三角函数性质有关的参数问题，主要分为三类，其共同的解法是将y＝ Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看作一个整体，结合正弦函数的图象与性质进行求解.
专题二 培优点7 三角函数中的范围、最值问题
培优点7 三角函数中的范围、最值问题以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．例1 (1)若函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________． 答案 32解析 y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋58a －32＝－⎝⎛⎭⎫cos x －a 22＋a 24＋58a －12. ∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1. ①若a 2>1，即a >2，则当cos x ＝1时， y max ＝a ＋58a －32＝1⇒a ＝2013<2(舍去)； ②若0≤a 2≤1，即0≤a ≤2， 则当cos x ＝a 2时，y max ＝a 24＋58a －12＝1， ∴a ＝32或a ＝－4<0(舍去)； ③若a 2<0，即a <0，则当cos x ＝0时， y max ＝58a －12＝1⇒a ＝125>0(舍去)． 综上可得，a ＝32. (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a cos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．答案 34解析 在△ABC 中，因为3a cos C ＋b ＝0，所以C 为钝角，由正弦定理得3sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝0，3sin A cos C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝0，所以4sin A cos C ＝－cos A ·sin C ，即tan C ＝－4tan A .因为tan A >0，所以tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－3tan A －4tan 2A －1＝34tan A ＋1tan A≤324＝34， 当且仅当tan A ＝12时取等号，故tan B 的最大值是34. 例2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f (x )＝cos x 的图象向右平移2π3个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g (x )的图象，若g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1，则ω的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，83B.⎣⎡⎦⎤13，53C.⎣⎡⎭⎫43，＋∞D.⎣⎡⎭⎫83，＋∞ 答案 A解析 f (x )＝cos x 向右平移2π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3的图象，再将各点横坐标变为原来的1ω(ω>0)得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －2π3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，ωx －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，ωπ2－2π3， 又此时g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴0≤ωπ2－2π3≤2π3，∴43≤ω≤83. (2)若将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．答案 3π8解析 方法一 将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π4的图象，该图象关于y 轴对称，即g (x )为偶函数，因此π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小正值为3π8. 方法二 将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π4的图象，令2x －2φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8＋φ(k ∈Z )，此即为g (x )的对称轴方程， 又g (x )的图象关于y 轴对称，所以有k π2＋π8＋φ＝0，k ∈Z ，于是φ＝－k π2－π8(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ取最小正值3π8.(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝⎛⎭⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析 函数f (x )的周期T ≤4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，则2πω≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2. 2．若函数f (x )＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( ) A.45 B.35 C.25 D.215答案 A解析 f (x )＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝12，且φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由－π2＋2k π≤x ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2－φ＋2k π≤x ≤π2－φ＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－π2－φ，π2－φ，所以αmax ＝π2－φ，所以当α取最大值时，sin 2α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin 2φ＝2sin φcos φsin 2φ＋cos 2φ＝2tan φtan 2φ＋1＝45.3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．答案 [10π，＋∞)解析 由题意得T ＝2πω≤15，∴ω≥10π， ∵ω>0，∴ω≥10π.4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2π3上恰有两个零点，且在⎣⎡⎦⎤－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤52，103解析 令ωx ＋π3＝k π，k ∈Z ， 得x ＝3k π－π3ω，k ∈Z ， ∴f (x )的第2个、第3个正零点分别为5π3ω，8π3ω， ∴⎩⎨⎧ 5π3ω≤2π3，8π3ω>2π3，解得52≤ω<4， 令－π2＋2k π≤ωx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， ∴－5π6ω＋2k πω≤x ≤π6ω＋2k πω，k ∈Z ， 令k ＝0，f (x )在⎣⎡⎦⎤－5π6ω，π6ω上单调递增， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，π24⊆⎣⎡⎦⎤－5π6ω，π6ω， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －5π6ω≤－π4，π6ω≥π24，ω>0⇒0<ω≤103， 综上得ω的取值范围是52≤ω≤103.。
2021新高考——圆锥曲线大题(最值范围问题)原卷版
圆锥曲线综合问题第一讲最值、范围问题1．圆锥曲线中常见的最值问题及其解法(1)两类最值问题①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；①求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．(2)两种常见解法①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；①代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．【例1】已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4．(1)求椭圆E的方程；(2)若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线l与椭圆E交于C，D两点，求△OAD与△OAC的面积之差的绝对值的最大值．(O为坐标原点)【变式训练】1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为它的左、右焦点，P 为椭圆上一点，已知∠F 1PF 2＝60°，S △F 1PF 2＝3，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆方程；(2)已知T (－4，0)，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求△MNF 1面积的最大值．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 在椭圆上(异于椭圆C 的左、右顶点)，过右焦点F 2作①F 1PF 2的外角平分线L 的垂线F 2Q ，交L 于点Q ，且|OQ |＝2(O 为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为43．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：x ＝my ＋4(m ①R )与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′，直线A ′B 交x 轴于点D ，求当①ADB 的面积最大时，直线l 的方程．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32． (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积的最大值．【变式训练】1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x23－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎪⎭⎫ ⎝⎛213，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．①求|OQ ||OP |的值； ②求△ABQ 面积的最大值．【例3】已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x＝－1相切．(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．【变式训练】1．如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,21，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛4923，，抛物线上的点P (x ，y )⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-2321x ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．(1)求直线AP 斜率的取值范围；(2)求|P A |·|PQ |的最大值．2．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点12，0的动直线交抛物线于不同两点P ，Q ，线段PQ 中点为M ，射线MF 与抛物线交于点A ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求①APQ 的面积的最小值．2．解决圆锥曲线中范围问题的方法圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解．一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围．【例3】已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若k OM·k ON＝54，求原点O到直线l的距离的取值范围．【变式训练】1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛231，在椭圆C 上，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2332，在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆的面积的取值范围．3．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)有一个公共焦点，抛物线C 2的准线l 与椭圆C 1有一交点坐标是(2，－2)．(1)求椭圆C 1与抛物线C 2的方程；(2)若点P 是直线l 上的动点，过点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与椭圆C 1分别交于点E ，F ，求OE →·OF →的取值范围．4．已知椭圆C ：x 23＋y 22＝1，直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．(1)若|m |>3，求实数k 的取值范围；(2)若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列(其中O 为坐标原点)，求△OAB 的面积的取值范围．【课后巩固】1．已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中的曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．2．已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值；(2)求△ABD 面积的最大值．3．如图，已知抛物线C1：x2＝4y与椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)交于点A，B，且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．(1)求椭圆C2的离心率；(2)设l1与C2交于点P，l2与C1交于点Q，求△APQ面积的最小值．4．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8． (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求|F A |·|FB |的取值范围．5．设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E．EA 为定值，并写出点E的轨迹方程；(1)证明EB(2)设点E的轨迹方程为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。
2021新高考数学二轮总复习学案：7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题含解析
7.4.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题必备知识精要梳理1.圆锥曲线的弦长(1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a;(2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=·|x1-x2|=|y1-y2|,如何求|x1-x2|,若x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,x1+x2=-,x1x2=,方法一:|x1-x2|=;方法二:利用求根公式,|x1-x2|==.2.处理中点弦问题常用的求解方法(1)已知AB是椭圆=1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在椭圆上,则有两式相减得=0,∴=0,∴=-=-,故k AB=-.(2)已知AB是双曲线=1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则用点差法同理可得k AB=.(3)已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则两式相减得=2p(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),∴,即k AB=.3.圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题(1)求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.(2)圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法①两类最值问题:(ⅰ)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(ⅱ)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.②两种常见解法:(ⅰ)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;(ⅱ)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决.(3)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.常用的证明方法有:①证A、B、C三点共线,可证k AB=k AC或=λ;②证直线MA⊥MB,可证k MA·k MB=-1或=0;③证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.关键能力学案突破热点一圆锥曲线中的最值问题【例1】(2020百校联考,理21)已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆C:=1(a>b>0)的短半轴长等于圆O的半径,且过C右焦点的直线与圆O相切于点D.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求原点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值.解题心得目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型【对点训练1】(2020陕西渭南高三模拟,21)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.热点圆锥曲线中的二范围问题【例2】(2020山东济宁一模,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C过点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.解题心得范围问题的解题策略解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找不等关系,其方法有:(1)利用判别式或几何性质来构造不等式,从而确定所求范围;(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系或不等关系;(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出所求范围;(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定所求范围(如本例);(6)利用已知,将条件转化为几个不等关系,从而求出参数的范围.【对点训练2】已知A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a>0),过A,B 分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D,C两点.(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率;(2)若O为坐标原点,记△OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求的取值范围.热点三圆锥曲线中的证明问题【例3】(2020河北张家口模拟,19)已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为4,且过点.(1)求椭圆E的方程;(2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),O(0,0),过B点且斜率为k(k>0)的直线l交E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQ∥OC.解题心得(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:①证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;②证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).(2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.【对点训练3】(2020北京海淀一模,20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M 与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.核心素养微专题(八)解析几何中的最值、范围问题【例1】(2020湖南长沙高三模拟,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围是.核心素养分析本题是解析几何中的最值、范围问题,综合性较强,对核心素养要求较高.先用“数学运算”将圆的一般方程x2+y2-2mx-4y+m2-28=0转化为标准方程(x-m)2+(y-2)2=32,从而确定圆的圆心C(m,2)和半径r=4;其次用“直观想象”和“逻辑推理”分析当S△ABC取得最大值时须满足∠ACB=90°,即△ABC为等腰直角三角形,所以|AB|=r=8,得出|PC|满足的不等式,继而利用“数学运算”求得实数m的取值范围.【跟踪训练1】(2020河北衡水模拟,15)在平面直角坐标系xOy中,设圆M的半径为1,圆心在直线2x-y-4=0上,若圆M上不存在点N,使NO=NA,其中A(0,3),则圆心M横坐标的取值范围是.【例2】(2020河南中原名校高三模拟,14)已知F是抛物线y2=4x的焦点,M是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值是.核心素养分析解决此题关键是用“直观想象”画出抛物线草图,再用“逻辑推理”结合抛物线定义分析确定点P的位置,使得|MP|+|MF|取得最小值.【跟踪训练2】(2020安徽定远重点中学高三模拟,15)设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆:(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.7.4.2圆锥曲线中的最值、范围、证明问题关键能力·学案突破【例1】解(1)如图,设椭圆的右焦点为F,由于直线FD与圆O相切于点D,所以△FOD是以∠ODF为直角的直角三角形.因为切点的坐标为D,所以tan∠DOF=,所以∠DOF=60°.由条件知r2==1,所以圆的半径r=1,b=1.所以在Rt△FOD中,=cos60°,所以|OF|=2.从而a2=b2+c2=5.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)(方法一)利用斜率构建目标函数设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d,①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0;若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意.②若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),因为l与圆O相切,所以=1,即|m|=由消去y得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,易验证Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2)+2m=所以AB中点的坐标为,所以弦AB的垂直平分线方程为y-=-x+,即x+ky+=0.所以d=将|m|=代入,得d=,当且仅当|k|=,|m|=时,取等号.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为(方法二)利用点的坐标构建目标函数设点O到弦AB的垂直平分线距离为d,①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0;若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意.②若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为M(x0,y0),x0≠0,y0≠0,由点A,B在椭圆上,得①-②,得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k AB==-=-,直线l的方程为y-y0=k AB(x-x0),化简得x0x+5y0y--5=0.因为直线l与圆O相切,所以1=,即+5,又因为弦AB的垂直平分线方程为y-y0=(x-x0),即5y0x-x0y-4x0y0=0,所以d=,当且仅当=5时,取等号.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为对点训练1解(1)由消去x,得y2-2py+2p=0,∵直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,∴Δ=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去).∴抛物线C的方程为y2=4x.(2)由于直线m不平行于x轴,故可设直线m的方程为x=ty+1,由消去x,得y2-4ty-4=0,Δ1=16t2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4t,∴x1+x2=4t2+2,∴线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).设点A到直线l的距离为d A,点B到直线l的距离为d B,点M到直线l的距离为d,则d A+d B=2d=2=2|t2-t+1|=2,∴当t=时,可使A,B两点到直线l的距离之和最小,距离之和的最小值为【例2】解(1)由已知可得,即c2=,又c2=a2-b2,所以a2=b2,所以椭圆C的方程为=1,将点代入方程,得=1,解得b2=2,则a2=b2=3,所以椭圆C的标准方程为=1.(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0).①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,易知A1,,B1,-,E(1,1),F(1,-1),所以|AB|=,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=;②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l与椭圆方程得可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=,因为圆心(0,0)到直线l的距离d=,所以|EF|2=42-=,所以|AB|·|EF|2==,因为k2∈[0,+∞),所以|AB|·|EF|2,综上,|AB|·|EF|2的取值范围是对点训练2解(1)由题意知A,则B+a,0,D,p,则C+a,,又a=p,所以k CD=-1.(2)设直线CD的方程为y=kx+b(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),由得ky2-2py+2pb=0,所以Δ=4p2-8pkb>0,得kb<,又y1+y2=,y1y2=,由y1+y2=>0,y1y2=>0,可知k>0,b>0,因为|CD|=|x1-x2|=a,点O到直线CD的距离d=,所以S1=a ab.又S2=(y1+y2)·|x1-x2|=a=,所以,因为0<kb<,所以0<,即的取值范围为【例3】(1)解由题可知2c=4,即c=2.∴椭圆的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0), 由椭圆的定义知2a==4,∴a=2,b2=a2-c2=4,∴椭圆E的方程为=1.(另解:由题可知解得)(2)证明易得A(0,2),B(0,-2),C(2,2),直线l:y=kx-2与椭圆x2+2y2=8联立,得(2k2+1)x2-8kx=0,∴x M=,从而M,Q直线AM的斜率为=-,直线AM的方程为y=-x+2.令x=2,得P2,-+2,∴直线PQ的斜率k PQ=,直线OC的斜率k OC=, ∴k PQ=k OC,显然直线PQ与OC不重合,从而PQ∥OC.对点训练3(1)解由题解得所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设直线A2M的方程为y=k(x-2),直线A1B的方程为y=x+1.由解得点P.由得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0,则2x M=所以x M=,y M=即M=-于是直线A1M的方程为y=-(x+2),直线A2B的方程为y=-x+1.由解得点Q于是x P=x Q,所以PQ⊥x轴.设PQ中点为N,则N点的纵坐标为=1.故PQ中点在定直线y=1上.从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,所以△BPQ为等腰三角形.核心素养微专题(八)【例1】(3-2,3-2]∪[3+2,3+2)解析由题意得圆的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,所以圆心坐标为C(m,2),r=4S△ABC=r2sin∠ACB=16sin∠ACB,当∠ACB=90°时,S取得最大值16.此时△ABC为等腰直角三角形,|AB|=r=8,所以点C到直线AB的距离为d=4.由以上可得4≤|PC|<4即16≤(m-3)2+22<32,解得3-2<m≤3-2或3+2m<3+2,所以实数m的取值范围是(3-2,3-2]∪[3+2,3+2).跟踪训练1(-∞,0)解析设N(x,y),由NO=NA,得4(x2+y2)=x2+(y-3)2,化简得x2+(y+1)2=4,表示为以B(0,-1)为圆心,2为半径的圆,由题意得圆B与圆M 无交点,设M(a,2a-4),即a2+(2a-4+1)2>(2+1)2或a2+(2a-4+1)2<(2-1)2,解得圆心M横坐标的取值范围为(-∞,0)【例2】4解析设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,∴要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值.当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|最小,为3-(-1)=4,所以|MP|+|MF|的最小值是4.跟踪训练29解析设两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1的圆心分别为A,B,则A,B正好为双曲线两焦点,|PM|-|PN|≤|PA|+2-(|PB|-1)=|PA|-|PB|+3=2×3+3=6+3=9,即最大值为9.。
三角函数中ω的范围与最值问题【七大题型】(举一反三)(原卷版)—2025年新高考数学一轮复习
三角函数中ω的范围与最值问题专练【七大题型】【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】 (2)【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】 (2)【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】 (3)【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】 (4)【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】 (4)【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】 (5)【题型7 ω的范围与最值问题：性质的综合问题】 (5)1、三角函数中ω的范围与最值问题三角函数的图象与性质是高考的重要内容，在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个重点、热点内容，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点，学生在复习中要加强训练，灵活求解.【知识点1 三角函数中有关ω的范围与最值问题的类型】1．三角函数中ω的范围与最值的求解一般要利用其性质，此类问题主要有以下几个类型：(1)三角函数的单调性与ω的关系；(2)三角函数的对称性与ω的关系；(3)三角函数的最值与ω的关系；(4)三角函数的周期性与ω的关系；(5)三角函数的零点与ω的关系；(6)三角函数的极值与ω的关系.【知识点2 三角函数中ω的范围与最值问题的解题策略】1．利用三角函数的单调性求ω的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.2．利用三角函数的对称性求ω的解题策略三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究“ω”的取值范围.3．利用三角函数的最值求ω的解题策略若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.4．利用三角函数的周期性求ω的解题策略若已知三角函数的周期性，则利用三角函数的周期与对称轴、最值的关系，列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.【题型1 与三角函数的单调性有关的ω的范围与最值问题】【例1】（2024·重庆·二模）若函数f(x)=sin(2x―φ)(0≤φ<π)在φ的最小值为（）A．π12B．π6C．π4D．π3【变式1-1】（2024·湖北鄂州·一模）已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x=―π6，且f(x)在πω的最大值为（）A．53B．2C．83D．103【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若直线x=π4为函数f(x)图象的为函数f(x)图象的一个对称中心，且f(x)ω的最大值为（）A．917B．1817C．1217D．2417【变式1-3】（2024·广东湛江·一模）已知函数f(x)=sinωxω>0)ω的取值范围是（）A．[2,5]B．[1,14]C．[9,10]D．[10,11]【题型2 与三角函数的对称性有关的ω的范围与最值问题】【例2】（2023·广西·模拟预测）若函数f (x )=2sin (ωx +φ)（ω>0，|φ|<π2）满足f (2x )=―2x ，且f (0)=―1，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数f (x )=sin ωx >0)在区间[0,π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是（ ）A B C D【变式2-2】（2023·云南大理·一模）函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，若不等式f (x )≤|对∀x ∈R 恒成立，且f (x )的图像关于x =π8对称，则ω的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0)其图象关于直线x =―π36对称，且f （x ）的一个零点是x =772π，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．12C ．4D ．8【题型3 与三角函数的最值有关的ω的范围与最值问题】【例3】（2023·四川泸州·一模）已知函数f (x )=2sin ωx >0)在π上单调，则ω的取值范围是（ ）A ．B ．1,C D【变式3-1】（2024·浙江温州·一模）若函数f (x )=2sin ωx ―(ω>0)，x ∈0,[―，则ω的取值范围是（ ）A BC D【变式3-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x )=4cos ωx >0),f (x )在区间0,值恰为―ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（ ）A ．(1,4]B ．[4,7]C ．(7,13)D ．[13,+∞)【变式3-3】（2023·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)（ω>0，0<φ<π）的图象过点(0,1)，且在区间(π,2π)内不存在最值，则ω的取值范围是（ ）A ．BC ．∪D ．∪【题型4 与三角函数的周期有关的ω的范围与最值问题】【例4】（2023·四川绵阳·模拟预测）记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )=x =π9为f (x )的一个零点，则ω的最小值为（ ）A ．32B ．3C ．6D ．152【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x )=sin (2πωx )(ω>0)在区间(0,2)上单调，且在区间[0,18]上有5个零点，则ω的取值范围为（ ）A BC D 【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f (T )=―12，且x =π2为f (x )的一条对称轴，则ω的最小值为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．103【变式4-3】（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<=f (x )在区间[0,2]上恰有8个零点，则ω的取值范围是（ ）A πB ．4πC ．4π,D 【题型5 与三角函数的零点有关的ω的范围与最值问题】【例5】（2023·全国·一模）已知函数f (x )=sin ωx +>0)π上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ∪4,B ∪C ．[113,143)∪(5,173)D ,5∪【变式5-1】（2023·吉林长春·一模）将函数f(x)=cos x 图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，所得图象在区间―π12ω的取值范围为（ ）【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+>0)π上至少有两个零点，则实数ω的取值范围是（）A+∞B+∞C∪+∞D∪+∞【变式5-3】（2024·四川雅安·一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且―π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，=―1，若f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，则ω的取值范围是（）A B236πC D【题型6 与三角函数的极值有关的ω的范围与最值问题】【例6】（2023·四川成都·二模）将函数f(x)=>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若g(x)在3个极值点，则ω的取值范围为（）A B,4C．D,7【变式6-1】（2023·河南开封·模拟预测）已知将函数f(x)=ωx2―>0)的图象向右平移π2ω个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0,π)上有3个极值点，则ω的取值范围为（）A+∞B,4C D【变式6-2】（2024·陕西渭南·一模）已知函数f(x)=sinωx>0)在区间[0,π]上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点；②f(x)的最小正周期可能是π2；③ω④f(x).其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）将函数f(x)=sin x的图像向左平移5π6个单位长度后得到函数g(x)的图像，再将g(x)的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω（ω>0）倍，得到函数ℎ(x)的图像，且ℎ(x)在区间(0,π)上恰有两个极值点、两个零点，则ω的取值范围为（）【题型7 ω的范围与最值问题：性质的综合问题】【例7】（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数f (x )=3cos (ωx +φ)ω<0，―π2<φ<π，在区间―π6φ的取值范围是（ ）A B ．―π2,―C D ．【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x )=sin (2ωx ―φ)(ω>0)满足对任意的x ∈R ，均有f (x )≥f+x =x ，且f (x )ω的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．45【变式7-2】（2024·天津·模拟预测）已知f (x )=sin ωx +π3+φω>0,|φ|<g (x )=sin(ωx +φ)，则下列结论错误的个数为（ ）①φ=π6；②若g (x )的最小正周期为3π，则ω=23；③若g (x )在区间(0,π)上有且仅有3个最值点，则ω④若=ω的最小值为．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式7-3】（2023·河南·模拟预测）已知函数f (x )=sin (ωx +φ)ω>0,0<φ<=f x且f ―π4―x +f ―π4+x =0,f (x )ω的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．367一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）若函数f(x)=sin (ωx)(ω>0)在0,ω的取值范围为（ ）A ．B ．(0,2)C ．D ．(0,2]2．（2024·重庆开州·模拟预测）已知函数f (x )=2sin ωx(ω>0)，则“32<ω<3”是“f (x )的图象在区间―π6上只有一个极值点”的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．非充分非必要条件3．（2024·湖北武汉·模拟预测）设ω>0，已知函数f(x)=sin3ωx2ωx(0,π)上恰有6个零点，则ω取值范围为（）A B C D4．（2024·河北·模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(0)=f=π，则ω的最小值为（）A．3B．1C．67D．235．（2024·四川·模拟预测）已知函数f(x)=sinωx+ω>0）在区间1个零点，且当x∈―2π3f(x)单调递增，则ω的取值范围是（）A B C,1D6．（2024·四川内江·三模）设函数f(x)=2sinωx>0)，若存在x1,x2∈―π6x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)=ω的取值范围是（）A．(0,12]B．[10,+∞)C．[10,12]D．(6,10]7．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,|φ|≤中心对称，且x=―π3是f(x)的极值点，f(x)在区间0,ω的最大值为（）A．8B．7C．274D．2548．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=cosωxω>0),π上单调递减，且f(x)在区间(0,π)上只有1个零点，则ω的取值范围是（）A．B C D二、多选题9．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f(x)=cosωx+ω>0)，则（）A．当ω=2时，f x x=π2对称B．当ω=2时，f(x)在C．当x=π6为f(x)的一个零点时，ω的最小值为1D．当f(x)在―π3ω的最大值为110．（2024·浙江温州·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),x∈,π的值域是[a,b]，则下列命题正确的是（）A．若b―a=2,φ=π6，则ω不存在最大值B．若b―a=2,φ=π6，则ω的最小值是73C．若b―a=ω的最小值是43D．若b―a=32，则ω的最小值是4311．（2023·浙江·三模）已知函数f(x)=cosωx>0)，则下列判断正确的是（）A．若f(x)=f(π―x)，则ω的最小值为32B．若将f(x)的图象向右平移π2个单位得到奇函数，则ω的最小值为32C．若f(x)π单调递减，则0<ω≤34D．若f(x)π上只有1个零点，则0<ω<54三、填空题12．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数f(x)=cos2ωx>0)π上是单调的，则ω的最大值为.13．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数f(x)=2cosωx―1(ω>0)在(0,π)上恰有两个零点，则ω的取值范围为.14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f(x)=2sinωxω>0），若∃x1，x2∈[0,π]，使得f(x1) f(x2)=―4，则ω的最小值为.四、解答题15．（2023·河北承德·模拟预测）已知ω>1，函数f(x)=cosωx―(1)当ω=2时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)ω的取值范围.16．（23-24高一下·湖北恩施·期末）已知函数f(x)=2sinωx+>0)．(1)若x+x=0，求ω的最小值；(2)若f(x)在区间0,[1,2]，求ω的取值范围．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤(1)若f(x)的图象经过点,0，,2，且点B恰好是f(x)的图象中距离点A最近的最高点，试求f(x)的解析式；(2)若f(0)=―1，且f(x)π上单调，在ω的取值范围.18．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<(1)当φ=π时，函数f(x)ω的取值范围.6(2)若f(x)的图象关于直线x=π对称且f=0，是否存在实数ω，使得f(x)4求出ω的值；若不存在，说明理由.19．（2023·山西·模拟预测）已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是由y=2sinωx 个单位长度得到的.象向右平移π6(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)y轴距离最近的对称轴方程；(2)若f(x)ω的取值范围.。
压轴题05 三角函数与解三角形范围与最值问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题05三角函数与解三角形范围与最值问题三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．考向一：ω取值与范围问题考向二：面积与周长的最值与范围问题考向三：长度的范围与最值问题1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用公式，对于面积公式111sin sin sin222S ab C ac B bc A===，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定所求式的范围．4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数等知识．5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等求其最值．6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性求解．7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．一、单选题1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数π()sin cos (0)6f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在[0,π]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（）A ．131,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．7,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．131,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．（2023·吉林长春·统考三模）已知函数()π2cos 13f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，（0ω>）的图象在区间()0,2π内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．25,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．57,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）已知函数())π2sin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．75,93⎛⎤⎥⎝⎦B ．75,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1010,93⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1010,93⎛⎤⎥⎝⎦4．（2023·广西·统考一模）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于180︒的四边形.已知在平面凸四边形ABCD 中，30,105,2A B AB AD ∠=︒==︒∠=，则CD 的取值范围是（）A ．,14⎫⎪⎪⎣⎭B ．⎣⎭C ．⎣⎭D ．1⎫⎪⎪⎣⎭5．（2023·全国·校联考二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b =，若2222b a c =+，则△ABC 面积的最大值为（）A ．2B ．34C ．1D ．326．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知60B = ，4b =，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．67．（2023·全国·模拟预测）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>是在区间π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上的单调减函数，其图象关于直线π36x =-对称，且f （x ）的一个零点是7π72x =，则ω的最小值为（）A ．2B ．12C ．4D ．8二、多选题8．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠三、填空题9．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，且()2sin 2sin cos sin 2c B A a A B b A -=+，则c a的取值范围是______．10．（2023·上海金山·统考二模）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.11．（2023·全国·校联考二模）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin b B a A a C =+，则3b ca-的取值范围是______.12．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，2AC =．点P 为线段CB 上任意一点，点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D ，则CDP △的面积的最大值为__________．四、解答题13．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sin sin 2B C c a C +=；②sin 1cos a CA=-；③ABC )222b c a +-.(1)求角A 的大小；(2)求sin sin B C 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．（2023·陕西榆林·统考三模）已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，4AB AC ⋅=，且sin 8sin ac B A =．(1)求A ；(2)求sin sin sin A B C 的取值范围．15．（2023·上海浦东新·统考二模）已知,0R ωω∈>，函数cos y x x ωω-在区间[0,2]上有唯一的最小值-2，则ω的取值范围为______________．16．（2023·浙江金华·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边为a ，b ，c ．已知ABC 的面积4ac S =，其外接圆半径2R =，且()224cos cos ()sin A B b B -=．(1)求sin A ；(2)若A 为钝角，P 为ABC 外接圆上的一点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅的取值范围．17．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象是由π2sin 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度得到的.(1)若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的图象与y 轴距离最近的对称轴方程；(2)若()f x 在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个零点，求ω的取值范围.18．（2023·山东德州·统考一模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos c b A b -=．(1)求证：2A B =；(2)若A 的角平分线交BC 于D ，且2c =，求ABD △面积的取值范围．19．（2023·江西吉安·统考一模）在直角坐标系xOy 中,M 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线:sin 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求M 的普通方程;(2)若D 为M 上一动点,求D 到l 距离的取值范围.20．（2023·江西九江·统考二模）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，已知()()0a b c a b c ab -+--+=，sin 3cos 3cos bc C c A a C =+．(1)求c ；(2)求a b +的取值范围．21．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin B A Cb c b a-=-+.(1)求角A 的值；(2)若2c =，求a b +的取值范围．22．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7b =，且sin sin sin sin a b A Cc A B+-=-.(1)求ABC 的外接圆半径R ；(2)求ABC 内切圆半径r 的取值范围.23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）在锐角ABC 中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，且22a b bc -=．(1)求角B 的取值范围；(2)若4c =，求ABC 中AB 边上的高h 的取值范围．24．（2023·辽宁鞍山·统考二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.25．（2023·福建·统考模拟预测）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求C ；(2)若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅=，求四边形ABCD 面积的最大值.26．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC ∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==(1)若BD =AD 的长；(2)求ABD △面积的最大值．27．（2023·湖南·校联考二模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足236sin02A Ba b b +-+=．(1)求证：3cos 0a b C +=；(2)求tan A 的最大值．28．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）在ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-．(1)求角A 的大小；(2)记ABC 的面积为S ，若12BM MC = ，求2AMS的最小值．29．（2023·云南·统考二模）ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，π3A =．(1)若2b =，3c =．求证：tan sin a b A B+=(2)若D 为BC 边的中点，且ABC的面积为AD 长的最小值．30．（2023·广西·统考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足(2)cos cos 0b a C c B ++=.(1)求C ；(2)若角C 的平分线交AB 于点D ，且2CD =，求2a b +的最小值.31．（2023·安徽宣城·统考二模）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B--=．(1)判断ABC 的形状，并说明理由；(2)求2254cos a a c c B-的最小值．32．（2023·全国·模拟预测）已知ABC 是斜三角形，角A ，B ，C 满足cos(2)cos sin 2A B A B ++=.(1)求证：cos sin 0C B +=；(2)若角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，求22245a b c +的最小值，并求此时ABC 的各个内角的大小.33．（2023·吉林·统考三模）如图，圆O 为ABC 的外接圆，且O 在ABC 内部，1OA =，2π3BOC ∠=．(1)当π2AOB ∠=时，求AC ；(2)求图中阴影部分面积的最小值．。
三角函数中的范围与最值问题
三角函数中的范围与最值问题三角函数是高中数学中的重要内容，涉及到了一系列的概念和性质。
其中，范围与最值问题是我们在学习和运用三角函数时必须要了解和掌握的核心内容之一。
一、正弦函数的范围与最值问题正弦函数是三角函数中的一种基本函数。
一般来说，正弦函数的取值范围是[-1,1]，即在数轴上对应的y值在-1到1之间变化。
而在该范围内，最值问题也是我们需要关注的重点。
在正弦函数中，最小值为-1，当角度为270度或者-90度时取到；最大值为1，当角度为90度或者270度时取到。
在这个范围内，我们可以用函数的性质和图像来帮助我们更好地理解和应用。
二、余弦函数的范围与最值问题余弦函数也是三角函数中的一种基本函数。
与正弦函数相似，余弦函数的范围也是[-1,1]，即对应的y值在-1到1之间变动。
同样地，在这个范围内，最值问题是我们需要研究的重要内容。
在余弦函数中，最小值为-1，当角度为0度或者360度时取到；最大值为1，当角度为180度或者-180度时取到。
这些数值也是我们在解题中需要牢记的关键点。
三、正切函数的范围与最值问题正切函数是三角函数中的另一种基本函数，其范围是整个实数集。
由于正切函数存在周期性，所以我们并不能给出它的最大值和最小值。
然而，由于正切函数的特性，在一些特定的角度处可以观察到它的最值。
正切函数在角度为90度或者270度时取到最大值，其值无穷大；在角度为0度、180度、360度，以及其他使得余弦函数为0的角度处，正切函数取到最小值，其值为0。
综上所述，三角函数中的范围与最值问题是我们需要重点研究和掌握的内容。
通过深入理解和熟练运用三角函数的性质和图像，我们可以更好地解决与三角函数相关的各种问题。
希望本文对你的学习和理解有所帮助。
2021届全国新高考数学精品复习 最值、范围问题
得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.
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①
设 G(xG，yG)，则－u 和 xG 是方程①的解，故 xG＝u23＋k2＋k22，
由此得 yG＝2u＋kk3 2.
关键 2：设出直线 QG 的方程，联立直线 QG 与椭圆的方程，求出 G 点坐标．
(6 分)
从而直线 PG 的斜率为u223u＋＋kk2k3＋k22－2u－ku＝－1k.
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真题示例 (2019·全国卷Ⅱ)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直 线AM与BM的斜率之积为－12.记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥ x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G. ①证明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面积的最大值.
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[解] (1)由|AM|＝|AN|，可得M，N关于x轴对称，由
MA⊥NA，可得直线AM的斜率k为1.
因为t＝4，所以A(－2,0)，
所以直线AM的方程为y＝x＋2， 代入椭圆方程x42＋y32＝1，可得7x2＋16x＋4＝0，
解得x＝－2或x＝－27，
所以M
－27，172
ห้องสมุดไป่ตู้，N
－27，－172
，则△
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设 t＝k＋1k，则由 k>0 得 t≥2，当且仅当 k＝1 时取等号．(11 分) 因为 S＝1＋8t2t2在[2，＋∞)单调递减，所以当 t＝2，即 k＝1 时， S 取得最大值，最大值为196.
关键 5：利用换元法构建函数，借助函数的单调性求最值. 因此，△PQG 面积的最大值为196.(12 分)
因此k的取值范围是(3 2，2)．
高考数学逆袭系列之：专题二 培优点7 三角函数中的范围、最值问题
1234
解析 f(x)＝ 5sin(x＋φ)，其中 tan φ＝12，且 φ∈0，π2， 由－π2＋2kπ≤x＋φ≤π2＋2kπ，k∈Z， 得－π2－φ＋2kπ≤x≤π2－φ＋2kπ，k∈Z. 当 k＝0 时，增区间为－π2－φ，π2－φ， 所以 αmax＝π2－φ，所以当 α 取最大值时， sin 2α＝sin 2π2－φ＝sin 2φ＝s2ins2inφ＋φccoossφ2φ＝ta2nt2aφn＋φ1＝45.
＝ttaannAAt＋antCan－C1＝－－4ta3nta2nA－A 1＝4tan
3 A＋tan1
A
≤2 3 4＝34，
当且仅当 tan A＝12时取等号，故 tan B 的最大值是34.
例 2 (1)(2020·烟台模拟)将函数 f(x)＝cos x 的图象向右平移23π个单位长
度，再将各点的横坐标变为原来的ω1 (ω>0)，得到函数 g(x)的图象，若 g(x)
能力 提升
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函 数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式， 二次函数等. (2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角 函数的图象.
跟踪演练
1.已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线 x＝π3对称，且 f 1π2＝0，
专题二 三角函数与解三角形
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准 确理解和灵活转化是解题的关键.
例 1 (1)若函数 y＝sin2x＋acos x＋58a－32在0，π2上的最大值是 1，则实数 3
a 的值为___2_____.
解析
y＝1－cos2x＋acos
x＋58a－32
微专题02 三角函数的范围与最值(原卷版)2022年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分
微专题02 三角函数的范围与最值秒杀总结一.三角函数()sin()f x A x ωϕ=+中ω的大小及取值范围1.任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tkk ∈Z ; 2.任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即()2Tk k ∈Z ;3.任意对称轴与对称中心之间的距离为14周期加半周期的整数倍，即()42T Tk k +∈Z ;4.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内单调2Tb a ⇒-且()22k a b k k πππωϕωϕπ-+++∈Z5.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内不单调(,)a b ⇒内至少有一条对称轴，2a kb πωϕπωϕ+++()k ∈Z6.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内没有零点2T b a⇒-且(1)()k a b k k πωϕωϕπ+++∈Z7.()sin()f x A x ωϕ=+在区间(,)a b 内有n 个零点(1)()(1)()k a k k k n b k n πωϕππωϕπ-+<⎧⇒∈⎨+-<++⎩Z 。
二、三角形范围与最值问题1.坐标法：把动点转为为轨迹方程2.几何法3.引入角度，将边转化为角的关系4.最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.例1.将函数()2sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数的()y g x =图象．若()y g x =在[]()0,0b b >上至少含有2021个零点，则b 的最小值为___________.例2.已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，3x π=-为()f x 的一个零点，3x π=为()y f x =图象的一条对称轴，且()f x 在,20216ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调，则ω的最小值为______. 例3.已知函数()()()cos 0f x x ωϕω=+>是奇函数，且存在正数a 使得函数()f x 在[]0,a 上单调递增.若函数()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上取得最小值时的x 值有且仅有一个，则ω的取值范围是__________.例4.已知函数()2sin f x x ω=在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，则ω的取值范围为___________.例5.如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，1BC =点M 为边AC 上的动点，线段BM 的中垂线分别交AB 、BC 于D 、E 两点，则BD 的最小值是________．例6.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 3cos b C c B a A +=，若S 为ABC 的面积，则当2a S取得最小值时，a b c +的值为______.例7.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0b c A a C --=.ABC 的面积为33ABC 外接圆面积的最小值为______.过关测试一、单选题1．（2021·四川绵阳·高三阶段练习（理））函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2πϕ<），已知||33f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A ．11B ．9C ．7D ．52．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高三期中）已知△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若sin sin 2B Cb a B +=，且△ABC 内切圆面积为9π，则△ABC 面积的最小值为（ ） A 3B ．33C ．93D ．33．（2021·全国·高三专题练习）函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则ω的最大值为（ ） A ．12B ．74C ．52D ．64．（2021·全国·模拟预测（理））已知函数()2cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，若函数()f x 在[]0,π上的图象与直线2y =-有且仅有一个交点，则ω的最大值为（ ）A ．43B ．34C ．23D ．125．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数()()cos 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在[]0,2π上有且仅有4个零点和1个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．523,312⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．1123,1212⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．516,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2313,126⎫⎡⎪⎢⎣⎭6．（2021·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））已知()33cos f x x x =+在[],a a -上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．6π B ．3π C ．56πD ．23π 7．（2021·四川省资中县第二中学高三阶段练习（文））在ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，222222a cb a bc c b+-+-=且sin 1cos sin cos B B A A -=，若点O 是ABC 外一点，2OA =，1OB =．则平面四边形OACB 的面积的最大值是（ ）A 853+B 453+ C ．3 D 453+8．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三阶段练习（文））已知0>ω且为整数，且||2ϕπ<，函数()2sin()1f x x ωϕ=++的图像如图所示，A 、C ，D 是()f x 的图像与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O 、B ，若在区间(,)a b 上，()f x 有2020个零点，则b a -的最大值为（ ）A ．2020πB ．30343πC ．30323πD ．1012π9．（2021·安徽·定远县育才学校高三开学考试（理））已知函数()sin()(0),||2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．110．（2021·全国·高三阶段练习（理））如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2b ac =，π3B =，D 是ABC 外一点，3AD =，2CD =，则四边形ABCD 面积的最大值是（ ）A 1336 B 1336+ C 1334 D 1334 11．（2021·四川成都·高三阶段练习（理））已知点O 为ABC 外接圆的圆心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3a =，若2BO AC ⋅=，则当角C 取到最大值时ABC 的面积为（ ） A ．5 B ．25C 10D 512．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()2f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好存在两个极值点，则ω的最大值为（ ）A ．443B ．563C ．463D ．20313．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，30A =︒，BC 边上的高为1，则ABC 面积的最小值为（ ） A ．25-B ．23C ．23D ．2514．（2021·全国·模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()()2cos sin tan 0b c B B C a --+=且ABC 内切圆面积为4π，则ABC 面积的最小值为（ ） A ．43B ．83C ．123D ．315．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））在ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若sin sin 3b A C B =，且2sin (2)tan c B a c C =-，则ac 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．616．（2021·全国·模拟预测（文））已知()sin()3f x x πωϕ=++同时满足下列三个条件：①()()122f x f x -=时12x x -最小值为2π；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③(0)6f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭.若()f x 在[0,)t 上没有最大值，则实数t 的范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．110,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,612ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦17．（2021·江西赣州·高三期中（文））设函数()()32sin *34f x x N πωω⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下列叙述正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 关于直线12x π=轴对称C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为54-D ．()f x 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称18．（2021·陕西汉中·高三阶段练习（文））已知函数()1sin sin 34f x x x π⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的最小值是（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 19．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知函数()sin 2021cos 202136f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数a ，b ，使得对任意的实数x 都有()()()f a f x f b ≤≤成立，则A b a -的最小值为( ) A ．2021πB ．22021πC ．82021πD ．4042π20．（2021·上海·模拟预测）函数()()sin2cos f x x x θ=-+在()0,2π上的零点个数记为()g θ，若π02θ≤≤，则()g θ的最大值与最小值之和为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1021．（2021·河南·高三阶段练习（理））将函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数y =()g x 的图象，若()()()12124g x g x x x ⋅=-≠，则|x 1-x 2|的最小值为（ ） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π22．（2021·浙江金华·高三阶段练习）函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，02πϕ-<<）在区间()0,1上不可能．．．（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．有最大值D ．有最小值23．（2021·四川宜宾·模拟预测（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,3ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递增，则ω（ ） A ．有最大值为12 B ．有最小值为12 C ．有最大值为56D ．有最小值为5624．（2021·云南·高三阶段练习（理））将函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，若()()()12121g x g x x x =-≠，则122x x +的最小值为( )A ．3π B ．23π C ．12π D ．6π二、多选题25．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若(0)02f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个极值点，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为3π B ．()f x 在区间,()31839k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最小值等于12-D ．将()sin 2g x x =的图象向右平移12π个单位可得到3x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象 26．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且3BD = ）A ．ac 的最小值是4B ．ac 的最大值是4C ．3a c +的最小值是323+D ．3a c +的最小值是423+27．（2021·辽宁·抚顺县高级中学校高三阶段练习）设函数()()sin 33f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 关于12x π=-轴对称C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2D ．()f x 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 28．（2021·重庆一中高三阶段练习）函数()()cos 0,03f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭满足412f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，若()f x 在[)0,t 上存在最大值和最小值，则实数t 可以是（ ） A ．4πB ．2π C ．23πD ．56π 29．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高三期中）关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的最小值为1-C ．()f x 在[2,2]ππ-上有4个零点D ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增30．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数()|sin |3cos |f x x x =，下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 为偶函数C ．函数()y f x =的图像关于直线6x π=对称 D ．函数()y f x =的最小值为1三、填空题 31．（2021·全国·模拟预测（理））已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos a B b A =，M 是BC 的中点，若4AM =，则2AC AB 的最大值为___________.32．（2021·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．33．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期中（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin 2sin sin a b B a A B c C -=+-，ABC 的外接圆半径为2，若a tb +有最大值，则实数t 的取值范围是_______________________．34．（2021·江苏·金陵中学高三期中）法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 3角形ABC 的周长最小值为___________35．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，||2πϕ，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______36．（2021·广东·佛山一中高三阶段练习）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________．37．（2021·重庆·高三阶段练习）在等腰三角形ABC 中，AD 是底边BC 上的中线，点M 是AD 的中点，则sin ABM ∠的最大值为______ ．38．（2021·江西·高三期中（理））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222332c a b =+，当()tan C A -取最大值时，tan C =___________.39．（2021·黑龙江·高三期中（理））已知ABC 中，D 、E 分别是线段BC 、AC 的中点，AD 与BE 交于点O ，且90BOC ∠=°，若2BC =，则ABC 周长的最大值为__________ 40．（2021·全国·高三专题练习）已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．41．（2021·吉林·梅河口市第五中学高三阶段练习（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos c a B b A =-，则()tan A B -的最大值为___________. 42．（2021·全国·高三专题练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积()()()S p p a p b p c =---这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积()()()()2cos S p p a p b p c p d abcd θ=-----．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．43．（2021·山东菏泽·高三期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若AB 边上的高为13c ，当sin sin sin sin A B B A+取得最大值时的sin C =___________.44．（2021·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，若2224sin 3sin 2sin A B C =+，则SAB AC⋅的最大值为_______________________.45．（2021·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））设点P 在△ABC 内且为△ABC 的外心，∠BAC =30°，如图，若△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为12，x ，y ，则x·y 的最大值为________.46．（2021·四川·高三阶段练习（理））设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为钝角，且5cos cos 3a Bb Ac -=，则tan C 的最大值是______. 47．（2021·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为________.48．（2021·上海市七宝中学高三期中）已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>的最大值为2，则使函数()f x 在区间[]0,3上至少取得两次最大值，则ω取值范围是_______49．（2021·辽宁·高三期中）已知()2sin(2)3f x x π=+，若∃x 1，x 2，x 3∈30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，若x 1＋x 2＋x 3的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N ＝_______．50．（2021·广东珠海·高三期末）ABC 中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos tan tan B C B C +cos tan cos tan B B C C =+，则cos A 的最小值是___________. 51．（2021·河南郑州·二模（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，90ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ．若4a c +的最小值为9，则BD =_____．52．（2021·四川·高三阶段练习（文））在ABC 中，23A π∠=，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，且2AD =，则ABC 的面积的最小值为___________. 53．（2021·江苏南京·一模）在锐角三角形ABC 中，3A B π=-，(),BCu ACλ∈，则μλ-的最小值为_____________．54．（2021·陕西·西安中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+，则cos C 的最小值为_______． 55．（2021·全国·模拟预测（理））在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c A 为锐角，tan cos 1sin ,B C C ABC =-的面积为2，则ABC 的周长的最小值为___________.56．（2021·浙江·高三开学考试）设ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若ABC23，则23b a c a b ab +-的最小值是___________. 57．（2021·江苏省天一中学高三阶段练习）已知ABC 中，则2222sin sin 2sin A B C +=则111tan tan tan A B C++最小值是___ 58．（2021·湖南湘潭·高三阶段练习（理））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恰有一条对称轴，则ω的最小值是______________．59．（2021·上海·华师大二附中高三阶段练习）已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 60.（2021·全国·高三专题练习）若函数()sin 3πy f x ωx ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭（0>ω），63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值，则ω=______.。
2021年高考数学二轮复习 攻略三 应用题、最值与范围问题
2021年高考数学二轮复习 攻略三 应用题、最值与范围问题一、应用题应用题是历年高考的常考题型，其特点在于用文字表述，具有一定的问题背景，考查形式灵活多变，是考查同学们的应用意识，以及用所学基础知识分析和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算能力、数据处理能力等各个方面能力的有效载体．1．与函数、导数、不等式有关的应用问题对于实际生活中的一些优化问题，如成本最低、利润最大、用料最省等问题，常常需要将实际问题抽象为数学问题，然后化为函数的最值来解决，而求解函数最值最有效的方法是导数法．因此，导数被广泛地应用于实际活动中的一些优化问题的求解过程，成为求解这些优化问题的首选．【例1】 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803π立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 【解】 (1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3，故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r2－r )． 由于l ≥2r ， 因此0<r ≤2.所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2. 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m >0， 所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上所述，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.2．与数列有关的应用题现实生活中涉及到银行利率、分期付款、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，常常考虑用数列知识加以解决．能够把实际问题转化成数列问题，并且能够明确是等差数列还是等比数列，确定首项，公差(比)，项数各是什么，能分清是某一项还是某些项的性质是解决问题的关键．【例2】 (xx·福建厦门质检)在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6 000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%.(1)若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？(2)为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴7 200元那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？(参考数据：1.084≈1.4,1.085≈1.5,1.0810≈2.2，1.0811≈2.3)【解】 (1)依题意设小李在乙公司工作第n 年的年薪为b n 万元．则{b n }是等比数列， b 5＝4.8×(1＋8%)4＝6.72.答：小李在乙公司连续工作5年，他在第5年的年薪为6.72万元．(2)小李在乙公司连续工作10年，总收入为(b 1＋b 2＋…＋b 10)＋7.2＝72＋7.2＝79.2(万元)．设小李在甲公司工作第n 年的年薪为a n 万元，则{a n }是以4.2为首项，公差为0.6的等差数列．若小李在甲公司连续工作n 年，工资总收入为 S n ＝4.2n ＋0.3(n －1)n ＝0.3n 2＋3.9n ，依题意得S n ≥79.2，即n 2＋13n ≥264，(n －11)(n ＋24)≥0，n ≤－24(舍去)或n ≥11. 答：小李在甲公司至少要连续工作11年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入．(文)3.与统计、概率有关的应用题概率与统计以其独特的研究对象和研究方法在高中数学中占有特殊地位，是高考中的重要内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其他部分都有很大的不同，它们是进一步学习数理统计等高等数学的基础．纵观多年考情可发现，概率与统计的解答题在历年的高考中常考常新．命题体现知识交汇，注重能力立意，强调思维空间，是考查的亮点和生长点．从考查知识点看，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型、抽样方法、用样本估计总体、回归分析(以上为重点考查内容)，各省市每年必出一道解答题，属中档题．【例3】 (xx·广东深圳调研)某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2013年11月11网购金额(单位：千元) 频数 频率[0,1] 16 0.08 (1,2] 24 0.12 (2,3] x p (3,4] y q (4,5] 16 0.08 (5,6] 14 0.07 合计 200 1.00图(2)已知网购金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰好为3∶2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图(如图(2))；(2)营销部门为了了解该市网友的购物体验，在这200名网友中，用分层抽样方法从网购金额在(1,2]和(4,5]的两个群体中抽取5人进行问卷调查．若需从这5人中随机选取2人继续访谈，则此2人来自不同群体的概率是多少？【解】 (1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧16＋24＋x ＋y ＋16＋14＝200，16＋24＋x y ＋16＋14＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝50.∴p ＝0.4，q ＝0.25.补全频率分布直方图如图所示．(2)根据题意，“网购金额在(1,2]”的群体中应抽取2424＋16×5＝3人，记为a ，b ，c ，“网购金额在(4,5]”的群体中应抽取1624＋16×5＝2人，记为A ，B .在此5人中随机选取2人，有以下可能情况：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，共10种情况：设“此2人来自不同群体”为事件M ，包含了(a ，A )，(a ，B )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，共6种可能，∴P (M )＝610＝35，即此2人来自不同群体的概率是35.(理)3.与概率、分布列、期望有关的应用题概率与分布列、期望以其独特的研究对象和研究方法在高中数学中占有特殊地位，是高考中的重要内容，不论是思维方法还是解题技巧，与其他部分都有很大的不同，它们是进一步学习数理统计等高等数学的基础．纵观多年考情可发现，概率与分布列、期望的解答题在历年的高考中常考常新，命题体现知识交汇、注重能力立意，强调思维空间，是考查的亮点和生长点，从考查知识点看，主要考查古典与几何概型，互斥事件与相互独立事件、离散型随机变量的分布列、期望与方差、二项分布与独立重复试验等，各省市每年必出一道解答题，属中档题，考查数据处理能力和应用意识．【例3】 (xx·福建高考)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(Ⅰ)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (ⅰ)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ⅱ)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(Ⅱ)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．【解】 (Ⅰ)设顾客所获的奖励额为X .(ⅰ)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.(ⅱ)依题意，得X 的所有可能取值为20,60.P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为X 20 60所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×2＋60×12＝40(元)．(Ⅱ)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案X 2，则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.二、最值与范围问题最值与范围问题是高考命题的重点与热点，涉及到高中数学的所有主干知识，尤其是在函数与导数、解析几何等中情有独钟，特别关爱命制试题，以此考查学生的数学思想与方法及分析问题解决问题的能力．1．与函数、导数有关的最值与范围问题在函数与导数中，不少问题需转化为最值与范围有关的问题，如恒成立问题、不等式问题、方程的根与函数的零点问题等，从而构成了各省市高考数学试题中的主流方向．【例4】 (xx·山东德州一模)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值； (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(3)若a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．【解】 (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)∵x ＝2时f (x )取得极值．∴f ′(x )＝0，解得a ＝－34，经检验符合题意．(2)依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立．则a ≤1－2x x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1min (x >0)．当x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1.∴a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)a ＝－12，f (x )＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)．则g ′(x )＝x －2x －12x.x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋g (x ) 极大值 极小值∴g (x )min ＝g (2)＝ln 2－b －2，g (x )max ＝g (1)＝－b －4，g (4)＝2ln 2－b －2.∵方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 4≥0，得ln 2－2<b ≤－54.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤ln 2－2，－54. 2．与圆锥曲线有关的最值与范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题．这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决．解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x ，y )的取值范围．【例5】 如图，已知椭圆C 的离心率为32，A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且S △ABF ＝1－32. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 被圆O ：x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值． 【解】 (1)由已知椭圆C 的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，F (c,0)(c ＝a 2－b 2)．由已知可得e 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，①故c ＝3b .②S △AFB ＝12×|AF |×|OB |＝12(a －c )b ＝1－32.③ 把①②代入③，得12(2b －3b )b ＝1－32，解得b ＝1，故a ＝2，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)圆O 的圆心为坐标原点，半径为2，因为l 被圆O 所截得的弦长为23，所以圆心O 到直线l 的距离为d ＝22－32＝1，即|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2.④ 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－2km 14＋k 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝m 2－114＋k 2＝4m 2－44k 2＋1. 所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝164k 2－m 2＋14k 2＋12，⑤ 把④代入⑤，得|x 1－x 2|2＝48k24k 2＋12，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1. |MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×43|k |4k 2＋1＝43k 2k 2＋14k 2＋1， 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×d ＝12×43k 2k 2＋14k 2＋1×1＝23k 2k 2＋14k 2＋1.令t ＝4k 2＋1≥1，则k 2＝t －14，代入上式，得S ＝23×t －14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋1t 2＝32t －1t ＋3t 2＝32×t 2＋2t －3t 2＝32－3t 2＋2t ＋1＝32－1t 2＋23t ＋13＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49. 所以当t ＝3，即4k 2＋1＝3，解得k ＝±22时，S 取最得最大值，最大值为32×49＝1.35044 88E4 裤40486 9E26 鸦U31918 7CAE 粮33258 81EA 自24412 5F5C 彜39509 9A55 驕$31472 7AF0 竰SN36021 8CB5 貵29686 73F6 珶l€。
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培优点7 三角函数中的范围、最值问题
【方法总结】
以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键．
【典例】1 (1)若函数y ＝sin 2x ＋acos x ＋58a －32在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，则实数a 的值为________．
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3acos C ＋b ＝0，则tan B 的最大值是________．
【典例】2 (1)(2020·烟台模拟)将函数f(x)＝cos x 的图象向右平移2π3
个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，1，则ω的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫83，＋∞ (2)若将函数f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．
【方法总结】
(1)求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具：三角函数的有界性，基本不等式，二次函数等．
(2)求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象．
【拓展训练】
1．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3
对称，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
2．若函数f(x)＝2sin x ＋cos x 在[0，α]上是增函数，则当α取最大值时，sin 2α的值等于( )
A.45
B.35
C.25
D.215
3．已知函数f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6中x 在任意的15个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那么正实数ω的取值范围是________．
4．已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上恰有两个零点，且在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π24上单调递增，则ω的取值范围是________．。