理想流体的有旋流动和无旋流动
无旋流动与有旋流动
从场论的观点： 由于一个数量场 的梯度的旋度为零，即：
( ) 0
每个无旋的速度场
v 均可对应于某个梯度场 。
因此，无旋流场与速度有势场互为充要条件。
4
重要推论：
1）任意指定方向的速度为
x y z vs s x s y s z s ucos( s, x) vcos( s, y) wcos( s, z)
位函数在某个方向的偏导数等于速度在该方向的分量。
2）对于无旋流，沿连接A，B的曲线进行速度的线积分，结果与路径
无关，只与两端点的 值之差有关。
B
A
v dl dl d B A
A A
5
B
B
涡量：
流体微团速度向量的旋度(curl)定义为流体
微团的涡量，以 表示，
7
8
9
10
u 例：设有一个二维流场的速度分布为：
什么？变形率是什么？
2ax, v 2ay
问：该流动是有旋还是无旋？有没有速度势存在？流线方程是
11
1 v u z ( ) 0 2 x y
12
无旋流动/有势流动
流体微团的旋转角速度写作矢量的形式为：
1 ω rot 2
一个流场，如果各处的
1 v v 2
ω0
都等于零，这样的流动称为
无旋流动，即在运动学分析中没有观察到微团的旋转现象。
1
速度的旋度在笛卡尔直角坐标系的运算表达式：
i rot
j y
k z
v
x
vx
vy
Байду номын сангаасvz
2
从而，无旋流动条件也可以写作：
华北电力大学823热工基础2021年考研专业课初试大纲
华北电力大学2021年硕士生入学考试初试科目考试大纲考试科目编号：823考试科目名称：热工基础热工基础课程包括三部分内容：工程热力学、传热学、工程流体力学，每部分75分，考生需从中选取2个部分的内容作答，满分150分。
《工程热力学》部分一、考试的总体要求掌握工程热力学基本概念、能量转化的基本规律和工质（主要是理想气体和水蒸气）的基本性质，理论与实际结合，分析与计算各种与热力学有关的现象和问题。
二、考试的内容1．基本概念：热力系统、绝对压力、可逆过程、卡诺循环、卡诺定理、热力学第二定律的内容、过程进行的方向性、孤立系统熵增原理、㶲、制冷系数、热泵系数、水蒸气临界点、喷管的选择、临界压力比、节流、多级压气机的最佳中间压力、压气机的等熵效率、朗肯循环、再热循环、抽汽回热循环、热电联产、燃气轮机循环、燃气蒸汽联合循环、回热度、汽轮机相对内效率等等。
2．理想气体计算：理想气体的状态方程、比热容、热力学能、焓、熵的计算；理想气体热力过程计算；压气机计算；喷管计算。
3.水蒸汽计算水蒸汽的热力学能、焓、熵、干度，水蒸气的热力过程计算。
4．热力循环计算：卡诺循环、朗肯循环、再热循环、抽汽回热循环、热电联产、燃气轮机循环、燃气-蒸汽联合循环等的计算。
三、考试的题型简答题、计算题、分析题等。
四、参考书目王修彦：《工程热力学》，机械工业出版社沈维道童钧耕：《工程热力学》，高等教育出版社等《传热学》部分一、考试的总体要求掌握热能传递的基本规律和基本理论；能够应用工程数学知识建立传热问题的物理模型、并进行解析分析；具有利用传热学知识解决、分析工程实际问题的能力；对热工测试方法具有初步了解。
二、考试的内容1. 热传导导热基本定律；导热微分方程及其定解条件；单层、多层平壁和圆筒壁的稳态导热温度分布及导热量的计算；稳态导热热阻；肋效率、等截面直肋的稳态导热分析方法。
非稳态导热的集总参数分析法；一维非稳态导热问题的分析解及其讨论；半无限大物体的非稳态导热；简单形状物体二维和三维导热问题的计算方法。
有旋流动和无旋流动
分析流体的速度场、流体性质和边界条件是否满 足有旋流动和无旋流动的转换条件。
转换过程的实现
通过改变流体的某些参数，如速度、压力、温度 等，促使有旋流动和无旋流动之间的转换。
转换的影响因素
能量损失
有旋流动和无旋流动之间的转换 会导致能量损失，包括摩擦损失
和能量转换损失。
流动稳定性
转换过程可能会影响流体的稳定性， 导致流体的状态发生波动或失稳。
产生条件
恒定流
在恒定流场中，流线是平行且均匀的，因此不会产生旋涡。
势流
在势流中，流体受到的力与流速的大小和方向无关，因此不会产生旋涡。
实例分析
河流中的平直河段
在平直河段中，水流是平顺的，没有旋涡产生。
飞机在空中飞行时，机翼下方的气流
由于机翼的形状和气流的速度，机翼下方的气流会形成无旋流动。
04
有旋流动和无旋流动的研究对 于理解流体运动规律、优化流 体机械设计、提高流体输送效 率等方面具有重要意义。
对未来的展望
未来研究可以进一步深入探索有旋流动和无旋流 动的内在机制和演化规律，以及它们在不同条件 下的表现和相互作用。
在实际应用方面，可以结合具体工程背景，研究 有旋流动和无旋流动在流体机械、能源利用、环 境保护等领域中的应用，提出更加高效、环保的 解决方案。
有旋流动与无旋流动的转换
转换条件
速度场条件
有旋流动和无旋流动的转换取决于速 度场的条件，包括速度的大小和方向。
流体性质
边界条件
流体的边界条件，如管道的形状、入 口和出口条件等，也会影响有旋流动 和无旋流动的转换。
流体的粘性、密度、弹性等物理性质 对转换过程也有重要影响。
转换过程
第八章 理想流体有旋流动和无旋流动
y
y vy vx x
v x t
vy
v y x
x
vx
vx x
x
v y t
线变形运动
x方向的速度差
v B x vA x v x x x v C x v D x v x x x
y方向的速度差
vD yvA y v y y y vC yvB y v y y y
AB、DC在δt时间内伸长
y
vx
vx x
x
vx y
y
vy
vy x
x
vx
vx x
x
平移运动
矩形ABCD各角 点具有相同的速 度 分 量 vx 、 vy 。 导 致 矩 形 ABCD 平 移 vxδt, 上 移 vyδt, ABCD的形 状不变。
vy
vy y
y
vx
vx y
y
vy
v y x
x
v y y
y
vx
vx x
x
vx y
角变形速度的平均值
z
1 2
vy x
vx y
x
1 2
vz y
vy z
y
1 2
vx z
vz x
v x y t y
y
x
v y x t x
旋转运动
v x y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。
流体力学课程自学辅导资料
流体力学课程自学辅导资料二○○八年十月教材：工程流体力学教材编者：孔珑出版社：中国电力出版社出版时间：2007年注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
第一章绪论一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体力学的研究内容和研究方法（二）本章重点流体力学的研究内容和研究方法（三）本章前后联系为本书的其它章节内容做一介绍二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念研究内容：是力学的一个独立分支，是一门研究流体的平衡和运动规律及其实际应用的技术科学。
研究速度分布、压强分布、能量损失及作用力。
研究方法：理论分析、实验研究、数值计算（二）本章难点及学习方法指导流体力学研究内容三、典型例题分析（略）四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题（略）（二）习题解答（只解答难题）（略）第二章流体及其物理性质一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心1、流体的几个性质2、流体的几个物理模型3、作用在流体上的力（二）本章重点1、流体的压缩性、粘性2、连续介质模型、不可压缩流体模型、理想流体模型3、作用在流体上的力：表面力和质量力（三）本章前后联系为本书的其它章节建立物理模型二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体力学定义：受任何微小剪切力都能连续变形的物质特征：流动性2、连续介质模型：（1）宏观上无限小（2）微观上足够大（3）有确定物理量连续介质假设(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：f =f(t,x,y,z)。
特例：分子的自由行程和所涉及的最小有效尺寸可以相比拟时，如火箭在高空非常稀薄的空气中以及高真空技术3、压缩性：一定温度下、压强增加体积缩小的性质4、膨胀性：一定压强下、温度升高体积增大的性质5、不可压缩流体模型：通常情况下液体流速不高、压强变化小气体6、粘性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质影响粘性的主要因素：流体种类、温度和压强7、牛顿流体：牛顿内摩擦定律和牛顿流体8、理想流体模型：粘度为09、作用在流体上的力：表面力和质量力（二）本章难点及学习方法指导1、流体的力学定义2、不可压缩流体模型3、理想流体模型三、典型例题分析1、P8. 例2-12、P14例2-4四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题2-1、2-3、2-14（二）习题解答（只解答难题）（略）第三章流体静力学一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体静压强分布及作用在平面和曲面上的力（二）本章重点1、流体静压强特性2、流体静力学基本方程及其物理和几何意义3、液体相对平衡时压强分布及工程应用4、静止液体作用在平板上总压力大小和位置5、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（三）本章前后联系流体静力学是力学的基础知识，最基本内容二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体静压强特性：方向沿作用面内法线方向，大小和作用面方位无关2、等压面：压强相等的点组成的面3、流体静力学基本方程及其物理和几何意义：水头、测压管水头、压强势能、重力势能4、帕斯卡原理、液柱式测压计5、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理6、静止液体作用在平板上总压力大小和位置7、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（二）本章难点及学习方法指导1、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理2、静止液体作用在平板上总压力大小和位置3、静止液体作用在曲面上总压力，压力体三、典型例题分析1、P30. 例3-22、P37. 例3-63、P40. 例3-7四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题1.相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？2.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强 ？3、圆筒,H0=0.7m,R=0.4m, V=0.25m3, ω=10rad/s,中心开孔,顶盖m=5kg 。
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
有旋流动和无旋流动
因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本 性质，然后再介绍二维平面势流理论。
基本要求 了解有旋流动和无旋流动的定义，理解速度环量和旋涡强度的概念，掌
J dA 2 ndA
A
A
如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，
它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于w，而且
取决于面积A。
二、速度环量Γ(velocity circulation):
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某
一 核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋 转范围越扩大。
❖
❖
证明流体力学中一些重要定理（见开尔文定理，亥姆霍兹定理，
伯努利定理）时，常需假设流体满足正压条件。例如可以证明，若流体
是理想、正压且所受力是有势的,则流体中的涡旋既不能产生,也不能消
灭。由此可知，正压条件是判别流体中是否有涡旋的一个重要依。
❖
❖ 流体一般可以看作是一个平衡的热力学系统，它可以用包含热力学状态 参量的状态方程p＝┃(ρ,T)来描述。
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方 向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上 也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的 分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本 规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，
也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度
分布有密切关系。
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
第六节 连续方程： 体系表达式的基本物理定律－>
积分形式方程：流体流动的总体性能关系，如流体作用在 物体上合力，总的能量传递等 微分形式方程：详细了解流动过程各个参数
一、积分形式连续方程： 连续方程：质量守恒定律应用于流动流体的数学表达式 流体块体积: V 流体块密度: 流体块质量:
代入雷诺输运定理：
穿过控制体表面流体净动量通量： =单位时间流出控制体的流体所带走动量 -单位时间流进控制体的流体所带进动量
定常流，动量方程为：
直角坐标系下，x方向动量方程分量形式：
y和z方向动量方程分量形式：
动量方程：求流体对物体的作用力 动量方程：加以改写 取控制体如图：
A=A1+A2+A3
动量方程中：
线变形： y方向
t时： AD边长ds t+dt时：A’D’’在y方向投影A’D’长度
单位时间流体微团沿y向相对伸缩量 即单位时间AD沿y向相对伸缩量：y向线变形
(2)角变形： 在xy平面，绕z轴 流体线：流体质点组成的线段，随流体运动并改变形状 考查AB、AD流体线
流体微团角变形速度：流体微团上任意两条互相垂直流体 线夹角的时间变化率的一半
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
物体对流体作用力： 流体对物体作用力：
在A1上：
动量方程变为： 分量形式为：
讨论： 1) 空气：质量力略去不计
有旋流动与无旋流动
y
B A C D
B’ C’ 0
�
A’ D’
B’’ C’’
A’’ D’’
x
需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再确 定速度分布的 。
§ 2.5 环量与涡
§ 2.5.1 环量与涡的概念 � 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。 � 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲 线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行 方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向 的左侧。
旋流。一个流场，如果各处的
ωx x
� ω 都等于零，这种流场称为有很大的意义。无旋流多了一个 ω = 0 的条件。这个
条件就是 ：
ω x = 0, ω y = 0, ω z = 0
∂v ∂w = ; ∂z ∂y
�
∂u ∂v = ; ∂y ∂x
∂u ∂v ∂w 略高次项后＝ + + ∂x ∂y ∂z
� � 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而 质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：
� ω
� ∂u ∂v ∂w divV = + + =0 ∂x ∂y ∂z
∫ (udx + vdy + wdz ) = ∫ dφ = φ
A A
� 例. 设有一个二维流场其速度分布是
B
B
B
− φA
u = 2 ax,
v = −2 ay
,
问这个流动是有旋的还
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
vx vy vz 0
x
y
z
vx vy vz 0 x y z
vx vy 0
x
y
vx vy 0 x y
第二节 流体微团运动分解
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变
形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样
可以移动和转动，而且还会发生变形运动。 所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移
动、转动和变形运动三部分。
vMx
vx
vx x
x
vx y
y
vx z
z
vMy
vy
vy x
x
vy y
y
vy z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
图8-2 平行六面体微小流体质团
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 vx 2 z
vz x
z
1 vx 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx
vx x
δ
x δ t
vx
δt
vx x
δ
x
δt
v y
vy y
δ
y t
vy
δt
vy x
δ
y
δt
vx x
δ xδt
vx
δ x δt x
vy y
δ
yδt
vy
δ y δ t y
vMx
vx
vx x
x
zy yz
yz zy
8-第8讲 理想流体的有旋与无旋流动
21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。 这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、 流函数与势函数满足科希-黎曼关系式 由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、 等流函数线与等势线正交 对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）
q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注： 设 常数 ， 得到流线方程为 如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数 ，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流 的流函数与势函数的推导如下。 点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。 对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函 数，记作 ，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、 对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数 若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有
工程流体力学的名词解释
一、名词解释。
1、雷诺数：是反应流体流动状态的数，雷诺数的大小反应了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对比关系。
2、流线：流场中，在某一时刻，给点的切线方向与通过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。
3、压力体：压力体是指三个面所封闭的流体体积，即底面是受压曲面，顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或者其延长面上的投影面，中间是通过受压曲面边界线所作的铅直投影面。
4、牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。
5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。
6、拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。
7、自由紊流射流：当气体自孔口、管嘴或条缝以紊流的形式向自由空间喷射时，形成的流动即为自由紊流射流。
8、流场：充满流体的空间。
9、无旋流动：流动微团的旋转角速度为零的流动。
10、有旋流动：运动流体微团的旋转角速度不全为零的流动。
11、自由射流：气体自孔口或条缝向无限空间喷射所形成的流动。
12、稳定流动：流体流动过程与时间无关的流动。
13、不可压缩流体：流体密度不随温度与流动过程而变化的液体。
14、驻点：流体绕流物体迎流方向速度为零的点。
15、流体动力粘滞系数u：表征单位速度梯度作用下的切应力，反映了粘滞的动力性质。
16、压力管路的定义。
---凡是液流充满全管在一定压差下流动的管路都称为压力管路。
17、作用水头的定义。
----任意断面处水的能量，等于比能除以。
含位置、压力水头和速度水头。
单位为m。
18、层流：当流体运动规则，各部分分层流动互不掺混，流体质点的迹线是光滑的，而且流场稳定时，此种流动形态称为层流。
19、湍流：当流体运动极不规则，各部分流体相互剧烈掺混，流体质点的迹线杂乱无章，流场极不稳定时。
此种流动形态称为“湍流”。
20、表面张力：液体表面任意两个相邻部分之间的垂直与它们的分界线的相互作用的拉力。
第七章 理想气体的有旋流动和无旋流动
第五章 管流损失和水力计算
§7.10 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §7.11 几种简单的平面无旋流动的叠加 §7.12 平行流绕过圆柱体无环流的平面流动 §7.13 平行流绕过圆柱体有环流的平面流动 库塔-儒可夫斯基公式 库塔-
§7.1 微分形式的连续方程
一、微分形式的连续方程
的微元平行六面体。 控制体的选取: 边长为dx， ， 的微元平行六面体 控制体的选取: 边长为 ，dy，dz的微元平行六面体。 形心坐标： x, y, z 形心坐标： 三方向速度： 三方向速度： vx , vy , vz 密度： 密度：ρ
∇ ⋅ ( ρv ) =
∂ ∂ ∂ ( ρv x ) + ( ρv y ) + ( ρv z ) = 0 ∂x ∂y ∂z
不可压缩流体的定 常或非定常流动： 常或非定常流动：
∇⋅v =
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂y ∂z
§7.1 微分形式的连续方程
其它形式的连续方程（ 二、其它形式的连续方程（续）
v x dt
y方向移动速度： vy 方向移动速度： 方向移动速度 z方向移动速度： vz 方向移动速度： 方向移动速度
D
A
v y dt
C
x
§7.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
流体微团运动的分解( 二、流体微团运动的分解(续)
1.移动 1.移动 各角点的速度分量中都包 含vx,vy x方向移动速度： vx 方向移动速度： 方向移动速度
vx − ∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz + − ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
vx −
∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
东北大学15年9月《工程流体力学》考前复习题试卷最新试卷最新
东北大学15年9月《工程流体力学》考前复习题一、判断题1．流体质点是指宏观上足够小，而微观上又足够大的流体微团。
（T）2．液体的粘性随温度的升高而增大。
（F）3．气体的粘性随温度的升高而减小。
（F）4．牛顿流体的粘性切应力与速度梯度，即角变形速率成正比。
（T）5．静止的流体只能承受压应力。
（T）6．在描述流体运动中欧拉法没有直接给出流体质点的运动轨迹。
（T）7．定常流动，流线与迹线重合。
（T）8．应用总流伯努利方程解题时，两个断面间一定是缓变流，方程才成立。
（F）9．由于流体粘性的存在和影响，使流体呈现两种不同的流态，就是层流和紊流。
（T）10．雷诺数是表征重力与惯性力的比值。
（F）11．静止的流体中任意一点的各个方向的压强值均相等。
（T）12．静止液体的等压面一定是一个水平面。
（T）13．大气层中的压强与密度、温度的变化有关而且受季节、气候等因素的影响。
（T）14．压力体的体积表示一个数学积分，与压力体内是否有气体无关。
（T）15．理想流体的运动可分为有旋流动和无旋流动两种类型。
（T）16．不可压缩流体的无旋流动由于存在速度势和流函数，故又称为位势流动。
（T）17．如果流场中若干流体微团无绕自身轴线旋转运动，刚称为无旋流动。
（F）18．如果任一条封闭曲线上的速度环量皆为零，则此区域内的流动必为无旋流动。
（T）19．不可压缩流体中的，速度势函数满足拉普拉斯方程，速度势函数是调和函数。
（T）20．在位势流场中，任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值之差，而与曲线形状无关。
（T）二、填空题1．液体的动力粘性系数随温度的升高而减小，牛顿流体是指切应力与速度梯度成正比的流体。
2．欧拉法中，流体的加速度包括时变加速度和位变加速度两种，如果流场中时变加速度为零，则称流动为定常流动，否则，流动称为非定常流动。
3．雷诺实验揭示了流体流动存在层流和紊流两种流态，并可用雷诺数来判别流态。
4．一般管路中的损失，是由沿程损失和局部损失两部分构成，在定常流动中，沿程水头损失与流速的平方成正，所谓的长管是指局部损失比沿程损失小得多，可以忽略不计。
理想流体的有旋流动和无旋流动
Ω
S
C
n
速度环量(velocity circulation):速度在某一封闭周 线切线上的分量沿该封闭周线的积分。
K v ds vx dx v y dy vz dz
K
速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关， 规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向 形成右手螺旋系统。
v yB v yC v xA v xB d dx dy 2 2 v v yA v xC v xD dx yD dy 2 2
0
x
将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到
v y vx d x y dxdy
v y vx d 2 z dxdy x y
是研究非定常流动必不可少的定解条件 • 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。
A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度
流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；
B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相 等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。
v v v x y z x y z
v M i vi
vi xj x j
i 1, 2, 3
亥姆霍兹运动分解定理
平移运动
vM i
v vi i x j x j
vi 1 vi v j 1 vi v j ij ij ( ) ( ) x j 2 x j xi 2 x j xi
不可压缩流体 定常流动
即
常数
divv 0
vx v y vz 0 x y z
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vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fy
1
p y
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
兰姆方程
v t
v2 2
2w v
f
1
p
当 wx wy wz 0 流动是无旋的；
否则，流动是有旋的。
四、定解条件
• 1、起始条件：起始瞬时流场中的流动分布
t 0,v vx, y,z, p px, y,z, x, y,z
ω
dr
涡管(vortex tube): 某一时刻，由涡线组成的管
状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡
线）。
Ω
涡通量(vortex flowrate): 旋转角速度的值与垂 直于角速度方向的微源涡管横截面积的乘积 的两倍。涡量场的通量（涡强）。
J ΩdA 2ndA A
Ω
Sn
速度环量(velocity circulation):速度在某一封闭周
v(x, y, z,t) ui vj wk
Taylor展开并略去高阶小量，有
vM (x
x, y
y, z
z,t)
x
x
v
y
y
v
z
z
vMx vMy
vx vy
vx x vy
x
x x
vx y vy
y
y y
vx z vy
z
z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
Ω v 2ω v （0 无旋） v （ 0 有旋）
（2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来，
研究粘性流体运动规律。
ij
ij
t 时刻：流体微团
M (x x, y y, z z)
M 0 (x, y, z)
vM (x x, y y, z z,t) uM i vM j wM k r xi yj zk
d dxdy
v y x
vx y
2z
K J
六、 Stokes定理
速度环量定理（Stokes定理）
v
K
ds
v
dA
Ω
d
A
C J
沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的 面积的涡通量。即：涡通量和速度环量都是反映旋 涡作用的强弱。
应用条件：单连通区域， 即任意封闭周线都能连续 地收缩成一点而不越出流体的边界。
有旋流动
特点:
1、 v （0 有旋）
dx
dy
dz
2、
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
3、 J 2 ndA
A
vxdx vydy vzdz
J
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理
1、汤姆孙定理：理想正压流体在有势质量力的作用下，速 度环量和旋涡都是不能自行产生或消失。理想流体没有 粘性。
)
变形运动
旋转运动
三、理想流体运动方程
• 牛顿第二定律 F ma
• 流体平衡的欧拉方程： f 1 p 0
• 欧拉方法中加速度的表达形式：
ax
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
a v v•v
t
流体运动欧拉方程
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
1
p x
vy t
z
vM i
vi
vi x j
xj
i 1, 2, 3
亥姆霍兹运动分解定理
平移运动
vM
i
vi
vi x j
xj
vi x j
ij
ij
1 ( vi 2 xj
vj ) 1 ( vi xi 2 xj
vj ) xi
ij
1 ( vi 2 x j
v j xi
)
ij
1 ( vi 2 x j
v j xi
第八章 理想流体的有旋 流动和无旋流动
主要内容
• 理想流体微分形式的基本方程(连续方程、 运动方程)
• 流体微团运动分析（平移运动、变形运动） • 二维势流以及叶栅、叶型绕流的升力计算
为工程实践提供理论依据；同时是研究黏性流体多维流动的基础
一、微分形式的连续方程
• 两种方法
（1）微元控制体分析法 （2）有限控制体分析法
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M
z
( vx
x
)
( vy
y
)
( vz
z
)dxdydzdt
vdxdydzdt div( v)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体 内由于密度变化而减少的质量，即
div( v)dxdydzdt dxdydzdt
t
连续性微分方程
D
vx
vx y
dy
vx
A
vy
0
C
v v
v x dx x dy
x x
y
d vxA vxB dx vyB vyC dy
2
2
B
vx
vx x
dx
v xC
v xD
dx
v yD
v yA
dy
2
2
vy
vy x
dx
x
将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到
d
vy x
vx y
dxdy
vds 2 wndA
A
div( v) v 0 ——连续性方程的微分形式
t
t
不可压缩流体 定常流动
即
常数
divv 0
vx vy vz 0 x y z
二、 流体微团运动分解
• 流体微团：指大量流体质点组成的具有线 性尺度效应的微小流体团。
• 流体在运动过程中可能发生变形或旋转， 只要微团的运动分析清楚了，流场的运动 就知道了。
是研究非定常流动必不可少的定解条件 • 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。
A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度 流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；
B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相 等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。
C
线切线上的分量沿该封闭周线的积分。
K
v ds
K
vxdx vydy vzdz
速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关，
规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向
形成右手螺旋系统。
六、 Stokes定理
y
v vy dx y y
v vy dx vy dy
y x
y
从A点起逆时针方向积分，可以得到 微分形式的速度环量为
第八节 平面涡流
• 前提：重力作用，理想不可压流体。 • 一无限长，涡通量为J的铅直涡束，象刚体
一样以等角速度ω绕自身轴旋转。涡束周围 的流体受涡束的诱导将绕涡束轴做对应的 等速圆周运动。 • 涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区； 涡束外的流动为无旋流动，称为环流区。
第八节 平面涡流
y
环流区速度分布:
pb
pc
1 2
vb2
p
pb
结论：在环流区随着半径减小，流速升高，压强 降低；涡核区和环流区的压强降相等；涡核区的 压强比环流区的低，涡核区本身很小，使得径向 压强梯度大，故有向涡核中心抽吸作用。 应用：离心泵，旋风燃烧室，离心式除尘器等。
第九节 速度势、流函数、流网
主要内容： 1、速度势； 2、流函数； 3、简单平面势流及其叠加。
三、流网
• 对于不可压缩流体平面无旋流动中：
vx
x
y
vy y x
0
x x y y
C2 C1
C3 C4
流线
可知流线和等势线是正交的，等势线
K3
和流线
Ci
Ki
形成了由相互垂直的交叉线组成的网，
称为流网。
K2
等势线
vy y
vx x
K1
第十节 几种简单的平面势流
t t
y
dy
M0
x
z dx dz
t
M
M0 一般运动 ＝ 平移 ＋ 线变形 ＋ 旋转 ＋ 角变形
1. 平移运动——平移速度vx,vy 代表微团平移运动。
2. 线形变运动
xx
vx x
：为x方向流体线的线变形速率;
x
yy
v y y
：为y方向流体线的线变形速率;
zz
vz z
：为z 方向流体线的线变形速率。
（1）以速度 v 作平移运动；
（2）绕某瞬时轴以平均角速度 ω 旋转，不引起微团形状的改变；
（3）纯变形运动：线变形速率 xx , yy , zz 使流体微团的体积膨胀或缩
小，角变形速率 xy , yz , zx 使流体微团发生角变形。
速度分解定理的意义：
（1）旋转运动从一般运动中分离出来，流体运动分为无旋和有旋运动;
例题
• 已知理想流体定常流动的速度分布公式为
vx a y2 x2 1 2 ,vy vz 0
试求涡线方程与沿封闭周线 x2 y2 b2 z 0
的速度环量，a，b为常数。
例题
• 已知平面流动的流速为: vx x2 2x 4y vy 2xy 2y （1）检查是否连续；（2）是否无旋；