三级火箭模型

m p m2 mn m p m2 m3 mn
依次类推：No.n级燃尽时火箭的速度为：
m p mn … Vn Vn 1 uln . m p mn 此时火箭的速度： .
m p m2 mn m p mn m 0 V Vn uln m p m1 m2 mn m p m2 m3 mn m p mn
dt
m0 v(t ) (1 )uln m(t ) m F —烧光 ms 燃烧完时的速度 —抛光 v m0 m0 v (1 )uln 或 e (1 )u mp mp 2017/5/2
v(t ) t 0 0
dm(t) dm(t) v(t)-u (1 ) dt dt dv(t) dm(t) m(t ) (1 )u dt dt
三级火箭运载模型
一、问题的提出
二、问题分析与模型假设
三、建立模型与求解（含六部分）
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一、问题的提出
1、用火箭发射卫星时，通常采用三级火箭 2、为什么采用三级运载火箭？ 3、请您建立数学模型解决这个问题
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二、问题分析与模型假设
1、问题分析
运载火箭是一个十分复杂的系统，影响 它飞行的因素： 发动机的功力
m p m1 m2 mn
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m0
mp m0 max ^ f (x) mp m0
（ 1）
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m p m2 mn m p mn V m0 （2） ln ... m p m1 m2 mn m p m2 m3 mn m p mn n mp, m1, m2, ..., mn 0 (3)
所以
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d[m(t)v(t)] dm(t) (v(t) u) dt dt dv(t) dm(t) m(t) u dt dt
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四 火箭的推力
气体喷射速度
燃料消耗速度
F m(t)a(t) m(t)dv(t) u dm(t) dt dt
火箭的推力 反冲力
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dv(t) d[ ln m(t)] u dt dt dm(t) V (t) V0 uln m0
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四 火箭的推力
m m 0 V (t) V0 uln uln 0 m(t) m(t)
V0 V (t)|t 0 0
其中 m0：火箭初始时刻的质量。
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五 火箭系统的质量
m(t t )v(t t ) [m(t ) m(t t )][v(t ) u]
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四 火箭的推力
其中:
u 为气体喷射相对于火箭的速度；
由动量守恒定律有：
m(t )v(t ) m(t t )v(t t ) [m(t ) m(t t )][v(t ) u]
3km/s
0.1＝10％


V v max 3ln10 7 km / s 7.9 km / s
所以当前的技术条件下一级火箭是无法达到第一宇宙速度； 必须采用多级技术！！
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六、理想化的可随时抛去结构质量的火箭
假设火箭在燃料消耗一部分，用以装载火箭这部分燃料的 火箭结构可以同时抛掉。 在t时刻，火箭系统的动量为： m(t )v(t ) …..（1）抛去的结构质量 在 t t ,火箭系统的动量为：
mt t vt t m(t ) mt t vt 1 m(t ) mt t u (t ) u ) （2）
喷射燃烧的燃料 相对速度
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动量守恒定律： （1）＝ （2）
所以 d m (t ) v(t)
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2、假设条件：
（1）我们考虑卫星的运行速度、火箭的 推力和火箭与卫星的质量 （2）假设火箭的结构、外形与控制等问
题能满足保证火箭正常运行的需要
（3）只考虑地球对卫星的吸引力
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三、卫星的速度
目标：确定卫星在轨道上运行所必需的速度 卫星 假设：卫星质量是： 地球质量是： M r 1、地球对卫星的引力： R
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设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
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若要考虑到空气阻力和重力的影响，要将卫星送上 轨道，火箭的末速度V应达到 V=10.5km/s：
因为 umax 3km/ s
min 0.1
m0 所以 50当 mp 1 m0 50 mp
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七 多级火箭的速度公式
理想 现实： 分级火箭
设火箭为n级， mi：第i级火箭结构 燃料质量(i 1,2,..., n)
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
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我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
记
ai m
m p mi mn p mi 1 mn
(i 1,2,, n)
则
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a1 a2 an V ln 1(a1 1) 1(a2 1) 1(an 1) n
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xi 1 (aai 1) ai
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2017/5/2
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五 火箭系统的质量
ms (mF ms) (m0 mp)
i
（0 1, ai 1， x 1 ） i xi
1
m0 m p m1 ... mn f (m , m , m , m ) a1.a2....an mp mr
1 2 n p
(2) x1 x2xn e
v u
cons tan t
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
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Vmax Vmax
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u
Vmax 当前 u Vmax 当前


v m0 1 : lim e (1 )u n m p m0 2 : n m p mp 3 : 极限状态：m p
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m0 v e (1 )u
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4:
n
m0 mp
1
2
3
4
5
… …

50
149
77
65
60
上表参数取： u 10.5km / s; v 3km / s; 0.1 极限状态：m : m 1 : 50
p 0
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：火箭的结构比 mi : 第i级结构质量; (1 )mi : 第i级燃料质量 No.1级烧完时火箭的质量为：m p m1 m2 mn
此时火箭的速度： V uln 1
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m0 m p m1 m2 mn
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No.2级燃尽时火箭的速度为：
V2 V1 uln

* i
n
v xi e u c

2017/Baidu Nhomakorabea/2
x c

1 n
e

v nu
F ( x ) (e
v nu
)
n
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因为 ai
1 xi n
n m0 (1 ) n 1 ai n v mp 1 ( xi ) e nu i 1 n m0 1 最优质量 v mp e nu
m
r ：万有引力常数； k rM
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Mm m Gr k R R
2
2
M ：地球引力常数
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k ?： 若质量为m的质点位于地球表面则有
m mg k R
g:
F mg
2
重力加速度
牛顿第二定律 万有引力定律
2
k g R
这样
2
m Gk r
2
m R 2 G g R 2 mg ( ) 地球对卫星的引力 r r
＝
(1 ) n （x )
i i 1 n
min f (m p , m1,..., mn ) maxF ( x)
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( xi )
i 1
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n
这样上述问题
n m a xF ( x ) ( xi )
1 s.t .
1 xi （ 1 i 1,, n)
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八 n级火箭的质量分配
火箭末速度 U : 气体喷射速度 ？ 如何选取m1 , m2 ,...,mn 已知： ： 结构比 使得m p 最大 m0 : 初始总质量 V:
即
max f (m1, m2,mn , m p)
_ m p min f (m)
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
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四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为: