概率(几何概型和条件概率)

合集下载

概率的基本概念与计算方法

概率的基本概念与计算方法概率是数学中重要的概念之一，用以描述事件发生的可能性。

在日常生活和各个学科领域，概率都扮演着重要的角色。

本文将介绍概率的基本概念以及常用的计算方法。

一、概率的基本概念1.1 事件与样本空间在概率论中，事件指的是可能发生的某种结果或者一组结果。

样本空间是指所有可能结果的集合，通常用Ω表示。

1.2 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小，用P(A)表示。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

1.3 古典概型古典概型适用于所有等可能发生的情况，如掷骰子、抽牌等。

当样本空间Ω中的事件数为n时，事件A发生的概率可以用下式计算：P(A) = m / n，其中m表示事件A所包含的有利结果的个数。

1.4 几何概型几何概型适用于空间上的事件，如点、线、面等。

当事件A为几何图形时，可以通过几何方法计算其概率。

二、概率的计算方法2.1 加法法则加法法则是计算两个事件之并集的概率的方法。

设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，则其并集为A∪B。

根据加法法则，事件A和事件B的概率之和等于事件A∪B的概率，即P(A∪B) = P(A) +P(B) - P(A∩B)。

2.2 乘法法则乘法法则用来计算两个事件同时发生的概率。

设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，则事件A和事件B同时发生的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2.3 条件概率条件概率用于计算在某一条件下事件发生的概率。

设事件A和事件B为样本空间Ω中的两个事件，其中P(B)≠0，事件A在事件B发生的条件下发生的概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

2.4 独立事件与互斥事件独立事件指的是两个事件的发生与否相互独立，即事件A的发生不影响事件B的发生。

当事件A和事件B为独立事件时，P(B|A) = P(B)。

概率与统计知识点总结

概率与统计知识点总结一、概率的基本概念概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

比如抛硬币，正面朝上的概率是 05，意思是在大量重复抛硬币的实验中，正面朝上的次数大约占总次数的一半。

随机事件，就是在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如掷骰子得到的点数就是随机事件。

必然事件，就是在一定条件下必然会发生的事件。

比如太阳从东方升起，这就是必然事件。

不可能事件，就是在一定条件下不可能发生的事件。

比如在地球上，水往高处流就是不可能事件。

概率的取值范围在 0 到 1 之间。

0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。

二、古典概型古典概型是一种最简单、最基本的概率模型。

它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。

计算古典概型中事件 A 的概率公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。

例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，基本事件总数是 8（5 个红球＋ 3 个白球），红球的个数是 5，所以摸到红球的概率就是 5/8。

三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。

比如在一个时间段内等可能地到达某一地点，或者在一个区域内等可能地取点。

几何概型的概率计算公式是：P(A) ＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）／试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。

举个例子，在区间0, 10中随机取一个数，这个数小于 5 的概率就是 5/10 ＝ 05。

四、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

记事件 A 在事件 B 发生的条件下发生的概率为 P(A|B)。

计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) ，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

比如说，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。

概率论必备知识点

概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。

以下是一些概率论中的必备知识点。

一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。

概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。

计算概率的方法有多种。

对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。

例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。

二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。

在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。

计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。

三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。

例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。

在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。

四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。

条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。

概数(概率与数理统计)

概率统计章二事件的概率1.古典概型（等可能概型）：若试验E 具有以下两个特征：(1) 所有可能的试验结果(基本事件)为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 每个基本事件发生的可能性相同，即 P (ω1)=P (ω2)=…=P (ωn )。

2．几何概型：若①样本空间Ω充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S Ω；②落在Ω中的任一子区域A 的概率，只与子区域的度量S A 有关，而与子区域的位置无关 (等可能的).则事件A 的概率为: P (A )= S A /S Ω 3.概率的一般（公理化）性质：设A ，B 是两事件，若A ⊂B ，则P (B －A ) = P (B )－P (A ) 设任意两个事件A 、B ，则P (A ∪B )=P (A )+P (B )－P (AB )章三条件概率与时间的独立性1.条件概率：设A ，B 为随机试验E 的两个事件，且P (A )＞0，则称为在事件 A 已发生的条件下，事件B 发生的条件概率. 例题1,设某种动物由出生而活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，求现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率？解设A ={活到20岁}，B ={活到25岁}，则 P (A )=0.8, P (B )=0.4. 由于A ⊃B ，有AB =B ，因此P (AB )= P (B )=0.4，于是所求概率为2.设P (B )＞0，且A ⊂B ，则下列必然成立的是( ) 选2① P (A )<P (A |B ) ② P (A )≤P (A |B ) ③ P (A )>P (A |B ) ④ P (A )≥P (A |B )2.全概率公式:设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件A 1，A 2，…，An 为样本空间Ω的一个划分，且P (Ａi)>0 (i =1,2, …,n )．则对任意事件B ，有例题：播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子, 1%的四等种子, 用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1、0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

第3课次古典几何概型、条件概率

n 365 ，求下述事件 A、B 的概率：
A ｛n 个人中生日各不相同｝ B ｛n 个人中至少有 2 人生日在同一天｝
分析（引导学生分析总的可能种数与事件 A 深层含义及所包含种数）每个人的生日均有 365 种可能，故 n 个人的生日共有 365 n 种可能；在事件 A 中，n 个人生日各不相同，即探究古典概型中的经典问题——生日问题他们生日所占天数为 365 天中的任意 n 天，且考虑次序
Pnk n! k ! k !(n k )!
k
排列与组合的关系： P n
0 1. 注：1） 0! 1, Cn
Cnk k !
由于文科、理科生对此处知识点学习程度不同，故根据班级具体情况可细讲或粗讲，使学生掌握排列、组合的不同及其实际计算。
k n k k k k 1 Cn ; Cn Cn 2） C n 1 Cn 1 .
(1 k a b) 。
分析设 A={第 k 个人摸到红球} 假设这 a b 个球各不相同，让这 a b 人摸完球后排成探究“抓阄” 的公平性与第 k 个人摸到红球，相当于第 k 个位置放的是红球，其否问题 1 (a b 1)! 种。余随意，故有 Ca 一列，共有 (a b)! 种排法。引导思考：是否有别的解决方法？
教学方法与策略板书设计
教学时间设计
第 1 节课：古典概型和几何概型 1.1 古典概型与几何概型的理论基础（6 分钟） 1.2 古典概型及其典型例题（26 分钟） 1.3 几何概型与典型例题（18 分钟）课间休息 10 分钟第 2 节课：条件概率和乘法公式 2.1 条件概率（26 分钟） 2.2 乘法公式（5 分钟） 2.3 乘法公式的实际应用（15 分钟） 2.4 小节及作业布置（4 分钟）

概率论知识点总结归纳

概率论知识点总结归纳概率论是一门研究随机现象数量规律的数学学科，它在许多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。

下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结归纳。

一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

例如，掷骰子出现的点数就是一个随机事件。

2、样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合。

3、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。

4、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

概率的古典定义适用于等可能概型，几何概型则通过几何度量来计算概率。

5、概率的性质包括非负性、规范性和可加性。

二、条件概率与乘法公式1、条件概率在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率称为条件概率。

2、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。

三、全概率公式与贝叶斯公式1、全概率公式如果事件组构成一个完备事件组，那么对于任意一个事件，可以通过全概率公式计算其概率。

2、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致这个结果的某个原因的概率。

四、随机变量及其分布1、随机变量用来表示随机现象结果的变量。

2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量，常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。

3、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量，其概率通过概率密度函数来描述。

常见的连续型随机变量分布有正态分布、均匀分布等。

五、期望与方差1、期望反映随机变量取值的平均水平。

2、方差描述随机变量取值的离散程度。

六、协方差与相关系数1、协方差衡量两个随机变量之间的线性关系程度。

2、相关系数是标准化后的协方差，取值范围在－1 到 1 之间。

七、大数定律与中心极限定理1、大数定律说明在大量重复试验中，随机变量的平均值趋近于其期望值。

2、中心极限定理当样本量足够大时，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。

在学习概率论的过程中，需要理解各个概念的含义，掌握相关的公式和定理，并通过大量的练习来加深对知识点的理解和应用。

概率基本概念和计算方法

概率基本概念和计算方法概率是数学中一个重要的分支，用于描述和分析随机现象。

概率的研究对象是随机试验，而概率的核心概念包括样本空间、事件、概率等。

本文将介绍概率的基本概念和计算方法。

一、样本空间和事件在概率理论中，我们需要确定一个随机试验的所有可能结果，这个集合被称为样本空间。

用S表示样本空间。

样本空间中的元素被称为样本点。

例如，掷一枚骰子的样本空间为S={1,2,3,4,5,6}，其中每个样本点代表骰子的一个面。

在样本空间中，我们可以定义事件。

事件是样本空间的一个子集，表示我们关心的某些结果。

事件通常用大写字母A、B、C等表示。

例如，事件A表示掷一枚骰子的结果为偶数，A={2,4,6}。

二、概率的定义概率是一个介于0和1之间的数，用来描述一个事件发生的可能性大小。

概率的计算可以用以下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A中样本点的个数，n(S)表示样本空间中样本点的总个数。

三、概率的计算方法1. 等可能概型当样本空间中的样本点具有相同的概率时，称为等可能概型。

在等可能概型中，事件A发生的概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)2. 几何概型几何概型是指样本点具有几何特性的概型。

在几何概型中，事件A 发生的概率可以通过以下公式计算：P(A) = S(A) / S(S)其中，S(A)表示事件A的面积，S(S)表示样本空间的面积。

例如，在一个正方形中随机落下一个点，事件A表示该点落在正方形的上半部分，那么概率P(A)等于上半部分的面积除以整个正方形的面积。

3. 组合概型组合概型是指概率问题可以分解为多个步骤，每个步骤的概率可以通过乘法原理计算。

例如，从一副扑克牌中随机抽取两张牌，事件A 表示两张牌都是红心，我们可以将问题分解为两个步骤：首先抽取一张红心，其概率为26/52，然后在剩下的牌中再抽取一张红心，概率为25/51。

概率论公式

一、随机事件与概率二、随机变量及其分布1、分布函数()()(),()()()()k k x xx P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰4、随机变量函数Y=g(X)的分布离散型：()(),1,2,j ii j g x y P Y y p i ====∑ ，连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：(,),,1,2,i j ij P X x Y y p i j ==== 分布函数(,)i i ijx x y yF X Y p≤≤=∑∑边缘分布律：()i i ijjp P X x p ⋅===∑()j j ij ip P Y y p ⋅===∑条件分布律：(),1,2,ij i j jp P X x Y y i p ⋅==== ，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅====2、连续型二维随机变量及其分布①分布函数及性质分布函数：⎰⎰∞-∞-=x ydudv v u f y x F ),(),(性质：2(,)(,)1,(,),F x y F f x y x y ∂+∞+∞==∂∂((,))(,)GP x y G f x y dxdy ∈=⎰⎰②边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()(密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()(⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(③条件概率密度+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()( 3、随机变量的独立性随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 4、二维随机变量和函数的分布离散型：()(,)i j kk i j x y z P Z z P X x Y y +=====∑连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰四、随机变量的数字特征1、数学期望①定义：离散型∑+∞==1)(k k kp xX E ，连续型⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()(，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E = 2、方差①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±3、协方差与相关系数①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：XYρ，当X 、Y 相互独立时：0=XYρ(X,Y 不相关)③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2)(})({εεX D X E X P ≤≥-2、大数定律：①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立， 2)(,)(i i i i X D X E σμ==且C i ≤2σ，则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞⎛⎫-<=⎪⎝⎭③辛钦大数定律：若1,,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞→=−→−∑n P ni iXn113、中心极限定理①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i = ，均值为μ，方差为02>σ，当n充分大时有：1((0,1)~nn k k Y X n N μ==-−−→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：22lim }()t xn P x dt x -→∞≤==Φ⎰③近似计算：1()nk k P a X b =≤≤≈Φ-Φ∑ 六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体()X F x ，则样本的联合分布函数)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量样本均值：∑==ni i X nX 11，样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11，样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k样本k 阶中心距：11(),1,2,3nk k i i B X X k n ==-=∑3、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i X N (1,2,,)i n = 且相互独立，则称统计量222212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：nY X T =服从自由度为n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①()0(1),()(2)2n E T n D T n n =>=>-②22lim ()()x n n f x x ϕ-→∞==(3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X mF m n Y n=服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则1~(,)F n m F七、参数估计1.参数估计①定义：用12(,,,)n X X X θ∧L 估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧L 为θ的估计量，相应的12(,,,)n x x x θ∧为总体θ的估计值。

概率统计公式大全复习重点

概率统计公式大全复习重点在学习概率统计这门学科时，掌握各种公式是至关重要的。

这些公式不仅是解决问题的工具，更是理解概率统计概念的关键。

本文将为您梳理概率统计中的重点公式，帮助您更好地复习和掌握这部分知识。

一、随机事件与概率1、古典概型概率公式如果一个随机试验所包含的基本事件总数为 n，事件 A 所包含的基本事件数为 m，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ m ／ n2、几何概型概率公式设样本空间为几何区域Ω，事件 A 对应的区域为ω，则事件 A 发生的概率为：P(A) ＝ω 的测度／Ω 的测度3、条件概率公式设 A、B 是两个事件，且 P(B) ＞ 0，则在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)4、乘法公式P(AB) ＝ P(A|B)P(B) 或 P(AB) ＝ P(B|A)P(A)5、全概率公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，则有：P(A) ＝∑ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ)（i从 1 到 n）6、贝叶斯公式设 B₁, B₂,， Bₙ 是样本空间Ω 的一个划分，且 P(Bᵢ) ＞ 0（i ＝ 1, 2,， n），A 是Ω 中的任意一个事件，在事件 A 已经发生的条件下，事件 Bᵢ发生的概率为：P(Bᵢ|A) ＝ P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) ／∑ P(Bₙ)P(A|Bₙ) （i从 1 到 n，k 从 1 到 n）二、随机变量及其分布1、离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 x₁, x₂,， xₙ，对应的概率为p₁, p₂,， pₙ，则概率分布为：P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2,， n），且∑pᵢ＝ 12、二项分布如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （k ＝ 0, 1, 2,， n）3、泊松分布如果随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，记为 X ～P(λ)，则概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （k ＝ 0, 1, 2,）4、连续型随机变量的概率密度函数设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则分布函数为：F(x)＝∫∞， x f(t) dt5、正态分布如果随机变量 X 服从参数为μ 和σ² 的正态分布，记为 X ～N(μ, σ²)，则概率密度函数为：f(x) ＝（1 ／（σ√（2π)）） e^（（x μ)² ／（2σ²)）三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∑ xᵢ pᵢ（i 从 1 到 n）连续型随机变量 X 的数学期望为：E(X) ＝∫∞，＋∞ x f(x) dx2、方差离散型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∑ （xᵢ E(X)）² pᵢ（i 从 1 到n）连续型随机变量 X 的方差为：D(X) ＝∫∞，＋∞ （x E(X)）² f(x) dx3、标准差随机变量 X 的标准差为：σ(X) ＝√D(X)4、协方差设随机变量 X 和 Y，其协方差为：Cov(X, Y) ＝ E(（X E(X)）（Y E(Y)））5、相关系数随机变量 X 和 Y 的相关系数为：ρ(X, Y) ＝ Cov(X, Y) ／（σ(X)σ(Y)）四、大数定律和中心极限定理1、大数定律当 n 足够大时，样本均值X依概率收敛于总体均值μ，即：P(｜Xμ| ＞ε) → 0 （n → ∞）2、中心极限定理设随机变量 X₁, X₂,， Xₙ 相互独立，且具有相同的分布和有限的数学期望μ 和方差σ²。

概率的原理

概率的原理概率是描述随机现象发生可能性大小的数学工具，它在我们生活中无处不在。

无论是赌博、保险、股票投资，还是天气预报、疾病传播，都离不开概率的计算和运用。

概率的原理是概率论的基础，它包括了概率的定义、性质和计算方法等内容。

首先，概率的定义是描述某一随机事件发生可能性大小的数值。

通常用P(A)来表示事件A发生的概率，它的取值范围是0到1。

当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A一定会发生；当0<P(A)<1时，表示事件A发生的可能性大小介于0和1之间。

其次，概率有着一些基本性质。

首先是非负性，即事件的概率值始终大于等于0，不可能是负数。

其次是规范性，即所有可能事件的概率之和等于1。

这意味着在所有可能发生的事件中，一定会有一个发生。

最后是可列可加性，即对于互不相容的事件序列，它们的概率之和等于各个事件概率之和。

这些基本性质是概率计算的基础，也是概率理论的重要内容。

概率的计算方法有很多种，常见的包括古典概型、几何概型、条件概率、贝叶斯定理等。

古典概型是指在有限次试验中，每次试验的结果只有有限个可能性，并且每个可能性发生的概率相等。

几何概型是指在连续的空间中，通过几何图形的面积或体积来计算概率。

条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

贝叶斯定理是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率的计算方法。

这些方法在实际问题中有着广泛的应用，能够帮助我们更准确地估计事件发生的可能性。

总的来说，概率的原理是概率论的基础，它对于我们理解和应用概率具有重要意义。

通过对概率的定义、性质和计算方法的学习，我们能够更好地理解和运用概率，在实际问题中做出更准确的判断和预测。

因此，掌握概率的原理是非常重要的，它能够帮助我们更好地理解世界，做出更明智的决策。

概率的基本概念与性质

概率的基本概念与性质概率，是数学中一个重要的概念，用来描述随机事件发生的可能性大小。

它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。

本文将介绍概率的基本概念和性质，帮助读者更好地理解概率论的基础知识。

1. 概率的定义和表示方法概率是描述事物发生可能性的一个数值，通常用介于0和1之间的实数表示。

概率可以使用分数、小数或百分比来表示。

以事件A发生的概率为例，可以用P(A)或Pr(A)来表示。

2. 概率的性质(1) 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)都大于等于0，即P(A)≥0。

(2) 可加性：对于任意的不相容事件（互斥事件）A和B，它们的概率可以相加，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。

(3) 规范性：对于一定发生或一定不发生的事件，其概率分别为1和0，即P(S) = 1和P(∅) = 0，其中S代表样本空间，∅代表不可能事件。

3. 概率的计算方法(1) 古典概型：指的是所有可能的结果都是等可能发生的情况。

在古典概型中，事件A的概率等于事件A包含的有利结果数目与样本空间的大小之比，即P(A) = 有利结果数目 / 样本空间大小。

(2) 几何概型：指的是通过对空间的测量来计算概率。

例如，在计算一个点在一个平均分布的正方形区域中的概率时，可以用该点所在区域的面积与整个区域的面积之比。

(3) 统计概率：是通过观察和统计数据来计算概率。

统计概率常用于实际问题，根据大量数据的分析和推断得出概率值。

4. 概率的性质与公式(1) 加法规则：对于任意两个事件A和B，其概率可以通过加法规则计算，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。

(2) 乘法规则：对于相互独立的两个事件A和B，其概率可以通过乘法规则计算，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。

注意，乘法规则只适用于独立事件。

(3) 条件概率：指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)。

概率论与数理统计考前必备公式

概率论与数理统计考前必备公式==================================概率论与数理统计是大学生必修的数学课程之一，也是多个专业领域的基础知识。

这门课程主要研究随机现象以及随机事件的概率，探索统计规律，并应用于实际问题的分析与决策。

在概率论与数理统计的学习过程中，我们会接触到大量的公式，这些公式是我们进行问题求解的基础。

本文档将为大家整理并介绍概率论与数理统计考前必备的公式，帮助大家在考试中更好地把握重点，提高成绩。

1.随机变量与分布1.1随机变量随机变量是一种数值型的随机量，它的取值由随机实验的结果决定。

我们将随机变量分为离散型和连续型两类。

1.离散型随机变量定义：$X$是一个随机变量，如果它的取值有穷多个或者可列无穷多个，那么$X$是离散型随机变量。

2.连续型随机变量定义：$X$是一个随机变量，如果它的取值为一个区间或者多个区间，那么$X$是连续型随机变量。

1.2分布函数分布函数是描述随机变量取值情况的函数，记作$F(x)$，其中$x$为实数。

根据随机变量的类型，分布函数可为离散型随机变量的概率质量函数或连续型随机变量的概率密度函数。

1.离散型随机变量概率质量函数概率质量函数描述离散型随机变量取值的概率分布。

对于离散型随机变量$X$，其概率质量函数定义如下：$$P(X=x_i)=p_i,\q u ad i=1,2,\d ot s$$2.连续型随机变量概率密度函数概率密度函数描述连续型随机变量取值的概率分布。

对于连续型随机变量$X$，其概率密度函数定义如下：$$F(x)=\in t_{-\in f ty}^{x}f(x)d x$$1.3均匀分布均匀分布是最简单的连续型随机变量分布之一，主要用于描述在一个区间内所有点出现的概率相等的情况。

1.均匀分布的概率密度函数均匀分布的概率密度函数定义如下：$$f(x)=\be gi n{cas e s}\f ra c{1}{b-a},&a\le qx\l eq b\\0,&\t ex t{其他}\e n d{ca se s}$$其中$a$为区间下界，$b$为区间上界。

高中数学知识点概率与统计的基本概念与应用

高中数学知识点概率与统计的基本概念与应用概率与统计是数学的一个重要分支，它涉及到日常生活中的数据分析、预测以及决策等方面。

在高中阶段，学生们需要掌握概率与统计的基本概念和应用方法，以便能够在实际问题中灵活运用。

一、概率的基本概念概率是用来描述事件发生可能性大小的数值，其取值范围为0到1之间。

在概率理论中，有以下几个基本概念：1. 样本空间和事件样本空间是指一个试验可能出现的所有结果组成的集合，用S表示。

而事件是样本空间的一个子集，表示试验结果的某种组合。

2. 事件的概率事件A的概率表示为P(A)，它是事件A发生的可能性大小，其取值范围为0到1之间。

当事件A的概率接近于1时，说明事件A发生的可能性较大；当事件A的概率接近于0时，说明事件A发生的可能性较小。

3. 互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件，例如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件。

对立事件是指事件A发生的情况下，事件A的补事件不发生，例如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是对立事件。

二、概率的计算方法在概率的计算中，有以下几种常用的方法：1. 几何概型几何概型是指通过可视化的方式来计算概率，例如求一个正方形中某个部分的面积比。

2. 频率概率频率概率是指通过大量实验来估计某个事件发生的可能性大小。

例如，抛一枚硬币100次，正面朝上的次数除以总次数，即可得到正面朝上的频率概率。

3. 概率的性质和运算概率具有一些重要的性质和运算规则，例如概率的加法规则、乘法规则以及条件概率等。

这些性质和运算规则为我们计算复杂事件的概率提供了便利。

三、统计的基本概念统计是指通过对一组数据的收集、整理和分析，得出结论和推断的方法。

在统计学中，有以下几个基本概念：1. 数据集和变量数据集是指在统计分析中所使用的一组数据。

而变量是在数据集中所研究的对象或者特征，可以分为定性变量和定量变量两种。

2. 频数和频率频数是指某个数值在数据集中出现的次数，而频率则是指频数与总次数的比值。

概率问题常见解题方法

概率问题常见解题方法作为<<概率统计>>这门应用数学的重要分支之一,概率问题在中学数学中越来越得到重视,也是近年高考的热点。

在高中数学新教材中,必修三和理科的选修课本中重点介绍了等可能事件的概率(即古典概型)、几何概型、条件概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立的事件同时发生的概率（包括n 次独立重复试验）。

高考中对概率的考查主要以大题形式出现,重点在分布列问题与其他章节内容相结合，但始终离不开各种概率的求法。

因此要让学生正确理解概率发生的条件，并掌握一些基本的概率“模型”及其解题方法。

一、公式法概率部分有四个主要的公式（1）等可能事件发生的概率P （A ）=nm （2）互斥事件有一个发生的概率 P （A+B ）= P （A ）+ P （B ）（3）相互独立事件同时发生的概率P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）（4）独立重复试验概率公式k k n k n P C P =)((1―P)k n -，应用这些公式的关键在于正确理解公式成立的条件。

例1：猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为21，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

解：记三次射击为事件A 、B 、C 其中P （A ）=21 由21= P （A ）=50001002=⇒K K ∴ P （B ）=9215050002= P （C ）=8120050002= ∴命中野兔的概率为：P （A ）+P （A ·B ）+ P （A ·B ·C ）=14495 二、组合分析法对于等可能的事件，我们可以利用组合分析法来计算其概率，其关键是寻求等可能事件的总数和事件的发生数。

例2：设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ）,求下列事件的概率（1）指定的n 个房间各有一个人住（2）恰好有n 个房间，其中各住一人解：∵每个人有N 个房间可供选择，所以n 个人住的方式共有 N n 种，它们是等可能的，∴（1）指定n 个房间各有一个人住记作事件A ：可能的总数为n ！则 P （A ）=nN n ! （2）恰好有n 个房间其中各住一人记作事件B ，则这n 个房间从N 个房间中任选共有n N C 个, 由（1）可知：P （B ）=n n N Nn C ! 三、间接法某些概率问题，正面求解，不是很容易，特别当问题中出现至多（至少）等条件时，可采用间接方法转化为“对立事件”来求解例3：已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

概率的基本概念与计算方法

概率的基本概念与计算方法在我们的日常生活中，很多时候都会提到“概率”这个词。

比如，天气预报说明天有 80%的概率会下雨，抽奖时我们会关心自己中奖的概率有多大，考试前猜测自己通过的概率等等。

那么，到底什么是概率？又该如何计算它呢？概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。

这个数值在 0 到 1 之间。

如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生；而当概率在 0 到 1 之间时，数值越大，事件发生的可能性就越大。

举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少呢？因为硬币只有正反两面，而且质地均匀，所以出现正面和反面的可能性是相等的。

因此，正面朝上的概率就是 1/2，也就是 05。

再比如，从一个装有 5 个红球和 5 个白球的袋子中随机摸出一个红球，摸到红球的概率是多少呢？因为袋子里一共有 10 个球，其中红球有 5 个，所以摸到红球的概率就是 5÷10 ＝ 1/2，同样是 05。

那么，如何计算概率呢？概率的计算通常有两种基本方法：古典概型和几何概型。

古典概型是指在一个试验中，所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

计算古典概型的概率，我们通常使用公式：P(A) ＝n(A)÷n(Ω)，其中 P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数，n(Ω)表示试验中所有可能的基本事件总数。

比如说，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

这里总共有 5 个球，取出红球有 3 种可能，所以取出红球的概率就是 3÷5 ＝ 06。

几何概型则是在一个试验中，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例。

比如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机投一个点，求这个点落在一个边长为 05 的小正方形区域内的概率。

这里，大正方形的面积是 1×1 ＝ 1，小正方形的面积是 05×05＝ 025，所以点落在小正方形区域内的概率就是 025÷1 ＝ 025。

高中数学概率知识点总结

高中数学概率知识点总结一、概率的基础概念1. 随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件。

2. 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件。

3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

4. 样本空间：随机试验所有可能出现的结果的集合。

5. 事件的关系：包括并事件、交事件、补事件、互斥事件等。

二、概率的计算1. 古典概型：当样本空间是有限的、等可能的，可以使用古典概型计算概率。

- 计算公式：P(A) = A的样本点数 / 样本空间的总样本点数2. 几何概型：当样本空间是无限的或样本点出现的可能性不等时，使用几何概型。

- 计算公式：P(A) = A所占的几何度量（长度、面积、体积等） / 全部样本空间的几何度量3. 条件概率：在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率。

- 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4. 全概率公式：如果事件B1, B2, ..., Bn构成样本空间的一个划分，即它们两两互斥且并集为全集，那么任意事件A的概率可以表示为：- 计算公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中i从1到n三、概率的性质1. 非负性：对于任何事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 12. 规范性：必然事件的概率为1，即P(S) = 13. 可加性：对于两两互斥的事件A1, A2, ..., An，有P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)四、概率的独立性1. 事件的独立性：如果两个事件A和B的发生互不影响，则称A和B 是相互独立的。

2. 独立事件的概率：两个独立事件A和B同时发生的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

五、贝叶斯定理1. 贝叶斯公式：描述了在已知某事件发生的条件下，另一个事件发生概率的计算方法。

- 计算公式：P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)六、随机变量及其分布1. 随机变量：将随机试验的结果映射到实数上的函数。

几何概型与概率计算

几何概型与概率计算几何概型和概率计算是数学中重要的两个概念，它们相互关联，有着广泛的应用。

几何概型是通过几何图形的性质和关系来解决问题的方法，而概率计算则是通过数学方法计算事件发生的可能性。

本文将介绍几何概型的基本概念和一些常见的概率计算方法。

一、几何概型几何概型是指通过几何图形的性质和关系解决问题的方法。

常见的几何概型包括点、线、平面和体的性质，以及它们之间的关系和运算。

几何概型在解决实际问题时，通常需要建立模型，通过几何图形的性质和关系推导出问题的解决方案。

几何概型的应用非常广泛，涵盖了多个学科领域。

例如，在物理学中，几何概型可以用来描述物体的形状和位置；在计算机图像处理中，几何概型可以用来实现图像的变换和处理；在统计学中，几何概型可以用来处理多维数据的可视化和分析等。

二、概率计算概率计算是通过数学方法计算事件发生的可能性。

在概率计算中，我们通常使用概率来表示事件发生的可能性。

概率是一个介于0和1之间的数，表示事件发生的相对可能性。

0表示不可能事件，1表示必然事件。

概率计算方法包括频率法和几何法。

频率法是通过重复实验来确定事件发生的概率，即通过实际观察事件发生的次数来计算概率。

几何法是通过几何概型来计算事件发生的概率，即通过几何图形的性质和关系计算概率。

概率计算在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在赌博游戏中，我们可以通过概率计算来确定赌博的胜率；在保险业中，我们可以通过概率计算来确定保险的费率和风险。

三、几何概型与概率计算的关系几何概型和概率计算有着密切的关系。

几何概型提供了一种描述事件发生可能性的方法，而概率计算则提供了一种计算事件发生可能性的方法。

通过几何概型，我们可以建立事件的几何模型，并通过几何图形的性质和关系来计算事件发生的概率。

例如，当我们抛掷一枚硬币时，事件A表示正面朝上，事件B表示反面朝上。

我们可以通过几何概型建立一个二维平面，并在平面上划分出两个区域，分别表示事件A和事件B。

(完整版)高中概率八大定理

(完整版)高中概率八大定理高中概率八大定理是概率论中的重要内容，对于理解和应用概率有着重要的指导作用。

下面将介绍八大定理的基本概念和要点。

1. 古典概型定理古典概型定理适用于所有等可能事件的情况，即所有可能结果出现的概率相等。

根据古典概型定理，事件A发生的概率等于事件A包含的有利结果数与总可能结果数的比值。

2. 几何概型定理几何概型定理适用于图形位置方面的问题，通过用几何方法解决概率问题。

根据几何概型定理，事件A发生的概率等于事件A 所占据的面积与整个样本空间面积的比值。

3. 条件概率公式条件概率公式用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率。

条件概率公式的计算方法是将事件A与事件B同时发生的情况除以事件B发生的概率。

4. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件的概率，通过将该事件在不同条件下的发生概率相加得出结果。

全概率公式适用于多种情况同时存在且彼此互斥的情况。

5. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的推广，在已知事件B发生的条件下，计算事件A发生的概率。

贝叶斯公式可以通过全概率公式和条件概率公式的结合计算。

6. 独立事件定理独立事件定理用于计算两个或多个事件同时发生的概率。

当事件A和事件B是独立事件时，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

7. 乘法定理乘法定理是独立事件定理的推广，用于计算多个事件同时发生的概率。

根据乘法定理，多个独立事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。

8. 加法定理加法定理用于计算两个或多个事件至少有一个发生的概率。

根据加法定理，两个事件至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，减去事件A和事件B同时发生的概率。

以上是高中概率八大定理的基本内容和要点，理解和掌握这些定理对于概率论的研究和应用至关重要。

《概率论》总复习提纲

ang 《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E .1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间ω记为Ω；试验的每一个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为w .（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为Ω）和不可能事件（记为Φ）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件A 发生必导致B 发生”，记为B A ⊂或A B ⊃；B A B A ⊂⇔=且A B ⊂.（2）互不相容性：φ=AB ；B A 、互为对立事件Ω=⋃⇔B A 且Φ=AB .（3）独立性：（1）设A B 、为事件，若有)()()(B P A P AB P =，则称事件A 与B 相互独立. 等价于：若)|()(A B P B P =(0)(>A P ).（2）多个事件的独立：设n A A A ,,,21 是n 个事件，如果对任意的)1(n k k ≤<，任意的n i i i k ≤<<<≤ 211，具有等式)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =，称n 个事件n A A A ,,,21 相互独立．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件A 与B 至少有一个发生”，记为B A ⋃.（2）积事件（交）：“ 事件A 与B 同时发生”，记为B A ⋂或AB .（3）差事件、对立事件(余事件)：“事件发生A 而B 不发生”，记为A B -称为A 与B 的差事件；B B =-Ω称为B 的对立事件；易知：B A B A =-.4、事件的运算法则1) 交换律：A B B A ⋃=⋃，BA AB =；2) 结合律：C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃)()(，)()(BC A C AB =；3) 分配律：BC AC C B A ⋃=⋃)(，))(()(C B C A C AB ⋃⋃=⋃；4) 对偶(De Morgan)律：B A B A =⋃，B A AB ⋃=，可推广k k k k k k k k A A A A ==,5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（了解）ΩΩ设是一个样本空间，为的某些子集组成F ()A P A ∀∈的一个事件域.,定义在上的一个集值函数满足:F.F1()0;P A ≥）非负性：2()1;P Ω=）规范性：123,,A A ）可列可加性：设是可列个互不相容事件，则11()()n n n n P A P A ∞∞===∑().P A A 则称为事件的概率（2）频率的定义：（了解）事件A 在n 次重复试验中出现A n 次，则比值n n A称为事件A 在n 次重复试验中出现的频率，记为)(A f n ，即n n A f An =)(.（3）概率的统计定义：（了解）频率具有稳定性，即()n k f A n=随n 的增大越来越靠近某个常数p ，称p 为事件A 的（统计）概率.在实际问题中，当n 很大时，取()().n P A p f A =≈（4）古典概率（有限等可能型）：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件A 发生的概率为： n A k n k A A P )()(＝＝中样本点总数中所含样本点数Ω=.（5）几何概率（无限等可能型）：（了解）若试验基本结果数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域Ω中随机地取一点落在区域A 中”这一事件A 发生的概率为：()A P A Ω的测度＝的测度.（6）主观概率：（了解）人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率为零： ()0P Φ=.（2）有限可加性：设n A A A ,,,21 是n 个两两互不相容的事件，即i jA A =Φ，（i j ≠）n j i ,2,1,,=，则有)(21n A A A P ⋃⋃⋃ ＝)(1A P ＋)()(2n A P A P ++ .（3）单调不减性：若事件,()()B A P B P A ⊃≥则，且()()()P B A P B P A -=-.（4）互逆性：()1()P A P A =-且()1P A ≤.（5）加法公式：对任意两事件B A 、，有=⋃)(B A P )()(B P A P +－)(AB P ；此性质可推广到任意n 个事件n A A A ,,,21 的情形.（6）可分性：对任意两事件B A 、，有)()()(B A P AB P A P +=，且()()()P A B P A P B ⋃≤+7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设B A 、是两个事件，若()0,P A >则)()()|(A P AB P A B P =称为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．（2）乘法公式：设()0,()0,P A P B >>则)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P ==.称为事件B A 、的概率乘法公式.其可推广成有即个的情形,详见书上第16页，其主要的意义在说明了前面的事件对后面的事件发生的概率产生影响.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ，),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有 ∑=n i i i A B P A P B P 1)|()()(＝称为全概率公式.应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么计算结果的概率就要用全概率公式, 相当于其是由原因计算结果.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设n A A A ,,,21 是Ω的一个划分，且0)(>i A P ),,2,1(n i =，则对任何事件B ∈F.，有),,1(,)|()()|()()|(1n j A B P A P A B P A P B A P ni ii j j j ==∑= 称为贝叶斯公式或逆概率公式.应用背景：若影响某一事件（“结果”）发生有几种不同的情况（“原因”），那么若告诉你结果已发生，那么要计算某一种情况（“原因”）发生的概率时，就要用到贝叶斯公式，相当其主要的应用是要由结果计算原因.9、贝努里(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E ．E 也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常用)(A P p =表示，其中A ＝“成功”.（2）把E 重复独立地进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为nE ．（3）把E 重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为∞E ．以上三种贝努里试验统称为贝努里概型．（4）n E 中成功k 次的概率是：)0(,)1(n k q p C p p C k n k k n k n k k n ≤≤=---其中1(01)p q p +=≤≤.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件A 与B 必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则A 、B 为互逆事件；如果两个事件A 与B 不能同时发生，则A 、B 为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形.作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个.3、两事件独立与两事件互斥两事件A 、B 独立，则A 与B 中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时)()()(B P A P AB P =生，这两事件的发生是有影响的，这时0)(,=Φ=AB P AB .可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1)(21)(,41)(B P A P AB P ===，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，0)(=AB P ，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率)|(B A P 与积事件概率)(AB P)(AB P 是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而)|(B A P 是在试验E 增加了新条件B 发生后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率.虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用)(AB P ，而在有包含关系或明确的主从关系时，用)|(B A P .如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件.贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设Ω是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应，则称)(ωX 为定义在Ω上的随机变量，简记为X .随机变量通常用大写字母Z Y X 、、等表示.根据其取值的情形可以分成为⎧⎪⎨⎪⎩离散型随机变量（可能取值至多可列）随机变量连续型随机变量（可能取值充满某个区间）奇异型随机变量2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，则称X 为离散型随机变量.如果X 的一切可能值为 ,,21x x ，并且X 取k x 的概率为k p ，则称),3,2,1}({ ===k x X P p k k 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为1212n n x x x p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1,0=≥∑i i i p p .常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为(1,)((1,))X b p B p ，分布列为10,1,0,)1(}{1<<=-==-p k p p k X P k k 或 01~X q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）二项分布：记为(,)((,))X b n p B n p ，概率函数10,,,1,0,)1(}{<<=-==-p n k p p C k X P k n k k n （3）泊松分布，记为()(())X P πλλ，概率函数0,,1,0,!}{>===-λλλ k k e k X P k泊松定理：设0>λ是一常数，n 是任意正整数，设λ=nnp ，则对于任一固定的非负整数k ，有!)1(lim k e p p C k k n n k n k n n λλ--∞→=-.根据泊松定理可得，当n 很大(大于50)且p 很小（一般是小于0.05）时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即!)1(k e p p C k k n k k n λλ--≈-，其中np =λ3、分布函数及其性质分布函数的定义：设X 为随机变量，x 为任意实数，函数)}({)(+∞<<-∞≤=x x X P x F称为随机变量X 的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性： )(1)(0+∞<<-∞≤≤x x F ；（2）单调性：如果21x x <，则)()(21x F x F ≤；（3）右连续：即)()0(x F x F =+；（4）极限性： 1)(lim ,0)(lim ==+∞→-∞→x F x F x x ；（5）完美性： )()(}{}{}{121221x F x F x X P x X P x X x P -=≤-≤=≤<.4、连续型随机变量及其分布如果对于随机变量X 的分布函数)(x F ，存在非负函数()p x ，使对于任一实数x ，有()()xF x p t dt -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量.函数()p x 称为X 的概率密度函数，简称为概率密度.概率密度函数具有以下性质：（1）()0p x ≥；（2）()1p x dx +∞-∞=⎰；（3）2112{}()x x P x X x p t dt <≤=⎰；（4）0}{1==x X P ；（5）如果()p x 在x 处连续，则()()F x p x '=.常用连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为),(~b a U X ，概率密度为1,,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x bx a a b a x a x x F ,1,,0)(性质：若a c d b <<<，则().d c P c X d b a -<<=- （2）指数分布：记为()X Exp θ，概率密度为/1,0,()0,x e x p x θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他，分布函数为/1,0,()0,x e x F x θ-⎧->=⎨⎩其他. 无记忆性质：对于任意,0,s t >有{|}{}P X s t X s P X t >+>=>.（3）正态分布：记为),(~2σμN X ，概率密度为2()2(),x p x X μσ--=-∞<<+∞，相应的分布函数为 ⎰∞---=x x dt e x F 22)(21)(σμπ当1,0==σμ时，即)1,0(~N X 时，称X 服从标准正态分布.这时分别用)(x ϕ和)(x Φ表示X 的密度函数和分布函数，即⎰∞---=Φ=x t x dt e x e x 222221)(,21)(ππϕ 性质：① 若2(,)X N μσ,则其密度函数关于x μ=对称，从而1()()2P X P X μμ>=<=. ② )(1)(x x Φ-=-Φ.③ 若2(,)X N μσ,则(0,1)X N μσ-，即一般正态分布),(~2σμN X 的分布函数)(x F 与标准正态分布的分布函数)(x Φ有关系：)()(σμ-Φ=x x F .5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则)(X g Y =任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3i y 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设X 为离散型随机变量，概率密度为()X p x ，则)(X g Y =的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若)(x g y =在X 的取值区间内有连续导数)(x g '，且)(x g 单调时，)(X g Y =是连续型随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧<<'=其它,0,)()]([)(βαy y h y h f y f XY .其中)()}.(),(max{)},(),(min{y h g g g g +∞-∞=+∞-∞=βα是)(x g 的反函数. 2）分布函数法：先求)(X g Y =的分布函数∑⎰∆=≤=≤=k y xY k dxx fy X g P y Y P y F )()(})({}{)(然后求 ()[()]Y Y p y F y '=. 结论：若2(,)X N μσ，则22(0)(,)aX b a N a b a μσ+≠+.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间Ω上，对试验的每一个可能结果Ω∈ω，都有唯一的实数)(ωX 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数)(x F 的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数)(x F 左连续，但大多数书籍定义分布函数)(xF为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算)(xF时，xX=点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于}{1==xXP，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于}{1≠=xXP，则定义左连续或右连续时)(xF值就不相同，这时，就要注意对)(xF定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布.1、二维随机变量及其联合分布函数 12(),(),,()(,,),n X X X F P ωωωΩ如果随机变量定义在同一概率空间上则称12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（为n 维(n 元)随机变量或随机向量.n 当=2时,称为二维随机变量,常记为(,).X Y 联合分布函数的定义：设12(),(),,()n XX X X n ωωωω=（）（）是维随机变量,,nx R n ∀∈则称元函数121122(,,,),,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤（为随机向量12(),(),,()n X X X X ωωωω=（）（的联合分布函数2,,n =特别时称为二维联合分布函数即(,)(,)F x y P X x Y y =≤≤二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性： ),(y x F 是变量x 或y 的非减函数；（2）有界性： 1),(0≤≤y x F ；（3）极限性：1),(0),(0),(0),(=+∞+∞=-∞-∞=-∞=-∞F F x F y F ，　，　，，但注意(,)(),(,)()Y X F y F y F x F x +∞=+∞=，其中()X F x 与()Y F y 分别表示X 与Y 的分布函数.（4）连续性: ),(y x F 关于x 右连续，关于y 也右连续；（5）非负性: 对任意点),(),,(2211y x y x ，若2121,y y x x <<，则0),(),(),(),(11211222≥+--y x F y x F y x F y x F .上式表示随机点),(Y X 落在区域],[2121y Y y x X x ≤<≤<内的概率为：},{2121y Y y x X x P ≤<≤<.2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量),(Y X 所有可能取值是有限对或可列对，则称),(Y X 为二维离散型随机变量.设),(Y X 为二维离散型随机变量,它的所有可能取值为,2,1,),,(=j i y x j i 将),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ij j i 或表3.1称为),(Y X 的联合分布列.表3.1联合分布列具有下列性质：（1）≥ij p ；（2）111=∑∑∞=∞=i j ijp.3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数),(y x p ,使得二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 对任意实数y x ,有⎰⎰∞-∞-=xydydx y x p y x F ),(),(，则称),(Y X 是二维连续型随机变量，称),(y x p 为),(Y X 的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）非负性对一切实数y x ,，有0),(≥y x p ；（2）规范性1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dy dx y x p ；（3）在任意平面域D 上，),(Y X 取值的概率⎰⎰=∈Ddxdyy x p D Y X P ),(}),{(；（4）如果),(y x p 在),(y x 处连续，则),(),(2y x p y x y x F =∂∂∂.常用连续型随机变量的分布：(1) 设D 是平面上的一个有界区域，其面积为A .若二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为1,(,),(,)0,x y D f x y A ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它，则称(,)X Y 服从区域D 上的二维均匀分布.(2) 二元正态分布：其密度函数不要求背，具体的请见课本P67. 4、二维随机变量的边缘分布设),(Y X 为二维随机变量，则称},{)(+∞<<-∞≤=Y x X P x F X },{)(y Y X P y F Y ≤+∞<<-∞=分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘（边际）分布函数.当),(Y X 为离散型随机变量，则称),2,1(),2,1(1.1. ====∑∑∞=∞=j p p i p p i ij j j ij i 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布列.当),(Y X 为连续型随机变量，则称⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxy x p y p dy y x p x p Y X ),()(,),()( 分别为),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘密度函数. 性质：221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ.5、随机变量的独立性设),(y x F 及)()(y F x F Y X 、分别是),(Y X 的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数y x ,有)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=则称随机变量X 与Y 相互独立.设),(Y X 为二维离散型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是),2,1,(.. ==j i p p p j i ij .设),(Y X 为二维连续型随机变量，X 与Y 相互独立的充要条件是对几乎一切实数y x ,，有)()(),(y p x p y x p Y X =.性质：221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ，则0X Y ρ=⇔与相互独立.6、两个随机变量函数的分布设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为),(y x p ，),(Y X Z ϕ=是Y X ,的函数，则Z 的分布函数为dxdyy x p z F zy x Z ⎰⎰≤=),(),()(ϕ.对于一般的函数ϕ,求()Z F z 通过分布函数的方法，如第三章，习题29就是使用这种方法.但对于以下的几个，更加常用的是公式的方法. 若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p .（1）Y X Z +=的分布:dyy y z p dx x z x p z p Z ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=),(),()(.特别地，若X 与Y 相互独立，则()()()()().Z X Y X Y p z p x p z x dx p z y p y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰（2）Z X Y =-的分布：()(,).Z p z p z y y dy +∞-∞=+⎰特别地，若X 与Y 相互独立，则()()().Z X Y p z p z y p y dy +∞-∞=+⎰（3）Z XY =的分布：1()(,).||Z zp z p x dx x x+∞-∞=⎰特别地，若X 与Y 相互独立，则1()()().||Z X Y zp z p x p dx x x+∞-∞=⎰（4）Y XZ =的分布若),(Y X 为连续型随机变量，概率密度函数为),(y x p ，则Z 的概率函数为：⎰+∞∞-=dyy yz p y z p Z ),()(.性质：①若(,),(,),(,)X b n p Y b m p X Y X Y b n m p ++且与相互独立，则.②若1212(),()().XY X Y X Y πλπλπλλ++且与相互独立，则③若221122(,),(,)XN YN μσμσ，且X 与Y 相互独立的，则22221212(,).X bY cN a b c a b μμσσ+++++a7．最大值与最小值的分布 1,,n X X n 设是相互独立的个随机变量,则1()()(max(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤1()ni i F y ==∏1()()(min(,,))Y n F y P Y y P X X y =≤=≤11(1())n i i F y ==--∏其中的()i F y 表示的是随机变量i X 的分布函数.疑难分析1、事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？如同仅当事件B A 、相互独立时，才有)()()(B P A P AB P ⋅=一样，这里},{y Y x X P ≤≤依乘法原理}|{}{},{x X y Y P x X P y Y x X P ≤≤⋅≤=≤≤.只有事件}{x X P ≤与}{y Y P ≤相互独立时，才有}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，因为}{}|{y Y P x X y Y P ≤=≤≤.2、二维随机变量),(Y X 的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由)|()(),(|x y p x p y x p X Y X ⋅=知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果Y X 、相互独立，则}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤，即)()(),(y F x F y x F Y X ⋅=.说明当Y X 、独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量Y X 、相互独立，是指组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤⋅≤=≤≤.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有)()()(B P A P AB P ⋅=.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量),(Y X 的两个分量Y X 、是同一试验E 的样本空间上的两个一维随机变量，而B A 、也是一个试验1E 的样本空间的两个事件.因此，若把“x X ≤”、“y Y ≤”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量X 的分布列为 ,2,1,}{===k p x X P k k ，如果级数∑∞=1k kk p x 绝对收敛，则称级数的和为随机变量X 的数学期望.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，如果广义积分⎰+∞∞-dxx xp )(绝对收敛，则称此积分值⎰+∞∞-=dxx xp X E )()(为随机变量X 的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设C 是常数，则C C E =)(；（2）设C 是常数，则)()(X CE CX E =；（3）若21X X 、是随机变量，则)()()(2121X E X E X X E +=+；对任意n 个随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ；（4）若21X X 、相互独立，则)()()(2121X E X E X X E =；对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =.2、随机变量函数的数学期望（1）设离散型随机变量X 的分布律为,2,1,}{===k p x X P k k ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为2,1,)()]([1==∑∞=k p x g x g E k k k ，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量X 的密度函数为)(x p ，则X 的函数)(X g Y =的数学期望为⎰+∞∞-=dxx p x g x g E )()()]([，式中积分绝对收敛.（2）若二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列为3、随机变量的方差设X 是一个随机变量，则})]({[)()(2X E X E X Var X D -==称为X 的方差.)()(X X D σ=称为X 的标准差或均方差.计算方差也常用公式22)]([)()(X E X E X D -=. 方差具有如下性质：（1）设C 是常数，则0)(=C D ；（2）设C 是常数，则)()(2X D C CX D =；（3）22()()()2(())(())D aX bY a D X b D Y abE X E X Y E Y ±=+±--=22()()2cov(,)a D X b D Y ab X Y +±=22()()2a D X b D Y ab ρ+±. 特别地，若X Y 与相互独立，则22()()()D aX bY a D X b D Y ±=+.更加一般地，对任意n 个相互独立的随机变量n X X X ,,,21 ，有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=+++ ；（4）0)(=X D 的充要条件是：存在常数C ，使))((1}{X E C C X P ===. 4、几种常见分布的数学期望与方差：（1）~(1,),.(),()(1)X B p E X p D X p p ==-；（2）)1()(,)().,(~p np X D np X E p n B X -==；（3）~().(),()X P E X D X λλλ==；（4）12/)()(,2/)()().,(~2a b X D b a X E b a U X -=+=；（5）()XExp θ,则2(),()E X D X θθ==；（6）22)(,)().,(~σμσμ==XDXENX.6、协方差与相关系数随机变量),(YX的协方差为)]}()][({[),cov(YEYXEXEYX--=.它是1+1阶混合中心矩，有计算公式：)()()(),cov(YEXEXYEYX-=.随机变量),(YX的相关系数为DYDXYXXY),cov(=ρ.相关系数具有如下性质：（1）1≤XYρ；（2）⇔=1XYρ存在常数ba,，使}{baXYP+==1，即X与Y以概率1线性相关；（3）若YX,独立，则0=XYρ，即YX,不相关.反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 设(X,Y)是二维随机变量,若X与Y的方差都存在,则2[(,)]Cov X Y DX DY≤⋅疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义.例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛？首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数XY ρ反映了随机变量X 和Y 之间的什么关系？相关系数XY ρ是用随机变量X 和Y 的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量X 和Y 之间的相关程度.当1=XY ρ时，称X 与Y 依概率1线性相关；当0=XY ρ时，称X 与Y 不相关；当10<<XY ρ时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量X 与Y 相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若X 、Y 相互独立，则X 、Y 不相关.因为X 、Y 独立，则)()()(Y E X E XY E =，故0)()()(),cov(=--=Y E X E XY E Y X ，从而0=XY ρ，所以X 、Y 不相关.（2）若X 、Y 不相关，则X 、Y 不一定独立.如：⎩⎨⎧≤+=.,0,1,/1),(22 其它　y x y x p π 因为0)()(==Y E X E ，4/1)()(==Y D X D 0,0),cov(==XY Y X ρ，知X 、Y 不相关.但π/12)(2x x p X -=，π/12)(2y y p Y -=,)()(),(Y p x p y x p y X ≠,知X 、Y 不独立.（3）若X 、Y 相关，则X 、Y 一定不独立.可由反证法说明.（4）若X 、Y 不相关，则X 、Y 不一定不相关.因为X 、Y 不独立，)()()(Y E X E XY E ≠，但若0)()()(===XY E Y E X E 时，可以有0=XY ρ，从而可以有X 、Y 不相关.但是，也有特殊情况，如),(Y X 服从二维正态分布时，X 、Y 不相关与X 、Y 独立是等价的.第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（Chebyshev ）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（Bernoulli ）大数定律，辛钦（Khinchine ）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理，列维-林维德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2)(σ=X D ，则对任意正数ε，有不等式 22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-><-X P 成立.2、大数定律（了解）（1）贝努利大数定律:设A n 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的0>ε，有1}|{|lim =<-∞→εp n n P A n .贝努利大数定理给出了当n 很大时，A 发生的频率/A n n 依概率收敛于A 的概率，证明了频率的稳定性.(2)辛钦大数定律：设 ,,,,21n X X X 相互独立,服从同一分布的随机变量序列,且()k E X μ=(1,2,k =),则对任意给定的0>ε，有11lim {||} 1.nk n k P X n με→∞=-<=∑3、中心极限定律（1）林德贝格-勒维中心极限定理:设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，有有限的数学期望和方差，μ=)(i X E ，),2,1(0)(2 =≠=i X D i σ.则对任意实数x ，随机变量σμσμn n X n X Y n i i n i i n ∑∑==-=-=11)(的分布函数)(x F n 满足⎰∞--∞→∞→=≤=x t n n n n dt e x Y P x F 2/221}{lim )(lim π.（2）李雅普诺夫定理:（了解）设 ,,,,21n X X X 是不同分布且相互独立的随机变量，它们分别有数学期望和方差：i i X E μ=)(,),2,1(0)(2 =≠=i X D i i σ.记 ∑==n i i nB 122σ,若存在正数δ，，使得当∞→n 时，有0}{1122→-∑=++n i i i n X E B δδμ, 则随机变量n n i i n i i n i i n i i n i i n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=-=11111)()(μ的分布函数)(x F n 对于任意的x ，满足⎰∑∑∞--==∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n n i i n i i n n n dt e x B X x F 2/11221lim )(lim πμ.当n 很大时,),(~),1,0(~12.1.∑∑==n i n i n i i n B N X N Z μ.（3）德莫佛—拉普拉斯定理:设随机变量),2,1( =n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意的x ，恒有 ⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x t n n dt e x p np np P 2/221)1(lim πη.疑难分析1、依概率收敛的意义是什么？依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列}{n x 依概率收敛于a ，说明对于任给的0>ε，当n 很大时，事件“ε<-a x n ”的概率接近于 1.但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ε<-a x n ”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.例题解析【例3】一本书共有100万个印刷符号.排版时每个符号被排错的概率为0.0001，校对时每个排版错误被改正的概率为0.9，求校对后错误不多于15个的概率.分析：根据题意构造一个独立同分布的随机变量序列，具有有限的数学期望和方差，然后建立一个标准化的随机变量，应用中心极限定理求得结果.解：设随机变量⎩⎨⎧=.,0,1　其它错个印刷符号校对后仍印　第n X n 则)1(≥n X n 是独立同分布随机变量序列，有5101.00001.0}1{-=⨯===n X P p .作)10(,61==∑=n X Y n k K n ，nY 为校对后错误总数.按中心极限定理（德—拉定理），有 )58.1(]))101(1010/[5(15}15{553Φ≈-Φ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤--npq np npq np Y P Y P n n9495.0=.。

概率与统计的复习知识点

概率与统计的复习知识点概率与统计是数学中的重要分支，在日常生活、科学研究以及各个领域都有着广泛的应用。

为了帮助大家更好地复习这部分知识，下面将对一些关键的知识点进行梳理。

一、概率的基本概念1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

例如，抛硬币时正面朝上就是一个随机事件。

2、样本空间样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。

比如抛一次硬币，样本空间就是{正面，反面}。

3、事件的概率事件的概率是指某个事件在一次试验中发生的可能性大小，通常用0 到 1 之间的数来表示。

概率的计算方法有古典概型、几何概型等。

古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

其概率计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数。

几何概型则是适用于试验中每个结果出现的可能性相等，但结果是无限个的情况。

例如，在一个区间内随机取一个点，计算该点落在某个子区间的概率。

二、概率的基本运算1、互斥事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生。

如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的和事件的概率等于各自概率之和，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

2、对立事件对立事件是指两个事件非此即彼，且它们的概率之和为 1。

即事件A 的对立事件记为A，P(A) ＋ P(A）＝ 1。

3、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

记作 P(B|A)，其计算公式为 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)。

4、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A) （当 A、B 相互独立时，P(AB) ＝ P(A)P(B)）三、随机变量及其分布1、随机变量随机变量是用来表示随机试验结果的变量。

它可以是离散型的，如掷骰子的点数；也可以是连续型的，如某段时间内的气温。

2、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以用分布列来表示，即列出随机变量取每个值的概率。

概率(几何概型和条件概率)

概率的基本概念与计算方法

概率与统计知识点总结

概率论必备知识点

概数(概率与数理统计)

第3课次 古典几何概型、条件概率

概率论知识点总结归纳

概率基本概念和计算方法

概率论公式

概率统计公式大全复习重点

概率的原理

概率的基本概念与性质

概率论与数理统计考前必备公式

高中数学知识点概率与统计的基本概念与应用

概率问题常见解题方法

概率的基本概念与计算方法

高中数学概率知识点总结

几何概型与概率计算

(完整版)高中概率八大定理

《概率论》总复习提纲

概率与统计的复习知识点

第3课次古典几何概型、条件概率