离散数学第二章

例2：XP(X) Q(X) 可改为YP(Y) Q(X)
例3：X(A(X)B(X，Y))C(X)D(W) 可改为： X(A(X)B(X，Y) )C(Z) D(W) 注意： Z(A(Z)B(Z，Y) ) C(X) D(W)不可改为： Y(A(Y)B(Y，Y) ) C(X) D(W)
第6节目录第1部分 下一节
一.
a.小陈是大学生 b.小张生于苏州 c. 8=3*2 x是大学生
x生于y
谓 词
小陈-----客体；是大学生-----谓词： 是大学生刻划了x 的性质 生于-----谓词：刻划了x和y的关系 ….=…..------谓词：刻划了x，y，z三 元的关系
定义 返回目录
x=y*z
一.
基 本 定 义
3.对任一公式A，若在论述域E上，对A中的谓词和个体变 元进行指派后(个体变元与谓词变元的所有组合），所得 命题： 1)都真。称A在E上永真或在E上有效，若E任意，称A永真。 2)至少一个为真，称A在E上可满足。 3)都假，称A永假或在E上不可满足。 若E任意，称A永假或不可满足。 注：当谓词公式A的个体域有限，谓词变元的指派也有限， 才能用真值表判定A是否为永真。 例 返回
例
返回82
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4.量词辖域的扩展和收缩
例1： XA(X，Y)P(Y) X((X，Y)P(Y)) XP(X，Y))XP(X，Z)X(P(X，Y)XP(X，Z)) (定理证法2) 证明：当个体域为{a1，a2，……………，an} 证明如下，其余式子证明类同。 XA(X)P (P(a1)P(a2)……………P(an))P) ((P(a1)P)(P(a2) P)……………(P(an)P)) X(A(X)P) 例2 返回
二.
3．量词的作用
量 词
在P(x)，P(x,y)前加上x或x，称变元x被存在量 化或全称量化。 将谓词F(x)变成命题有两种方法。 a.将x取定值 例：F(x)表示‘x是质数’，那么F(4)是命题（假）
b.将谓词量化 例：1). xF(x) F(x)：任意的x是质数 2). y(y<y+1) 3). y(y<y+1) 返回目录
4.量词辖域的扩展和收缩
例2：XY(P(X)→Q(Y )) ( X P(X) → YQ(Y))
证明： XY(P(X)→Q(Y )) XY(┐P(X) Q(Y )) X (┐P(X) Y Q(Y )) X┐P(X)YQ(Y )) ┐ X P(X) Y Q(Y ) X P(X) → YQ(Y)
A(x)，B(x,y)，C(x，y，z)称为谓词
一.
谓 词
2.定义：有N个客体变元的谓词称为N元谓词 客体的取值范围叫论域 例：论述域a{人}，b{人，地名}，c{实数，实数，实ห้องสมุดไป่ตู้} 注意：空集不能作为论述域 若A代表一特定谓词，A称为谓词常元。 若A 代表任意谓词，A称为谓词变元。 注：(1)单独的客体或单独的谓词不能构成命题 (2)在谓词命名式中,若谓词是常元,个体变元代以 论述域中某客体才成为命题 (3)命题是0元谓词
3.量词的否定
3）a）┐(XP(X)) X┐P(X) b）┐( XP(X)) X┐P(X) 证法1： a)‘并非对任意x， P(X)是真’ 等价于‘至少存在一 个x，使P(X)为假’。 b)‘并非存在一个x，使P(X)为真’等价于‘对所有的x， P(X)为假’。 注： （1）从上述公式可以看出，X和X具有对偶性 （将X与X互换，可看出） （2）出现在量词之前的否定，是否定量词。而是否定 被量化了的整个命题。 证法2 返回
第二章第一节目录1
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
一.谓词 二.量词
1. 全称量词x 2．存在量词x 3．量词的作用 4．全总个体域 5．举例 三.量化断言和命题的关系
上一节
第6节目录第2部分
第二章第一节目录2
第二章谓词逻辑 第一节谓词和量词
四. 谓词公式 1.原子公式 2. 谓词演算的合式公式 五. 自由变元与约束变元 1.量词的辖域 2.自由变元与约束变元 3.约束变元改名规则
一.
基 本 定 义
例：当A（x）P（x）X P（x）且P（x）只能解释： （1）R（x）：x是质数（2）S（x）：x是合数。 论述域为{3，4}，判定A（x）是否为永真
解： P（x） x P（x）X P（x） -------------------------------------R (x) 3 111 S (x) 3 010 R (x) 4 010 S (x) 4 111 所以，一般用真值表难以判定谓词公式是否为真。 必须使用推导方法。 首先讨论基本的谓词公式永真公式
二.
1.全称量词x
量 词
x读作‘对任意x’ xP(x)表示‘对一切x,P(x)为真’ ┐x┐P(x)表示 ‘并非对任意x, ┐P(x)是真’
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二.
2．存在量词x
量 词
x读作‘至少有一x’，‘存在一x’ x ┐P(x)表示 ‘存在一x，使┐P(x) 为真’
┐x ┐P(x)表示 ‘并非存在一个x，使┐ P(x)为真’ 返回目录
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第二章第二节目录
第2节 谓词演算的永真公式
一.基本定义 二.谓词演算的基本永真公式
上一节
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一.
基 本 定 义
1.公式A和B在个体域上等价定义：
对公式A和B中的谓词变元（包括命题变元），指派任 一在E上有定义的确定的谓词，指派E中任一确定的个 体，若所得命题有相同的真值，称在E上AB。
2.A与B等价定义： 若两公式A，B在任意论述域上都等价，称AB。 3 返回目录
定义：在量词X，X辖域内变元X的一切出现叫约束出 现，称这样的X为约束变元。 变元的非约束出现称为自由出现,称这样的变元 为自由变元。
例
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2.自由变元与约束变元
例：指出下列谓词公式中的自由变元和约束变元。 并指明量词的辖域 a.X(P(X) R(X) )→XP(X) Q(X) 解：表达式中的X(P(X)R(X))中X的辖域是 P(X) R(X),其中的X是约束出现 Q(X)中的X是自由变元 b. X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 解：其中的P(X，Y)中的Y是自由变元，X是约束变元， R(X，Y)中的X，Y是约束变元。 注：在一个公式中，一个变元既可以约束出现，又可以 自由出现。为避免混淆可用改名规则对变元改名。 返回
五. 自由变元与约束变元
1.量词的辖域 定义:量词的辖域是邻接量词之后的最小子公式，故除 非辖域是个原子公式，否则应在该子公式的两端 有括号。
例：XP(X)→Q(X) X的辖域是P(X)
X(P(X,Y)→Q(X，Y) ) P(Y,Z) X的辖域是P(X，Y)→Q(X，Y)
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2.自由变元与约束变元
二.
4.全总个体域
量 词
任意谓词中任意个体变元的所有个体域称全总个体域
注：使用全总个体域后，个体变元取值范围一致。 但不同论述对象须用不同的特性谓词加以刻划。 二条规则： ①对全称量词，特性谓词作为蕴含式之前件而加入之 ②对存在量词，特性谓词作为合取项而加入之
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5．
a.没有不犯错误的人
举 例
一.
谓 词
1．定义：代表客体（描述对象）的变元叫客体（个体）变元。 客体（个体）变元常用x， y， z， u，v…… 表示，刻划客体的性质或几个客体间关系的模 式叫谓词(性质或关系）常用大写字母A， B， …… ，P，Q ,……表示。 例：A表示 ‘是大学生’ 则A(x)表示‘x是大学生’这个命
题变元 B表示 ‘生于’ 则B（x,y）表示‘x生于y’这个命题变 元 C表示 ‘……=…*…’ ，则C(x,y,z)表示‘x=y*z’这个 命题 变元
二谓词演算的基本永真公式
1.命题演算的永真公式也是谓词演算的永真公式 2.含有量词的谓词演算的永真公式 3.量词的否定 4.量词辖域的扩展和收缩 5.结束量词的分配公式 6.量词对→及的处理 7.关于多个量词的永真式
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1. 永真谓词公式
1. 永真命题公式也是永真谓词公式
例： XP(X)→XR(X) ┐XP(X) XR(X)
解：设F(x)为‘x是犯错误’,M(x)为‘x是人’,则 译为: ┐(x (M(x) ┐F(x))) b. 某些人对某些食物过敏 解：设F(x,y)为‘x对y过敏’,M(x)为‘x是人’, G(x)为‘x是食物’,则译为: x y (M(x) G(x) F(x,y)) 返回
5．
举 例
c.尽管有人聪明，但未必一切人聪明 解：设M(x)为‘x是人’,F(x)为‘x聪明’则译为: x(M(x)F(x))┐x(M(x)→F(x)) d.如果X>Y，并且Z > 0，那么XY>YZ 解：设 > ( X,Y ) 为‘X>Y’，R( X )为‘X是实数’ 则译为 ： XYZ(R(X)R(Y)R(Z)→ ((>(X,Y)>(Z,0))→>(XY,YZ)) 返回
4.量词辖域的扩展和收缩
4）a.XA(X)P b.XA(X)P c.XA(X)P d.XA(X)P X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P) X(A(X)P)
这里P是不含自由变元X的谓词公式。 证明：a.因P的值与x无关。若P为真，等价式两边都真。 若P为假，两边也都为XA(X)。
例： ┐Q(X) ┐ XP(X) ┐(Q(X) XP(X)) 返回
2.含有量词的永真谓词公式
1).XA A XA A 这里A不含自由变元X 例 XP(y，z) P(y，z) 但是：yP(y，z) P(y，z)(不一定成立) 2).a.XP(X) P(Y)或XP(X) P(X) b.P(Y) X P(X)或P(X) P(X) c.XP(X) XP(X) 证： a.对XP(X)为真，则对某一具体Y，P(Y)为真 b.对某一确定的Y，P(Y)为真，即则存在一X，使 P(X)为真 c.XP(X) P(X) X P(X) 2) 返回
5.
举例
e.每个建筑物都有一些装饰品
解：设A( X )为‘X是建筑物’ , B(X,Y)为‘X有Y’， C( X ) 为‘ X是装饰品’， 则可译为： X( A(X) → Y( B(X,Y) C( Y ) )
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三.量化断言和命题的关系
1.若论域是有限的，设是{1， 2…，N} 则XP(X) P(1) P(2) … P(N) XP(X) P(1) P(2) … P(N) 2.若论述域是可数无限 则XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … XP(X) 为P(0)P(1) P(2) … P(N) … 例：(X)(P(X)Q(X)R，(X)(P(X)Q(X)） S(X)是 命题吗？
作业讲评：第一大题要写出证明。证明过程要写根据。
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四.
1.原子公式
谓 词 公 式
定义：不出现命题联结词和量词的谓词命名式 P(X1, X2…Xn)称为谓词原子公式。
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2. 谓词演算的合式公式
谓词演算的合式公式简称谓词公式 定义: 1)谓词原子公式是谓词公式 2)若A， B是谓词公式，则 (┐A)，(AB)，(AB)，(A→B)，(AB)， (XA)和(XA)是谓词公式 3)只有有限次应用步骤1）和2）构成的公式才是谓词 公式 注：由定义知，命题公式也是谓词公式 例：XR(X) ┐( XR(X) ) (XR(X)→ XS(X) ) ┐( XR(X) XS(X) ) AB C 命题公式均是谓词公式 返回目录
3.约束变元改名规则
1.若要改名，则该变元在量词及该量词的辖域中的所有 出现须一起更改。 2.改名时所选用变元必须是量词辖域内未出现的，最好 是公式中未出现的。
注：对自由变元换名，可称为代入 例 返回目录上一页26 下一页28
3.约束变元改名规则
例1：X(P(X，Y)→YR(X，Y) ) 可改为 X(P(X，Y)→ZR(X，Z) )