新人教版高二上数学期末考模拟试题含答案
2019-2020年大连五校高二上册期末数学试卷(理科)(有答案)-(新课标人教版)
辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤02．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．543．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A． B．C．D．5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣28．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C． D．9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048 B．5050 C．10098 D．1010012．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀＞0，﹣ln＞0，则￢p为（）A．∀＞0，﹣ln≤0 B．∀＞0，﹣ln＜0C．∃0＞0，0﹣ln0＞0 D．∃0＞0，0﹣ln0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀＞0，﹣ln＞0”的否定是∃＞0，﹣ln≤0．故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27 B．27 C．﹣54 D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，∴S9==9（a1+4d）=﹣27．故选：A．3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A． B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e==．故选：D．5．（5分）直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A． B．C．D．【解答】解：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为，y，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）已知变量，y满足约束条件，若目标函数=+2y的最小值为2，则m=（）A．2 B．1 C．D．﹣2【解答】解：由变量，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数=+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为2．由，解得A（m，m），A代入=+2y，可得m+2m=2，解得m=．故选：C．8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C． D．【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴=，∵AB=4，AC=6，BD=8，∴2=（）2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长为||=2．故选：B．9．（5分）已知不等式y≤a2+2y2对任意∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）【解答】解：由题意可知：不等式y≤a2+2y2对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，令t=，则2≤t≤5，∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，∴y ma=﹣2×22+2=﹣6，∴a≥﹣6，故选B．10．（5分）设椭圆与函数y=3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．【解答】解：∵椭圆C：与函数y=3的图象相交于A，B两点，∴A，B两点关于原点对称，设A（1，y1），（﹣1，﹣y1），则，即．设P（0，y0），则，可得：．∴．∵直线PA的斜率1的取值范围[﹣3，﹣1]，∴﹣3≤≤﹣1，得，∴直线PB的斜率取值范围是[]．故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048 B．5050 C．10098 D．10100【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①+++…+=4n﹣8，②+++…++=4n，③由①﹣②得到：=4，∵a n≥0，∴a n=2n，由③﹣①得到：=4，=2n+2，∴a n+1﹣a n=2，∴a n+1∴数列{a n}是等差数列，公差是2，综上所述，a n=，∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．故选：C．12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4±y=0 B．±4y=0 C．2±y=0 D．±2y=0【解答】解：由2+y2﹣y+=0，得2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（0，y0）（y0＞0），则由2+y2﹣y+=0与（0，y0﹣c）•（0，y0﹣）=0，解得：0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：2+2﹣3＞0，命题q：＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由2+2﹣3＞0得＞1或＜﹣3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，∵q：＞a，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为2，若，可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，即有m﹣1+n﹣1=4，则m+n=6，可得=（m+n）（）=（2+++）≥（+2）=×=．当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，则的最小值为．故答案为：．15．（5分）已知M是抛物线2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，故答案为：6．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．【解答】解：以A为原点，AB为轴，AC为y轴，AA1为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（，0，0），D（0，y，0），=（﹣，y，﹣1），=（，﹣1，﹣），∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即+2y﹣1=0∴DF===，∵0＜＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值=，当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1．∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，所以，又q＞0，所以，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，，所以，=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=．故．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；（2）如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为，y，轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），，设平面AD 1E的法向量为，则，令=1，则，∴，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为数列{a n}满足，所以，即，又a1=1，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，所以，因为b1=﹣λ符合，所以．＞b n，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n+1化为λ＜n+1，所以λ＜2．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣y，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，）为平面PAC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2p（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（1，y1），B（2，y2）（1＜2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得p=±2．∵p＞0，∴抛物线E的方程为：y2=4．（2）证明：设C，D两点坐标分别为（1，y1），（2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=（﹣1）（≠0）．由，得22﹣（22+4）+2=0．△=（22+4）﹣44=162+16＞0因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+22，﹣2）．当≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．所以，直线PQ的方程为，整理得y2+（﹣3）﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点（3，0）；当=±1时，直线PQ的方程为=3，也过点（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系oy中，已知圆C：（+1）2+y2=16，点A（1，0），点B （a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，故点Q的轨迹方程为（II）由题可知，设直线l：=my﹣1，不妨设M（1，y1），N（2，y2）∵，，∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，∴，∵，即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），∴=﹣∈（，3）．。
(2021年整理)人教版高二数学上学期期末测试卷(理)
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高二数学第一学期期末测试卷（理）（满分：120分，考试时间：100分钟）校区： 学生姓名：一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1。
抛物线28x y =的准线方程为( ).A 2y =-.B 2x =- .C 4y =- .D 4x =-2。
若命题""p q ∧和""p ⌝都为假命题，则( ).A p q ∨为假命题 .B q 为假命题 .C q 为真命题 .D 不能判断q 的真假 3。
已知a 、b 、c 是直线,β是平面，给出下列命题: ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；②若c a c b b a ⊥⊥则,,//；③若//,,//a b a b ββ⊂则； ④若a 与b 异面,且ββ与则b a ,//相交； 其中真命题的个数是（ ） .A 1.B 2 .C 3 .D 44。
在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BA 与1CB 所成的角为 ( ）.A 030 .B 045 .C 060 .D 0905。
已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(-=+=( ).A 21,51 .B 5 , 2 .C 21,51-- .D 5,2-- 6. 过点(2，—2)且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线的方程是（ ).A 12422=-y x .B 12422=-x y .C 14222=-y x.D 14222=-x y 7. 若过点（3，1）总可以作两条直线和圆22(2)()(0)x k y k k k -+-=>相切，则k 的取值范围是（ ）.A （0，2) .B (1,2) .C (2，+∞） .D （0,1)∪(2，+∞）8。
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2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试题文科（提高班）一、选择题（每题5分，共60分）1．在相距2km的A、B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离是（）A．2km B．3kmC．km D．3km2．已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．9B．4C．3D．23．在等差数列中，,则的前5项和=（）A．7B．15C．20D．254．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m，则这个矩形的面积最大值是（）A．50m2B．100m2C．200m2D．250m25．如图所示，表示满足不等式的点所在的平面区域为（）A．B．C．D．6．焦点为(0，±6)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）A．B．C．D．7．函数的导数为（）A．B．C．D．8．若＜＜0，则下列结论正确的是（）A．b B．D．C．-29．已知命题：命题.则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．是真命题D．是真命题10．某观察站与两灯塔、的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东30，灯塔在观察站正西方向，则两灯塔、间的距离为（）A．500米B．600米C．700米D．800米11．方程表示的曲线为（）A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆12．已知数列的前项和为，则的值是（）A．-76B．76C．46D．13二、填空题（每题5分，共20分）13. 若，，是实数，则的最大值是_________14. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，如果，那么＝___________．15. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是____________．16. 直线是曲线y=ln x（x>0）的一条切线，则实数b=___________2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试文科数学（提高班）答题卡一、选择题（共12小题，每题5分）题号123456789101112答案C C B C B B B A C C A A二、填空题（共4小题，每题5分）13、2 14、815、 16、三、解答题（共6小题，17题10分，其他每小题12分）17. 已知数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证数列是等比数列；18. 已知不等式组的解集是，且存在，使得不等式成立．（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求实数的取值范围．19. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：（其中是仪器的月产量）．（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益-总成本）20. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点，且一条渐近线为；(2)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.21. 已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.22. 已知函数（）．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在常数，使得，恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．文科（提高班）一．选择题（每题5分，共60分）1.考点：1．2 应用举例试题解析：由题意，∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，所以AC＝·sin60°＝(km)．答案：C2.考点：2．1 椭圆试题解析：，因为，所以，故选C．答案：C3.考点：2．5 等比数列的前n项和试题解析：.答案：B4.考点：3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析：如图，设矩形长为，则宽为，所以矩形面积为，故选C答案：C5.考点：3．3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析：不等式等价于或作出可行域可知选B答案：B6.考点：2．2 双曲线试题解析：与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为，又因为双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为.答案：B7.考点：3．2 导数的计算试题解析：，故选B.答案：B8.考点：3．1 不等关系与不等式试题解析：根据题意可知，对两边取倒数的得，综上可知，以此判断：A．正确；因为：，所以：，B错误；，两个正数相加不可能小于，所以C错误；，D错误，综上正确的应该是A．答案：A9.考点：1．3 简单的逻辑联结词试题解析：当时，（当且仅当，即时取等号），故为真命题；令，得，故为假命题，为真命题；所以是真命题.答案：C10.考点：1．2 应用举例试题解析：画图可知在三角形ACB中，，，由余弦定理可知，解得AB=700.答案：C11.考点：2．1 椭圆试题解析：方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离，点不在直线上，符合抛物线的定义；答案：A12.考点：2．3 等差数列的前n项和试题解析：由已知可知：，所以，，，因此，答案选A.答案：A二．填空题（每题5分，共20分）13.考点：3．4 基本不等式试题解析：，，即，则，化简得，即，即的最大值是2.答案：214.考点：2．3 抛物线试题解析：根据抛物线方程知，直线过焦点，则弦，又因为，所以．答案：815.考点：2．2 双曲线试题解析：椭圆长轴的端点为，所以双曲线顶点为，椭圆离心率为，所以双曲线离心率为，因此双曲线方程为答案：16.考点：3．2 导数的计算试题解析：设曲线上的一个切点为（m，n），，∴，∴.答案：三、解答题（共6小题，17题10分，其他每小题12分）17.考点：2．3 等差数列的前n项和试题解析：（Ⅰ）设数列由题意得：解得：（Ⅱ）依题，为首项为2，公比为4的等比数列（Ⅲ）由答案：（Ⅰ）2n-1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）{1，2，3，4}18.考点：3．2 一元二次不等式及其解法试题解析：（Ⅰ）解得；（Ⅱ）令，由题意得时，．当即，（舍去）当即，.综上可知，的取值范围是.答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是19.考点：3．4 生活中的优化问题举例试题解析：（1）（2）当时，∴当时，有最大值为当时，是减函数，∴当时，的最大值为答：每月生产台仪器时，利润最大，最大利润为元．答案：（1）；（2）每月生产台仪器时，利润最大，最大利润为元20.考点：双曲线试题解析：（1）由于双曲线的一条渐近线方程为设双曲线的方程为（）代入点得所以双曲线方程为（2）由题意可设双曲线的方程为则两焦点为，两顶点为由与两个焦点连线垂直得，所以由与两个顶点连线的夹角为得，所以，则所以方程为21.考点：3．2 一元二次不等式及其解法试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，所以，可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是22.考点：3．3 导数在研究函数中的应用试题解析：（1），所求切线的斜率所求切线方程为即（2）由，作函数，其中由上表可知，，；，由，当时，，的取值范围为，当时，，的取值范围为∵，恒成立，∴答案：（1）（2）存在，，恒成立100. 在中，角所对的边分别为，且满足，.（I ）求的面积；（II）若，求的值．46.考点：正弦定理余弦定理试题解析：（Ⅰ）又，，而，所以，所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以所以答案：(1)2(2)。
人教版高二上学期期末数学试卷(理)(有答案)
黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．32．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．104．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．大庆高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）向量，若，则x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵向量，，∴=﹣4+4x﹣8=0，解得x=3．故选：D．2．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B3．（5分）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A．8 B．11 C．16 D．10【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，∵高一、高二、高三共有学生3500人，∴x+2x+x+300=3500，∴x=800，∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，∴应抽取高一学生数为=8故选A．4．（5分）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份收入x12.314.515.017.019.820.6支出Y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18根据统计资料，则（）A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系【解答】解：月收入的中位数是=16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，故选：C．5．（5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，则田忌获胜的概率为=，故选：A6．（5分）点集Ω={（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A={（x，y）|y≥e x，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（）A．B．C． D．【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．故选：B．7．（5分）下列说法错误的是（）A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）=0”的充分不必要条件．B．已知A，B，C不共线，若=，则P是△ABC的重心．C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．D．命题“若α=，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）=0，则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）=0”的非充分非必要条件，故A错误；对于B，已知A，B，C不共线，若=，可得+==2，（D为AB的中点），即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C 正确；对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α=，则cosα=”的逆否命题为“若cosα≠，则α≠”，故D正确．故选：A．8．（5分）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B 两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），令x=﹣c，可得y=±，可得A（c，﹣），B（c，），又设D（0，b），△ABD为直角三角形，可得∠DBA=90°，即b=或∠BDA=90°，即=0，解：b=可得a=b，c=，所以e==；由=0，可得：（c，）（c，﹣）=0，可得c2+b2﹣=0，可得e4﹣4e2+2=0，e＞1，可得e=，综上，e=或．故选：D．9．（5分）若双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C． D．【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2=m（m∈R）的焦距4，可得=2c=4，解可得m=﹣3，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x；故选：D．10．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．11．（5分）设函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【解答】解：∵f（x）=x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）=x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选A．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，命题否定是真命题，∴△=（﹣a）2﹣4≤0∴﹣2≤a≤2．实数a的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．14．（5分）由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB=120°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=．【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，∵PA，PB是单位圆O的切线，∴PA=PB，OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=60°，又OA=OB=1，∴OP=，∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，∴P点轨迹方程为x2+y2=．故答案为：x2+y2=．15．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值是．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+ (i)的值，由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017=336×6+1，所以S=sin+sin+…sin=336×（sin+sin+…+sin）+sin=．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为（﹣1，3）．【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x，有g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=e﹣x﹣e x=﹣g（x），则g（x）为奇函数，对于g（x）=e x﹣e﹣x，其导数g′（x）=e x+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，且g（0）=e0﹣e0=0，f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），又由函数g（x）为增函数，则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0解可得：﹣1＜x＜3，即实数x的取值范围为（﹣1，3）；故答案为：（﹣1，3）．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）17．（10分）已知过抛物线y2=8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．（1）求线段AB的长度；（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．【解答】解：（1）直线AB的方程是y=2 （x﹣2），与y2=8x联立，消去y得x2﹣5x+4=0，由根与系数的关系得x1+x2=5．由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，（2）由x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．设=（x3，y3）=（1，﹣2）+λ（4，4）=（4λ+1，4λ﹣2），又y2=8x3，即[2（2λ﹣1）]2=8（4λ+1），即（2λ﹣1）2=4λ+1，解得λ=0或λ=2．18．（12分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2}和B={﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a 和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3=9个．满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，所以所求概率．（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以所求概率．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA=2（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），设，，，则=（）．设平面PEC的法向量为=（x，y，z），，，则，∴，取y=﹣1，得=（﹣，﹣1，1）．∵AF∥平面PEC，∴=﹣3λ+λ+2﹣2λ=0，解得，∴F为PD中点．（2）=（，，0），=（，﹣，0），设平面PEA的法向量=（x，y，z），则，取x=，得平面PEA的法向量=（，﹣3，0），设平面PED的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），cos＜＞===﹣，由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．20．（12分）已知函数f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x（ax+b）﹣x2﹣4x，∴f′（x）=e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，∵曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y=4x+4∴f（0）=4，f′（0）=4∴b=4，a+b=8∴a=4，b=4；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=4e x（x+1）﹣x2﹣4x，f′（x）=4e x（x+2）﹣2x﹣4=4（x+2）（e x﹣），令f′（x）=0，得x=﹣ln2或x=﹣2∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）=4（1﹣e﹣2）．21．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN 的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…（3分）∴椭圆的方程为．…（4分）（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…（5分）②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…（6分）依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…（7分）又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…（13分）综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）22．（12分）设函数（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．（2）设g（x）=f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．（A）求实数a的取值范围；（B）求证：．【解答】解：（1）∵，且x＞0，∴．令，则．①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，∴x＞1时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，∴，U（x）＞U（1）=0，不合题意．③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．∴时，U（x）＞U（1）=0，不合题意．④当a=2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．∴U（x）≤0，符合题意．综上，a=2．（2），x∈[1，e2]．g'（x）=lnx﹣ax．令h（x）=g'（x），则由已知h（x）=0在（1，e2）上有两个不等的实根．（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．（B）证明：由已知lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，则=．令，（0＜x＜1）．则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，∴即，∴，∴，∴，由（A），∴ae＜1，2ae＜2，∴．。
河北省邯郸市永年二中高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞02．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．146．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：411．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．812．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．某某省某某市永年二中2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0 B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0考点：命题的否定．分析：根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．解答：解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选D．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．2．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．3．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：结合已知，根据正弦定理，可求AC解答：解：根据正弦定理，，则故选B点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题4．（5分）抛物线y=﹣的准线方程为（）A．x=B．y=C．x=D．y=考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线方程化为标准方程，求出p，即可得到抛物线的准线方程．解答：解：抛物线方程y=﹣，可化为x2=﹣6y，∴2p=6，∴=，∴抛物线的准线方程为y=．故选B．点评：本题考查抛物线的几何性质，考查学生的计算能力，将抛物线方程化为标准方程是关键．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．6．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值X围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的X围解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义8．（5分）若不等式x2+px+q＜0的解集为（﹣）则不等式qx2+px+1＞0的解集为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）C．（﹣）D．R考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，运用韦达定理求出p，q，再由二次不等式的解法，即可得到．解答：解：由条件可得，﹣，是方程x2+px+q=0的两个实根，则﹣=﹣p，且=q，即p=，q=﹣，则不等式qx2+px+1＞0，即为﹣x2+x+1＞0，即为x2﹣x﹣6＜0，解得，﹣2＜x＜3．故选B．点评：本题考查二次不等式的解法，考查韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．9．（5分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．y=±4x D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程，即可得到结论．解答：解：双曲线的离心率为，则=，令c=t，a=2t，则b==t，则双曲线的渐近线方程为y=x，即为y=±2x，故选A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由题意可得三边即 a、a﹣1、a﹣2，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA，可得 cosA=，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA===，又3b=20acosA，可得 cosA==．故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，故选D．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．11．（5分）若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：由新定义得到数列{b n}为等比数列，然后由等比数列的性质得到b50=2，再利用基本不等式求得b8+b92的最小值．解答：解：依题意可得b n+1=qb n，则数列{b n}为等比数列．又，则b50=2．∴，当且仅当b8=b92，即该数列为常数列时取等号．故选：B．点评：本题是新定义题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．12．（5分）已知命题p：△ABC所对应的三个角为A，B，C．A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；命题q：函数的最小值为1；则下列四个命题中正确的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用三角恒等变换证明在△ABC中，A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件；利用基本不等式求函数的最小值，证明命题q为真命题，再根据复合命题真值表依次判断可得答案．解答：解：∵在△ABC中，cos2B＞cos2A⇔1﹣2sin2B＞1﹣2sin2A⇔sin2B＜sin2A⇔sinA＞sinB⇔A＞B故A＞B是cos2A＜cos2B的充要条件，即命题p为真命题；∵x∈（0，），∴函数y=+tanx+2﹣1≥2﹣1=1，∴命题q为真命题；由复合命题真值表知，p∧q为真命题；p∧（￢q）为假命题；￢p∧q为假命题；￢p∧￢q 为假命题，故选A．点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查基本不等式的应用及充要条件的判定，解题的关键是判断命题p，q的真假．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（y≠0）．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解答：解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a=10，2c=8，∴b=3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是2015届高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用．14．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则通项公式a n=，n∈N*．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设，代入4a2=4a1+a3，能求出结果．解答：解：设，代入4a2=4a1+a3，解得q=2，∴，n∈N*．故答案为：，n∈N*．点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2b，则=2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．解答：解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为：2点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（5分）已知a＞0，b＞0，若不等式≤0恒成立，则m的最大值为16．考点：函数恒成立问题．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意，得m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，构造函数g（a，b）=9+++1，利用基本不等式可求得g（a，b）min=16，从而可求m的最大值．解答：解：∵不等式≤0恒成立，∴≤+，又a＞0，b＞0，∴m≤（+）（3a+b）=9+++1恒成立，令g（a，b）=9+++1，则m≤g（a，b）min，∵g（a，b）=9+++1≥10+2=16（当且仅当a=b时取“=”），∴g（a，b）min=16，∴m≤16，∴m的最大值为16，故答案为：16．点评：本题考查函数恒成立问题，考查构造函数的思想与等价转换的思想的综合应用，突出考查基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1≤m2（m＞0）；若￢p是￢q的必要非充分条件，某某数m的取值X围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由命题p成立得x的X围为A，由命题q成立求得x的X围为B，由题意可得A⊊B，可得关于m的不等关系式，由此求得实数m的取值X围．解答：解：由p：﹣2≤x≤10，记A={x|p}={x|﹣2≤x≤10}．由q：x2﹣2x+1≤m2即x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0），得 1﹣m≤x≤1+m．…（6分）记B={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即 p⇒q，且 q不能推出 p，∴A⊊B．…（8分）要使A⊊B，又m＞0，则只需，…（11分）∴m≥9，故所某某数m的取值X围是[9，+∞）．…（12分）点评：本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N*．（1）求a n，b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，可求a1=3，当n≥2时，由a n=s n﹣s n﹣1可求通项，进而可求b n（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减可求数列的和解答：解：（Ⅰ）由S n=2n2+n可得，当n=1时，a1=s1=3当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n2+n﹣2（n﹣1）2﹣（n﹣1）=4n﹣1而n=1，a1=4﹣1=3适合上式，故a n=4n﹣1，又∵a n=4log2b n+3=4n﹣1∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2T n=3×2+7×22+…+（4n﹣5）•2n﹣1+（4n﹣1）•2n∴=（4n﹣1）•2n=（4n﹣1）•2n﹣[3+4（2n﹣2）]=（4n﹣5）•2n+5点评：本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．20．（12分）已知二次函数．f（x）=x2+（2a﹣1）x+1﹣2a（1）判断命题：“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”的真假，并写出判断过程（2）若y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点．某某数a的X围．考点：命题的真假判断与应用；二次函数的性质；函数的零点．专题：计算题．分析：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题．依题意：x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根，△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R 为实数集）恒成立，得到f（x）=1必有实根．（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点，只须，由此能求出实数a的X围．解答：（本大题12分）解：（1）“对于任意的a∈R（R为实数集），方程f（x）=1必有实数根”是真命题；…（3分）依题意：f（x）=1有实根，即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0有实根∵△=（2a﹣1）2+8a=（2a+1）2≥0对于任意的a∈R（R为实数集）恒成立即x2+（2a﹣1）x﹣2a=0必有实根，从而f（x）=1必有实根…（6分）（2）依题意：要使y=f（x）在区间（﹣1，0）及内各有一个零点只须…（9分）即…（10分）解得：．（多带一个等号扣1分）…（12分）点评：本题考查命题的真假判断，某某数a的取值X围，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．考点：数列的求和．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据求得a 1，进而根据4S n=（a n+1）2和4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）两式相减整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，进而可得a n﹣a n﹣1=2判断出数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．求得其通项公式．（Ⅱ）把（1）中求得的a n代入中，即可求得b n，进而可用裂项法进行求和，得T n=根据使原式得证．解答：解：（Ⅰ）∵，∴a1=1．∵a n＞0，，∴4S n=（a n+1）2．①∴4S n﹣1=（a n﹣1+1）2（n≥2）．②①﹣②，得4a n=a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，而a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2（n≥2）．故数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）．T n=b1+b2++b n==．点评：本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和问题是2015届高考中常考的题目，所以我们平时的时候应注意多积累数列求和的方法．22．（12分）已知圆A：（x+2）2+y2=，圆B：（x﹣2）2+y2=，动圆P与圆A、圆B均外切．（Ⅰ）求动圆P的圆心的轨迹C的方程；（Ⅱ）过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点，求|MN|的最小值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与X围问题．分析：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|﹣|PB|=2，从而得到点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，由此能求出动圆P的圆心的轨迹C的方程．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|MN|的最小值．解答：解：（Ⅰ）设椭圆P的半径为r，则|PA|=r+，|PB|=r+，∴|PA|﹣|PB|=2，故点P的轨迹是以A，B为焦点、实轴长为2的双曲线的右支，∴动圆P的圆心的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得（3m2﹣1）y2+12my+9=0，由，解得﹣，设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|=|y1﹣y2|==，当m2=0时，|MN|min=2（4﹣1）=6．点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查弦的最小值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．。
人教A版高二上学期数学期末试卷【答案+解析】
人教A版高二上学期数学期末试卷一、选择题1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．65．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．26．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．37．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣88．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．411．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．312．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（本题包括4小题）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围．14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+215．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l 的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案一、选择题（本题包括12小题）1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，所以p的逆否命题也是真命题，D正确．故选：D．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解：∵抛物线，即x2＝2y中，p＝1，＝，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝1，，可得q2＝．即可得出a5＝．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝1，，∴q2＝．则a5＝＝1×＝．故选：D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．6【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．解：∵，A＝45°，B＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：C．5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，可建立方程，从而可求m的值解：抛物线的焦点坐标为椭圆，∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝4，∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）∵抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，∴∴故选：A．6．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，计算可得x的值，即可得答案．解：根据题意，，，若，则有•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，解可得x＝6，故选：A．7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣8【分析】求出AB所在直线的斜率，然后利用过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直求得m的值．解：∵A（﹣2，m），B（m，4），∴，直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，得，解得：m＝2．故选：A．8．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2＝a2+b2以及离心率然，求出a2，写出双曲线的标准方程．解：根据题意可知2b＝12，解得b＝6 ①又因为离心率e＝＝②根据双曲线的性质可得a2＝c2﹣b2 ③由①②③得，a2＝64双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当x＝﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：C．10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】根据抛物线定义，把|AB|转化为点A、B到准线的距离之和，由梯形的中位线性质可求．解：由抛物线定义知，|FB|＝|BB′|，|AA′|＝|AF|，准线x＝﹣1，设M为AB中点，M（3，y），MN⊥A′B′，垂足为N点，如图所示：则|AB|＝（|AF|+|BF|）＝（|AA′|+|BB′|）＝2|MN|＝2[3﹣（﹣1）]＝8，故选：B．11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y＝x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k＝，而y2﹣y1＝2（x22﹣x12）①，得x2+x1＝﹣②，且（，）在直线y＝x+m 上，即＝+m，即y2+y1＝x2+x1+2m③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，所以有2（x22+x12）＝x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]＝x2+x1+2m④，把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝故选：A．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．解：∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）关于y轴对称，∴函数y＝xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．∵，，，，∴a＞b＞c．故选：A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．解：设点P（x0，y0），M（x M，y M），由于满足＝2，PO⊥F2M，所以．整理得，故：，即．联立消去y0，得到．解得或，由于﹣a＜x0＜a，所以，所以0＜a2﹣ac＜ac，解得e，故椭圆的离心率为（）．故答案为：（）14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2【分析】根据题意，对函数y＝e x f（x）求导，分析可得若函数f（x）具有M性质，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数，验证f （x）+f′（x）＞0是否成立，综合即可得答案．解：根据题意，y＝e x f（x），其导数y′＝（e x）′f（x）+e x f′（x）＝e x[f（x）+f′（x）]，若函数f（x）具有M性质，必有y′≥0在函数f（x）的定义域上恒成立，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数：对于①，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln2×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln2×＝（1﹣ln2）＞0，具有M性质，符合题意；对于②，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln3×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln3×＝（1﹣ln3）＜0，不具有M性质，不符合题意；对于③，f（x）＝x3，其导数f′（x）＝3x2，此时f（x）+f′（x）＝x3+3x2＝x2（x+3），不能满足f（x）+f′（x）＞0在f（x）在R上恒成立，不具有M性质，不符合题意；对于④，f（x）＝x2+2，其导数f′（x）＝2x，此时f（x）+f′（x）＝x2+2+2x＝（x+1）2+1＞0，具有M性质，符合题意；综合可得：具有M性质的函数为：①④；故答案为：①④．15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．【分析】直接利用椭圆的定义的应用求出结果．解：根据椭圆的定义，知：|PF1|+|PF2|＝10，由于PF1⊥PF2，所以，故|PF1|•|PF2|＝42，所以，所以，解得d＝，故答案为：16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．解：对于①，∵＝（1，﹣1，2），＝（2，1，﹣），∴•＝1×2﹣1×1+2×（﹣）＝0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），∴•＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵＝（0，1，3），＝（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，1，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．三、解答题（10+12+12+12+12+12＝70分）17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【分析】（1）利用已知条件化简双曲线方程，然后求解即可．（2）利用双曲线的定义，结合已知条件，通过余弦定理转化求解即可．解：（1）由题知：，a＝3，b＝4，则长轴长为6，渐近线方程是y＝x．（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，且|PF1|•|PF2|＝32，则cos∠F1PF2＝＝＝0．故∠F1PF2＝90°18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A ）＝＝；（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，由公式求得＝＝＝，再由＝﹣b，求得＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴4k l＝4，解得k l＝1．由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，∴．∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．∴直线l的方程为．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为，∵，有，∴，解得m＝4．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则＝（﹣2，0，m﹣2），＝（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴＝﹣2﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝1，∴M（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，1），设平面MEC1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝﹣1，得＝（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），∴cos＜＞＝＝﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM，推导出DM⊥PA，BM⊥PA，从而PA⊥平面BDM，由此能证明BD⊥PA．（Ⅱ）过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BD，进而BD⊥平面PAO，以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM．由AD＝PD，得DM⊥PA，由PB＝AB，得BM⊥PA，∵DM∩BM＝M．∴PA⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴BD⊥PA．解：（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD．∴PO⊥BD．由（1）及PA∩PO＝P，∴BD⊥平面PAO，∵AO⊂平面PAO，∴BD⊥AO在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，即∠ADB＝60°．∴AH＝PH＝AD•sin60°＝3，DH＝AD cos60°＝．在Rt△DHO中，HO＝DH tan30°＝1，DO＝2．∴PO＝＝2．以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），P（0，2，2），B（2，6，0），C（0，6，0）．＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣4，2）．设平面PBC的法向量是＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，）．设直线AP与平面PBC所成角为θ，又＝（2，﹣2，﹣2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．。
人教版高二(理科)第一学期期末考试数学试题-含答案
2015～2016学年度第一学期期末考试试卷 高二（理） 数学 座位号第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、向量(1,2,2),(2,4,4)a b =-=--，则a b 与 （ ） A 、相交 B 、垂直 C 、平行 D 、以上都不对2、如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是 （ ）A 、32B 、62C 、32D 、23、已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ） A 、,sin 1x R x ∃∈≥ B 、,sin 1x R x ∀∈≥ C 、,sin 1x R x ∃∈> D 、,sin 1x R x ∀∈>4、若向量)0,2,1(=a ，)1,0,2(-=b ，则（ ）A 0120,cos >=<b aB b a ⊥C b a //D ||||b a =5、若原命题“0,0,0a b ab >>>若则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中（ ） A 、都真 B 、都假 C 、否命题真 D 、逆否命题真6、 “2320x x -+≠”是“1x ≠” 的（ ）条件 （ ） A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、既不充分也不必要 7、若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A 、－9＜m ＜25B 、8＜m ＜25C 、16＜m ＜25D 、m ＞88、已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．1203622=+y x （x ≠0）B ．1362022=+y x （x ≠0）C ．120622=+y x （x ≠0）D ．162022=+y x （x ≠0）9、一位运动员投掷铅球的成绩是14m ，当铅球运行的水平距离是6m 时，达到最大高度4m .若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是（ ） A ． 1.75m B ． 1.85mC ． 2.15mD ． 2.25m 10、设a R ∈，则1a >是11a< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11.抛物线281x y -=的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y12. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第II 卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、经过点(1,3)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 。
高二数学上册期末模拟试题附参考答案
2013年高二数学上册期末模拟试题（附参考答案）宜宾市四中2012级第三期期末模拟测试题（三）1、在空间直角坐标系中，，，是坐标原点，则=A、B、C、D、2、抛物线的准线方程是3、已知某程序框图如右图所示，则执行该程序后输出的结果是()．12．－1．2．14、若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是5、已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，有下列命题：①若∥,,则∥；②若,,且∥,则∥③若,,，∥,则∥④若,=,,,则其中正确命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个甲乙9086554135571226、在2013年12月16日举行的高2012级学生艺术节初赛中，6位评委给某班甲、乙两名同学打分的茎叶图如图所示，、分别表示甲、乙两位同学的平均分，、分别表示甲、乙两位同学成绩的标准差，则有A、,B、=,=C、=,D、,7、下列说法正确的是8、正方体的棱长为1，点在棱上，且，点是平面上的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为1，则点的轨迹是A.抛物线的一部分B.双曲线的一部分C.椭圆的一部分D.线段10、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、用分层抽样的方法从某校1200名学生中抽取一个容量为60的样本，已知高二年级学生比高一年级学生多120人，高三年级比高二年级多抽取12人，则该校高一年级共有学生人12、在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是13、从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是14、如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为15、已知下列命题:其中正确命题的序号是①椭圆标准方程中，若a,b,c成等比数列，则其离心率；②双曲线(a0)的离心率且两条渐近线互相垂直；③在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④若实数，则满足≥1的概率为.三、解答题：16如图，在三棱柱中，△ABC为等边三角形，侧棱⊥平面，，D、E分别为、的中点．（Ⅰ）求证：DE//平面；（Ⅱ）求BC与平面所成角；（Ⅲ）求三棱锥的体积．17、（本小题满分12分）某幼儿园在“六一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一:宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为x，家长所得点数记为y；方案二:宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间[1，6]的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为m，家长的计算器产生的随机实数记为n．（I）在方案一中，若x+l=2y，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；（Ⅱ）在方案二中，若m2n，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．18、如图，在直四棱柱中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面是边长为4的菱形，且，，P、Q分别是棱和AD的中点，为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）（文科科考生）求异面直线与所成角的余弦值。
人教版高二数学上册期末考试文科数学模拟试卷(附答案)
11A-SX-0000002_高中二年级第一学期期末考试模拟试题7. 设抛物线 C ：y24x 的焦点为 F ，直线 l ：x=3，若过焦点 F 的直线与抛物2_高二数学（ 文）__-_线 C 订交于 A, B 两点，则以线段 AB 为直径的圆与直线l 的地点关系为_-（全卷共 8 页，满分 150 分， 120 分钟达成）__：-题号一二三总分（）.号 -151617181920学 -（A ）订交（ B ）相切_- 得分_（ C ）相离（ D ）以上三个答案均有可能__ -一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分 .在每题给出的四个选项_aa_-8. 设 为空间中的一条直线，记直线与正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的六个面所在___-中，只有一项为哪一项切合要求的 ._的平面订交的平面个数为m ，则 m 的全部可能取值构成的会合为（）___线{2,4}{2,6}{4,6}{2,4,6}_ 的倾斜角为（ ） ._（ A ） （ B ）（C ）（ D ）封 1. 直线 x y3 0_ _ 密 o o o o_ （A ） 30 （B ） 45 （ C ） 60（ D ） 135_-二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 ._ ： - 2. 命题 “对随意 x ，都有 ln x 1 ”的否认是（ ）9.命题“若 a2b20 ，则 a b ”的逆否命题为 _____.名 3姓 - （ A ）存在 x 3,使得 ln x 1 （ B ）对随意 x 3,都有 ln x ≤1-10.经过点 M (2,1) 且与直线 3xy 8 0 垂直的直线方程为 _____.x ln x ≤1 （ D ）对随意 x ≤3 ,都有 ln x 1- （ C ）存在 使得3,11.班 - 2 2 一个四棱锥的三视图如下图，那么这个四_ - 3.1的焦点到其渐近线的距离为（ ）_ 双曲线 x y_棱锥的体积为 _____._-22__-（A ） 1 （B ） 2（C ） 2 （ D ） 2_12. 在中，，4 ， BC . 以年2ABCAB3 BCAB_111 _线_4. 设是两个不一样的平面，a,b,c 是三条不一样的直线，（）BC 所在的直线为轴将ABC 旋转一周，则_封 ,正 ( 主)视图侧 (左 )视图__ 密 _（ A ）若 a b ， bc ，则 a //c（ B ）若 a// ， b// ，则 a //b旋转所得圆锥的侧面积为_____._ -1_ -a b a //a_（ C ）若，（ D ）若，a，则// 13.若双曲线C 的一个焦点在直线_ _，则 b-1_22_xy俯视图_-5. “方程1 表示的曲线为椭圆”是“m n 0 ”的（）l ：4x3 y+20=0 上，一条渐近线与 l 平行，且__mn_-__ -双曲线 C 的焦点在 x 轴上，则双曲线 C 的标准方程为 _____；离心率为 _____._（ A ）充足不用要条件（ B ）必需不充足条件__-_ _-（ C ）充要条件（ D ）既不充足也不用要条件14. 在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点A(1,0) 和点 B( 1,0) 的距离之积__ll //C ，有以下四个结论： ： 6.设是两个不一样的平面， 是一条直线， 若， ，，则（ ）2- , l // Im 等于 校的全部点构成的 . 关于曲线（ A ） l 与 m 平行（ B ） l 与 m 订交学○1曲线 C 是轴对称图形；（ C ） l 与 m 异面（ D ） l 与 m 垂直-1--2-11A-SX-00000022 曲线C 是中心对称图形；○○3 曲线 C 上全部的点都在单位圆x2 y 2 =1 内；○4 曲线 C 上全部的点的纵坐标y [ 1 , 1 ] .2 2此中，全部正确结论的序号是_____.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（本小题满分13 分）如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中，D为AB的中点.（Ⅰ）求证： CD 平面 ABBA ；1 1A1C1 （Ⅰ）求证：BC1//平面A1CD.B1A CDB 16．（本小题满分13 分）已知圆 C ： x 2 y 2 6 x 8 y m 0 ，此中m R.（Ⅰ）假如圆 C 与圆x 2 y 2 1 相外切，求m的值；（Ⅰ）假如直线 x y 3 0 与圆C订交所得的弦长为 2 7 ，求m的值. 17．（本小题满分13 分）-3--4-11A-SX-0000002如图，在四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1中，AA1平面ABCD，AB//CD，，2AB AD 设F为抛物线 C： y 2 x的焦点， A, B是抛物线C上的两个动点.AD CD 1，AA1 AB 2，E为 AA1 的中点 . （Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为 2，求 | AB| ；（Ⅰ）求四棱锥C AEB 1B 的体积；（Ⅱ）若直线l： x y 4 0 ，求点A到直线l的距离的最小值 .（Ⅱ）求证：BC C1E ；（Ⅲ）判断线段B1 C 上能否存在一点M (与点C不重合)，使得C, D,E,M四点共面 ? （结论不要求证明）B B1C C1A EA1D D119．（本小题满分14 分）18．（本小题满分13 分）-5--6-11A-SX-00000022 2如图， 在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形， 四边形 BDEF 是矩形， 平面 已知椭圆 C ：x2y 2 1 (a b 0) 的一个焦点为 (5, 0) ，离心率为5 . 点BDEF ⊥平面 ABCD.ab3P 为圆 M ：x 2y 2（Ⅰ）求证：平面 ACF 平面 BDEF ；13 上随意一点， O 为坐标原点 .C 的标准方程；（Ⅱ）若过直线 BD 的一个平面与线段 AE 和 AF 分别订交于点 G 和 H （点 G（Ⅰ）求椭圆与点 A, E 均不重合），求证： EF //GH ；（Ⅱ）设直线 l 经过点 P 且与椭圆 C 相切， l 与圆 M 订交于另一点A ，点 A 关（Ⅲ）判断线段 CE 上能否存在一点 M ，使得平面 BDM // 平面 AEF ？若存在，于原点 O 的对称点为 B ，证明：直线 PB 与椭圆 C 相切 .求EM的值；若不存在，请说明原因 . ECEG FHDCAB20．（本小题满分 14 分）参照答案：-7--8-11A-SX-0000002一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 .1.B2.C3.A4.D5.B6.A7.C8.D二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 .9. 若 a b ，则 a2 b2 0 10. x 3y 5 0 11. 1x 2y2 514. ○1 ○212. 15π13. 1，9 16 3注：第 13 题第一空 3 分，第二空 2 分；第14 题多项选择、少选或错选均不得分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分.15．（本小题满分13 分）( Ⅰ)证明：由于正三棱柱ABC A1 B1C1，D为AB的中点，因此 CD AB，AA1底面 ABC.1 分又由于 CD 底面 ABC ，因此 AA1 CD.3分又由于 AA1 I AB A，AB 平面 ABB1A1， AA1 平面 ABB1 A1，因此 CD 平面 ABB1A1. 6分( Ⅱ)证明：连结AC1 ，设 11O，连结 OD ，7 分AC I AC A C由正三棱柱ABC A1B1C1，得 AO OC1 ， 1 1 又由于在ABC1中，AD DB ，O B1因此 OD//BC1，10分又由于 BC 平面 ACD，OD 平面 ACD ，A C1 1 1D因此 BC1 // 平面 A1CD .13 分 B 16.（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：将圆 C 的方程配方，得( x 3) 2 ( y 4) 2 25 m ，1分因此圆 C 的圆心为(3,4) ，半径 r 25 m ( m 25).3分由于圆 C 与圆x2 y 2 1 相外切，因此两圆的圆心距等于其半径和，即(3 0)2 (4 0)2 1 25 m ，5 分解得 m 9 .7 分（Ⅱ）解：圆 C 的圆心到直线x y 3 0 的距离 d| 3 4 3|2 2. 9分2由于直线 x y 3 0 与圆 C 订交所得的弦长为 2 7 ，因此由垂径定理，可得r 2 25 m (2 2)2 ( 7)2，11分解得 m 10. 13分17.（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：由于 AA1 平面 ABCD ，AD 平面 ABCD ，因此 AA1 AD .又由于 AB AD，AA1I AB A，因此 AD 平面 ABB1A1. 1分由于 AB//CD ，因此四棱锥 C AEB1B 的体积V C AEB1B 1 S四边形AEB B AD2分3 1-9--10-11A-SX-00000021[1(1 2) 2]1 1.4分3 2（Ⅱ）证明 ：在底面 ABCD 中，由于 AB //CD ，AB AD ，ADCD 1，AB 2 ，因此AC2，BC 2，因此 AB 2AC 2BC 2 ，即 BCAC .6 分由于在四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， AA 1 平面 ABCD ，因此 CC 1 BC ，又由于 CC 1I ACC ，因此 BC平面 CAEC 1 ，8 分又由于 C 1 E 平面 CAEC 1 ，因此 BCC 1E . 10分点M (与点 C 不重合 )，C, D ,E,M 四点都不共面 .13 分18. （本小题满分 13 分）（Ⅰ） 解：由题意，得 F ( 1 ,0) ，则直线 AB 的方程为 y 2(x1). 2分22y 2(x1),消去 y，得 4x26x 1 0 . 3 分由2y22x,设点 A( x 1 , y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，0 ，且 x 13 1 ，5 分则x 2， x 1x 224因此 | AB|5 | x 1 x 2 |5 (x 1 x 2 )24x 1 x 25.7分2（Ⅱ） 解：设 A( x 0 , y 0 ) ，则点 A 到直线 l 距离d| x 0 y 04|2.8 分由 A 是抛物线 C 上的动点，得 y 02 2 x 0 ， 9 分 因此 d2 | 1y 02y 04|2| ( y 01)27|， 11 分224因此当 y 01时， d min 7 2 .4即点 A 到直线 l 的距离的最小值7 2.13分419. （本小题满分 14 分）（Ⅰ） 证明 ：由于四边形 ABCD 是正方形，因此 AC BD . 1分又由于平面 BDEF 平面 ABCD ，平面 BDEF I 平面 ABCD BD ， 且 AC 平面 ABCD ，因此 AC 平面 BDEF . 3分 又由于 AC平面 ACF ，因此平面 ACF 平面 BDEF .5 分（Ⅱ） 证明 ：由题意， EF //BD ， EF 平面 BDGH ， BD平面 BDGH ，因此 EF // 平面 BDGH ， 7 分又由于 EF平面 AEF ，平面 AEF I 平面 BDGHGH ，因此 EF//GH .9 分（Ⅲ）答：线段 CE 上存在一点 M ，使得平面 BDM // 平面 AEF ，此时EM1 .EC210 分-11--12-11A-SX-0000002以下给出证明过程 .同应当直线 PA // x 轴时，直线 PB 也与椭圆 C 相切 . 7分证明：设 CE 的中点为 M ，连结 DM ， BM ，当直线 PA 与 x 轴既不平行也不垂直时，E由于 BD//EF ， BD 平面 AEF ， EF 平面 AEF ，设点 P( x 0 , y 0 ) ，直线 PA 的斜率为 k ，则 k 0 ，直线 PB 的斜率1 ， 因此 BD// 平面 AEF .11 分kGM1F 因此直线 PA ： y y 0 k( x x 0 ) ，直线 PB ： y y 0设 ACI BD O ，连结 OM ，( x x 0 ) ， 9 分Dk在 ACE 中，由于 OAOC ， EMMC ，HCyy 0 k ( x x 0 ),O消去 y ，因此 OM //AE ，由x 2 y 2A1,9 4又由于 OM 平面 AEF ， AE 平面 AEF ，B因此 OM//平面 AEF .13 分又由于 OM I BDO ， OM ,BD 平面 BDM ，因此平面 BDM // 平面 AEF .14 分20. （本小题满分 14 分）（Ⅰ） 解：由题意，知 c5 ，c5 ， 1 分a3因此 a 3 ， b a 2 c 2 2，3分因此椭圆 C的标准方程为 x2y2. 4分194（Ⅱ） 证明：由题意，点 B 在圆 M 上，且线段 AB 为圆 M 的直径，因此 PA PB .5分当直线 PAx 轴时，易得直线 PA 的方程为 x3 ，由题意，得直线 PB 的方程为 y 2 ，明显直线 PB 与椭圆 C 相切 .得 (9 k 24) x 2 18( y 0 kx 0 )kx 9( y 0 2 360. 11分kx 0 )由于直线 PA 与椭圆 C 相切，因此1 [18( ykx ) k]24(9k 24)[9( ykx ) 2 36] 0 ，整理，得1144[( x 02 9) k 2 2x 0 y 0k y 024]0 .（ 1） 12 分同理，由直线 PB 与椭圆 C 的方程联立，得 2144[( x 029)122x 0 y 0 1 y 02 4] .（ 2）kk由于点 P 为圆 M ：x 2 y 2 13 上随意一点，因此 x 02 y 02 13 ，即 y 0213 x 02 .代入（ 1）式，得 ( x 02 9)k 2 2x 0 y 0 k (9 x 02 )0 ，代入（ 2）式，得2144 [( x 02 9) 2x 0 y 0 k ( y 024)k 2 ]k 2144[( x 02 9) 2x 0 y 0 k (9 x 02 )k 2 ]k 2144 2 2 2k 2[( x 09) k2x 0 y 0 k (9 x 0 )]0 .-13--14-11A-SX-0000002因此此时直线PB与椭圆 C 相切.综上，直线PB与椭圆 C 相切.14 分-15--16-。
新课标人教版高二年级上期末试题含答案
高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或3．（5分）已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“p∨q”，“p∧q”和“¬p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′=．15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′=﹣sinx；③（）；其中是真命题的有：．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，求m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．2017-2018学年甘肃省白银市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）在等差数列51、47、43，…中，第一个负数项为（）A．第13项 B．第14项 C．第15项 D．第16项【解答】解：因为数列51、47、43，…为等差数列，所以公差d=47﹣51=﹣4，首项为51，所以通项a n=51+（n﹣1）×（﹣4）=55﹣4n所以令55﹣4n＜0解得n＞，因为n为正整数，所以最小的正整数解为14，所以第一个负数项为第14项故选B2．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C． D．或【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．（5分）已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1，2}，由它们组成的“p∨q”，“p∧q”和“¬p”形式的复合命题中，真命题有（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：因为∅⊆{0}，所以命题p为真．因为：{1}⊆{1，2}，所以命题q为假．所以p∨q为真，p∧q为假，¬p为假．故真命题的个数为1个．故选B．4．（5分）双曲线=﹣1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程，可知焦点在y轴，且a=3，b=2，故渐近线方程为y==故选A5．（5分）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（）A．B．C．D．【解答】解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°，根据正弦定理得：=，又a=8，sinA=，sinB=，则b===4．故选C6．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8 B．4 C．1 D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选择B．7．（5分）如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C8．（5分）准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣2x B．y2=﹣4x C．y2=2x D．y2=4x【解答】解：由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=﹣2px将p代入可得y2=﹣4x．故选：B．9．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：由椭圆a=，b=，c2=a2﹣c2=4，则椭圆的焦点右焦点F（2，0），由抛物线y2=2px的焦点，则=2，则p=4，故选：D．10．（5分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选C．11．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．12．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=（n∈N*），则a3=．【解答】解：∵a n=（n∈N*），∴a3==，故答案为：．14．（5分）求y=x3+3x2+6x﹣10的导数y′=3x2+6x+6，．【解答】解：函数的导数为y′=3x2+6x+6，故答案为：3x2+6x+6，15．（5分）若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，=，又b=1，S△ABC∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为：16．（5分）有下列命题：①（log a x）；②（cosx）′=﹣sinx；③（）；其中是真命题的有：②．（把你认为正确命题的序号都填上）【解答】解：①（log a x）′=；故①错误，②（cosx）′=﹣sinx；故②正确，③（）′=，故③错误，故真命题为②，故答案为：②三、解答题（本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，cosA=．B=则：sinA=，所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，=．（2）利用正弦定理得：，由于：B=，b=，sinA=，解得：a=，所以：，=．18．（12分）命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根；命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根，若“p或q”为真命题，求m的取值范围．【解答】解：∵“p或q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，当p为真命题时，则，解得m＜﹣2，当q为真命题时，则△=16（m+2）2﹣16＜0，得﹣3＜m＜﹣1．当p真q假时，得m≤﹣3．当q真p假时，得﹣2≤m＜﹣1．当p真q真时，﹣3＜m＜﹣2综上，m＜﹣1．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，求函数f（x）的解析式．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+x+b，则：f′（x）=3ax2﹣6x+1，由于：y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，则：f′（1）=﹣2，即：3a﹣6+1=﹣2，解得：a=1．又：当x=1时，y=﹣3，则（1，﹣3）满足函数f（x）=x3﹣3x2+x+b，解得：b=﹣2．故函数的解析式为：f（x）=x3﹣3x2+x﹣2．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3x，求函数f（x）在[﹣3，]上的最大值和最小值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在[﹣3，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，]递增，而f（﹣3）=﹣27+9=﹣18，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（）=﹣，故函数的最大值是2，最小值是﹣18．21．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N+），令b n=．（1）求证：数列{b n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】（1）证明：由S n=2a n﹣2n（n∈N+），n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2n﹣（），化为：a n﹣2a n﹣1=2n﹣1，化为：﹣=．令b n=．=，b1==1．则b n﹣b n﹣1∴数列{b n}为等差数列，首项为1，公差为．（2）解：由（1）可得：b n=1+（n﹣1）==．∴a n=（n+1）•2n﹣1．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|=，|PF2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距c=，从而b2=a2﹣c2=4，所以椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以．解得，所以直线l的方程为，即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意）（Ⅱ）解法二：已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且，①，②由①﹣②得．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得=，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y﹣1=（x+2），即8x﹣9y+25=0．（经检验，所求直线方程符合题意．）23．（理科）如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面ABC是正三角形．（1）求证：AD⊥BC；（2）求二面角B﹣AC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）方法一：作AH⊥面BCD于H，连DH．AB⊥BD，HB⊥BD，又AD=，BD=1，∴AB==BC=AC，∴BD⊥DC，又BD=CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC，∴AD⊥BC．方法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B﹣AC﹣D的平面角，因为AB=AC=BC=，∵M是AC的中点，则BM=，MN=CD=，BN=AD=，由余弦定理可求得cos∠BMN=，∴二面角B﹣AC﹣D的余弦值为．。
四川省成都市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1） B．（﹣2，1，﹣1） C．（2，﹣1，1） D．（﹣2，﹣1，﹣1）2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A． 10 B． 21 C． 35 D． 463．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（） A．﹣2 B． 2 C．﹣ D．4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 105．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣1=0 C． 2x﹣y﹣3=0 D． x﹣2y=06．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（）A．++ B．++ C．++ D．﹣﹣8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）A．α∩β=l，m与α，β所成角相等B．α⊥β，l⊥α，m∥βC． l，m与平面α所成角之和为90°D．α∥β，l⊥α，m∥β9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：①直线l的倾斜角为α；②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 410．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值二、填空题（每小题5分，共25分）11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条．15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：①⊥（﹣）；②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．17．（12分）（2014秋•某某期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） [180，185） [185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 218．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．（Ⅰ）求向量的模；（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．19．（12分）（2014秋•某某期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x ﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．20．（13分）（2014秋•某某期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．21．（14分）（2014秋•某某期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若•=0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年某某省某某市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，﹣1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（）A．（﹣2，﹣1，1） B．（﹣2，1，﹣1） C．（2，﹣1，1） D．（﹣2，﹣1，﹣1）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：利用关于原点对称的点的特点即可得出．解答：解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（﹣2，﹣1，1），故选：A．点评：本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题．2．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（）A． 10 B． 21 C． 35 D． 46考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：通过样本数据的茎叶图直接读出即可．解答：解：通过样本数据的茎叶图发现，有3个数据是35，最多，故选：C．点评：本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题．3．已知点A（﹣1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（） A．﹣2 B． 2 C．﹣ D．考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案．解答：解：∵A（﹣1，2），B（1，3），∴，又直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为．故选：D．点评：本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题．4．根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 10考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值．解答：解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，故当x=2时，y=2×（2+1）=6．故选：B．点评：本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题．5．经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（）A． x+y﹣3=0 B． x﹣y﹣1=0 C． 2x﹣y﹣3=0 D． x﹣2y=0考点：直线的点斜式方程．专题：直线与圆．分析：由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案．解答：解：∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率k=tan135°=﹣1．又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y﹣1=﹣1×（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选：A．点评：本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了直线的点斜式方程，是基础题．6．已知圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A．相交 B．相离 C．外切 D．内含考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d＞R+r得到两圆的位置关系为相离．解答：解：由圆C1：x2+y2+2x﹣4y+1=0，化为（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心C1（﹣1，2），R=2圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2=1，圆心C2（3，﹣1），r=1，∴两圆心间的距离d==5＞2+1，∴圆C1和圆C2的位置关系是相离．故选：B．点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．7．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（）A．++ B．++ C．++ D．﹣﹣考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出．解答：解：，，，∴=+=．故选：C．点评：本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则，属于基础题．8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到l⊥m的是（）A．α∩β=l，m与α，β所成角相等B．α⊥β，l⊥α，m∥βC． l，m与平面α所成角之和为90°D．α∥β，l⊥α，m∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，α∩β=l，m与α，β所成角相等，当m∥α，β时，m∥l，得不到l⊥m；对于B，α⊥β，l⊥α，得到l∥β或者l⊂β，又m∥β，所以l与m不一定垂直；对于C，l，m与平面α所成角之和为90°，当l，m与平面α都成45°时，可能平行，故C错误；对于D，α∥β，l⊥α，得到l⊥β，又m∥β，所以l⊥m；故选D．点评：本题考查了直线垂直的判断，用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理，熟练运用相关的定理是关键，属于中档题目．9．已知直线l：xsinα﹣ycosα=1，其中α为常数且α∈[0，2π）．有以下结论：①直线l的倾斜角为α；②无论α为何值，直线l总与一定圆相切；③若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；④若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y2≥1．其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：举例说明①错误；由点到直线的距离公式求得（0，0）到直线的距离判断②；求出三角形面积公式，结合三角函数的有界性判断③；由②说明④正确．解答：解：直线l：xsinα﹣ycosα=1，当α=时，直线方程为：x=﹣1，直线的倾斜角为，命题①错误；∵坐标原点O（0，0）到直线xsinα﹣ycosα=1的距离为，∴无论α为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，命题②正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S=≥1，故③正确；∵无论α为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，∴④正确．∴正确的命题是3个．故选：C．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线的倾斜角，点与直线的关系，直线与圆的位置关系，三角函数的值域等，是中档题．10．在Rt△ABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图①），沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A（如图②）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是（）A．当CD为Rt△ABC的中线时，d取得最小值B．当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值C．当CD为Rt△ABC的高线时，d取得最小值D．当D在Rt△ABC的AB边上移动时，d为定值考点：平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有θ的三角函数求得最值．解答：解：如图，设BC=a，AC=b，∠ACD=θ，则（0），过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，∴AG=bsinθ，BH=acosθ，CG=bcosθ，CH=asinθ，则HG=CH﹣CG=asinθ﹣bcosθ，∴d=|AB|====．∴当，即当CD为Rt△ABC的角平分线时，d取得最小值．故选：B．点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了两条异面直线上两点间的距离，运用数学转化思想方法是解答该题的关键，是中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为．考点：空间两点间的距离公式．专题：空间位置关系与距离．分析：直接利用空间两点间距离公式求解即可．解答：解：空间直角坐标系中，P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段|PQ|==．故答案为：．点评：本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．12．某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，35～50岁的400人，20～35岁的300人．为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在35～50岁年龄段应抽取的人数为20 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据题意，求出抽取样本的比例，计算抽取的人数即可．解答：解：根据题意，得；抽样比例是=，∴在35～50岁年龄段应抽取的人数为400×=20．故答案为：20．点评：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目．13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 4 ．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x≤4，输出y的值为4．解答：解：执行程序框图，可得x=1，y=1满足条件x≤4，x=2，y=2满足条件x≤4，x=4，y=3满足条件x≤4，x=8，y=4不满足条件x≤4，输出y的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了程序框图和算法，准确执行循环得到y的值是解题的关键，属于基础题．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有 4 条．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：作出正方体，利用正方体的空间结构，根据异面直线的定义进行判断解答：解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与A1B异面而且夹角为60°的有：AC，AD1，CB1，B1D1，共有4条．故答案为：4．点评：本题考查异面直线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握异面直线的概念．15．记空间向量=，=，=，其中，，均为单位向量．若⊥，且与，的夹角均为θ，θ∈[0，π]．有以下结论：①⊥（﹣）；②直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；③若向量+所在直线与平面ABC垂直，则θ=60°；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，若向量与++夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：①•（﹣）==cosθ﹣cosθ=0，可得⊥（﹣）；②当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，即可判断出正误；③向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，可得OD⊥CD，可得AC=1=OC=OA，可得θ=60°，即可判断出正误；④补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，可得OM=，OP=，MP=．即可得出动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆．解答：解：①∵•（﹣）==cosθ﹣cosθ=0，∴⊥（﹣），正确；②当时，直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，因此不正确；③向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CD⊥AB，∴OD⊥CD，又OD=DA==CD，∴AC=1=OC=OA，则θ=60°，正确；④当θ=90°时，P为△ABC内（含边界）一动点，补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，OM==，∵向量与++（即与）的夹角的余弦值为，∴=，∴=．∴动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆，因此正确．其中，正确的结论有①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了向量的数量积运算性质、空间线面位置关系、空间角、正方体的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）MN⊥AC．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）只要证明MP∥BD，NP∥DD1，利用面面平行的判定定理可证；（Ⅱ）由已知容易得到NP⊥底面ABCD，利用射影定理，只要证明MP⊥AC即可．解答：证明：（Ⅰ）∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，∴MP∥BD，NP∥DD1，∴平面MNP∥平面BDD1B1；（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD1，又DD1⊥底面ABCD，∴NP⊥底面ABCD，∴MN在底面ABCD的射影为MP，∵M，N是AB，A1D1的中点，∴MP∥BD，又BD⊥AC，∴MP⊥AC，∴MN⊥AC．点评：本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用．17．（12分）（2014秋•某某期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本．样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数．身高（单位：cm） [150，155） [155，160） [160，165） [165，170） [170，175） [175，180） [180，185） [185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 2考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率、频数与样本容量的关系，结合频率分布直方图中小矩形的高，求出a、b的值；（2）求出该年级中男生身高不低于170cm的频率，计算对应的频数即可．解答：解：（1）身高在[160，165）的频率为=0.15，∴==0.03，即a=0.03；身高在[170，175）的频率为=0.25，∴==0.05，即b=0.05；（2）该年级中男生身高不低于170cm的频率为0.25+0.036×5+0.02×5+0.004×5=0.55，∴估计该年级中男生身高不低于170cm的人数是1000×0.55=550．点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目．18．（12分）（2014秋•某某期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，向量，，两两垂直，||=1，||=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且•=0．（Ⅰ）求向量的模；（Ⅱ）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．考点：平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A1（0，0，z），得到•=4﹣=0，解出即可．（Ⅱ）分别求出，，的坐标，设平面A1EF的法向量=（x，y，z），得到方程组，求出一个，从而求出直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图示：，∴C（1，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），设A1（0，0，z），则E（0，2，），B1（0，2，z），∴=（﹣1，2，z），=（0，2，﹣），∴•=4﹣=0，解得：z=2，∴||=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=（0，0，2），=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣），设平面A1EF的法向量=（x，y，z），∴，令z=2，∴=（3，，2），设直线AA1与平面A1EF所成的角为θ，∴sinθ===．点评：本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，考查了线面角问题，是一道中档题．19．（12分）（2014秋•某某期末）已知直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x ﹣2是三条不同的直线，其中m∈R．（Ⅰ）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（Ⅱ）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值．考点：直线与圆相交的性质；恒过定点的直线．专题：计算题；直线与圆．分析：（Ⅰ）直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，可化为m（x﹣y）﹣（y+2）=0，可得，即可得出直线l1恒过定点，及该点的坐标；（Ⅱ）求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l1．解答：（Ⅰ）证明：直线l1：mx﹣（m+1）y﹣2=0，可化为m（x﹣y）﹣（y+2）=0，∴，∴x=y=﹣2，∴直线l1恒过定点D（﹣2，﹣2）；（Ⅱ）解：l2：x+2y+1=0，l3：y=x﹣2联立可得交点坐标C（1，﹣1），求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD⊥直线l1，∵|CD|==，∴|AB|的最小值为2=2．点评：本题考查直线l1恒过定点，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20．（13分）（2014秋•某某期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E为PD上一点，且PD=3PE．（Ⅰ）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．解答：解：（I）取AB的中点O，连接PO，OC∵△PAB为边长为2的正三角形，∴PO⊥AB又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB∴PO⊥平面ABCD，又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC⊂平面POC∴AB⊥平面POC又∵OC⊂平面POC∴AB⊥OC以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，则A（﹣1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），B（1，0，0），∵PD=3PE，∴E（，，）则=（2，0，0），=（，﹣，），则||=，则cos＜，＞===﹣，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为．（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），∵=（1，，0），=（0，﹣，），∴由，即，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），平面ABCD的法向量为=（0，0，1），则cos＜，＞===，故平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为．点评：本题主要考查异面直线所成角的求解，以及二面角的求解，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的常用方法．考查学生的运算和推理能力．21．（14分）（2014秋•某某期末）已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点．（Ⅰ）若•=0，求b的值；（Ⅱ）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由P在圆上，且•=0，可知直线l过圆心O，由此求出b的值；（2）由|AB|=2得到原点O到直线l的距离，再由面积为得另一关于k和b的等式，联立方程组求得满足条件的k值；（3）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，由|PA|•|PB|=4得到A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到直线l的斜率和截距的关系，由点到直线的距离公式求出P到直线l的距离为定值，由此可得存在一定圆M，方程是x2+（y﹣2）2=1，使得直线l与圆M相切．解答：解：（Ⅰ）∵点P（0，2）在圆C：x2+y2=4上，且直线l：y=kx+b与圆C交于A，B 两点，当•=0时，，∴直线l过圆心O（0，0），则b=0；（Ⅱ）由题意可知，直线l不过原点O，不妨设k＞0，b＞0，由|AB|=2，得，①取x=0，得y=b，取y=0，得x=﹣，∴，②联立①②解得：或k=，由对称性可得满足条件的直线l的斜率的值为或；（Ⅲ）联立，消去y，得（k2+1）x2+2kbx+b2﹣4=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵|PA|•|PB|=4，∴，∴=16，即（2﹣y1）（2﹣y2）=1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+3=0，则（kx1+b）（kx2+b）﹣2（kx1+b+kx2+b）+3=0，k2x1x2+（kb﹣2k）（x1+x2）﹣4b+3=0，∴k2•+（kb﹣2b）•（﹣）﹣4b+3=0．化简得：化简得k2=b2﹣4b+3，即k2+1=（b﹣2）2，∴．∵点P（0，2）到直线l：y=kx+b的距离d==1，∴存在一定圆M，方程是x2+（y﹣2）2=1，使得直线l与圆M相切．点评：本题考查了平面向量的应用，考查了直线与圆的位置关系，考查了定值的应用问题，综合性强，属难题．。
【典型题】高二数学上期末模拟试题(带答案)
【典型题】高二数学上期末模拟试题(带答案)一、选择题1．在区间[]0,1上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“23x y +≤”的概率，则(P = ) A ．23B ．12C ．49 D ．292．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内现将这100名学生的成绩按照 [80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为 0.040B ．样本数据低于130分的频率为 0.3C ．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分D ．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数不相等3．已知回归方程$21y x =+，而试验得到一组数据是(2,5.1)，(3,6.9)，(4,9.1)，则残差平方和是（ ） A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.044．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为A ．6B ．7C ．8D ．95．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？6．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元7．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．13B ．47C ．23D ．568．执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 依次为()sin sin αα，()cos sin αα，()sin cos αα，其中,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则输出的x 为( )A ．()cos cos ααB ．()sin sin ααC ．()cos sin ααD ．()sin cos αα9．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 （ ） A ．310B ．25C ．12D ．3510．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．1911．设数据123,,,,n x x x x L 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入，若这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变12．2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是（ ） A ．25B ．35C ．23D ．15二、填空题13．将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则5()6g π__________.14．如图，在半径为1的圆上随机地取两点,B E ，连成一条弦BE ，则弦长超过圆内接正BCD ∆边长的概率是__________．15．小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于14，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于12，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______.(豆子大小可忽略不计)16．如图是某算法流程图，则程序运行后输出S的值为____．17．根据如图所示算法流程图，则输出S的值是__．18．如图是一个算法流程图，则输出的S的值为______．19．在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ，则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________．20．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%，在一次考试中，男、女生平均分数依次为72、74，则这次考试该年级学生的平均分数为__________．三、解答题21．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.22．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.23．A B 两个班共有65名学生，为调查他们的引体向上锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生引体向上的测试数据（单位：个），用茎叶图记录如下：(1)试估计B 班的学生人数；(2)从A 班和B 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，B 班选出的人记为乙，假设所有学生的测试相对独立，比较甲、乙两人的测试数据得到随机变量X .规定：当甲的测试数据比乙的测试数据低时，记1X =-；当甲的测试数据与乙的测试数据相等时，记X 0=；当甲的测试数据比乙的测试数据高时，记1X =.求随机变量X 的分布列及数学期望.(3)再从A 、B 两个班中各随机抽取一名学生，他们引体向上的测试数据分别是10，8（单位：个），这2个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1μ，表格中数据的平均数记为0μ，试判断0μ和1μ的大小.（结论不要求证明）24．某单位为了解其后勤部门的服务情况，随机访问了40名其他部门的员工，根据这40名员工对后勤部门的评分情况，绘制了频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（1）求a 的值；（2）估计该单位其他部门的员工对后勤部门的评分的中位数；（3）以评分在[)40,60的受访者中，随机抽取2人，求此2人中至少有1人对后勤部门评分在[)40,50内的概率.25．读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”:已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人(1)求,n p 的值;(2)根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?非读书之星 读书之星 总计男女 10 55 总计(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82826．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,1650.05 第2组[)165,1700.35第3组 [)170,175①第4组 [)175,180 0.20 第5组[]180,1850.10()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可. 【详解】如图所示，01,01x y ≤≤≤≤表示的平面区域为ABCD ， 平面区域内满足23x y +≤的部分为阴影部分的区域APQ ，其中2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,3Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为1222233119p ⨯⨯==⨯. 本题选择D 选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.2．C解析：C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =；样本数据低于130分的频率为：0.7；[)80,120的频率为0.4，[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.41203123.30.3-+⨯≈分；样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等，总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等． 【详解】由频率分布直方图得：()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=，解得0.030a =，故A 错误；样本数据低于130分的频率为：()10.0250.005100.7-+⨯=，故B 错误；[)80,120的频率为：()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=， [)120,130的频率为：0.030100.3⨯=．∴总体的中位数(保留1位小数)估计为：0.50.412010123.30.3-+⨯≈分，故C 正确； 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等， 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等，故D 错误．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．因为条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 因为残差，所以残差的平方和为（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故选C.考点：残差的有关计算.4．C解析：C 【解析】分析：执行程序框图，得到输出值4k S =，令24k=，可得8k =. 详解：阅读程序框图，初始化数值1,n S k ==，循环结果执行如下：第一次：14n =<成立，2,22k k n S k ==-=； 第二次：24n =<成立，3,263k k k n S ==-=； 第三次：34n =<成立，4,3124k k k n S ==-=； 第四次：44n =<不成立，输出24kS ==，解得8k =. 故选C.点睛：解决循环结构程序框图问题的核心在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.5．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=，样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=，得解． 【详解】由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有1151260C C ⋅=种不同的选法，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是6041057=. 故选：B ． 【点睛】本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.8．C解析：C 【解析】 【分析】由框图可知程序的功能是输出三者中的最大者，比较大小即可. 【详解】由程序框图可知a 、b 、c 中的最大数用变量x 表示并输出， ∵,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭∴0cos α12sin α<<<<， 又()y xsin α=在R 上为减函数，y sin x α=在()0∞+，上为增函数， ∴()sin sin αα＜()cos sin αα，()sin cos αα＜()sin sin αα故最大值为()cos sin αα，输出的x 为()cos sin αα故选：C 【点睛】本题主要考查了选择结构．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．9．D解析：D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==，甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==，甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中正确理解题意，找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.11．B解析：B 【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是郑州普通职工n (n ⩾3,n ∈N ∗)个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入 则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大. 故选B12．A解析：A 【解析】分析：根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过，我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5，然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度，然后代入几何概型公式，即可得到答案 详解：：∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -=＝ ． 故选A .点睛：本题考查的知识点是几何概型，其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13．【解析】【分析】先利用辅助角公式将函数的解析式化简根据三角函数的变化规律求出函数的解析式即可计算出的值【详解】由题意可得因此故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简三角函数图象变换在三角图象相位变换的解析：【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数sin 22y x x =-的解析式化简，根据三角函数的变化规律求出函数()y g x =的解析式，即可计算出56g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． 【详解】sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭Q ，由题意可得()2sin 22sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此，5552sin 22sin 2sin 22sin 66333g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题考查辅助角公式化简、三角函数图象变换，在三角图象相位变换的问题中，首先应该将三角函数的解析式化为()()sin 0y A x b ωϕω=++≠（或()()cos 0y A x b ωϕω=++≠）的形式，其次要注意左加右减指的是在自变量x 上进行加减，考查计算能力，属于中等题．14．【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析：13【解析】 【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，求出劣弧CD的长度，运用几何概型的计算公式，即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图，取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点，当另一端点在劣弧CD上时，BE BC>，设圆的半径为r，劣弧CD的长度是23rπ，圆的周长为2rπ，所以()21323rP Arππ==，故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 15．【解析】【分析】根据题意画出图形求出写作业所对应的区域面积利用得到结果【详解】由题意可知当豆子落在下图中的空白部分时小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知小明不在家解析：5π4-【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用()()1P A P A=-得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业∴大正方形面积111S =⨯=；阴影正方形面积1111224S =⨯= 空白区域面积：22111244S ππ-⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：2514S P S π-=-= 本题正确结果：54π- 【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.16．41【解析】【分析】根据给定的程序框图计算逐次循环的结果即可得到输出的值得到答案【详解】由题意运行程序框图可得第一次循环不满足判断框的条件；第二次循环不满足判断框的条件；第三次循环不满足判断框的条件解析：41 【解析】 【分析】根据给定的程序框图，计算逐次循环的结果，即可得到输出的值，得到答案。
(完整word版)高二第一学期数学期末考试题及答案(人教版文科)
2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试题文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1．在相距2km的A、B两点处测量目标C, 若∠CAB＝75°, ∠CBA＝60°, 则A、C两点之间的B. 3 km距离是（）A. 2 kmA．2kmC. kmD. 3 km2. 已知椭圆（）的左B．4C．3D．2焦点为,则（）A．93. 在等差数列中,,则B. 15C. 20D. 25的前5项和=（）A．74. 某房地产公司要在一块圆形的土地上,设计一B. 100m2C. 200m2D. 250m2个矩形的停车场.若圆的半径为10m,则这个矩形的面积最大值是（）A. 50m2A．50m25. 如图所示, 表示满足不等式的点所在的平面区域为（）B ．C ．D ．A ．6. 焦点为(0, ±6)且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（）B ．A ．C ．D ．7. 函数的导数为（）B ．A ．C ．D ．8. 若＜＜0, 则下列结论正确的是（）B ．A. bA ．bC. -2D ．9. 已知命题: 命题.则下列判断正确的是（）B. q是真命题A. p是假命题A．p是假命题C. 是真命题D. 是真命题10. 某观察站B. 600米C. 700米D. 800米与两灯塔、的距离分别为300米和500米, 测得灯塔在观察站北偏东30 , 灯塔在观察站正西方向, 则两灯塔、间的距离为（）A. 500米A．500米11. 方程表示的曲线为（）A. 抛物线A．抛物线B. 椭圆 C. 双曲线D．圆12. 已知数列的前项和为, 则的值是（）A. -76A．-76B. 76C. 46D. 13二、填空题（每题5分, 共20分）13.若, , 是实数, 则的最大值是_________14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点, 如果, 那么＝___________.15.若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点, 且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1, 则双曲线的方程是____________．16.直线是曲线y=l.x（x>0）的一条切线，则实数b=___________2017—2018学年度第一学期高二数学期末考试文科数学（提高班）答题卡二、填空题（共4小题, 每题5分）13. 2 14、 815. 16.三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.已知数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求证数列是等比数列；18.已知不等式组的解集是, 且存在, 使得不等式成立.（Ⅰ）求集合；（Ⅱ）求实数的取值范围.19.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元, 每生产一台仪器需增加投入100元, 已知总收益满足函数:（其中是仪器的月产量）.（1）将利润表示为月产量的函数；（2）当月产量为何值时, 公司所获利润最大？最大利润为多少元？（利润=总收益-总成本）20.根据下列条件, 求双曲线的标准方程.(1)经过点, 且一条渐近线为；(2) 与两个焦点连线互相垂直, 与两个顶点连线的夹角为.21.已知函数在区间上有最小值1和最大值4, 设.（1）求的值；（2）若不等式在区间上有解, 求实数k的取值范围.22.已知函数（）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在常数, 使得, 恒成立？若存在, 求常数的值或取值范围；若不存在, 请说明理由.文科（提高班）选择题（每题5分, 共60分）1.考点: 1. 2 应用举例试题解析：由题意, ∠ACB＝180°－75°－60°＝45°, 由正弦定理得＝, 所以AC＝·sin60°＝(km)．答案：C2.考点: 2. 1 椭圆试题解析：, 因为, 所以, 故选C．答案：C3.考点: 2. 5 等比数列的前n项和试题解析: .答案：B4.考点: 3. 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析：如图,设矩形长为, 则宽为,所以矩形面积为 , 故选C答案: C5.考点：3．.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题解析: 不等式等价于或作出可行域可知选B答案: B6.考点: 2. 2 双曲线试题解析：与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为，又因为双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为.答案：B7.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：, 故选B.答案：B8.考点: 3. 1 不等关系与不等式试题解析：根据题意可知, 对两边取倒数的得, 综上可知, 以此判断：A．正确；因为：, 所以：, B错误；, 两个正数相加不可能小于, 所以C错误；, D错误, 综上正确的应该是A．答案：A9.考点: 1. 3 简单的逻辑联结词试题解析：当时, （当且仅当, 即时取等号）, 故为真命题；令, 得, 故为假命题, 为真命题；所以是真命题.答案：C10.考点: 1. 2 应用举例试题解析：画图可知在三角形ACB中, , , 由余弦定理可知, 解得AB=700.答案：C11.考点: 2. 1 椭圆试题解析：方程表示动点到定点的距离与到定直线的距离, 点不在直线上, 符合抛物线的定义；答案：A12.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析：由已知可知：, 所以, , , 因此, 答案选A.答案：A二. 填空题（每题5分, 共20分）13.考点: 3. 4 基本不等式试题解析：, , 即,则, 化简得, 即, 即的最大值是2.答案：214.考点: 2. 3 抛物线试题解析：根据抛物线方程知, 直线过焦点, 则弦, 又因为, 所以．答案：815.考点: 2. 2 双曲线试题解析：椭圆长轴的端点为, 所以双曲线顶点为, 椭圆离心率为,所以双曲线离心率为, 因此双曲线方程为答案：16.考点: 3. 2 导数的计算试题解析：设曲线上的一个切点为（m, n）, , ∴,∴.答案：三、解答题（共6小题, 17题10分, 其他每小题12分）17.考点: 2. 3 等差数列的前n项和试题解析: （Ⅰ）设数列由题意得:解得:（Ⅱ）依题,为首项为2, 公比为4的等比数列（Ⅲ）由答案: （Ⅰ）2n-1；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）{1, 2, 3, 4}18.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析：（Ⅰ）解得；（Ⅱ）令, 由题意得时, ．当即, （舍去）当即, .综上可知, 的取值范围是.答案: （Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是19.考点: 3. 4 生活中的优化问题举例试题解析：（1）（2）当时,∴当时, 有最大值为当时,是减函数,∴当时, 的最大值为答：每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元.答案：（1）；（2）每月生产台仪器时, 利润最大, 最大利润为元20.考点: 双曲线试题解析:（1）由于双曲线的一条渐近线方程为设双曲线的方程为（）代入点得所以双曲线方程为（2）由题意可设双曲线的方程为则两焦点为, 两顶点为由与两个焦点连线垂直得, 所以由与两个顶点连线的夹角为得, 所以, 则所以方程为21.考点: 3. 2 一元二次不等式及其解法试题解析: （1）, 因为, 所以在区间上是增函数,故, 解得．（2）由已知可得, 所以, 可化为,化为, 令, 则, 因, 故,记, 因为, 故,所以的取值范围是22.考点: 3. 3 导数在研究函数中的应用试题解析:（1）, 所求切线的斜率所求切线方程为即（2）由, 作函数,其中由上表可知, , ；,由, 当时, , 的取值范围为, 当时, , 的取值范围为∵, 恒成立, ∴答案：（1）（2）存在, , 恒成立100.在中, 角所对的边分别为, 且满足, .（.）求的面积；（II）若, 求的值.46.考点: 正弦定理余弦定理试题解析：（Ⅰ）又, , 而, 所以, 所以的面积为：（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 而, 所以所以答案: (1)2(2)。
人教版高二数学上册《期末复习》练习题试卷及参考答案
方程为
．
7、右图是 2008 年“隆力奇”杯第 13 届 CCTV 青年歌手电视大奖
赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和
一个最低分后，所剩数据的方差为
．
79 8 44467 9 136
8、某程序的伪代码如图所示，则程序运行后的输出结果为
． 第 7 题图
9、椭圆 x2 my2 1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两
人教版高二数学上册期末复习练习卷
一、填空题：
1、某校高中生共有 900 人，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现
采用分层抽取一容量为 45 人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
．
2、命题“ x∈R，x2－2x+l≤0”的否定形式为
．
3、若不等式 | x 1 | a 成立的充分条件是 0 x 4 ，则实数 a 的取值范围是
…………13 分
∴当 x0 0 时， kPQ 0 ， OP PQ ；
当
x0
0 时候， kOP
y0 x0
，∴ kPQ kOP
1,OP
PQ
．
………… 14 分
综上，当 x0 2 时候， OP PQ ，故直线 PQ 始终与圆 C 相切． … 15 分
5、解：（1） f (x) x3 2ax2 a2x
P( A)
C32
C31 C41 C72
5 7
解法 2：设“摸出 2 个球中不含红球即摸出的 2 个球都是黑球”为事件 A
则
P( A)
C42 C72
2 7
P( A) 1 P( A) 1 2 5 77
答：此人中奖的概率是 5 . 7
新课标人教版高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
高二（上）期末数学试卷一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．324．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．145．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．2607．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．558．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞010．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．411．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=012．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．2017-2018学年吉林省延边州汪清高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择（每小题5分，共计60分）1．（5分）在△ABC中，已知A=60°，a=4，b=4，则∠B的度数是（）A．135°B．45°C．75°D．45°或135°【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理得：sinB===，∵a＞b，可得A＞B，∴B=45°．故选：B．2．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13，设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形．故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，则a4=（）A．﹣16 B．16 C．±16 D．32【解答】解法一：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴，解得或，∴a4==16．故选：B．解法二：∵等比数列{a n}满足a2=4，a6=64，∴a42=a2a6=4×64=256，∵偶数项的符号相同，∴a4=16．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a5+a9=2，则S13=（）A．11 B．12 C．13 D．14【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n=∴S13====13故选C5．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（）A．|a|＞﹣b B．C．D．【解答】解：∵a＜0，∴|a|=﹣a，∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞﹣b，故结论A成立；取a=﹣2，b=﹣1，则∵，∴B不正确；，∴，∴C不正确；，，∴，∴D不正确．故选A．6．（5分）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由题意得方程组，a1解得d=，a1=，∴s3m=3ma1+d=3m+=210．故选C．解法2：∵设{a n}为等差数列，∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，即30，70，s3m﹣100成等差数列，∴30+s3m﹣100=70×2，解得s3m=210．故选C．a17．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．55【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D8．（5分）设集合A={x|x﹣2＞0}，B={x|x2﹣2x＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵A={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件．故选A．9．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0 D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，故选：C．10．（5分）椭圆上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则ON为（）A．2 B．C．8 D．4【解答】解：椭圆，可得a=5，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，又|MF1|=2，∴|MF2|=8，∵N是MF1的中点，O为F1F2的中点，∴|ON|=|MF2|=4．故选：D．11．（5分）如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；故选D．12．（5分）已知点F1、F2分别是椭圆+=1（k＞﹣1）的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由椭圆定义有4a=8∴a=2，所以k+2=a2=4∴k=2．从而b2=k+1=3，c2=a2﹣b2=1，所以，故选A二、填空题（每小题5分，共计20分）13．（5分）设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．14．（5分）过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为8．【解答】解：由椭圆，可得a=2；椭圆的定义可得：|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4．∴△ABF2的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8．故答案为：8．15．（5分）给出以下四个判断，其中正确的判断是（4）（1）若“p或q”为真命题，则p，q均为真命题（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4且y ＜2”（3）若x≠300°，则cosx≠（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．【解答】解：（1）若“p或q”为真命题，则两个没有至少一个是真命题，所以判断p，q均为真命题是不正确的；（2）命题“若x≥4且y≥2，则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y＜6，则x＜4或y ＜2”，所以原判断不正确；（3）若x≠300°，则cosx≠，反例x=60°，cosx=，所以（3）不正确；（4）命题“∃x0∈R，e≤0”是假命题．由指数函数的值域可知，命题是假命题，所以（4）正确；故答案为：（4）．16．（5分）在△ABC中，已知b=，c=3，B=30°，则a=或2．【解答】解：∵b=，c=3，B=30°，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB可得：3=a2+9﹣2×a×3×cos30°，整理可得：a2﹣3a+6=0，∴a=或2．故答案为：或2．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c）（c ＞0），离心率e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，求椭圆的方程．【解答】解：∵e=，焦点到椭圆上点的最短距离为2﹣，∴=，a﹣c=2﹣，解得a=2，c=，∴b2=a2﹣c2=1，由此可得椭圆的方程为．18．（12分）已知△abc的周长为10，且sinB+sinC=4sinA．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若bc=16，求角A的余弦值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）根据正弦定理，sinB+sinC=4sinA，可化为b+c=4a，…（3分）联立方程组，解得a=2．…（5分）所以，边长a=2．…（6分）（Ⅱ）由bc=16，又由（Ⅰ）得b+c=8，得b=c=4，…（8分）∴=．…（10分）因此，所求角A的余弦值是．…（12分）19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．20．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由（x﹣1）（x﹣3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，（x﹣3）（x﹣2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．21．（12分）已知等比数列{a n}中，s n为前n项和且a1+a3=5，s4=15，（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设b n=3log2a n，求b n的前n项和T n的值．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a3=5，s4=15，q≠1．∴a1（1+q2）=5，=15，联立解得a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=3log2a n=3（n﹣1）．∴数列{b n}的前n项和T n==﹣n．22．（12分）已知椭圆过左焦点的直线l的倾角为45°与椭圆相交于A，B两点（1）求AB的中点坐标；（2）求△ABF2的面积．【解答】解：（1）由椭圆方程：知，a=，b=，c==1∴F1（﹣1，0），F2（1，0）直线l的斜率k=tan45°，∴l的方程为y=x+1，，整理得：5x2+6x﹣3=0设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，∴x0==﹣，则y0=x0+1=，∴中点坐标为M（﹣，）；（2）F2到直线l距离d===，|AB|==∴S=|AB|×d=××=，△ABC∴△ABF2的面积．。
高二上期期末检测数学模拟试题(参考答案)
高二上期期末检测模拟试题数学 试题 参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1、【答案】B2、【答案】D解析：由题意，得存在实数x ，y ，使得AD x AB y AC =+成立，即(5,6,)(2,1,3)(1,4,2)x y λ−=−+−−，所以52,64,32,x y x y x y λ=− −=−+ =− 解得2,1,8,x y λ==− = 故选D. 3、【答案】C解析：由535S S =，且21(21)n n S n a −=−，得()312355a a a a =++，所以120a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()341248a a a a d +−+==，所以121d a ==−，，所以5147a a d =+=. 4、【答案】A 5、【答案】D解析：()57134a a a a +=+，则4q = ，∴4624a q a ==故选：D 6、【答案】D 7、【答案】C小题，共9、【答案】ACD解析：因为数列是一类特殊的函数，其自变量n +∈N ，故数列的图象是一群孤立的点，A 正确；数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B 错误； ，…前四项的规律，可知一个通项公式可以是()1nna n n +=∈+N ，C 正确； 10、【答案】ABD解析：当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A 选项正确；设(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(),m n ，则满足212122n mn m − =−+ =+ ，解得：11m n = = ，故点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)，B 正确；当在x 轴和y 轴上截距都等于0时，此时直线为y x =，故C 错误；直线20x y −−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222××=，D 正确. 故选：ABD. 11、【答案】BC解析：因为双曲线22:1169x y C −=，所以5c =，又因为12112102022P P F P F S c y y =⋅=⋅⋅= ，所以4P y =，所以选项A 错误；将其代入22:1169x y C −=得2241169x −=，即20||3x =，由对称性，不妨取P 的坐标为20,43，可知2133PF =， 由双曲线定义可知1213372833PF PF ++ 所以121337|||350|33PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F 中，12371321033PF c PF =>=>=， 且24012020553PF k −==>−，所以12PF F 为钝角三角形，选项C 正确； 因为122920tan tan 22PF F b S θθ===，所以9πtan tan 2206θ=<=， 即π26θ<，所以12π3F PF θ∠=<，所以选项D 错误（余弦定理也可以解决）； 12、【答案】ABD 解析：作出如图所示图形:对A,由抛物线定义及题意得222sin 302M M py py +==− , 即2212MM py p y+= =−,解得3p =,故A 正确; 对B,3p =,则30,2F,当直线l 的斜率不存在时,显然不合题意,设()11,M x y ,()22,N x y ,设直线l 的方程为y kx =22py =得2690x kx −−=,则12126,9x x k x x +==−, 121322MON S x x =×−=△当且仅当0k =时等号成立,故B 正确;对C,121212123322OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()221212393919162424k x x k x x k k k =++++=−++⋅+故MON ∠钝角,则不存在直线l ,使得90OMF ONF ∠+∠>°,故C 错误; 对D,26x y =,即216y x =,故13y x ′=,1x ,在点N 2x ,为121x x =−,故相切的两条直线互相垂直,故D 正确.故选:ABD.三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13、【答案】解析：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1； 圆心()1,0−到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =.故答案为：.14、【答案】33,84解析：设00(,)P x y ,则有2200143x y +=,即2200443x y −=.①由题意知12(2,0),(2,0)A A −,设直线1PA 的斜率为1k ,直线2PA 的斜率为2k ,则001200,22y y k k x x ==+−, 所以212204y k k x ⋅=−.② 由①②得1234k k ⋅=−.因为2[2,1]k ∈−−,所以1k 的取值范围为33,84,故选B.15、【答案】21nn + 解析：由题意，11a =，当(,1]x n n ∈+时，{}1x n =+，(22{},21x x n n n n ⋅∈+++ ，{{}}x x ⋅的取值依次为2221,2,,21n n n n n n ++++++ ，…，221n n ++，共1n +个，即11n n a a n +=++，由此可得(1)1211123,22(1)1n n n n a n a n n n n + =++++===− ++， 所以1211121n n a a a n +++=+ . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、【答案】解析：本题考查抛物线、双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系.由题意得,02p F，设直线l 的方程为2p x my =+，()11,A x y ，()22,B x y .由22,,2y px p x my = =+消去x 得2220y mpy p −−=，0∆>， 122y y mp ∴+=①，212y y p ⋅=−②.又||(3||AF FB =+，即(3AF FB =+，1122,(3,22p p x y x y∴−−=+−,12(3y y ∴=−+③.将③代入①得21)y mp +=−④，将③代入②得222(3y p +=⑤，再由④⑤解得21m =，故直线l 的斜率1k =±.又抛物线22(0)y px p =>的焦点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的右焦点，2p c ∴=.∴直线l 的方程即为()y k x c =−. 由双曲线的左焦点(,0)c −到直线l的距离2d b =>，解得c >，即222c b >.又222b c a =−,()2222c c a ∴>−,即ce a=<, 又1e >，∴双曲线的离心率e ∈. 17、【答案】(1).依题意得()()12111410,28,a d a d a a d +=+=+因为0d ≠，解得12,2.a d ==所以()2122n a n n =+−×=.(2).由(1)得()2222n n n S n n +==+， 所以211111nS n n n n ==−++. 所以11111111223111n n T nn n n =−+−++−=−=+++…. 解析：18、【答案】（解析:（1）1BB ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC , 1BB BC ∴⊥,平面111//A B C 平面ABC , 1BB ∴⊥平面111A B C , 11B C ⊂ 平面111A B C , 111BB B C ∴⊥11111tan B C C BB BB∴∠==1tan B CB ∠==111C BB B CB ∴∠=∠, 1190CBC B CB ∴∠+∠=°, 即11BC B C ⊥,又111A B BB ⊥,1111A B B C ⊥,1111BB B C B = ,1BB ⊂平面11BCC B ,11C B ⊂平面11BCC B , 11A B ∴⊥平面11BCC B , 111A B BC ∴⊥,1111A B B C B = ,1B C ⊂平面11A B C ,11A B ⊂平面11A B C , 1BC ∴⊥平面11A B C , 1A C ⊂ 平面11A B C ,11BC A C ∴⊥.（2）如图,作1A H AC ⊥于H ,在直角梯形11ABB A 中,得1AA =同理可得1CC =在等腰梯形11ACC A 中,()1112AH AC AC =−=则1A H ==1112A AC S AC A H ∴=⋅=△设B 到平面1A AC 的距离为d , 由11A ABC B A AC V V −−=,1113ABC A AC S BB S d ⋅=⋅△△, 则11ABC A AC S BB dS ⋅=△△又1A B =所以直线1A B 与平面1ACC A =.19、【答案】(1)圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++= (2)反射光线所在直线的方程为29150x y +−= 解析：(1)设圆222:()()(0)C x a y b r r −+−=>.由题意，得30a b −=①，||r a =②，227r +=③. 由①得3a b =，则3||r b =，代入③得21b =.当1b =时，3a =，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=；当1b =−时，3a =−，3r =，∴圆22:(3)(1)9C x y +++=.综上所述，圆C 的方程为22(3)(1)9x y −+−=或22(3)(1)9x y +++=. (2) 圆C 与y 轴正半轴相切， ∴圆22:(3)(1)9C x y −+−=. 设(1,2)M −−关于直线4y x =+的对称点为(,)M x y ′， 则21,1214,22y x y x + =− + −− =+ 解得6,3,x y =− = (6,3)M ′∴−，∴反射光线所在直线的斜率1336k −==+∴反射光线所在直线的方程为23(6)9y x −=−+，即29150x y +−=.20、【答案】 解析：解法一：取CD 的中点T ，连接AT ，可得AT CD ⊥， 所以AB AT ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，故以P A ，AB ，AT 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.可得(,0,0)B a ，1,02C a ，1,02D a −，(0,0,)P b . (1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(,0,)PB a b =− ，3,02BD a a =−， 所以11110,30,2ax bz ax ay −=−=令1x b =，则(,)b a =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为(0,0,)AP b =，1,02AC a =，所以2220,10,2bz ax = = 令21y =，则(n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC .(2)易得1,04O a，3,08M a， 设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为1,,4OP a b =−，1,08OM a =，所以333331410,8ax ay bz ax −+= 31y =，则1(n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为1,2PD a b =−−，7,08MD a =−，所以4444410,270,8ax bz ax −−=−=令47y b =，则2,7)b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，由tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n =解法二：过点O 作//OT PA ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以OT ⊥平面ABCD .因为四边形ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥，如图，以OC ，OD ，OT 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，(1,0,0)A −，(1,0,0)C ，(0,B ，D ，(1,0,)P b −.(1)设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =m ，因为(1,)PB b =− ，(0,BD =，所以11110,0,x bz −−= = 令11z =，则(,0,1)b =m ；设平面P AC 的法向量为()222,,x y z =n ，因为平面P AC 即为xOz 平面，所以(0,1,0)=n .所以0⋅=m n ，从而平面PBD ⊥平面P AC . (2)易得1,0,02M.设平面OPM 的法向量为()1333,,x y z =n ，因为(1,0,)OP b − ，1,0,02OM=，所以3330,10,2x bz x −+== 可取1(0,1,0)=n ；设平面PMD 的法向量为()2444,,x y z =n ，因为)PD b =− ，12MD=−，所以444440,10,2x bz x +−= −=令4y b =，则2,b =n .设二面角O PM D −−的平面角为θ，则tan θ=θ=所以1cos cos ,θ=n解得b =CD ==12112111222111111113333333222242n n n n n T b b b −−−=−+−++−=−+++++=+++++22、【答案】(1)标准方程为. (2)存在，点(0,0)M .2212x y +=解析：(1)因为椭圆E，所以c a =，所以直线1l 的斜率为-1.如图，设E 的右焦点为F ，右顶点为P ，上顶点为Q ，过点P 作于点D ，则π||14PD PFD ∠=，所以，即1a c c −=−=，解得，则1,b a ==.故椭圆E 的标准方程为.(2)由题意可得点O 是线段AB 的中点. 又||||AC BC =，所以OA OC ⊥.①当直线AC 的斜率存在时，设直线AC 的方程为()()1122,,,,y kx m A x y C x y =+， 由2212x y y kx m+==+ ，得()222214220k x kmx m +++−=， 则()()222(4)421220km k m ∆=−+−>，即22210k m −+>. 由根与系数的关系可得2121222422,2121km m x x x x k k −+=−=++， 由OA OC ⊥可得12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=， 即()()22121210k x x km x x m++++=，所以()()2222222122402121k m k m m k k +−−+=++， 故22312k m =−. 假设存在点()0,0M x 满足条件，设点M 到直线AC 的距离为d ，则()()2200222213kx m kx m d k m++==+，,a b c 1PD l ⊥|||PF PD =1c =2212x y +=当00x =时，2d 为定值23，即d ②当直线AC 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得11x y =，所以221112x x +=，故2123x =，点(0,0)到直线AC综上可得，存在点(0,0)M ，使得点M 到直线AC。
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福建省普通高中2020级必修第一册微主题学习效果跟踪诊断卷（17）数 学（期末综合试卷一）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．BC 10．AD 11．BCD 12．AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
131415．22n + 91647⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．y = 12- 16．【简析】设11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，11()M s t ，，22()N s t ，，33()P s t ，，由221124x y -=，222224x y -=两式相减，得121212122()()()()0x x x x y y y y -+--+=， 1212x x s +=，1212y y t +=，111t k s =， 所以1212112121222AB OMy y x x s k x x y y t k -+==⋅==-+； 同理可得2222BC ON s k t k ==，3322AC OPs k t k =⋅=． 由2221AB BC AC OM ON OP k k k k k k ++=++=-得11112OM ON OP k k k ++=-． 四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10分）【解析】（1）抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，………………………………………..1分当l 垂直于y 轴时，易得()2p A p ±，，即2AF p ==，………………………………………………………3分 所以抛物线方程24x y =．……………………………………………………………………………………..4分（2）设11()A x y ，，22()B x y ，．由（1）得()01F ，，则l 的方程为1y x =+，………………………………………………………………..5分 联立241x y y x ⎧=⎨=+⎩，，消去x 得2610y y -+=，……………………………………………………………….…..7分 所以126y y +=．…………………………………………………………………………………………….…8分 所以128AB y y p =++=．…………………………………………………………….……………………..10分18．（12分）【解析】（1）因为249a a a ，，成等比数列，所以2429a a a =，………………………………………………………………………………………………….1分 因为{}n a 是等差数列，且37a =，所以2333()()(6)a d a d a d +=-+，………………………………………………………………….……….….2分 解得：0d =或3d =，………………………………………………………………………………………….4分 所以数列{}n a 的通项公式为：7n a =或32n a n =-．………………………………………………….……..6分（2）因为数列{}n a 的公差不为零，所以32n a n =-，……………………………………………..….……….7分 所以111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+，…………………………………………….….….….9分 所以12111111(1)34473231n n S b b b n n =+++=-+-++--+………….………………..……..…..…….10分 11(1)331n =-+ 31n n =+．……………………………………..………………………………………………….….…….12分 19．（12分） 【解析】（1）点(12)A -，到直线220x y ++=的距离为d ==………………………….1分因为圆A 与直线220x y ++=相切，所以r ………………………………………………………..2分 所以圆A 的标准方程为22(1)(2)5x y ++-=．…………………………………………….…………….….4分（2）当直线l 与x 轴垂直时，2x =-符合题意；…………………………………………….…………….5分 当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：(2)y k x =+，因为Q 是MN 的中点，连接AQ ，则AQ MN ⊥．…………………………………………….……..…….7分 因为4MN =，所以1AQ =，…………………………………………………………..……......….8分由1AQ ==得34k =，…………………………………………………………………….…..…….10分 所以直线l ：3460x y -+=．……………………………………………………………………...….…….11分 综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．………………………………………………....……….12分20．（12分）【解析】（1）若选择①：当数列{}n a 的公比1q =时，则n S n =，所以11n S a n +=+，……………………………………………………………………………….………….1分 所以11121n n S a n S a n +++=≠++常数，不符合题意，……………………………………………………………..….2分 所以1q ≠． 故1111nn q S a q-+=+-．………………………………………………………………….………………….….3分 因为数列1{}n S a +也是等比数列，所以112131S a S a S a +++，，也是等比数列，……………….….….…4分所以2211131()()()S a S a S a +=++，……………………………………………………………….………….5分 解得2q =或0q =（舍去），所以12n n a -=()n *∈N ．…………………………………………………………………….………..……….6分 若选择②：因为点1(,)n n S a +在直线1y x =+上，所以11n n a S +=+，………………………………………………………………………….……..………….1分 所以当2n ≥时，11n n a S -=+，…………………………………………………………………..………….2分 所以1n n n a a a +-=，即12n n a a +=，……………………………………………………………….…..….….3分 又因为2112a a =+=，所以21222n n n a --=⋅=（2n ≥）．………………………….……………….…….4分当1n =时，也符合上式，综上12()n n a n -*=∈N ．……………………………………..…………..…….6分（2）因为22log 1n n b a =+，所以212log 212n n b n -=+=，……………………………………………….7分 所以2n n n a b n =⋅，所以112233n n n T a b a b a b a b =++++ 1231222322n n =⋅+⋅+⋅++⋅ 又234121222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅，…………………………………………..……………..…….9分 所以23112(222)2n n n T n +-=⋅++++-⋅，…………………………………………………………….10分 即12(12)212n n n T n +--=-⋅-，……………………………………………………………………….…..….11分 所以122(1)n n T n +=+-．………………………………………………………………………..…….….12分21．（12分）【解析】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，四边形11BCC B 是矩形． 连接ME ．E ，M 分别为棱1CC ，1BB 的中点，且14BB =，112B C =， ∴四边形11MEC B 是正方形．……………………………………………………………..…………….1分 11C M B E ∴⊥．…………………………………………………………………………………….…….2分 N ，M 分别为棱1AA ，1BB 的中点， NM ∴⊥平面11BCC B ．………………………………………………………..………….…………….3分 又1B E ⊂平面11BCC B ，1NM B E ∴⊥．………………………………………………………………….4分 1NM C M M =，NM ，1C M ⊂平面1NMC ， 1B E ∴⊥平面1C MN ．……………………………………………………….6分（2）//AF 平面1111A B C D ， AF ⊂平面AFM ，平面1111A B C D 平面AFM l =， //AF l ∴．……………………………………………………………………………..…………………….8分∴ 直线l 与平面11B D E 所成角，即直线AF 与平面11B D E 所成角．以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则(000)D ，，，(200)A ，，，(120)F ，，，1(004)D ，，，1(224)B ，，，(022)E ，，．11(220)D B ∴=，，，1(022)D E =-，，，(120)AF =-，，．……………………….……………………….9分设平面11B D E 的一个法向量()x y z =，，n ，由11100D B D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得00x y y z +=⎧⎨-=⎩，， 令1z =，得(111)=-，，n ．…………………………………………………………………...….………….10分 设直线l 与平面11B D E 所成角为α，sin 55AFAF α⋅∴===⋅n n ． (11)分 ∴ 直线l 与平面11B D E ．……………………………….……………………….12分22．（12分）【解析】（1）依题意得：160F BO ∠=︒，所以112b a ==．………………………………………………………………………………….……….…….1分 所以22:14x C y +=．…………………………………………………………………………………………….2分 （2）当直线MN 的斜率不存在时，设为(22)x t t =-<<．则(M t ，(,N t ． 所以2122(1)144t k k t --⋅==-， 所以t =此时，MON △的面积为1．………………………………………………………………………………….4分 当直线MN 的斜率存在时，设为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ．联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：222(14)8440k x kmx m +++-=，……………………………….……….………….5分 222222644(14)(44)6416160k m k m k m ∆=-+-=-+>即：22410k m -+>．122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，22122414m k y y k -=+．…………………………………..……..……….7分 因为1214k k ⋅=-，所以121214y y x x =-， 所以222224144()14414m k m k k --=-++， 化简得：22241m k =+．…………………………………………………………………………..……….8分因为12|||MN x x =-=．………………………………………..………………………….9分 又点O 到直线MN的距离为d =，……………………………………….…………………….10分所以11||22MON S MN d ==△……………………………………..………………….11分 1=． 综上，当1214k k ⋅=-时，MON △的面积为定值1．………………………….………………..…….12分 （若有其他解法，可根据具体方法给分．）。