第四章 4.1因式分解
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.1《因式分解》课件
1 知识小结
1.因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形 叫做因式分解，也可称为分解因式．
2. 因式分解与整式乘法是一个互逆过程，
即：几个整式相乘 噲垐因整垐式式垐分乘解法垎垐 一个多项式
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
导引：把各选项进行整式乘法的运算，将所得的积与 x2－3xy2对照，能够与x2－3xy2相等的选项必是 正确答案．
总结
知2－讲
四个选项都是乘积的形式，可以利用因式分解 和整式乘法的互逆关系检验所得结果的正确性．
知2－讲
例3 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
因此是因式分解，D正确．
知1－练
1 下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为 什么？ (1) (a＋3)(a－3)＝a2－9 ； (2) m2－4＝(m＋2)(m－2)； (3) a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1； (4) 2mR＋2mr＝2m(R＋r).
解：(2)(4)是因式分解．理由：只有(2)(4)是把一个多项 式化成几个整式的积
知1－导
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)， am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都 是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
（来自《教材》）
知1－讲
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( D ) A．a2＋1＝a(a＋ 1 ) a B．(x＋1)(x－1)＝x2－1 C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1 D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
A．9a2＋y2
八年级数学下册 第4章 因式分解 4.1 因式分解课件下册数学课件
探究引入
问题：993-99能被100整除(zhěngchú)这个吗 ？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
所以，993-99能被100整除.
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想一想: 993-99还 能被哪些整数整
因
式
分
其中，每个整式叫做这个多项式的___因__式__.
解
(yīn shì
相反 的变形过程.
fēn jiě)
与多项式乘法
运算的关系
前者是把一个多项式化为几个
整式的____乘_，积后者是把几个整式
的______化为乘一积个_________.
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多项式
第二十页，共二十一页。
内容(nèiróng)总结
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互 逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果(jiē guǒ)乘开， 再与12/1多2/202项1 式的各项系数对应比较即可.
第十三页，共二十一页。
练一练
下列多项式中，分解因式(yīnshì)的结果为-(x+y)(x-y)的是
（ ）B
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
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第十四页，共二十一页。
当堂(dānɡ tánɡ)练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
（C ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a
B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
数学北师大版八年级下册4.1因式分解
第四章因式分解1．因式分解总体说明因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．二、教学任务分析基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。
因此，本课时的教学目标是：知识与技能：（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法．数学能力：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想．（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．情感与态度：让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．第一环节 看谁算得快活动内容：用简便方法计算：（1）2976971397⨯+⨯-⨯= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=（3）992–1= ．活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式．第二环节 看谁想得快活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．注意事项：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．第三环节看谁算得准活动内容：计算下列式子：（1）3x(x-1)= ；（2）m(a+b+c)= ；（3）（m+4）(m-4)= ；（4）（y-3）2= ；（5）a(a+1)(a-1)= ．根据上面的算式填空：（1）ma+mb+mc= ；（2）3x2-3x= ；（3）m2-16= ；（4）a3-a= ；（5）y2-6y+9= ．活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．注意事项：由于整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，因此，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．第四环节学生讨论活动内容：比较以下两种运算的联系与区别：（1）a(a+1)(a-1)= a3-a（2）a3-a= a(a+1)(a-1)在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；（2）分解因式的结果要以积的形式表示；（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．第五环节反馈练习活动内容：1、看谁连得准x2-y2. (x+1)29-25 x 2y(x -y)x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)xy-y2(x+y)(x-y)2、下列哪些变形是因式分解，为什么？（1）（a+3）(a -3)= a 2-9（2）a 2-4=( a +2)( a -2)（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1（4）2πR+2πr=2π（R+r）活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对因式分解意义的理解是否到位，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：从学生的反馈情况来看，学生对因式分解意义的理解基本到位．第六环节学生反思活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？明白了哪些道理？活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对因式分解意义的理解，进一步清楚地了解分解因式与整式的乘法的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解，对矛盾对立统一的观点有一个初步认识．注意事项：从学生的反思来看，学生掌握了新的知识，提高了逆向思维的能力，对于类比的数学思想有了一定的理解，对于矛盾对立统一的哲学观点也有了一个初步认识．巩固练习：课本第94页习题4.1第1，2，3题思考题：课本第94页习题4.1第5题（给学有余力的同学做）。
八年级数学下册 第四章 因式分解 4.1 因式分解课件
A．xy²－x²y＝x（y²－xy）；
B．9xyz－6 x²y²＝3xyz（3－2xy）
C．3 a²x－6bx＋3x＝3x（a²－2b）； D． x y²＋ x²y＝ xy（x＋y）
2021/12/11
第十三页，共十七页。
随堂检测
3．（－2）²ºº¹＋（－2）²ºº²等于（ ） C
A．－2²ºº¹ B．－2²ºº²
解：99³-99
=99 ²×99 －99
=99 ×980 =98 ×99 ×100
所以， 99³-99能被100整除.
2021/12/11
第四页，共十七页。
合作探究
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么想的？还能被哪些正整数整除？
解：99³-99 =98 ×99 ×100
=2×7×7×3×3×11×2×2×5×5
本节课学习了因式分解的意义， 即把一个(yī ɡè)多项式化成几个整式的积的形式；还知道 了整式乘法与分解因式的关系是互为逆（相反方向）的变形.
2021/12/11
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再见 (zàijiàn)
2021/12/11
第十六页，共十七页。
内容(nèiróng)总结
No 八年级下册。经历从分解因数到分解因式的类比过程.。问题1：99³-99能被100整除吗。所以(suǒyǐ)， 99³-
C．2x²－6x
D．－2x²－6x
3．若多项式x²＋mx＋n因式分解为(x－3)(x＋1)，则m，n的值分别为( )
A．2，3 B．－2，3 C．2，－3 D．－2，－3
D
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第三页，共十七页。
合作探究
探究点一
问题1：99³-99能被100整除吗？你是怎么(zěn me)想的？还能被哪些正整数整除？
七年级数学下册 第4章 因式分解 4.1 因式分解课件
因式分解 4.1
(yīn shì fēn jiě)
类型二 因式分解的简单应用
例2 教材(jiàocái)补充例题已知x2＋mx－6可以分解为(x－2)(x＋3)，求m的
值．
[解析]把(x－2)(x＋ 3)变为多项式的形式，利用相等关系求解．
第七页，共十四页。
4.1 因式分解(yīn shì fēn jiě)
【归纳总结】正确认识因式分解
(1)因式分解的对象必须是一个(yī ɡè)多项式． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．
一般有两种形式：①单项式×多项式；②多项式×多项式． (3)因式分解是一个恒等变形．
第八页，共十四页。
No 系。[解析] 在因为因式分解与整式乘法是互逆变形，所以可以用整式的乘法来检验因式分解是否正确．。所以因式分解9y2－6y
＋9＝3(y－1)2不正确．。②多项式×多项式．
Image
12/10/2021
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求．故选D.
第四页，共十四页。
4.1 因式分解(yīn shì fēn jiě)
知识点二 因式分解与整式乘法的关系
a(b＋c＋d) ab＋ac＋ad. 因式分解与整式乘法的关系——互逆变形． 2．检验下列因式分解是否正确． (1)－a2b2＋4＝(ab＋2)(ab－2)； (2)9y2－6y＋9＝3(y－1)2.
第六页，共十四页。
因式分解 4.1
(yīn shì fēn jiě)
筑方法(fāngfǎ)
类型一 因式分解的概念
例 1 教材补充例题下列各式从左到右的变形中，属于因式分 解的是( D )
A．x2＋1＝xx＋1x B．14x2y3＝2x2·7y3 C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．4x2－12xy＋9y2＝(2x－3y)2
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解》公开课 课件(共14张PPT)
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解定义
• 把一个多项式化成几个整式的积 ____________的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
•多项式的分解因式与整式乘法是方 向相反的恒等式.
分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.
计算下列个式: 根据左面的算式填空: 2 3x -3x (1) 3x(x-1)= _____ 2-3x=_______ (1) 3x 3x(x-1) 2 m -16 (2) (m+4)(m-4)= ____ 2-16=__________ 2 (2) m 2 (m+4)(m-4) y -6y+9 (3) (y-3) = _______ （4） m(a+b+c) =_________ ma+mb+mc (3) y2-6y+9=______ (y-3)2 (4)ma+mb+mc = m(a+b+c)
做一做
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运 算变形过程.
下列变形是因式分解吗？为什么？ 2 2 （1）a+b=b+a （2）4x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
2 2 2 2
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b) 答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意：
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形. • 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的形式，特征是向着积化和差的形式发展； • 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展. • 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
4.1 因式分解
●
数学
一、选择题(每小题4分，共12分) 9．下列各组多项式中，无公因式的是( D ) A．mx＋my和x＋y B．3a(x＋y)和5y＋5x C．3a－3b和6(b－a) D．－2a－2b和a2－ab 10．下列各式中，因式分解错误的是( C ) A．3x2y－9xy2＝3xy(x－3y) B．－6m3＋9mb2－15mc2＝－3m(2m2－3b2＋5c2) C．2a2y＋12a2y2－2ay＝2ay(a＋6ay) D．14pqx－8pq2x＋6px＝2px(7q－4q2＋3) 11．若a为实数，则整式a2(a2－2)－2a2＋4的值( A ) A．不是负数 B．恒为正数 C．恒为负数 D．无法判断
解：如：a2＋2ab＝a(a＋2b)；a(a＋b)＋ab＝a(a＋2b)； a(a＋2b)－a(a＋b)＝ab等
北师
●
数学
北师
●
数学
4.3 公式法(第1课时) 得分________ 卷后分________ 评价________
1．一个多项式如果能化成两个整式 平方差 ____ 的形式， 就可用平方差公式因式分解． 2．因式分解时，若有公因式，应先 提公因式 ____ ， 再用 平方差公式因式分解，且分解要彻底．
北师
●
数学
直接利用平方差公式因式分解
1．(3分)下列各式中，不能用平方差公式因式分解的 是( B ) A．－x2＋y2 B．－1－n2 C．a2－16b2 D．9m2－4 2．(3分)下列各式中，因式分解正确的是( D ) A．1＋25a2＝(1＋5a)(1－5a) B．m2－16m＝m(m＋4)(m－4) C．x2－9b2＝(x＋9b)(x－9b) D．16－x2＝(4＋x)(4－x) 3．(3分)因式分解： (1)a2－9＝ (a＋3)(a－3) ；(2)x2－9y2＝ (x＋3y)(x－3y) ． 4．(3分)(2014· 梅州)已知a＋b＝4，a－b＝3， 则a2－b2＝____ 12 ． (9x－y)(9y－x) 2 2 5．(3分)因式分解：16(x＋y) －25(x－y)
第四章 因式分解
第四章因式分解4.1 因式分解教学目标：知识与技能：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
过程与方法：认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
情感与态度：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学过程：第一环节复习回顾：下题简便运算怎样进行问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67第二环节比较探究：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99能被99整除(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100所以993-99能被100整除想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
浙教版七年级数学下册第四章《4-1 因式分解》优课件
(a-b)2 =a2-2ab+b2a2ຫໍສະໝຸດ 2ab+b2 =(a-b)2
x(x+13) =x2+13x
整式乘法
x2+13x =x(x+13)
?
一般地，把一个多项式转化成几个
整式的积的形式，叫做因式分解，有时
我们也把这一过程叫做分解因式。
要点 1．变形对象：多项式 ：
Zxxk z.x.x.k 组卷网 学科网
4.1 因式分解
(1)若a=101,b=99,则a2-b2=__4_0_0__； (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=_1_00_0_0； (3)若x=-13,则x2+13x=___0______。
整式的积 多项式 多项式 整式的积
(a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
不是 不是 不是
（7） x 4 (x 2 )(x 2 ) 不是
（1）∵3a(a+4) =3a2+12a ∴ 3a2+12a = ( 3a)( a＋4);
（2）∵ (a+3)2=a2+6a+9
∴a2+6a+9 = ( a（＋a3)＋( 3a）＋23);
（3）∵(2－a)(2+a) = 4－a2 ∴4－a2 = ( 2－a )( 2＋a);
b
a ab
9 9 3 9 9 能 被 9 8 整 除 吗 ？
作业
(2) 作业本
•1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 •2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 •3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着 科学的真正进步。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 •4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
4.1 因式分解(4)
练一练
下列多项式中，分解因式的结果为-(x+y)(x-y)的
是（ B ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2+y2
C．x2+y2
D．﹣x2﹣y2
当堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是
（C ）
A. a(a+b-1)=a2+ab-a
B. a2-a-2=a(a-1)-2
C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法, 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆 过程.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即
因式分解 x2-1
整式乘法
(x+1)(x-1)
x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
第四章
八年级数学下（BS） 教学课件
因式分解
4.1 因式分解
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为 因式分解.（重点） 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别. （难点）
导入新课
复习引入
问题1：21能被哪些数整除？ 1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？ 因为21=1×21=3×7.
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20. ∴mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b， 分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1） (x+9)，求a+b的值.
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解》公开课课件3
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021 10:21:49 AM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/292021/7/292021/7/29Jul-2129-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/292021/7/292021/7/29Thursday, July 29, 2021
（3） 4 x 2 4 x 1 (2 x 1 )2 不是
几
（4） x 2 3 x 1 x (x 3 ) 1 不是
（5） x2 1x(x1)
不是
个 整 式
x （6） 1 8 a 3 b c 3 a 2 b 6 a c
不是
的 积
（7） x 4 (x 2 )(x 2 ) 不是
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/292021/7/29Thur sday, July 29, 2021
你知道每一步的根据吗？
想一想： 993-99还能被哪些整数整除？
bb a
a
a2-b2=（a+b）（a-b）
例3、你能用几种不同的方法计算 20112 －20102，哪种方法最简单？
20112－20102 =（2011+2010）（2011－2010） =4021×1
=4021
看谁算得快
(1) 若 a=1001 ， b=999 ， 则 a2-b2=___________ ； (2)若a=99，b=-1，则a2-2ab+b2=_______； (3)若x=-3，则20x2+60x=____________ ．
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(2) (m+4)(m-4)= _m_2-_16 (2) m2-16=__(_m__+_4_)_(m__-4)
(3) (y-3)2= __y_2-_6y_+_9_ (3) y2-6y+9=___(_y_-3_)2 (4) a(a+1)(a-1)= _a_3_-a (4) a3-a=__a__(a_+__1_)_(a_-_1)
第四章 因式分解
1 因式分解
1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式: a(m+n)=_a_m_+_a_n__
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=__a_m_+_a_n_+_b_m_+_b_n_
2(1.乘)平法方公差式公有式哪: (些a+?b)(a-b)=_a__2___b_2
ma+mb+mc m(a+b+c)
x2 x x 1
x 1x 1
因式分解定义
• 把一个多项式化成几__个__整__式__的__积__ 的 形式,这种变形叫做 因式分解
基础闯关一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
基础闯关二 巩固概念
下列各式从 左到右的变形，是否为分解因式？
为什么?
（1）a(a 2b) a2 2ab
否
(2)bx bx2 bx(1 x)
是
(3)a2 4 (a 2)(a 2)
是
(4)x2 223 a2 3bc
⑸ m(a+b+c) =_m_a_+_m_b_+_m__c
(5)ma+mb+mc
=___m_(_a_+__b_+_c_)
分解因式与整式乘法是互为逆运算关系.
下列变形是因式分解吗？为什么？
2
2
（1）a+b=b2 +a
2（2）2 4x 2 y–8xy +1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2. 20082+2008能被2009整除吗? 解: ∵20082+2008=2008(2008+1)
=2008 ×2009 ∴ 20082+2009能被2009整除
(2)完全平方公式: (a±b)2=_a__2___2_a_b_+_b_ 2
做一做
计算下列个式:
(1) 3x(x-1)= _3_x_2-_3_x (2) (m+4)(m-4)= _m_2_-16 (3) (y-3)2= __y_2-_6y_+_9_ (4) a(a+1)(a-1)= _a_3_-a
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
注意： （1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
能力提升 拓展应用
１当 a 3.14,b 2.386,c 1.386时， 求ab ac的值 .
否
（6）x 1 x(1 1 )
否
x
因式分解定义
• 把一个多项式化成_几__个__整__式__的__积_ 的 形式,这种变形叫做 分解因式
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
做一做
计算下列个式:
根据左面的算式填空:
(1) 3x(x-1)= _3_x_2_-3_x (1) 3x2-3x=____3_x_(_x-1)
⑸ m(a+b+c) =_m__a_+_m_b_+_m_ c
探究 993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗? 想一想: 993-99还能被哪些整数整除?
３．（随堂练习p93１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两 种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式 的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整 式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发 展.
• 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作业：
1. 书94页习题4.1 2. 数学练习册
答： 98， 99
议一议
将99换成其他任意一个大于1 的整数,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个大于1的整数，则： a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式积的形式