离散数学第二章
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离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
32
§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
离散数学第二章
23
注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的
如相等关系
24
定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 a j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
13
逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
18
关系的重要性质
定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
注意：
有些关系既不是对称的也不是反对称的；
0 1 0 1 0 1 0 0 0
可以是既是对称的，也是反对称的
如相等关系
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定义2.10：在集合X上的关系R，如果有：
x, y R且 y, z R ，则必有 x, z R ，
即非对角线上的1， 对称位置必须是0； 而非对角线上的0 不做要求
判断方法：
1. 如果如果存在a到b的有向边，就不存在b到a的有向边。 （逆命题不成立，即可以两条有向边都不存在）； 2. 关系矩阵中，如果 a j ,i 1则ai , j 0，这里i j
(注意：a j ,i 0不一定ai , j 1)
n个
容易证明： n m nm m n i: R R R , R R mn ，m,n均为正整数 0 ii: R 是相等关系，即： R0 ={(x,x)|x∈A} 1 iii: R R
13
逆关系
由于关系中的元素是有序偶，则如果将该有序偶的顺
序颠倒，会得到一个新的关系，称之为逆关系。
~ ~ ~
~
补集的逆关系
~ ~ ~
(5) R S R S , R S R S
注意，这个跟德· 摩根律不一样
(6) R S R S
~
~
~
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关系的重要性质
定义2.6：在集合X上的关系R，如果对任意 x X ， 有 x, x R ，则称R是自反的。
如：整数集合上的相等关系、" " 关系等；
如果 miq mqj 1 即mij 0 ，则 miq mqj 1 即 ai , aq R且 aq , a j R 由传递性的定义可知，如果R为传递的， 必有 ai , a j R ，即应有 mij 1 2 即：当R是A上的传递关系时，如果 M R 中的元素 bij 0 ， 则必须有 mij 1 ，反之亦然
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
离散数学第二章
怎么符号化？ 怎么符号化？
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
16
常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
10
指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
5
3 量词的有关概念
1. 全称量词： “所有的”，“任何一个”，“每 全称量词： 所有的” 任何一个” 一个” 凡是” 一切” 一个”，“凡是”，“一切”表示个体域中每一 表示，称为全称量词。 用符号“ 个，用符号“∀”表示，称为全称量词。
如，所有的人都要呼吸。 所有的人都要呼吸。
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常用一阶逻辑中的基本等值式
1. 有限个体域 有限个体域D={a1, a2, … ,an }中消去量词 中消去量词 等值式: 等值式
1) ∀xA( x) ⇔ A(a1 ) ∧ A(a2 ) ∧⋯∧ A(an );
2) ∃xA( x ) ⇔ A(a1 ) ∨ A(a2 ) ∨ ⋯ ∨ A(an ).
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指导变项（ 指导变项（元）等概念
在合式公式∀ 和 在合式公式∀xA和∃xA中，称x是指导变元，称A为相应量词 中 是指导变元， 为相应量词 作用域或辖域。 的作用域或辖域。 在辖域中x的出现称为 在公式 中的约束出现 在辖域中 的出现称为x在公式 中的约束出现； 的出现称为 在公式A中的约束出现； 公式A中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现. 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 公式 中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由出现 例1 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、个体变项的 指出下列公式中的指导变项、量词的辖域、 自由出现和约束出现. 自由出现和约束出现 1) 2) ∀xF(x,y)→∃x(G(x) ∧¬ ∀zP(x,z)) → ∀x ∃ y(A(x,y)→∃z(B(x) ∧P(x,z))) →
永假式 如果 在任何解释下均为假 称A为矛盾 如果A在任何解释下均为假 解释下均为假,称 为 或称永假式 式(或称永假式 ； 或称永假式)； 如果存在一个解释使A为真 则称A为 为真,则称 可满足式 如果存在一个解释使 为真 则称 为 可满足式； 可满足式；
离散数学-第二章-谓词逻辑-变元的约束
例 I(x):表示x是整数,N(x):表示x是自然数， 假设个体域E是自然数集合，公式I(x)与N(x)在E上是 等价的。 而公式N(x)→I(x) 与N(x)∨I(x)就是与个体域无 关的等价的公式，即 N(x)→I(x)N(x)∨I(x)。
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四、谓词公式的蕴含式定义
约束 变元
自由
（1）(x)(y)(P(x, y)∨Q(y, z))∧(x)R(x,y)
变元
指导 变元
(x)的 (y)的 指导 (x)的 辖域 辖域 变元 辖域
P(x, y)、Q(y, z)中的x, y为约束变元，z为自由变元， R(x,y)中的x为约束变元，但y为自由变元。
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例(x)(A(x)∨B(x,y))∨C(x)∨ D(x,w) 换名： (y)(A(y)∨B(y,y))∨C(x)∨ D(x,w) 错
(w)(A(w)∨B(w，y))∨C(x)∨ D(x,w) 对 (z)(A(z)∨B(z,y))∨C(x)∨ D(x,w) 对
代入： (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(y)∨ D(y,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(w)∨ D(w,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(x,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(u,w) 对
(x)G(x) =
1, 0,
x D,G(x) = 1 x0 D,G(x0 ) = 0
(x)G(x) =
1, 0,
x0 D,G(x0 ) = 1 x D,G(x) = 0
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例
对以下公式赋值后求真值。
(x)(P(x)→Q(f(x),a)) (x)(P(x)∧Q(x,a))
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四、谓词公式的蕴含式定义
约束 变元
自由
（1）(x)(y)(P(x, y)∨Q(y, z))∧(x)R(x,y)
变元
指导 变元
(x)的 (y)的 指导 (x)的 辖域 辖域 变元 辖域
P(x, y)、Q(y, z)中的x, y为约束变元，z为自由变元， R(x,y)中的x为约束变元，但y为自由变元。
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例(x)(A(x)∨B(x,y))∨C(x)∨ D(x,w) 换名： (y)(A(y)∨B(y,y))∨C(x)∨ D(x,w) 错
(w)(A(w)∨B(w，y))∨C(x)∨ D(x,w) 对 (z)(A(z)∨B(z,y))∨C(x)∨ D(x,w) 对
代入： (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(y)∨ D(y,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(w)∨ D(w,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(x,w) 错 (x)(A(x)∨B(x，y))∨C(u)∨ D(u,w) 对
(x)G(x) =
1, 0,
x D,G(x) = 1 x0 D,G(x0 ) = 0
(x)G(x) =
1, 0,
x0 D,G(x0 ) = 1 x D,G(x) = 0
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例
对以下公式赋值后求真值。
(x)(P(x)→Q(f(x),a)) (x)(P(x)∧Q(x,a))
离散数学第二章 命题逻辑等值演算
范式存在定理
定理2.3 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 定理 取范式. 取范式. 求公式 的范式的步骤 的范式的步骤： 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去 中的→, ↔ 消去A中的 中的→ A→B⇔¬ ∨B ⇔¬A∨ → ⇔¬ A↔B⇔(¬A∨B)∧(A∨¬ ∨¬B) ↔ ⇔ ¬ ∨ ∧ ∨¬ (2) 否定联结词¬的内移或消去 否定联结词¬ ¬ ¬A⇔ A ⇔ ⇔¬A∧¬ ¬(A∨B)⇔¬ ∧¬ ∨ ⇔¬ ∧¬B ⇔¬A∨¬ ¬(A∧B)⇔¬ ∨¬ ∧ ⇔¬ ∨¬B
真值表法
例1 判断 ¬(p∨q) 与 ¬p∧¬q 是否等值 ∨ ∧ 解 p q 0 0 0 1 1 0 1 1 ¬p ¬q 1 1 0 0 1 0 1 0 p∨q ¬(p∨q) ¬p∧¬q ¬(p∨q)↔(¬p∧¬q) ∨ ∨ ∧ ∨ ↔¬ ∧ 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1
实例(续)
(2) (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) 解 (p→q)↔(¬q→¬ → ↔ ¬ →¬ →¬p) ∨¬p) ⇔ (¬p∨q)↔(q∨¬ ¬ ∨ ↔ ∨¬ ⇔ (¬p∨q)↔(¬p∨q) ¬ ∨ ↔¬ ∨ ⇔1 该式为重言式. 该式为重言式 （蕴涵等值式） 蕴涵等值式） （交换律） 交换律）
实例(续)
(3) ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧¬q))∧ ∧ ∨ ∧¬ 解 ((p∧q)∨(p∧¬ ∧r) ∧ ∨ ∧¬ ∧¬q))∧ （分配律） 分配律） （排中律） 排中律） （同一律） 同一律） ∨¬q))∧ ⇔ (p∧(q∨¬ ∧r ∧ ∨¬ ⇔ p∧1∧r ∧ ∧ ⇔ p∧r ∧ 成假赋值. 成假赋值 总结:A为矛盾式当且仅当 ⇔ 为重言式当且仅当A⇔ 总结 为矛盾式当且仅当A⇔0; A为重言式当且仅当 ⇔1 为矛盾式当且仅当 为重言式当且仅当 说明:演算步骤不惟一, 说明 演算步骤不惟一,应尽量使演算短些 演算步骤不惟一
离散数学第2章 谓词逻辑
例4：某些人对某些食物过敏。 设F(x,y)：x对y过敏。 M(x)：x是人。 G(y)：y是食物。 (x) (y) (M(x) ∧ G(y) ∧ F(x,y))
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
33
§3 谓词公式与翻译
例5：凡是实数不是大于0，就是等于0或者小于0。 设R(x)：x是实数。 P(x,0)：x大于0。 Q(x,0)：x等于0。 S(x,0)：x小于0。 (x) (R(x) → ( P(x,0) Q(x,0) S(x,0) ) )
例：所有的人都是会死的。
设M(x)：x是人。S(x)：x是会死的。
个体域约定为{人类}：(x) (S(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) → S(x) )
例：有一些人是不怕死的。
设M(x)：x是人。F(x)：x是不怕死的。
个体域约定为{人类}：(x) (F(x))
全总个体域：
(x) ( M(x) ∧ F(x) )
定义：在反映判断的句子中，用以刻划客体的性质或 关系的即是谓词。
5
§1 谓词的概念与表示法
客体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体 的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。
表示特定的个体，称为客体常元，以a，b，c… 或带下标的ai，bi，ci…表示；
表示不确定的个体，称为客体变元，以x，y， z…或xi，yi，zi…表示。
4. 谓词中通常只写客体变元，因此不是命题，仅当 所有客体变元做出具体指定时，谓词才成为命题， 才有真值。
12
第二章 谓词逻辑
§1 谓词的概念与表示法 §2 命题函数与量词 §3 谓词公式与翻译 §4 变元的约束 §5 谓词演算的等价式与蕴含式 §6 前束范式 §7 谓词演算的推理理论
13
§2 命题函数与量词
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学第二章
{1}
{2} {0,1}{0,2} {1,2}{0,1,2}
M
1 0 {0} {1} 1 {0,1} 0
~
1 0 0 0
~
1 1 1 1
1 1 0 0 ~
1 0 1 0
若将Mρ的行列交换,可得到M 显然Mρ′ =M
,即
的关系矩阵.
1 1 1 1
练习: 设A={1,2,3},写出2A×A及A上的恒等关系 : IA={(a,b)|a,b∈A, a=b}及A上的普遍关系 :
若ρ是由A到B的一个关系，且(a,b)∈ρ.则 我们说a 对b 有关系ρ, 记作aρb. 若(a,b)∈ρ记作aρb; 若(a,b) ∈ρ则 我们记作aρ′b. 前例中有oρ11 , oρ13 ,1ρ12 但
o1' 2 o1' 1 o1' 3 证明中常用(a,b)∈ρ充要条件是aρb,
而(a,b)∈ρ充要条件
个关系.
若ρ=A2, 则ρ称为A上的普遍关系,记为UA. UA={ (ai,aj)| ai, aj ∈A }, UA的关系矩阵元素全为1. A上的恒等关系记为IA,,用集合表示为 IA={ (ai,ai)| ai∈A }
例4中IA={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
五.关系图
一个有限集合A上的关系ρ除用(＃A)×(＃A)矩阵表示 外,还可以用关系图的图形来表示: 该图有与A中元素相同
画出ρ={(1,5),(1,4),(2,1),(3,1),(3,4),(4,4)}的关系图.
§ 2.3 关系的复合
一.概念
由于关系是一个集合,因此集合的各种运算也是适 合的. 例: 设A={2,4,6,9}, 的关系 . B={3,4,6} ρ1,ρ2分别是A到B
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
离散数学第二章
种
相当于 “任意”,“凡是”,“所有”...
存在量词(Existential Quantifier):
表示个体域中部分个体的词， 记作
相当于 “存在”,“至少有一个”,“有些”...
若个体域中所有个体x,均使A(x)为真,记作(x)A(x) 若个体域中存在某些个体x,使A(x)为真,记作(x)A(x)
4.特性谓词: 若在全总个体域讨论问题,还需在命题表达中
增加特性谓词,以说明命题中个体的取值范围.
5.命题符号化
“每个计算机系的学生都学离散数学“
“存在着偶素数”
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谓词逻辑 >谓词公式
课堂练习
在谓词逻辑中符号化： 1. 北京是中国的首都 2. 甲是乙的父亲 3. 3介于2与4之间 4. 3大于2仅当3大于4。 5. 张三和李四是同班同学 6. 天下乌鸦一般黑 7. 火车都比汽车跑得快 8. 有的火车比所有汽车快。
例题 用谓词逻辑处理苏格拉底三段论：
人总是要死的, (x) (M(x) P(x)),
苏格拉底是人, M(a),
所以,苏格拉底是要死的。 P(a).
令 P(x): x是要死的,
M(x): x是人, a: 苏格拉底
推理形式为: (x) (M(x) P(x)), M(a) P(a).
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谓词逻辑
２-1 谓词的概念与表示 ２-2 量词 ２-3 谓词公式
２-4 谓词公式的解释 ２-5 等价式与蕴含式 2－6 前束范式 ２-7 谓词演算的推理理论
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《离散数学第2章》课件
关系的运算
总结词
关系的运算包括并、交、差、对称差两个关系的元素合并，并 保留重复的关联；交运算是保留两个关系中 共有的关联；差运算是从一个关系中去除另 一个关系中的关联；对称差运算是将两个关 系中的不同元素合并；复合运算是根据一个 关系来定义另一个关系中的关联。
01
分布函数是单调非减的，且在无 穷大处的极限为1，在负无穷处 的极限为0。
03
离散随机变量的分 布函数
对于离散随机变量，其分布函数 可以表示为一系列离散的阶梯函 数。
随机变量的数字特征
数学期望
数学期望是随机变量所有可能取值的 概率加权和，表示随机变量取值的平 均值。
协方差和相关系数
协方差是两个随机变量的数学期望的 差的期望值，相关系数是协方差与两 个随机变量标准差的乘积的比值。
随机变量的取值范围
随机变量的取值范围称为随机变量的值域，可以是有 限集、可数无穷集或不可数集。
随机变量的分类
根据取值范围的不同，离散随机变量可以分为离散型 和连续型。
随机变量的分布函数
01
分布函数的定义
对于离散随机变量，其分布函数 是所有可能取值的概率之和，表 示随机变量取某个值的概率。
02
分布函数的性质
必然事件
概率值为1的事件，表示一定会 发生。
不可能事件
概率值为0的事件，表示一定不 会发生。
互斥事件
两个或多个事件不能同时发生 。
条件概率
条件概率的公式
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
条件概率的应用
在决策树、贝叶斯定理等领域有广泛应用。
独立性
01
事件的独立性是指一个事件的 发生不受另一个事件是否发生 的影响。
大学高等数学 离散数学 第二章“随机变量及其分布”
0 x1 0 3 dt 11 dt 0 3 11 x 2 dt dt 3 9 03 1
3
2 使 P( X k ) F (k ) k 4.5 3
几个重要的连续量 均匀分布 定义：X具有概率密度
1 x ( a, b) f ( x) b a 0 其他
1 P( S ) P( X xi ) pi
i 1 i 1
# 概率分布
1、写出可能取值－－即写出样本点 2、写出相应的概率－－即写出每一个样本点出现的概率
例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。
f ( x)的性质： 1) f ( x) 0
2)
面积为1
y f ( x)
+
f ( x)dx 1
P x1 X x2
3) 对于任意的实数x1，x2 ( x2 x1 ) P x1 X x2
x2
x1
f (t ) dt P( X a) 0
1 2
求T的概率分布函数； 已知设备无故障运行10个小时，求再无故障运行 8个小时的概率。
k
解：1 P N t k e t t / k !, k 0,1, 2,
FT t P T t 1 P T t
当t 0 时，FT t 1 P N t 0 1 e t
称X服从参数为λ 的泊松分布，记 X ~ ( )
例：设某汽车停靠站候车人数 X ~ ( )， 4.5 (1)求至少有两人候车的概率； (2)已知至少有两人候车，求恰有两人候车的概率。 解： e 4.5 4.5k P( X k ) ， 0,1, 2, k k!
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
离散数学 第二章 谓词演算及其形式系统
第二章谓词演算及其形式系统2.1 个体、谓词和量词内容提要谓词演算中把一切讨论对象都称为个体，它们可以是客观世界中的具体客体，也可以是抽象的客体，诸如数字、符号等。
确定的个体常用a，b，c等到小写字母或字母串表示。
a，b，c等称为常元（constants）。
不确定的个体常用字母x，y，z，u，v，w等来表示。
它们被称为变元（variables）。
谓词演算中把讨论对象——个体的全体称为个体域（domain of individuals）），常用字母D表示，并约定任何D都至少含有一个成员。
当讨论对象遍及一切客体时，个体域特称为全总域（universe），用字母U表示。
例如，当初中学生说“所有数的平方非负”时，实数集是个体域；而达尔文在写《物种起源》时，则以全体生物为个体域；也许哲学家更偏爱全总域。
讨论常常会涉及多种类型个体,这时使用全总域也是比较方便的。
当给定个体域时，常元表示该域中的一个确定的成员，而变元则可以取该域中的任何一个成员为其值。
表示D上个体间运算的运算符与常元、变元组成所谓个体项（terms）。
例如，x+y，x2等。
我们把语句中表示个体性质和关系的语言成分（通常是谓语）称为谓词（predicate）。
谓词携有可以放置个体的空位，当空位上填入个体后便产生一个关于这些个体的语句，它断言个体具有谓词所表示的性质和关系。
通常把谓词所携空位的数目称为谓词的元数。
谓词演算中的量词（quantifiers）指数量词“所有”和“有”，分别用符号∀(All的第一个字母A的倒写) 和∃(Exist的第一个字母E的反写)来表示。
为了用量词∀和∃分别表示个体域中所有个体和有些个体满足一元谓词P，需引入一个变元，同时用作量词的指导变元（放在量词后）和谓词P的命名式变元：∀xP(x) 读作“所有（任意,每一个）x满足P(x)”。
表示个体域中所有的个体满足谓词P(x)。
∃x P(x) 读作“有（存在,至少有一个）x满足P(x)”。
自考离散数学第2章
域E，若对 A和B的任一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称 谓词公式A和B在E上是等价的，并记作 A B
定义2.3.2 给定任意谓词公式WffA，其个体域为E，对于A的所有赋值
WffA都为真，则称WffA在E上有效的（或永真的）
定义2.3.3 一个谓词公式WffA，如果在所有赋值下都为假，则称WffA
P
（2）H(s)→M(s)
（3）H(s) （4）M(s)
US(1)
P T(2)(3)I
2.5 谓词演算的推理理论
例：专业委员会成员都是教授，并且是计算机设计师，有些成员是资
深专家，所以有的成员是计算机设计师，且是资深专家。请用谓词推 理理论证明上述推理。
证：设个体域为全总个体域。 M(x):x 是专业委员会成员； H(x):x 是教授； G(x):x 是计算机设计师；
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
表2.3.1
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.4 前束范式
定义2.4.1 一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延伸
到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。
定理2.4.1 任意一个谓词公式均和一个前束范式等价。
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
例：寻求下式的真值。
(x)(P Q( x)) R(a) ，其中P:2>1,Q(x):x≦3，R(x):x>5,a=5，
且论域{-2,3,6}
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
2.3 谓词演算的等价式与蕴含式
定义2.3.1 给定任何两个谓词公式 WffA和WffB，设它们有共同的个体
离散数学自考第二章
“”表达式的读法：
· x A(x) ：存在一个x,使x是…；
· x¬ A(x) ：存在一个x, 使x不是…；
· ¬ x A(x) ：不存在一个x, 使x是…；
· ¬ x¬ A(x) ：不存在一个x, 使精选xp不pt 是…。
7
著名的苏格拉底三段论可论述如下： a. 所有人都是要死的； b. 因为苏格拉底是人； c. 所以苏格拉底总是要死的； d. 试讲其符号化为谓词公式。 e. 解M（x）：表示x是人，D（x）：x是要死的；a：苏格拉底。 f. 上述三段论可符号化为： g. （x）（M(x) → D（x）） h. M（a） i. D（a） j. 该三段论可用推理描述为： k. 前提：（x）（M(x) → D（x） ）， M(a) ， l. 结论： D（a）
在上述的谓词合式公式中，有的个体变元既可以是约束出 现，也可以是自由出现，为了避免混淆采用以下两个规 则。
1.下面介绍约束变元的改名规则： （a）在改名中要把公式中所有相同的约束变元全部同时改掉； （b）改名时所用的变元符号在量词辖域内未出现的。
精选ppt
11
例： xP(x) yR(x,y)可改写成xP(x) zR(x,z) ，但不能改成 xP(x) xR(x,x) ， xR(x,x)中前面的x原为自由变元，现在变为 约束变元了。
P，A，B为不含有变元Ｘ的任何谓词公式
E30 xA(x)B x(A(x)B) E31 xA(x)B x(A(x)B) E32 AxB(x) x(AB (x)) E33 A x B(x) x(AB (x))
精选ppt
21
（3）量词分配率
E23 x (A(x) B(x)) xA(x) xB(x) E24 x(A(x)B(x)) xA(x) xB(x) E29 (x (A(x) B(x)) xA(x) xB(x) I17 xA(x) xB(x) x(A(x) B(x)) I18 x(A(x) B(x)) x（A(x) B(x)） I19 xA(x) xB(x) x(A(x) B(x))
离散数学第二章谓词逻辑
则xP和xP都是谓词公式
(5)当且仅当能够有限次地应用(1)－(4)所得到的
式子是谓词公式
二、谓词公式的概念
谓词公式是命题公式的扩展，约定最外层圆括号可 以省略，但量词后面若有括号则不省略。
例如 (P(x,y)→(Q(x)→R(y,z)))
P(x,y,z)∧(P(x,y,z)→Q)
y((A(x)∧A(y))→F(x,y,0))
2.2 命题函数与量词
例2.2.6 翻译命题
甲村人与乙村人都同姓。
解 设A(x)：x是甲村人。 B(y)：y是乙村人。 P(x,y)：x与y同姓。 (1)全总个体域 xy((A(x)∧B(y))→P(x,y)) (2)x的论域:甲村人 xy(P(x,y)) y的论域:乙村人
1.令F(x)：x是金属。G(y)：y是液体。H(x,y)：x可以溶解在y 中。则命题“任何金属可以溶解在某种液体中。”可翻译 为（ ）。 A．x(F(x)∧y(G(y)∧H(x,y))) B．xy(F(x)→(G(y)→H(x,y))) C．x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y))) D．x(F(x)→y(G(y)→H(x,y))) 2.令F(x)：x是火车。G(y)：y是汽车。H(x,y)：x比y快。则命 题“某些汽车比所有火车慢。”可翻译为（ ）。 A.y(G(y)→x(F(x) ∧H(x,y))) B.y(G(y)∧x(F(x)→H(x,y))) C.xy(G(y)→(F(x)∧H(x,y))) D.y(G(y)→x(F(x)→H(x,y)))
由一个谓词常量或谓词变量A，n(n≥0)个个体变量 x1,x2,…,xn组成的表达式A(x1,x2,…,xn) 注意：0元谓词是命题，谓词逻辑是命题逻辑的扩 展。
相关主题
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3.量词的否定
3）a）┐(XP(X)) X┐P(X) b）┐( XP(X)) X┐P(X) 证法1： a)‘并非对任意x， P(X)是真’ 等价于‘至少存在一 个x，使P(X)为假’。 b)‘并非存在一个x，使P(X)为真’等价于‘对所有的x， P(X)为假’。 注： （1）从上述公式可以看出，X和X具有对偶性 （将X与X互换，可看出） （2）出现在量词之前的否定，是否定量词。而是否定 被量化了的整个命题。 证法2 返回
一.
谓 词
1．定义：代表客体（描述对象）的变元叫客体（个体）变元。 客体（个体）变元常用x， y， z， u，v…… 表示，刻划客体的性质或几个客体间关系的模 式叫谓词(性质或关系）常用大写字母A， B， …… ，P，Q ,……表示。 例：A表示 ‘是大学生’ 则A(x)表示‘x是大学生’这个命
题变元 B表示 ‘生于’ 则B（x,y）表示‘x生于y’这个命题变 元 C表示 ‘……=…*…’ ，则C(x,y,z)表示‘x=y*z’这个 命题 变元
例2：XP(X) Q(X) 可改为YP(Y) Q(X)
例3：X(A(X)B(X，Y))C(X)D(W) 可改为： X(A(X)B(X，Y) )C(Z) D(W) 注意： Z(A(Z)B(Z，Y) ) C(X) D(W)不可改为： Y(A(Y)B(Y，Y) ) C(X) D(W)
4.量词辖域的扩展和收缩
例2：XY(P(X)→Q(Y )) ( X P(X) → YQ(Y))
证明： XY(P(X)→Q(Y )) XY(┐P(X) Q(Y )) X (┐P(X) Y Q(Y )) X┐P(X)YQ(Y )) ┐ X P(X) Y Q(Y ) X P(X) → YQ(Y)
5.
举例
e.每个建筑物都有一些装饰品
解：设A( X )为‘X是建筑物’ , B(X,Y)为‘X有Y’， C( X ) 为‘ X是装饰品’， 则可译为： X( A(X) → Y( B(X,Y) C( Y ) )
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三.量化断言和命题的关系
1.若论域是有限的，设是{1， 2…，N} 则XP(X) P(1) P(2) … P(N) XP(X) P(1) P(2) … P(N) 2.若论述域是可数无限 则XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … 例：(X)(P(X)Q(X)R，(X)(P(X)Q(X)） S(X)是 命题吗？
返回
第二章第二节目录
第2节 谓词演算的永真公式
一.基本定义 二.谓词演算的基本永真公式
上一节
下一节
一.
基 本 定 义
1.公式A和B在个体域上等价定义：
对公式A和B中的谓词变元（包括命题变元），指派任 一在E上有定义的确定的谓词，指派E中任一确定的个 体，若所得命题有相同的真值，称在E上AB。
2.A与B等价定义： 若两公式A，B在任意论述域上都等价，称AB。 3 返回目录
A(x)，B(x,y)，C(x，y，z)称为谓词
一.
谓 词
2.定义：有N个客体变元的谓词称为N元谓词 客体的取值范围叫论域 例：论述域a{人}，b{人，地名}，c{实数，实数，实数} 注意：空集不能作为论述域 若A代表一特定谓词，A称为谓词常元。 若A 代表任意谓词，A称为谓词变元。 注：(1)单独的客体或单独的谓词不能构成命题 (2)在谓词命名式中,若谓词是常元,个体变元代以 论述域中某客体才成为命题 (3)命题是0元谓词
4.量词辖域的扩展和收缩
4）a.XA(X)P b.XA(X)P c.XA(X)P d.XA(X)P X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P)
这里P是不含自由变元X的谓词公式。 证明：a.因P的值与x无关。若P为真，等价式两边都真。 若P为假，两边也都为XA(X)。
二.
3．量词的作用
量 词
在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量 化或全称量化。 将谓词F(x)变成命题有两种方法。 a.将x取定值 例：F(x)表示‘x是质数’，那么F(4)是命题（假）
b.将谓词量化 例：1). xF(x) F(x)：任意的x是质数 2). y(y<y+1) 3). y(y<y+1) 返回目录
解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则 译为: ┐(x (M(x) ┐F(x))) b. 某些人对某些食物过敏 解：设F(x,y)为‘x对y过敏’,M(x)为‘x是人’, G(x)为‘x是食物’,则译为: x y (M(x) G(x) F(x,y)) 返回
5．
举 例
c.尽管有人聪明，但未必一切人聪明 解：设M(x)为‘x是人’,F(x)为‘x聪明’则译为: x(M(x)F(x))┐x(M(x)→F(x)) d.如果X>Y，并且Z > 0，那么XY>YZ 解：设 > ( X,Y ) 为‘X>Y’，R( X )为‘X是实数’ 则译为 ： XYZ(R(X)R(Y)R(Z)→ ((>(X,Y)>(Z,0))→>(XY,YZ)) 返回
作业讲评：第一大题要写出证明。证明过程要写根据。
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四.
1.原子公式
谓 词 公 式
定义：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(X1, X2…Xn)称为谓词原子公式。
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2. 谓词演算的合式公式
谓词演算的合式公式简称谓词公式 定义: 1)谓词原子公式是谓词公式 2)若A， B是谓词公式，则 (┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词公式 3)只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式才是谓词 公式 注：由定义知，命题公式也是谓词公式 例：XR(X) ┐( XR(X) ) (XR(X)→ XS(X) ) ┐( XR(X) XS(X) ) AB C 命题公式均是谓词公式 返回目录
3.约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。 2.改名时所选用变元必须是量词辖域内未出现的，最好 是公式中未出现的。
注：对自由变元换名，可称为代入 例 返回目录上一页26 下一页28
3.约束变元改名规则
例1：X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 可改为 X(P(X，Y)→ZR(X，Z) )
定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元 为自由变元。
例
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2.自由变元与约束变元
例：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元。 并指明量词的辖域 a.X(P(X) R(X) )→XP(X) Q(X) 解：表达式中的X(P(X)R(X))中X的辖域是 P(X) R(X),其中的X是约束出现 Q(X)中的X是自由变元 b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。 注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。 返回
例： ┐Q(X) ┐ XP(X) ┐(Q(X) XP(X)) 返回
2.含有量词的永真谓词公式
1).XA A XA A 这里A不含自由变元X 例 XP(y，z) P(y，z) 但是：yP(y，z) P(y，z)(不一定成立) 2).a.XP(X) P(Y)或XP(X) P(X) b.P(Y) X P(X)或P(X) P(X) c.XP(X) XP(X) 证： a.对XP(X)为真，则对某一具体Y，P(Y)为真 b.对某一确定的Y，P(Y)为真，即则存在一X，使 P(X)为真 c.XP(X) P(X) X P(X) 2) 返回
五. 自由变元与约束变元
1.量词的辖域 定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除 非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端 有括号。
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
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2.自由变元与约束变元
二谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式 2.含有量词的谓词演算的永真公式 3.量词的否定 4.量词辖域的扩展和收缩 5.结束量词的分配公式 6.量词对→及的处理 7.关于多个量词的永真式
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1. 永真谓词公式
1. 永真命题公式也是永真谓词公式
例： XP(X)→XR(X) ┐XP(X) XR(X)
第二章第一节目录1
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
一.谓词 二.量词
1. 全称量词x 2．存在量词x 3．量词的作用 4．全总个体域 5．举例 三.量化断言和命题的关系
上一节
第6节目录第2部分
第二章第一节目录2
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
四. 谓词公式 1.原子公式 2. 谓词演算的合式公式 五. 自由变元与约束变元 1.量词的辖域 2.自由变元与约束变元 3.约束变元改名规则
二.
1.全称量词x
量 词
x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
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二.2．存在量词x量 词x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’
┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’ 返回目录
一.
基 本 定 义
3.对任一公式A，若在论述域E上，对A中的谓词和个体变 元进行指派后(个体变元与谓词变元的所有组合），所得 命题： 1)都真。称A在E上永真或在E上有效，若E任意，称A永真。 2)至少一个为真，称A在E上可满足。 3)都假，称A永假或在E上不可满足。 若E任意，称A永假或不可满足。 注：当谓词公式A的个体域有限，谓词变元的指派也有限， 才能用真值表判定A是否为永真。 例 返回