理想流体的有旋流动和无旋流动

B
B
AB vxdx vydy vzdz d B A
A
A
B A
不可压缩流体连续性方程：
积分与曲线 形状无关
vx vy vz 0 x y z
2 2 2 0 2
x2 y2 z 2
不可压缩流体的有势流动中，速度满足拉普拉斯方程； 势函数Φ为调和函数； 势流为不可压缩流体的无旋流。
pb
pc
1 2
vb2
p
pb
结论：在环流区随着半径减小，流速升高，压强 降低；涡核区和环流区的压强降相等；涡核区的 压强比环流区的低，涡核区本身很小，使得径向 压强梯度大，故有向涡核中心抽吸作用。 应用：离心泵，旋风燃烧室，离心式除尘器等。
第九节 速度势、流函数、流网
主要内容： 1、速度势； 2、流函数； 3、简单平面势流及其叠加。
（1）以速度 v 作平移运动；
（2）绕某瞬时轴以平均角速度 ω 旋转，不引起微团形状的改变；
（3）纯变形运动：线变形速率 xx , yy , zz 使流体微团的体积膨胀或缩
小，角变形速率 xy , yz , zx 使流体微团发生角变形。
速度分解定理的意义：
（1）旋转运动从一般运动中分离出来，流体运动分为无旋和有旋运动;
一、微分形式的连续方程
z y
o
x
dmx
dmx’
dz
dy dx
dt时间内x方向：
流入质量
dmx vxdydzdt
流出质量 净流出质量
dmx'
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vx
( vx
x
) dxdydzdt
M x
dmx'
dmx
( vx
x
) dxdydzdt
同理：
M
y
( vy
y
)
dxdydzdt
M z
( vz
z
) dxdydzdt
y
微团体积膨胀率：流体微团的体积在单位时间的相对变化。
1 d( V ) vx vy vz v V d t x y z
3. 角变形运动
由对应的角速度 d1 vx
dt y
d2 vy
dt x
1
平面上两垂直流体线的平均角变形速率：
2
1 2
(d1 d2 )
dt
1 2
( vx y
v y x
Ω v 2ω v （0 无旋） v （ 0 有旋）
（2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来，
研究粘性流体运动规律。
ij
ij
t 时刻：流体微团
M (x x, y y, z z)
M 0 (x, y, z)
vM (x x, y y, z z,t) uM i vM j wM k r xi yj zk
• 势函数的作用：对于不可压缩流体的无旋流动问 题归结为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯 方程问题。
求解：均匀等速流，源流和汇流，势涡
V0
m
一、均匀等速流
• 流线平行，流速相等
v
vxi
vy
j
vx0i
vy0
j
其中vx0，vy0为常数
d
x
dx
y
dy
vx0dx
vy0dy
vx0x vy0 y
C
线切线上的分量沿该封闭周线的积分。
K
v ds
K
vxdx vydy vzdz
速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关，
规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向
形成右手螺旋系统。
六、 Stokes定理
y
v vy dx y y
v vy dx vy dy
y x
y
从A点起逆时针方向积分，可以得到 微分形式的速度环量为
是研究非定常流动必不可少的定解条件 • 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。
A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度 流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；
B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相 等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。
五、 有旋流动的基本概念
有旋运动的基本特征: 存在涡量场 Ω 。 v 0
涡线 (Vortex line): 任一时刻，涡线上每一点的 切向量都与该点的涡向量相切。涡线微分方程
Ω dr 0
dx
dy
dz
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
积分时时间变量t 作常数处理。
2、亥姆霍兹定理：
A、在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。涡管不 能在流体中开始或者终止，自能形自封闭管圈，或者在 边界上开始或终止。
B、理想正压流体在有势的质量力作用下，涡管永远保 持为由相同流体质点组成的涡管。
C、涡管强度不随时间变化，永远保持为定值。
2ndA C A
涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形， 或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。 龙卷风开始和终止于地面与云层。 烟圈呈环形。
第八章 理想流体的有旋 流动和无旋流动
主要内容
• 理想流体微分形式的基本方程(连续方程、 运动方程)
• 流体微团运动分析（平移运动、变形运动） • 二维势流以及叶栅、叶型绕流的升力计算
为工程实践提供理论依据；同时是研究黏性流体多维流动的基础
一、微分形式的连续方程
• 两种方法
（1）微元控制体分析法 （2）有限控制体分析法
z
vM i
vi
vi x j
xj
i 1, 2, 3
亥姆霍兹运动分解定理
平移运动
vM
i
vi
vi x j
xj
vi x j
ij
ij
1 ( vi 2 xj
vj ) 1 ( vi xi 2 xj
vj ) xi
ij
1 ( vi 2 x j
v j xi
)
ij
1 ( vi 2 x j
v j xi
二、流函数
• 对于不可压平面流动
P206，qv=Ψ2-Ψ1，沿流线 全长，两流线间的流量保 持不变。
vx vy x y dx dy vx vy
vx
y
,vy
x
d vydx vxdy
每条流线上，dΨ=0，Ψ=常数，所以Ψ（x，y）为流函数
对于无旋流动： 2 2 0 2
x2 y2
流函数Ψ为调和函数
d
x
dx
y
dy
vy0dx vx0dy
vy0 x vx0 y
P=常数
二、源流和汇流
定义：在无限平面上，流体从一点沿径向直线均匀向各方流出， 称为源流。 若流体沿径向直线均匀从各方流入一点，称为汇流。
y
r
x
ψ=const
源流
φ=const
v(x, y, z,t) ui vj wk
Taylor展开并略去高阶小量，有
vM (x
x, y
y, z
z,t)
v(x, y, z,t)
v
x
x
v
y
y
v
z
z
vMx vMy
vx vy
vx x vy
x
x x
vx y vy
y
y y
vx z vy
z
z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
有旋流动
特点:
1、 v （0 有旋）
dx
dy
dz
2、
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
3、 J 2 ndA
A
vxdx vydy vzdz
J
第七节 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理
1、汤姆孙定理：理想正压流体在有势质量力的作用下，速 度环量和旋涡都是不能自行产生或消失。理想流体没有 粘性。
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
fy
1
p y
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
fz
1
p z
兰姆方程
v t
v2 2
2w v
f
1
p
当 wx wy wz 0 流动是无旋的；
否则，流动是有旋的。
四、定解条件
• 1、起始条件：起始瞬时流场中的流动分布
t 0,v vx, y,z, p px, y,z, x, y,z
d dxdy
v y x
vx y
2z
K J
六、 Stokes定理
速度环量定理（Stokes定理）
v
K
ds
v
dA
Ω
d
A
C J
沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的 面积的涡通量。即：涡通量和速度环量都是反映旋 涡作用的强弱。
应用条件：单连通区域， 即任意封闭周线都能连续 地收缩成一点而不越出流体的边界。
第八节 平面涡流
• 前提：重力作用，理想不可压流体。 • 一无限长，涡通量为J的铅直涡束，象刚体
一样以等角速度ω绕自身轴旋转。涡束周围 的流体受涡束的诱导将绕涡束轴做对应的 等速圆周运动。 • 涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区； 涡束外的流动为无旋流动，称为环流区。
第八节 平面涡流
y
环流区速度分布:
例题
• 已知理想流体定常流动的速度分布公式为
vx a y2 x2 1 2 ,vy vz 0
试求涡线方程与沿封闭周线 x2 y2 b2 z 0
的速度环量，a，b为常数。
例题
• 已知平面流动的流速为: vx x2 2x 4y vy 2xy 2y （1）检查是否连续；（2）是否无旋；
)
变形运动
旋转运动
三、理想流体运动方程
• 牛顿第二定律 F ma
• 流体平衡的欧拉方程： f 1 p 0
• 欧拉方法中加速度的表达形式：
ax
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
a v v•v
t
流体运动欧拉方程
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
fx
1
p x
vy t
D
vx
vx y
dy
vx
A
vy
0
C
v v
v x dx x dy
x x
y
d vxA vxB dx vyB vyC dy
2
2
B
vx
vx x
dx
v xC
v xD
dx
v yD
v yA
dy
2
2
vy
vy x
dx
x
将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到
d
vy x
vx y
dxdy
vds 2 wndA
A
第九节 速度势、流函数、流网
• 一、速度势
w0 vz vy , vx vz , vy vx y z z x x y
d dx dy dz
x y z
vx
x
,vy
y
,vz
z
v
i
j
k
grad
x y z
vxdx vydy vzdz
为函数 x, y,z,t
全微分的充要条件
一、速度势
三、流网
• 对于不可压缩流体平面无旋流动中：
vx
x
y
vy y x
0
x x y y
C2 C1
C3 C4
流线
可知流线和等势线是正交的，等势线
K3
和流线
Ci
Ki
形成了由相互垂直的交叉线组成的网，
称为流网。
K2
等势线
vy y
vx x
K1
第十节 几种简单的平面势流
ω
dr
涡管(vortex tube): 某一时刻，由涡线组成的管
状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡
线）。
Ω
涡通量(vortex flowrate): 旋转角速度的值与垂 直于角速度方向的微源涡管横截面积的乘积 的两倍。涡量场的通量（涡强）。
J ΩdA 2ndA A
Ω
Sn
速度环量(velocity circulation):速度在某一封闭周
t t
y
dy
M0
x
z dx dz
t
M
M0 一般运动 ＝ 平移 ＋ 线变形 ＋ 旋转 ＋ 角变形
1. 平移运动——平移速度vx,vy 代表微团平移运动。
2. 线形变运动
xx
vx x
：为x方向流体线的线变形速率;
x
yy
v y y
：为y方向流体线的线变形速率;
zz
vz z
：为z 方向流体线的线变形速率。
div( v) v 0 ——连续性方程的微分形式
t
t
不可压缩流体 定常流动
即
常数
divv 0
vx vy vz 0 x y z
二、 流体微团运动分解
• 流体微团：指大量流体质点组成的具有线 性尺度效应的微小流体团。
• 流体在运动过程中可能发生变形或旋转， 只要微团的运动分析清楚了，流场的运动 就知道了。
)
xy
ij
1 ( vi 2 x j
v j xi
)
4 旋转运动（由等分角线是否旋转来确定）
绕平行于z 轴的转动轴旋转角速度 ：
d1 vx
dt y
d2 vy
dt x
绕z轴的平均旋转角速度：
z
1 ( vx 2 y
v y x
)
ω
xi
y
j
zk
1 2
v
Summary:
t t
t
流体微团的运动由三部分组成：
v
2rv r rb
vr 0,v v 2r
x
p v2 / 2 p
伯努利方程:
p
p
v 2
2
p
2 8 2r 2
涡核边沿：
pb
p
vb 2
2
涡核区: vr 0, v v rr rb
由欧拉方程：
p
p
1 2
2r 2
2 rb2
第八节 平面涡流
• 涡核中心区，流速为0，
压强为： pc p vb2 涡核边沿至涡核中心的压降为：
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M
z
( vx
x
)
( vy
y
)
( vz
z
)dxdydzdt
vdxdydzdt div( v)dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体 内由于密度变化而减少的质量，即
div( v)dxdydzdt dxdydzdt
t
连续性微分方程