三级火箭模型
数学建模习题
数学建模习题1．木材采购问题一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。
由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。
已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu ）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u 为贮存时间（季度数）。
已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。
确定最优采购计划。
2．飞机投放炸弹问题某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。
已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油耗量限制为48000公升，重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。
飞机携带重型炸弹时每公升汽油可飞行2公里，带轻型炸弹时每公汽油可飞行3公里。
又知每架飞机一次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每公升汽油飞行4公里）外。
3．三级火箭发射问题建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1） 设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为v=r g R ;，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球表面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速v 应为多少。
（2） 设火箭飞行中速度为v （t ），质量为m （t ），初速为零，初始质量0m ，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽视重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明v （t ）=)(ln 0t m mu 。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施。
（3） 火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料仓等）s m ，其中s m 在f m +s m 中的比例记作λ，一般λ不小于10%。
证明若p m =0（即火箭不带卫星），则燃料用完时火箭达到的最大速度为m ν=-λln u .已知目前的u=3km/s ，取λ=10%，求m ν。
这个结果说明什么。
数学建模培训火箭问题3
分，显然效率会高一些，如图1.3所示。
在图1.3中
dm t dt
表示丢弃的结构质量，
表示燃烧掉的燃料喷出的气体质量。
dm (1 ) t dt
设在 t 到 t t 时间内，把总丢弃质量当作1 （总丢弃质量等于丢弃的结构质量加上燃烧掉的 燃料质量）。
把丢弃的结构质量当作λ (0<λ<1) ，则燃烧掉 的燃料质量为(1-λ) 。 当然，不可能制造这样的理想火箭。即要作 到无用部分外壳连续不断地丢弃。
立模型的方法。
发射卫星为什么用三级火箭? 当你坐在电视机前观看奥运会精彩的比赛实 况时，你可曾想到是通过什么手段把画面瞬间从 比赛现场传到世界各地呢？
是通讯卫星。
卫星靠什么送入太空轨道的呢？ 靠的是三级火箭。
那么为什么要用三级火箭，而不用一级、
二级或四级火箭呢？ 下面通过运载火箭的数学模型来论证三级 火箭的设计是最优的。
数学模型
主讲 雷鸣
为什么要学习数学模型?
随着现代科学技术的迅猛发展，要求人们 在解决各类实际问题时更加精确化和定量化，特 别是在计算机的普及和广泛应用的今天，数学更 深入地渗透到各种科学技术领域。 数学模型正是从定性和定量的角度去分析 和解决所遇到的实际问题，为人们解决实际问题 提供一种数学方法，一种思维方式，因此越来越 受到人们的重视。
(1.8)
(1.8)式左端表示火箭所受的推力T。
令
dv T m dt
dm T u dt
得
即是说，推力等于燃料消耗的速度与气体相
对于火箭运动速度的乘积。
将(1.8)式改写为 请现在推导上式
dv d (ln m) u dt dt
u为常数，积分上式得
1-6 反冲现象 火箭(教学课件)人教版(2019)物理选择性必修第一册 第一章动量守恒定律
二、火箭
节日烟花 喷气式飞机
火箭
它们都是靠喷出气流的反冲作 用而获得巨大速度的。
二、火箭
名称 长征一号 长征二号F 长征三号 长征五号 长征八号
长征系列火箭
起飞质量/吨 81.5 480 204 869 356
火箭长度/m 29.46 58.4 44.56 56.97 50.3
19
二、火箭
例9.有一只小船停在静水中，船上一人从船头走到船尾．如果人的质 量m＝60 kg，船的质量M＝120 kg，船长为L＝3 m，则船在水中移动 的距离是多少？水的阻力不计．
x1 x2
变式1：如图所示，载人气球原来静止在空中，与地面距离为h，已 知人的质量为m，气球的质量(不含人的质量)为M.若人要沿轻绳梯 返回地面，则绳梯的长度至少为多长？
A.抛出物体的质量要小于剩下物体的质量才能获得反冲 B.若抛出物体A的质量大于剩下物体B的质量,则B受的反冲力大于A所受 的力 C.反冲运动中,牛顿第三定律适用,但牛顿第二定律不适用 D.对抛出部分和剩余部分,牛顿第二定律都适用
例6. (单选)如图所示，相同的平板车A、B、C成一直线静止在水平光滑
例8.一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g的气体，气体离开发动机 喷出时的速度v＝1000 m/s，设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒喷 气20次． (1)当第三次气体喷出后，火箭的速度多大？ (2)运动第1 s末，火箭的速度多大？
【解析】 选取整体为研究对象，运用动量守恒定律求解(1)设喷出三次 气体后火箭的速度为v3，以火箭和喷出的三次气体为研究对象，据动量 守恒定律得：(M－3m)v3－3mv＝0所以v3＝2 m/s.(2)以火箭和喷出的20 次气体为研究对象(M－20m)v20－20mv＝0所以v20＝13.5 m/s.【答案】 (1)2 m/s (2)13.5 m/s
三级火箭发射卫星数学模型
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m(t
)v(t
)
m(t
t
)v(t
t
)
dm dt
t
(t )
v(t) u
m(t
t
)v(t
t
)
m(t
)v(t
)
dm dt
t
(t )
v(t) u
m(t)v(t) v(t) dm t u dm t (t )
dt
三级火箭发射卫星数 学模型
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
团结 信赖 创造 挑战
2) 模型建立 根据我们的分析，可以建立一个单目标，非线性约束 的优化问题。
max m p
S.T .
v
u
ln
m1 m2
m1 m2
mn mp m2
mn mp m2
m1 m2 mn m p m0 ,
火箭的初始质量为
数学建模-三级火箭发射卫星
大学生数学建模承诺书我们仔细阅读了数学建模的规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
所属班级（请填写完整的全名）：09级数学与应用数学班队员(打印并签名) ：1. 王茜2. 丁*燕3. 毕瑞4. 李*洋5. 王*彬小组负责人(打印并签名)：李*洋日期： 2012 年 5 月 1 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：题目：三级火箭发射人造卫星分析摘要：火箭是一个非常复杂的系统，本文主要从卫星的速度因素着手，忽略一些次要因素将问题简化，再利用所学物理学知识建立数学模型，得出火箭飞行速度与其初始质量和飞行过程中的质量关系，进而分析得出结论。
关键词：卫星发射 牛顿定律 三级火箭 动能守恒 万有引力定律一、问题重述建立一个模型说明要用三级火箭发射人造卫星的道理。
（1）设卫星绕地球做匀速圆周运动，证明其速度为r g R v /=，R 为地球半径，r 为卫星与地心距离，g 为地球地面重力加速度。
要把卫星送上离地面600km 的轨道，火箭末速度v 应为多少？（2）设火箭飞行中速度为)(t v ,质量为)(t m ,初速度为零，初始质量为 0m ,火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u ，忽略重力和阻力对火箭的影响。
用动量守恒原理证明)(ln)(0t m m u t v =。
由此你认为要提高火箭的末速度应采取什么措施？ （3）火箭质量包括3部分：有效载荷（卫星）p m ；燃料f m ；结构（外壳、燃料舱等）s m ，其中s m 在s f m m +中的比例计作λ，一般λ不小于10%。
反冲和火箭模型(解析版)—动量守恒的十种模型解读和针对性训练——2025届高考物理一轮复习
动量守恒的十种模型解读和针对性训练反冲和火箭模型模型解读1. 反冲运动作用原理反冲运动是系统内物体之间的作用力和反作用力产生的效果动量守恒反冲运动中系统不受外力或内力远大于外力，所以反冲运动遵循动量守恒定律机械能增加反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加2．火箭(1)火箭的原理火箭的工作原理是反冲运动，其反冲过程动量守恒，它靠向后喷出的气流的反冲作用而获得向前的速度。
(2)影响火箭获得速度大小的因素①喷气速度：现代液体燃料火箭的喷气速度约为2__000～4__000 m/s。
②火箭的质量比：指火箭起飞时的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比，决定于火箭的结构和材料。
现代火箭的质量比一般小于10。
火箭获得的最终速度火箭发射前的总质量为M、燃料燃尽后的质量为m，火箭燃气的喷射速度为v1，如图所示，在火箭发射过程中，由于内力远大于外力，所以动量守恒。
发射前的总动量为0，设燃料燃尽后火箭的飞行速度为v，发射后的总动量为m v－(M－m)v1(以火箭的速度方向为正方向)由动量守恒定律，m v－(M－m)v1＝0解得v＝(M－1)v1由此可知，燃料燃尽时火箭获得的最终速度由喷气速度及质量比Mm决定。
喷气速度越大，质量比越大，火箭获得的速度越大。
（3）．多级火箭：能及时把空壳抛掉，使火箭的总质量减少，因而能够达到很高的速度，但火箭的级数不是越多越好，级数越多，构造越复杂，工作的可靠性越差，目前多级火箭一般都是三级火箭。
【典例精析】【典例】(2017·全国理综I卷·14)将质量为1.00kg的模型火箭点火升空，50g燃烧的燃气以大小为600m/s的速度从火箭喷口在很短时间内喷出。
在燃气喷出后的瞬间，火箭的动量大小为（喷出过程中重力和空气阻力可忽略）A.30kg×m/sB.5.7×102kg×m/sC.6.0×102kg×m/sD.6.3×102kg×m/s【参考答案】A【命题意图】本题考查动量守恒定律及其相关的知识点。
数学建模分类方法大全
23，混合泳接力模型
24，投入产出模型
25，三级火箭模型
26，糖尿病模型
27，传染病模型
28，生物种群模型
29，人口模型
30，分子模型
31，扫雪模型
32，商人过河问题
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题
多步骤形的规划
数值搜索法
工业流程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
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布点问题
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384
最优化
模拟退火法
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分治算法
差分进化
蚁行算法
粒子群
不确定
模型
灰色系统
数理统计
模糊数学
聚类分析
无分类
模型名称
所在目录
1，国有企业业绩分化的数学模型
2，打假问题的机理数学分析
3，足球比赛排名问题
4，大象群落的稳定性分析
5，火车便餐最有价格方案
6，影院最优设计方案
7，国有企业业绩分化的数学模型
数学建模分类方法大全
类别
类别（2）
模型名称
关键点
备注
参考书目
复杂系统
库存模型
排队模型
可靠系统
差分方程模型
动力系统类
酵母菌增长模型
数学建模分类方法大全
9，足球比赛排名问题
10，大象群落的稳定性分析
11，火车便餐最有价格方案
12，施肥效果分析
13，迷宫问题
14，锁具装箱问题
15，密码问题
16，席位分配模型
初等模型
17，双重玻璃窗功效模型
18，储存模型
优化模型
19，森林救火模型
20，消费者均衡模型
21，加工奶制品模型
数学规划模型
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题
多步骤形的规划
数值搜索法
工业流程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
网络计划
布点问题
中心问题
重心问题
22，自来水输送模型
23，混合泳接力模型
24，投入产出模型
25，三级火箭模型
26，糖尿病模型
27，传染病模型
28，生物种群模型
29，人口模型
30，分子模型
31，扫雪模型
32，商人过河问题
数学建模分类方法大全
类别
类别（2）
模型名称
关键点
备注
参考书目
复杂系统
库存模型
排队模型
可靠系统
差分方程模型
动力系统类
酵母菌增长模型
平衡点；平衡点的分类
地高辛衰减模型
长征系列火箭
长征系列火箭长征系列火箭中国自1956年开始展开现代火箭的研制工作。
1964年6月29日，中国自行设计研制的中程火箭试飞成功之后，即着手研制多级火箭，向空间技术进军。
经过了五年的艰苦努力,1970年4月24日“长征1号”运载火箭诞生,首次发射“东方红1号”卫星成功。
中国航天技术迈出了重要的一步。
现在,“长征”系列火箭已经发射131次，成功率达91%以上。
“长征”系列火箭已经走向世界,享誉全球，在国际发射市场占有重要一席。
分类长征一号系列长征一号（已退役）“长征一号”运载火箭是一种三级火箭，主要用于发射近地轨道小型有效载荷。
火箭全长29.86米，最大直径2.25米，起飞重量81.6吨,起飞推力112吨，能把300千克重的卫星送入440公里高的近地轨道。
1970年4月24日,长征1号运载火箭成功地将“东方红一号”卫星送入预定轨道，奠定了长征系列火箭发展的基础，发射成功率为100%。
长征一号乙（未投入生产）也被称作“长征一号马杰”。
是长征一号的第一个改进方案。
方案提出使用意造马杰火箭的第三级意丽丝固体火箭发动机来替换国产的第三级ＧＦ－０２固体火箭发动机。
火箭的一、二级没有更变。
但当时因缺乏资金所以没有向意大利购买马杰火箭的第三级，长征一号乙也没有投入生产。
长征一号丙（未投入生产）也没有投入生产。
第一、二级使用长征一号的发动机，保留不变，而第三级使用更先进的四氧化二氮偏二甲肼固体燃料，使火箭的近地运载能力提高到半吨。
1984年首次成功测试第三级发动机，但因种种原因，中国运载火箭技术研究院于1988年取消了长一丙工程。
长征一号丁（现役）“长征一号丁”运载火箭是“长征1号”火箭的改进型。
主要的改进有：提高一子级发动机推力；提高二、三子级性能；采用“平台-计算机”全惯性制导。
经过改进,“长征1号D”火箭可以发射各种低轨道卫星，并已投入商业发射。
该型号火箭已进行多次亚轨道飞行，但至今未进行亚轨道以外的航天飞行。
航天模型介绍资料
定器材不得参赛。允许对模型 进行必要的加强和改动，但模 型原部件及原材质不得取消和 更换。
1-2、“东风一号”火箭图解
竞时项目细则要求：
允许对飘带材料进行 更换或重新加工，长宽 比为 10:1。
两点建议：
1、飘带在不影响安 装和打开的情况下，面 积越大越好。
2、载荷舱必须 保留。
3-1“小力士”火箭图解
3 “小力士”火箭伞降留空计时赛
发动机型号为 sk-1
几点建议： 1、伞可以选用较薄的塑料台布制作。 2、可制作成八边形或十二边形
3-2“小力士”火箭图解
3-3、“小力士”火箭图 解
3-4、“小力士”火箭图解
4、伞与发动机之间的棉纸要塞的充足。 5、棉纸和伞要打滑石粉。
Hale Waihona Puke 4-5、柔性翼滑翔机的安装步骤
3
4
5
5. “神鹰”火箭助推滑翔机（竞时赛）
发动机型号为 A6-3
允许对模型进行必 要的加强和改动，但模 型原部件及原材质不得 取消和更换。
5-1、“神鹰”火箭图解
对飘带尺寸无要求，一般采用原装飘带，模型至少保留一个主要标贴，位置不限。
正面安装图
5-2、“神 鹰”火箭 图解
2、材料可选用容易 折皱的塑料布或纸。
“神箭”火箭 50 米打靶赛场地
50米
Φ=2、9、18、30
2、“神箭”火箭 50 米打靶赛
发动机型号为 1/2A3-3
2-1“神箭”火箭 50 米打靶赛
允许对飘带进行 必要的改动，长宽 比为 10:1，
3、“小力士”火箭伞降留空计时赛
细则要求：
1、允许对降落 伞的材料进行更换 或重新加工,改进后 的降落伞最大直径 不限.
三级火箭：深度讲解互联网降维打击
26(1)26 三级火箭：深度讲解互联网降维打击梁宁01-3026 三级火箭：深度讲解互联网降维打击16:20 7.66MB梁宁亲述这是第五模块的第四节课，这节课咱们谈三级火箭。
三级火箭是互联网圈一个特别容易被提起的概念词。
我们在《机会判断：点线面体的战略选择》那节课讲了360的三级火箭。
360的第一级火箭是免费杀毒工具，利用这级火箭打破了持续10年的杀毒软件市场三国鼎立的局面，成为用户量最大的安全工具。
360的第二级火箭是从免费杀毒工具变为安全网络平台，进而推出360安全浏览器和360安全网址导航。
360的第三级火箭就是它最终承载的商业闭环，从安全浏览器和网址导航的广告收入，获得企业的经营利润。
搜狗的三级火箭2017年上市的搜狗，也是三级火箭模式的受益者。
2003年，张朝阳委任王小川开发搜狗搜索引擎，制衡百度，现在来看搜狗的起步相比较而言是较早的。
搜狗开始的时候，Google、百度都还没有上市，Google是2004年上市的，百度是2005年上市的。
百度在做自有品牌的搜索之前，一直运营着两大业务。
第一是为门户网站做搜索服务提供商。
2000年，新浪就是中国的互联网，新浪的搜索是百度在背后提供服务。
百度的第二个业务是做机房，也就是服务器托管服务。
百度的强，不仅强在搜索技术优于当时的对手，它对流量的理解也远远优于其他对手，包括在中国开展业务的Google。
百度有机房在手，哪台服务器上流量高，这个服务器上跑什么业务，百度再清楚不过了。
蔡文胜说过，百度早期最重要的一笔交易就是收购了hao123网址大全，这笔交易为百度奠定了核心流量和利润。
互联网商业就是产品、流量、转化率三个词。
2003年，搜狗的产品技术不如百度，对流量的理解更不如百度，做不起来是必然的事。
但王小川是天才少年，并且韧劲儿十足，居然没有放弃。
2005年，他做了搜狗输入法。
我们说一个搜狗的秘史——搜狗输入法是如何快速达到市场占有率70%以上的份额的。
三级火箭模型 PPT
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2018/7/21 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
ms (mF ms) (m0 mp)
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2018/7/21
五 火箭系统的质量
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2018/7/21
13
五 火箭系统的质量
2018/7/21 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2018/7/21 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
数学建模教程-三级火箭运载模型
20
八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
已知：U :
：
气体喷射速度
结构比
？如何使 选得 取mm1p,最m2大,...,mn
m0 : 初始总质量
即
max
f
( ) m1,m2,mn,mp
_ mp min f (m)
m0
max
^
f
(x)
m
p
mp
mp m1 m2 mn m0
（1m）0
2023/5/17
21
ln
mp
m0 m1m2
mn
mp m2mn mp m2m3mn
...
mp mn mp mn
V n
（2）
mp, m1, m2, ..., mn 0
(3)
a 记
i
mp mi mn mp mi1 mn
(i 1,2,,n)
则
ln
a1
1(a1
1)
a2
1(a2
an
1) 1(an
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
2023/5/17
3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
引入重要指标:
火箭的结构比:
ms mF ms
1
mF mF ms
2023/5/17
13
五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
物理领域中的数学建模
1 2）单位时间内向径 r (t) 扫过的面积是常数A，即 r A 2
2
3）行星运行周期 T 满足 T 2 a 3，其中 为绝对常数，与 哪颗行星无关 。 4）行星运行时受的作用力 f 等于行星加速度 r 和质量m的乘 积，即 f mr
2 4 A r 2 ur (4) pr 2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
(3)
将（1）（3）代入（2）
因为 r rur 和 f mr
数学建模
模型建立
2 4A m r f r0 , r0 2 pr r
图1.2 单级火箭1) 地球是半径为 R 的均匀球体
2) 卫星将在距地面高度为h的平面轨道上做匀速圆周运动
3) 忽略火箭系统重力和大气阻力的影响 4) 火箭系统在t时刻的质量和速度分别为m(t)和v(t) 5) 火箭系统喷气对箭体的相对速度为常值 u
数学建模
模型建立与求解
ru u r r r 2 r r r ur r 2r u
数学建模
模型建立
1 2 r A 2
根据假设
2r 0 r
有
=
2 A 4 Ar , r2 r3
只需再证A2/p是常数即 可得到万有引力定律
1 2 r A 2
4 2 m Mm f r0 : k 2 r0 2 r r
4 2
TA ab
假设1）、3）
A2 p
三级火箭发射卫星数学模型
火箭达到一定的速度和高度后，有效载荷与 火箭分离，进入预定轨道。
加速爬升
随着火箭推进剂的消耗和重量的减轻，火箭 逐渐加速爬升。
进入轨道
有效载荷依靠惯性继续前进，达到轨道速度 后进入预定轨道。
02
数学模型建立
火箭推进力与重力平衡模型
总结词
描述火箭推进力与重力之间的平衡关 系，用于确定火箭起飞时的加速度和 速度。
05
未来展望
火箭技术发展趋势
01
02
03
绿色环保
随着环保意识的提高，未 来火箭技术将更加注重环 保，减少发射过程中对环 境的影响。
可重复使用
降低火箭发射成本是未来 的重要趋势，可重复使用 火箭技术将得到更广泛的 应用。
多任务适应性
未来火箭将具备更强的任 务适应性，能够适应不同 重量、轨道和任务的发射 需求。
失败案例分析
印度PSLV火箭
印度PSLV火箭是一种四级火箭，在发射过 程中曾多次出现失败。其中，2017年的一 次发射失败导致卫星损失，对印度航天事业 产生了较大的影响。
俄罗斯Proton-M火箭
俄罗斯Proton-M火箭是一种五级火箭，在 发射过程中也曾多次出现失败。其中，
2013年的一次发射失败导致卫星损失，对 俄罗斯航天事业产生了较大的影响。
SpaceX猎鹰9号
猎鹰9号是SpaceX公司研发的一种两级火箭，通过一级和二级火箭的多次点火，将卫星送入预定轨道。该火箭已 经成功发射了数百颗卫星。
欧洲阿丽亚娜5型火箭
阿丽亚娜5型火箭是一种三级火箭，由欧洲航天局研制。该火箭具有较高的可靠性和精度，已经成功发射了数十 颗卫星。
中国典型火箭发射案例
总结词
通过数学模型和优化算法，可以设计出最优的卫星轨道，以提高卫星的运行效率和寿命。
嫦娥奔月——人类航天事业奋斗之路
嫦娥奔月——人类航天事业奋斗之路夸父逐日，嫦娥奔月，这是我们中华民族流传了千百年的故事，当我们在夜里抬起头，一轮明月悬在我们头顶，古老传说中嫦娥奔向月亮住在月亮上，还有一只嫦娥养的玉兔跟着她也去了月亮上，千百年来，对于月亮的想象不只是嫦娥，人类不只一次想飞向太空，走出地球，飞向月球，飞向更遥远的太空深处，去探案我们夜夜凝望的星星和那璀璨的银河。
今天，我就给大家讲述这样一个故事，它，是人类探索太空的传奇故事。
600多年前，在中国，有一个叫万户的人，他十分想要飞上天，有一天，他让人把他自己绑在一个大椅子上，椅子上绑了50只烟花，他两手拿着两个大风筝，随后呢他就让人给他点燃了烟花，然后砰的一声，他真的飞起来了，飞到了几十米的高空，虽然后来他没能飞上太空，但是这是人类，迈出征服地球引力，征服太空的第一步。
科学发展带来的力量是巨大的，人类想要飞出地球，就要摆脱地球引力，地球引力就是一种地球拉着你的力量，就像你蹦起来又会落在地面上一样，地球有一种看不见的力量拉着地球上的所有东西。
如何摆脱地球引力呢，科学家们发现唯一的方法就是非常高的速度。
一百多年前，俄国的齐奥尔科夫斯基研究出了火箭模型。
他小时候父母都是护林员，家里很穷，他自己努力挣钱去上学，最后当上了一名中学老师。
在当老师的时候，他喜欢到处找书看，学到了很多东西，后来，他开始研究火箭理论，最终他提出了多级火箭方案，就像焰花一样，火箭尾部会喷出热的高速气体，火箭会往上升，但是要想飞的高一些快一些就得燃料多一些，燃料要装的多火箭就得做的大，火箭做的大了又太重了，太重了又需要更多燃料，他发现这样是不行的，最终他设计了多级火箭方案，火箭分为三级，就是三个部分，每个部分都是装着燃料的发动机，刚开始发射时候火箭很长很大，当最下面的第一级发动机燃料用完了，就把这一节火箭扔掉，然后打开第二级的发动机，用完了燃料再扔掉，再打开第三级发动机，最后火箭变得又小又快。
这样就能飞出地球了。
谈谈你对创新的认识和理解三篇
谈谈你对创新的认识和理解三篇最近这段时间，看了些创新的书，听了些创新的课，但总感觉我们很缺少能够指导现阶段中小企业的创新实践的方法论。
我不是什么大师，提不出什么系统和理念。
只是对这个问题很有些兴趣：在当前的国际形式格局下，中小企业应该如何创新？在这里瞎谈一点自己的理解和感想。
技术创新的起点一切创新皆有源点，我们不能为了创新而创新，创新的原点为了解决用户的问题。
这有二个层次：一是，如何满足需求；二是，如何引领需求。
企业的运营是围绕着如何解决用户问题来实现自我价值的。
从满足用户市场需求来说，现在我们就是供大于求的市场结构，消费者的各类市场需求都有著无数公司、无数产品和服务去满足用户。
假设我们现有的产品和服务就是确认的，那么我们技术创新的起点必须就是：对现有的产品和服务展开升级技术创新，以期同时实现更好的功能、更高的成本、更好的体验。
比如我们的家庭计算机，从最初的386到486到586，一直到现在各种功能不同的笔记本和超级本。
谁能在功能、成本、体验的不同维度创新出来，谁就能在市场中占领一席之地。
比如说apple（超薄+时尚）、ibm（质量平衡）、dell（可以订制+性价比）、hp（低布局）、东芝（新技术）等，都在相同的维度都各有所长。
而引领需求的创新，在这方面做出成就的，我们都会对其顶礼膜拜，因为他们改变了世界。
比如发明录音机和随身听的盛田昭夫、发明大哥大手机的马丁库帕、发明电冰箱的布莱顿和孟德斯。
在1584年至1889年的三百年里，英国人约翰哈林顿、亚历山大卡明斯、约瑟夫布拉梅以三代人的持续技术创新和改良，最终弄出了名副其实人类最了不起的发明者-抽水马桶。
抽水马桶之所以能成为最伟大的发明之一，在于-1大众化2高频3体验突破4复杂功能简单实现（用一个按钮解决）。
乔布斯的极简主义思想或许来源于此。
技术创新的条件a当我们观察到世界趋势发生变化的时候，且当这些变化可以引发某一个行业要素或市场要素十倍速变化时，那是最好的时机。
(完整版)数学建模期末考试题
班级：通工13**学号：0313****姓名：***成绩：西安邮电大学理学院2014年12月3日一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。
通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。
举例：牛顿定律。
假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。
(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。
令x （t ）表示在t 时刻物体的位置，则F =ma =m d 2x dt 22．数学模型答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。
它包括三大特征：1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。
2.应用性：注意实际问题的要求。
强调模型的实用价值。
3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。
举例：管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。
假设：(1)直圆管，粗细一致。
(2)带子无弹性等宽。
(3)带宽小于圆管截面周长。
(4)包扎时不剪断带子且不重叠。
设W 为带宽，C 为截面周长，L 为管长，M 为带长。
则M=+LC W C 2‒W 23．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。
举例：如汽车司机对方向盘的操作。
二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：（1） 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。
（2） 按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
（3） 按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。
（4） 按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。
（5） 按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。
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* i
n
v xi e u c
2017/5/2
x c
1 n
e
v nu
F ( x ) (e
v nu
)
n
24
因为 ai
1 xi n
n m0 (1 ) n 1 ai n v mp 1 ( xi ) e nu i 1 n m0 1 最优质量 v mp e nu
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
2017/5/2 8
四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t ) ：t时刻火箭的质量
v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为： m(t )v(t ) 在t t 时间火箭的动量为:
m0 m0 m0 V uln uln uln m p ms m p (m 0 m p ) m 0 (1)m p
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax uln 1
u与都是技术条件决定的， u
2017/5/2
Vmax Vmax
14
u
Vmax 当前 u Vmax 当前
dv(t) d[ ln m(t)] u dt dt dm(t) V (t) V0 uln m0
11
四 火箭的推力
m m 0 V (t) V0 uln uln 0 m(t) m(t)
V0 V (t)|t 0 0
其中 m0：火箭初始时刻的质量。
2017/5/2
12
五 火箭系统的质量
mt t vt t m(t ) mt t vt 1 m(t ) mt t u (t ) u ) （2）
喷射燃烧的燃料 相对速度
16
2017/5/2
动量守恒定律： （1）＝ （2）
所以 d m (t ) v(t)
m p m1 m2 mn
2017/5/2
m0
mp m0 max ^ f (x) mp m0
（ 1）
21
m p m2 mn m p mn V m0 （2） ln ... m p m1 m2 mn m p m2 m3 mn m p mn n mp, m1, m2, ..., mn 0 (3)
17
若要考虑到空气阻力和重力的影响，要将卫星送上 轨道，火箭的末速度V应达到 V=10.5km/s：
因为 umax 3km/ s
min 0.1
m0 所以 50当 mp 1 m0 50 mp
2017/5/2 18
七 多级火箭的速度公式
理想 现实： 分级火箭
设火箭为n级， mi：第i级火箭结构 燃料质量(i 1,2,..., n)
v m0 1 : lim e (1 )u n m p m0 2 : n m p mp 3 : 极限状态：m p
2017/5/2
m0 v e (1 )u
25
4:
n
m0 mp
1
2
3
4
5
… …
50
149
77
65
60
上表参数取： u 10.5km / s; v 3km / s; 0.1 极限状态：m : m 1 : 50
p 0
2017/5/2
26
2017/5/2
27
i
（0 1, ai 1， x 1 ） i xi
1
m0 m p m1 ... mn f (m , m , m , m ) a1.a2....an mp mr
1 2 n p
(2) x1 x2xn e
v u
cons tan t
2017/5/2 20
八 n级火箭的质量分配
火箭末速度 U : 气体喷射速度 ？ 如何选取m1 , m2 ,...,mn 已知： ： 结构比 使得m p 最大 m0 : 初始总质量 V:
即
max f (m1, m2,mn , m p)
_ m p min f (m)
火箭的结构外型涉及到强度与阻力
火箭的控制系统
2017/5/2 3
我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞 行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
三级火箭运载模型
一、问题的提出
二、问题分析与模型假设
三、建立模型与求解（含六部分）
2017/5/2
1
一、问题的提出
1、用火箭发射卫星时，通常采用三级火箭 2、为什么采用三级运载火箭？ 3、请您建立数学模型解决这个问题
2017/5/2
2
二、问题分析与模型假设
1、问题分析
运载火箭是一个十分复杂的系统，影响 它飞行的因素： 发动机的功力
m0 m p mF ms
初始时刻 有效载量 燃 料 火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln
m0 m p ms
引入重要指标:
ms mF 火箭的结构比: 1 mF m s mF m s 2017/5/2
13
五 火箭系统的质量
ms (mF ms) (m0 mp)
dt
m0 v(t ) (1 )uln m(t ) m F —烧光 ms 燃烧完时的速度 —抛光 v m0 m0 v (1 )uln 或 e (1 )u mp mp 2017/5/2
v(t ) t 0 0
dm(t) dm(t) v(t)-u (1 ) dt dt dv(t) dm(t) m(t ) (1 )u dt dt
记
ai m
m p mi mn p mi 1 mn
(i 1,2,, n)
则
2017/5/2
a1 a2 an V ln 1(a1 1) 1(a2 1) 1(an 1) n
22
xi 1 (aai 1) ai
4
2017/5/2
2、假设条件：
（1）我们考虑卫星的运行速度、火箭的 推力和火箭与卫星的质量 （2）假设火箭的结构、外形与控制等问
题能满足保证火箭正常运行的需要
（3）只考虑地球对卫星的吸引力
2017/5/2 5
三、卫星的速度
目标：确定卫星在轨道上运行所必需的速度 卫星 假设：卫星质量是： 地球质量是： M r 1、地球对卫星的引力： R
2017/5/2 7
设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向 加速度，而法向加速度为 v 2 / r 此时有
v2 R m( ) mg ( ) 2 r r 所以 v R g 这就是卫星绕地球运行 r 不致于掉下去的速度
2：卫星的运行速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。 (km ) 若 r R 6371 ，则
：火箭的结构比 mi : 第i级结构质量; (1 )mi : 第i级燃料质量 No.1级烧完时火箭的质量为：m p m1 m2 mn
此时火箭的速度： V uln 1
2017/5/2
m0 m p m1 m2 mn
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No.2级燃尽时火箭的速度为：
V2 V1 uln
m p m2 mn m p m2 m3 mn
依次类推：No.n级燃尽时火箭的速度为：
m p mn … Vn Vn 1 uln . m p mn 此时火箭的速度： .
m p m2 mn m p mn m 0 V Vn uln m p m1 m2 mn m p m2 m3 mn m p mn
m
r ：万有引力常数； k rM
2017/5/2
Mm m Gr k R R
2
2
M ：地球引力常数
6
k ?： 若质量为m的质点位于地球表面则有
m mg k R
g:
F mg
2
重力加速度
牛顿第二定律 万有引力定律
2
k g R
这样
2
m Gk r
2
m R 2 G g R 2 mg ( ) 地球对卫星的引力 r r
3km/s
0.1＝10％
V v max 3ln10 7 km / s 7.9 km / s
所以当前的技术条件下一级火箭是无法达到第一宇宙速度； 必须采用多级技术！！
2017/5/2 15
六、理想化的可随时抛去结构质量的火箭
假设火箭在燃料消耗一部分，用以装载火箭这部分燃料的 火箭结构可以同时抛掉。 在t时刻，火箭系统的动量为： m(t )v(t ) …..（1）抛去的结构质量 在 t t ,火箭系统的动量为：
m(t t )v(t t ) [m(t ) m(t t )][v(t ) u]
2017/5/对于火箭的速度；
由动量守恒定律有：
m(t )v(t ) m(t t )v(t t ) [m(t ) m(t t )][v(t ) u]
所以
2017/5/2
d[m(t)v(t)] dm(t) (v(t) u) dt dt dv(t) dm(t) m(t) u dt dt