人教版-高一数学必修4全套导学案

第二章平面向量

2.1 向量的概念及表示

【学习目标】

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量；

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】

重点：平行向量的概念和向量的几何表示；

难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；

【自主学习】

1.向量的定义：__________________________________________________________;

2.向量的表示：

（1）图形表示：

（2）字母表示：

3.向量的相关概念：

（1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________

（2）零向量：___________________，记作：_____________________

（3）单位向量：________________________________

（4）平行向量：________________________________

（5）共线向量：________________________________

（6）相等向量与相反向量：_________________________

思考：

（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】

例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：

（1）零向量是唯一没有方向的向量；

（2）平面内的向量单位只有一个；

（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；

b c，则a和c是方向相同的向量；

（4）向量a和b是共线向量，//

（5）相等向量一定是共线向量；

例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与EF 共线的向量； （2）确定与EF 相等的向量； （3）OA 与BC 相等吗？

【课堂练习】

1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：

（1）向量AB 和CD 是共线向量，则A B C D 、、、四点必在一直线上； （2）单位向量都相等；

（3）任意一向量与它的相反向量都不想等； （4）四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB

CD =；

（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；

2.平面直角坐标系xOy 中，已知||2OA =，则A 点构成的图形是__________

3. 四边形ABCD 中，

则四边形ABCD 的形状是_________

4.设0a ≠，则与a 方向相同的单位向量是______________

5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。 求证：//EF NM

6.已知飞机从甲地北偏东30的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问：丁地在

甲地的什么方向？丁地距甲地多远？

【课堂小结】

O

D

C

B

A F

E

2.2.1 向量的加法

【学习目标】

1.掌握向量加法的定义；

2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；

3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 【学习重难点】

重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律； 【自主学习】

1.向量的和、向量的加法：

已知向量a 和b ，______________________________________________________ 则向量OB 叫做a 与b 的和，记作：____________________________________ _________________________________叫做向量的加法

注意：两个向量的和向量还是一个向量；

2.向量加法的几何作法： （1）三角形法则的步骤： ① ② ③

OA ∴就是所做的a b +

（2）平行四边形法则的步骤： ① ② ③

OC ∴就是所做的a b +

注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角

a

b

A

B

O

b

a

形法则对于任何两个向量都适用。

3.向量加法的运算律： （1）向量加法的交换律：

_________________________________________ （2）向量加法的结合律：

_________________________________________

思考：如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n 条向量的和是什么？________________

【例题讲解】

例1.如图，已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量： （1）OA OC + （2）

例2.化简下列各式 （1）AB BC CD DA EA ++++ （2）AB MB BO OM

+++

（3）AB DF CD BC FA ++++ （4）()AB CD BC DB BC ++++

例3.在长江南岸某处，江水以12.5/

km h 的速度向东流，渡船的速度为25/km h ，渡船

要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？