用matlab编程设计切比雪夫低通滤波器

目录1摘要 (3)2设计原理 (4)2.1 切比雪夫滤波器介绍 (4)2.2滤波器的分类 (5)2.3 模拟滤波器的设计指标 (6)3切比雪夫I型滤波器 (7)3.1 切比雪夫滤波器的设计原理 (7)3.2切比雪夫滤波器的设计步骤 (10)3.3 用matlab编程设计切比雪夫低通滤波器 (11)4 总结 (18)5 参考文献 (18)摘要随着信息和数字时代的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。

在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂成分，因此很多信号的处理都是基于滤波器而进行的。

所以，数字滤波器在数字信号处理中起着举足轻重的作用。

而数字滤波器的设计都要以模拟滤波器为基础的，这是因为模拟滤波器的理论和设计方方法都已发展的相当成熟，且有典型的模拟滤波器供我们选择。

，如巴特沃思滤波器、切比雪夫滤波器等。

本次课程设计将运用MATLAB设计一个基于切比雪夫低通滤波器，并出所设计滤波器的幅度及幅度衰减特性。

关键词：滤波切比雪夫模拟低通1切比雪夫滤波器介绍在巴特沃兹滤波器中，幅度响应在通带和阻带内都是单调的。

因此，若滤波器的技术要求是用最大通带和阻带的逼近误差来给出的话，那么，在靠近通带低频端和阻带截止频率以上的部分都会超出技术指标。

一种比较有效的途径是使逼近误差均匀地分布于通带或阻带内，或同时在通带和阻带内都均匀分布，这样往往可以降低所要求的滤波器阶次。

通过选择一种具有等波纹特性而不是单调特性的逼近方法可以实现这一点。

切比雪夫型滤波器就具有这种性质：其频率响应的幅度既可以在通带中是等波纹的，而在阻带中是单调的（称为I 型切比雪夫滤波器），也可以在通带中是单调的，而在阻带中是等波纹的（称为II 型切比雪夫滤波器），其中切比雪夫II 型滤波器又称为逆切比雪夫滤波器。

I 型切比雪夫滤波器的幅度平方函数是2|)(|Ωj H C =)/(1122c N C ΩΩ+ε (2.1) 其中ε是一个小于1的正数，它与通带波纹有关，ε越大，波纹也越大，式中为N 阶切比雪夫多项式，定义为)cos cos()(1x N x C N -= (2.2) 当N 大于或等于1时，从定义切比雪夫多项式可以直接得出由)(x C N 和)(1x C N -求)(1x C N +的递推公式。

将三角恒等式代入 (2.2)式，得)(1x C N +=2x -)(x C N )(1x C N - (2.3)从 (2.2)式我们注意到，当0<x<1时，)(2x C N 在0和1之间变化；当x>1时，x 1cos -是虚数，所以)(x C N 像双曲余弦一样单调地增加。

参考(2.1)，2|)(|Ωj H C 对于0≤p ΩΩ/≤1呈现出在1和1/（21ε+）之间的波动；而对于pΩΩ/〉1单调地减小。

需要用三个参量来确定该滤波器：ε，p Ω和N 。

在典型的设计中，用容许的通带波纹来确定ε，而用希望的通带截止频率来确定c Ω。

然后选择合适的阶次N ，以便阻带的技术要求得到满足。

定义允许的通带最大衰减p α用下式表示： 22max ()10lg ,min ()p p Ha j Ha j αΩ=Ω≤ΩΩ为了求切比雪夫滤波器在椭圆上极点的位置，我们首先要这样确定，在大圆和小圆上以等角度 等间隔排列的那些点：这些点对于虚轴呈对称分布，并且没有一个点落在虚轴上；但当N 为奇数时要有一个点落在实轴上，而当N 为偶数时，就都不会落在实轴上。

切比雪夫滤波器的极点落在椭圆上，起纵坐标由相应的大圆上点的纵坐标来表示，起横坐标由相应的小圆上点的横坐标来表示。

3切比雪夫I 型滤波器3.1切比雪夫低通滤波器的设计原理切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性。

它有两种形式：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调递减的切比雪夫I 型滤波器，振幅特性在阻带内是等波纹的，在通带内是单调递减的切比雪夫II 型滤波器，如图所示分别画出了滤波器的幅频特性和衰减函数。

以切比雪夫I 型为例介绍其设计原理 幅度平方函数用2()H j Ω表示（2-3-1）式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε越大，波动幅度也越大。

p Ω称为通带截止频率。

令pλΩ=Ω ，称为对p Ω的归一化频率。

定义允许的通带内最大衰减p α用下式表示 22max ()10lg ,min ()p p Ha j Ha j αΩ=Ω≤ΩΩ （2-3-2）式中2max ()1ha j Ω= （2-3-3）221min ()1ha j εΩ=+ （2-3-4） 因此210lg(1)p αε=+ （2-3-5）221()1()N pH j C εΩ=Ω+Ω0.12101pαε=- （2-3-6）这样，可以根据通带内最大衰减p α，可求出参数ε。

阶数N 影响过渡带的宽度，同时也影响通带内波动的疏密，因为N 等于通带内的最大值和最小值的总个数。

设阻带的起点频率为s Ω，则有2221()1()s s N pH j C εΩ=Ω+Ω （2-3-7）令ss pλΩ=Ω，由s λ>1，有()()N s s C ch Narch λλ==（2-3-8）可以解出s N =（2-3-9）1s p ch arch N ⎧⎫⎪⎪Ω=Ω⎨⎬⎪⎪⎩⎭（2-3-10）3dB 截止频率用c Ω表示，()212a c H j Ω= （2-3-11）按照（2-3-1）式，有11c p ch arch N ε⎛⎫Ω=Ω ⎪⎝⎭ （2-3-12）经过一系列推论得归一化系统函数为（2-3-13）()()1112a NN ii G p p p ε-==-∏去归一化的系统函数为 ()()()112pNp a s Np N i p i H s G p p p αε=-Ω=Ω==-Ω∏ （2-3-14）3.2切比雪夫低通滤波器的设计步骤（1）确定低通滤波器的技术指标：边带频率p Ω，通带最大衰减p α、阻带最大衰减s α、阻带截至频率s Ω，它们满足（2-3-15）（2-3-16）（2）求滤波器阶数N 和参数ε ss pλΩ=Ω （2-3-17）11K -= （2-3-18） 11s archk N arch λ-= （2-3-19）这样，先由（2--18）式求出11K -，代入（2-3-19），求出阶数N ，最后取大于或等于N 的最小整数。

（3）求归一化系统函数()a G p()2110lgp p Ha j α=≤Ω()2110lgs s Ha j α=≤Ω()()1112a NN i i G p p p ε-==-∏ （2-3-20）（4）将去归一化，得到实际的()a H s ()()pa sp H s G p =Ω= （2-3-21）3.3用MATLAB 设计切比雪夫低通滤波器（1）Matlab 的信号处理工具箱提供了频谱分析函数:fft 函数、filter 函数和freqz 函数。

fft 函数filter 函数功能：利用IIR 滤波器和FIR 滤波器对数据进行滤波。

调用格式：y=filter(b,a,x) [y,zf]=filter(b,a,x) y=filter(b,a,x,zi)说明：filter 采用数字滤波器对数据进行滤波，其实现采用移位直接Ⅱ型结构，因而适用于IIR 和FIR 滤波器。

滤波器的系统函数为nn mm z a z a z a z a z b z b z b z b b Z H --------+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++++=33221133221101)(即滤波器系数a=[a0 a1 a2 ...an],b=[b0 b1 ...bm],输入序列矢量为x 。

这里，标准形式为a0=1，如果输入矢量a 时，a0≠1，则MATLAB 将自动进行归一化系数的操作；如果a0=0，则给出出错信息。

y=filter(b,a,x)利用给定系数矢量a 和b 对x 中的数据进行滤波，结果放入y 矢量中，y 的长度取max(N,M)。

y=filter(b,a,x,zi)可在zi 中指定x 的初始状态。

[y,zf]=filter(b,a,x)除得到矢量y 外，还得到x 的最终状态矢量zf 。

freqz 函数功能：离散时间系统的频率响应。

格式：[h,w]=freqz(b,a,n)[h,f]=freqz(b,a,n,Fs)h=freqz(b,a,w)h=freqz(b,a,f,Fs)freqz(b,a,n)说明: freqz 用于计算数字滤波器H(Z)的频率响应函数H(ejω)。

[h,w]=freqz(b,a,n)可得到数字滤波器的n点复频响应值，这n个点均匀地分布在[0,π]上,并将这n个频点的频率记录在w中，相应的频响值记录在h中。

要求n为大于零的整数,最好为2的整数次幂,以便采用FFT计算，提高速度。

缺省时n =512。

[h,f]=freqz(b,a,n,Fs)用于对H(ejω)在[0,Fs/2]上等间隔采样n点，采样点频率及相应频响值分别记录在f 和h中。

由用户指定FS（以HZ为单位）值。

h=freqz(b,a,w)用于对H(ejω)在[0,2π]上进行采样，采样频率点由矢量w指定。

h=freqz(b,a,f,Fs) 用于对H(ejω)在[0,FS]上采样，采样频率点由矢量f指定。

freqz(b,a,n) 用于在当前图形窗口中绘制幅频和相频特性曲线。

fft函数函数功能：对信号进行傅里叶变换。

格式：fft(X)fft(X,N)fft(X,[],DIM)或fft(X,N,DIM)说明:fft(X)是对输入信号X的离散傅里叶变换。

fft(X,N)是N点的傅里叶变换，如果X少于N点则补0凑齐位数，长于N点则截断。

如果x是个矩阵，列的长度将会以同样的方式调整，fft会对每列进行傅里叶变换，并返回一个相同维数的矩阵。

fft(X,[],DIM)或fft(X,N,DIM)是离散傅里叶变换在DIM尺度上的应用。

DIM 可适应于任意维度的fft运算。

（2）确定低通滤波器的技术指标：N-椭圆滤波器最小阶数；Wn为椭圆滤波器的带宽；Wp-椭圆滤波器通带截止角频率；Ws-椭圆滤波器阻带起始角频率；Rp-通带波纹（dB）；Rs-阻带最小衰减(dB)；设计要求是低通滤波器，需要屏蔽的是15Hz和30Hz的波形，所以可令fp=5Hz，设fs=8Hz，Rp<0.1dB,Rs>40dB。

（3）连续信号的产生及采样:clearf1=5;f2=15;f3=30;N=100;fs=100;n=(0:N-1); %采样点数为Nx1=sin(2*pi*f1*n/fs);x2=sin(2*pi*f2*n/fs);x3=sin(2*pi*f3*n/fs); %模拟信号转化为数字信号x=x1+x2+x3; %信号叠加plot(n,x); %作出时间-幅值图像xlabel('时间(s)');ylabel('幅值');grid;连续信号仿真图(4)低通滤波器的设计Wp=8;Ws=12;Rp=2;Rs=40;%设置指标参数[N,wp1]=cheb1ord(Wp/(fs/2),Ws/(fs/2),Rp,Rs);%利用cheb1ord函数求滤波器最小阶数[b,a]=cheby1(N,Rp,wp1); %计算切比雪夫I型模拟低通滤波器系统函数系数[H,f]=freqz(b,a,512,100); %求幅值H，频率fplot(f,abs(H));切比雪夫I型模拟低通滤波器仿真图(5)对滤波后的信号进行分析和变换sf=filter(b,a,x);%对原信号进行滤波plot(n,sf);xlabel('时间 (s)');ylabel('幅值');axis([0 1 -1 1]);X=fft(x,512); %滤波前信号的傅里叶变换SF=fft(sf,512); %滤波后信号的傅里叶变换f=(0:255)/256*(fs/2);plot(f,abs([X(1:256)' SF(1:256)'])); %滤波前后信号图像对比xlabel('频率(Hz)');ylabel('傅立叶变换图');grid;legend({'before','after'})信号通过椭圆低通滤波器的仿真图注：图中蓝色曲线代表滤波前的幅频曲线，绿线代表滤波后的幅频曲线。